10.5 分式方程 同步练习 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 这份分式方程同步练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖增根、解的范围及实际应用，梯度合理，适配新授课知识内化与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|分式方程的解法与增根概念|选择1-5直接考查基本解法，填空11-13强化增根判断，夯实运算能力| |能力提升|含参数的解的讨论|选择6-8结合行程问题，解答18深化参数取值分析，发展推理意识| |综合应用|实际问题建模与综合应用|解答19-20以工程、经济问题为情境，培养模型意识与应用能力|

10.5 分式方程 一．选择题（共10小题） 1．若关于x的方程有增根，则m的值是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 2．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（　　） A． B． C． D． 3．分式方程有增根，则m的值为（　　） A．0和3 B．1 C．1和﹣2 D．3 4．关于x的分式方程1的解为正数，则字母a的取值范围为（　　） A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1 5．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4 6．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　） A． B． C．4＝9 D． 7．已知关于x的分式方程1的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3 8．若关于x的方程1无解，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．1或2 D．0或2 9．若方程1有增根，则它的增根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1和﹣1 10．若关于x的方程3的解为正数，则m的取值范围是（　　） A．m B．m且m C．m D．m且m 二．填空题（共6小题） 11．若关于x的方程无解，则m的值为　 　 ． 12．关于x的方程有增根，则k的值为　 　 ． 13．已知关于x的分式方程1的解为负数，则k的取值范围是 　 　 ． 14．已知关于x的方程的解大于1，则实数m的取值范围是　 　 ． 15．已知关于x的方程m的解满足（0＜n＜3），若y＞1，则m的取值范围是　 　 ． 16．关于x的分式方程3有增根，则m＝　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．解分式方程： （1）； （2）． 18．（1）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． （2）若方程1的解是正数，求a的取值范围． 19．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 20．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完． （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）超市销售这种干果共盈利多少元？ 21．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程有增根，求m的值； （2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围． 22．已知，关于x的分式方程1． （1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解； （2）当a＝1时，求b为何值时分式方程1无解； （3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程1的解为整数时，求b的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：∵分式方程的增根是使分式分母为0的根， 原方程分母为x﹣3，令x﹣3＝0，得增根为x＝3， 给原方程两边同乘x﹣3去分母，得 m+（x﹣3）＝4， 把x＝3代入整式方程，得m+（3﹣3）＝4， ∴m＝4． 故选：D． 2．【解答】解：根据题意可得： ． 故选：A． 3．【解答】解：∵分式方程有增根， ∴x﹣1＝0，x+2＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣2． 两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝m， 整理得，m＝x+2， 当x＝1时，代入得：m＝1+2＝3， 当x＝﹣2时，代入得：m＝﹣2+2＝0（舍）， 故选：D． 4．【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣a＝x+1， 解得：x＝a+1， 根据题意得：a+1＞0且a+1≠﹣1， 解得：a＞﹣1且a≠﹣2． 即字母a的取值范围为a＞﹣1． 故选：B． 5．【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）＝x﹣2， 解得：x， 由题意得：0且2， 解得：a≥1且a≠4， 故选：C． 6．【解答】解：顺流时间为：；逆流时间为：． 所列方程为：9． 故选：A． 7．【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3＝x﹣1， 解得：x＝m﹣2， 由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1， 解得：m≥2且m≠3． 故选：C． 8．【解答】解：方程去分母得：ax＝4+x﹣2 解得：（a﹣1）x＝2， ∴当a﹣1＝0即a＝1时，整式方程无解，分式方程无解； 当a≠1时，x x＝2时分母为0，方程无解， 即2， ∴a＝2时方程无解． 故选：C． 9．【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得 6﹣m（x+1）＝（x+1）（x﹣1）， 由最简公分母（x+1）（x﹣1）＝0，可知增根可能是x＝1或﹣1． 当x＝1时，m＝3， 当x＝﹣1时，得到6＝0，这是不可能的， 所以增根只能是x＝1． 故选：B． 10．【解答】解：去分母得：x+m﹣3m＝3x﹣9， 整理得：2x＝﹣2m+9， 解得：x， ∵关于x的方程3的解为正数， ∴﹣2m+9＞0且3 解得：m且m， 故m的取值范围是：m且m． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．【解答】解：∵， ∴， m+1﹣x＝x﹣4， 2x﹣m﹣5＝0， ∵方程无解， ∴方程有增根，增根为x＝4， 把x＝4代入m+1﹣x＝x﹣4， 得m+1﹣4＝4﹣4， 解得：m＝3． 故答案为：3． 12．【解答】解：， 1+2（x﹣2）＝﹣（1﹣kx）， 1+2x﹣4＝﹣1+kx， （2﹣k）x＝2， ∵关于x的方程有增根，且原方程的增根满足x﹣2＝0，即x＝2， 把x＝2代入（2﹣k）x＝2得，2（2﹣k）＝2， 4﹣2k＝2， 解得：k＝1． 故答案为：1． 13．【解答】解：去分母得：（x+k）（x﹣1）﹣k（x+1）＝x2﹣1， 去括号得：x2﹣x+kx﹣k﹣kx﹣k＝x2﹣1， 移项合并得：x＝1﹣2k， 根据题意得：1﹣2k＜0，且1﹣2k≠±1 解得：k且k≠1 故答案为：k且k≠1． 14．【解答】解：方程两边乘x﹣2得：x+m＝2﹣x， 移项得：2x＝2﹣m， 系数化为1得：x， ∵方程的解大于1， ∴1，且2，解得m＜0，且m≠﹣2． 故答案为：m＜0，且m≠﹣2． 15．【解答】解：解方程组，得 ， ∵y＞1， ∴2n﹣1＞1，即n＞1， 又∵0＜n＜3， ∴1＜n＜3， ∵n＝x﹣2， ∴1＜x﹣2＜3，即3＜x＜5， ∴， ∴， 又∵m， ∴m， 故答案为：m． 16．【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2）， 由题意得：x＝2是该整式方程的解， ∴2+m﹣1＝0， 解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 三．解答题（共6小题） 17．【解答】解：（1）原方程去分母得：x+5＝4x﹣10， 解得：x＝5， 检验：当x＝5时，2x﹣5≠0， 故原方程的解为x＝5； （2）原方程去分母得：（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1）， 整理得：2x﹣3＝﹣1， 解得：x＝1， 经检验，x＝1是分式方程的增根， 故原方程无解． 18．【解答】解：（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得 2（x+2）+mx＝3（x﹣2） ∵最简公分母为（x+2）（x﹣2）， ∴原方程增根为x＝±2， ∴把x＝2代入整式方程，得m＝﹣4． 把x＝﹣2代入整式方程，得m＝6． 综上，可知m＝﹣4或6． （2）解：去分母，得2x+a＝2﹣x 解得：x， ∵解为正数， ∴， ∴2﹣a＞0， ∴a＜2，且x≠2， ∴a≠﹣4 ∴a＜2且a≠﹣4． 19．【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要x天．根据题意，得 ． 解得 x＝90． 经检验，x＝90是原方程的根． ∴x90＝60． 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天． （2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天， 则有 ． 解得 y＝36． 需要施工费用：36×（8.4+5.6）＝504（万元）． ∵504＞500． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元． 20．【解答】解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元， 由题意，得2300， 解得x＝5， 经检验x＝5是原方程的解． 答：该种干果的第一次进价是每千克5元； （2）[600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000） ＝（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000 ＝1500×9+4320﹣12000 ＝13500+4320﹣12000 ＝5820（元）． 答：超市销售这种干果共盈利5820元． 21．【解答】解：去分母得：2﹣x﹣m＝2x﹣4， （1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2， 把x＝2代入整式方程得：m＝0； （2）解得：x， 根据分式方程的解为正数，得到0，且2， 解得：m＜6且m≠0． 22．【解答】解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程 中，得， 方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5）， 2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）， 2x2+3x﹣13＝2x2﹣7x﹣15， 10x＝﹣2， x， 检验：把x 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x． 答：分式方程的解是x． （2）把a＝1代入分式方程 得， 方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5）， （x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）， x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15， （11﹣2b）x＝3b﹣10， ①当11﹣2b＝0时，即，方程无解； ②当11﹣2b≠0时，， 时，分式方程无解，即，b不存在； x＝5时，分式方程无解，即，b＝5． 综上所述，或b＝5时，分式方程 无解． （3）把a＝3b代入分式方程 中，得： 方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5）， 3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）， 整理得：（10+b）x＝18b﹣15， ∴， ∵，且b为正整数，x为整数， ∴10+b必为195的因数，10+b≥11， ∵195＝3×5×13， ∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195， 但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数． 对应地，方程的解x为3、5、13、15、17， 由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去． 对应地，b只可以取3、29、55、185， 所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数 学科网（北京）股份有限公司 $