10.5分式方程自主达标测试题2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式方程单元核心，融合文化传承（如《九章算术》问题）与生活实践（如奶茶甜度、文创购物）的达标测试，全面考查概念理解、运算能力及模型应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题24分|分式方程定义、解法步骤、参数范围|第5题新定义运算，第7题古代驿站问题，渗透抽象能力| |填空题|8题24分|基础计算、含参整数解、实际建模|第15题浓度互倒问题，第16题《九章算术》古题，体现数学文化| |解答题|7题72分|解方程、规律探究、工程/购物/浓度应用|第20题规律探究培养创新意识，第23题奶茶甜度问题强化模型意识，贴近生活|

2025-2026学年苏科版八年级数学下册《10.5分式方程》自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若分式方程 的解为，则的值为 （    ） A．1 B． C．2 D． 3．把方程中的分母化为整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下面是小王同学解方程的练习单，他首次出错的步骤为（   ） 解方程： 解：· · · ① · · ·  ② · · ·  ③   · · · · · · · ④ 经检验，当是原方程的解 A．① B．② C．③ D．④ 5．定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（    ）． A． B． C． D． 6．若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 7．在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（    ） 小刚： 小强： A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度 C．*表示 D．△表示 8．某工程甲单独做天完成，乙单独做比甲慢3天完成，现由甲、乙合作5天后，余下的工程由甲单独做3天才能全部完成，则下列方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．若代数式与的值相等，则_______． 10．当_____时，与互为相反数． 11．关于的方程的解为，则________． 12．若分式方程的解为正数，则的取值范围是__________． 13．若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和________． 14．某商店购进黄河口大闸蟹，第一次用4800元购进若干千克．卖完后，第二次每千克进价提高了4元，同样用4800元购进的数量比第一次少40千克，求第一次的进价．设第一次每千克进价为x元，根据题意列方程为______． 15．甲杯子里盛有浓度的盐水，乙杯子里盛有浓度的盐水．第一次：从甲杯中倒出一部分盐水到乙杯，搅拌均匀；第二次：再从乙杯中倒回同样重量的盐水到甲杯．甲杯盐水浓度恰好为，则第一次从甲杯倒出了______千克盐水． 16．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 三、解答题（满分72分） 17（8分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（10分）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若该方程无解，求实数的值． 19．（8分）学校新购3600册图书平均分配给A，B两个图书馆，A，B两馆分别邀请6名和9名志愿者整理新购图书上架，若每位志愿者的工作效率相同，且B馆提前2小时完成任务．求平均每人每小时整理图书的册数． 20．（10分）根据发现的规律回答问题 (1)解下列方程 的解为_____； 的解为_____； 的解为_____； 的解为_____； (2)根据上述规律和形式继续写出： ________________；_____________； (3)请根据上述规律写出第个（为正整数）方程及它的解，并写出解题过程． 21．（10分）某黄花种植专业合作社响应乡村振兴号召，扩大标准化种植规模，今年黄花迎来丰收．合作社计划租用专业采收机完成采收作业，现有甲、乙两种型号的采收机可供选择．已知每台乙型号采收机每天比每台甲型号采收机多采收10亩，且每台甲型号采收机采收200亩黄花所用的时间与每台乙型号采收机采收300亩黄花所用的时间相同．求甲、乙两种型号的采收机每台每天分别采收黄花的亩数． 22．（12分）“人间烟火味，最抚凡人心”，玉溪城区、夜市、景区的个体商户是市民就业增收的重要渠道某商户购进了玉溪花腰傣文创玩具和澄江化石文创玩具两种特色文创产品，已知用600元购进花腰傣文创玩具的数量比用300元购进澄江化石文创玩具的数量多10个，且花腰傣文创玩具单价是澄江化石文创玩具单价的倍．求两种文创玩具的单价各是多少元？ 根据以上信息，解答下列问题： (1)甲同学：设澄江化石文创玩具的单价为元，可列方程为______________； 乙同学：设花腰傣文创玩具的数量为个，可列方程为______________． (2)请帮助甲同学完成剩下的解题过程． 23．（14分）请同学们根据以下表格中的素材，探索完成相关任务． 探索实践：探索奶茶甜度 素材一 奶茶的甜度由含糖浓度决定，定义为：奶茶甜度糖的质量/奶茶总质量，已知一杯质量为a克的奶茶，含糖b克时为标准糖，则甜度为，其他常见甜度对应含糖量如下： 七分糖：含糖克；五分糖：含糖克； 三分糖：含糖克． 素材二 小明点了一杯a克七分糖奶茶，店员误做成五分糖奶茶，后又向这杯奶茶中加入了克糖． 素材三 小红有一杯500克的三分糖奶茶（标准糖为每500克含糖50克），喝掉一半后想调成五分糖． 问题解决： (1)任务一：一杯总质量为400克的奶茶含糖20克，则该奶茶的甜度为 ； (2)任务二：比较奶茶的最终甜度与七分糖甜度的大小，并说明理由； (3)任务三：小红需要向剩下的奶茶中再加入多少克糖，才能将其调制成五分糖？（结果精确到1克） 参考答案 1．D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 2．B 【分析】通过去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解整式方程，最后检验所得的解是否为增根． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得：， 移项整理得：， 检验：当时，，， 是原方程的解， 即． 3．D 【分析】本题考查分式的基本性质，将方程中分母化为整数时，只需对每个分式的分子分母同乘适当的非零数，使分母变为整数，方程右侧的常数项无需改变，根据分式基本性质化简即可得到结果. 【详解】解：∵ 根据分式的基本性质，分式的分子分母同乘不为0的数，分式的值不变. 对，分子分母同乘10，可得； 对，分子分母同乘100，可得； 方程右侧的常数1保持不变， ∴ 原方程化为. 4．B 【分析】根据分式方程的解法，依次检验各步骤的计算，即可找出首次出错的位置． 【详解】解：， ∵，给方程两边同乘最简公分母， 可得， ∴步骤①计算正确， 对去括号，根据去括号法则，， 因此去括号后正确结果为， 题中步骤②写为，常数项符号错误，因此首次出错的步骤为②． 5．C 【分析】根据题中新定义的运算规则，将所求方程转化为常规分式方程，再按解分式方程的步骤求解，最后检验即可得到结果． 【详解】解：∵由新定义， ∴， ∵， ∴， 去分母得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 6．B 【分析】先按解分式方程的步骤求出x关于a的表达式，再根据“解是非负数”和“分式分母不为0”两个条件列关于a的不等式组求解即可． 【详解】解：分式方程可化为：， ， ， ∵分式方程的解是非负数，且分母不能为0， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴的取值范围为且，即选项B符合题意． 7．D 【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合题意判断各选项中未知数和空缺部分的正误即可． 【详解】解：设规定时间为，则快马时间为，快马速度为， 慢马时间为，慢马速度为， 又∵快马速度是慢马的2倍，可得，因此表示规定时间，A正确； △应为，故D错误； 设慢马速度为，则快马速度为，慢马时间为，规定时间， 快马时间为，规定时间，因此方程为，可得表示慢马速度，B正确； *表示，C正确． 综上，不正确的是D． 8．B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用（工程问题），解题的关键是明确工作效率、工作时间与工作量的关系，根据总工作量为1列方程． 先确定甲、乙的工作效率，再计算甲、乙合作5天的工作量与甲单独做3天的工作量，根据总工作量为1列方程，逐一验证选项． 【详解】解：由题意，甲单独做天完成，故甲的工作效率为； 乙单独做比甲慢3天，故乙的工作时间为天，工作效率为． 甲、乙合作5天的工作量为，甲单独做3天的工作量为，总工作量为1，因此方程为． 故A、C、D选项错误，B选项正确． 9． 【详解】解：根据题意得： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得； 经检验，是原分式方程的解. 10． 【分析】根据相反数的定义可得，解分式方程并检验即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 去分母并展开得：， 解得：， 把代入得， ∴当时，与互为相反数． 11． 【分析】将代入分式方程，求出的值即可． 【详解】∵关于的方程的解为， ∴将代入方程，得， 即， 解得：． 12．且 【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为，得出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解： 去分母得， 解得： 依题意，，且 ∴且 13．9 【分析】将原方程变形，用含的代数式表示出，根据为整数解，可得为4的因数，求出所有满足条件的整数的值，再根据分式方程的解不能使分母为0进行检验，排除不合题意的值，最后求和即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵方程的解为整数解， ∴或或， ∴或2或3或或5或， 又即， ∴， ∴满足条件的所有整数a的和为． 14． 【分析】根据总进价和单价分别表示出两次购进大闸蟹的数量，再根据两次购进数量的关系列方程． 【详解】解：设第一次每千克进价为元.则第二次每千克进价为元， 第一次购进大闸蟹的数量为千克， 第二次购进大闸蟹的数量为千克， 根据题意，第二次购进的数量比第一次少千克，列方程得：． 15．30 【分析】设第一次从甲杯倒出了x千克盐水，由题意得，据此求解即可． 【详解】解：设第一次从甲杯倒出了x千克盐水， 第一次倒出后甲杯剩余千克盐水，溶质为千克， 乙杯加入x千克后，总质量为千克，溶质为千克， 此时乙杯浓度为：； 从乙杯倒回x千克盐水到甲杯，这部分盐水中的溶质为：， 此时甲杯的总溶质为：， 甲杯总质量回到40千克，且浓度为，所以总溶质也等于千克， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴第一次从甲杯倒出了30千克盐水． 16． 【分析】根据它们所需时间与规定时间的关系列方程即可． 【详解】解：设慢马的速度为里/天， 由题意可列方程：. 17．(1) (2)原方程无解 【分析】根据“去分母，将原方程转化为整式方程，求解后再检验”的步骤求解即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘， 得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解：方程两边同乘， 得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 18．(1)； (2)或． 【分析】（）先把原方程去分母并整理得，解得，然后把代入即可求解； （）根据方程无解可得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：原方程去分母并整理得：， 整理得，，即， ∴当时，， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）解：由（）知，所以要使原方程无解， 只需满足即可，解得或． 19．50册 【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 设平均每人每小时整理图书x册，则A，B两馆每小时分别整理图书，册，再根据B馆提前2小时完成任务列出方程求解． 【详解】解：设平均每人每小时整理图书x册， 由题意得， 解得， 经检验是原方程的解，符合题意， 答：平均每人每小时整理图书50册． 20．(1) ； ； ； ； (2) 的解为； 的解为； (3)第个（为正整数）方程为解为，解方程见解析． 【分析】（）根据解分式方程的方法分别进行求解即可； （）观察上述方程及解的规律可得到第个方程并求解即可； （）根据上述规律，第个方程为，再对该分式方程进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； （2）解：根据上述规律和形式可得 ， 经检验：是原方程的解， 故答案为：的解为； ， 经检验：是原方程的解， 故答案为：的解为； （3）解：根据上述规律得第个（为正整数）方程为 ， 经检验：是原方程的解， ∴原分式方程的解为：． 21．甲型号采收机每台每天采收黄花20亩，乙型号采收机每台每天采收黄花30亩 【分析】设甲型号采收机每台每天采收黄花x亩，则乙型号采收机每台每天采收黄花亩，根据题意列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设甲型号采收机每台每天采收黄花x亩，则乙型号采收机每台每天采收黄花亩， 根据题意得 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． ∴乙型号为：（亩）． 答：甲型号采收机每台每天采收黄花20亩，乙型号采收机每台每天采收黄花30亩． 22．(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据“用600元购进花腰傣文创玩具的数量比用300元购进澄江化石文创玩具的数量多10个，且花腰傣文创玩具单价是澄江化石文创玩具单价的倍．”列方程即可； （2）解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：甲同学：设澄江化石文创玩具的单价为元，可列方程为， 乙同学：设花腰傣文创玩具的数量为个，可列方程为； （2）解：， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：澄江化石文创玩具单价为10元，花腰傣文创玩具单价为15元． 23．(1)5% (2)奶茶最终甜度比七分糖甜度小，理由见解析 (3)加入5克的糖 【分析】（1）根据素材一的公式计算即可； （2）先计算加糖后奶茶甜度，然后利用作差法比较七分糖奶茶的甜度和加糖后的奶茶甜度的大小，即可解答； （3）设需要向剩下的奶茶中加入x克糖，才能将其调制成五分糖，则奶茶质量克，含糖量克，根据五分糖的甜度列方程解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：七分糖奶茶甜度：， 奶茶最终甜度为：， ∵，且， ，， ， ， 即， 故奶茶最终甜度比七分糖甜度小； （3）解：设需要向剩下的奶茶中加入x克糖，才能将其调制成五分糖， 原来奶茶质量500克，含糖量克， 喝掉一半后奶茶质量250克，含糖量克， 加入x克糖后，奶茶质量克，含糖量克， 得， 解得， 经检验，是方程的解，且符合实际， 克， 答：需要再向剩下的奶茶中加入5克的糖，才能将其调制成五分糖． 学科网（北京）股份有限公司 $