精品解析：天津市第二新华中学2025-2026学年度第二学期高一年级数学学科练习二

2025—2026学年度第二学期高一年级学科练习二 数学学科 （共3页） 2026年6月 Ⅰ卷 一、单选题：本题共4小题，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1. 用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形，所得直观图的周长为（ ） A. 8 B. 6 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】画出直观图，结合斜二测画法线段关系得到直观图中相关的线段长度，即可得解. 【详解】如图平面正方形的边长为， 则直观图如下所示： 则，，， 所以直观图的周长为. 故选：B 2. 为激发同学们对无人机飞行的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名学生的成绩依次为：65，70，75，80，85，92，95，97，则这组数据的分位数为（ ） A. 92 B. 93.5 C. 95 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】借助百分位数定义计算即可得. 【详解】，则这组数据的分位数为95. 故选：C. 3. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据各选项中，线面、面面位置关系，利用相关判定定理可推得相应结论逐一判断即可. 【详解】对于A，由，，可得与平行或异面，故A错误； 对于B，由，可得或，故B错误； 对于C，由，可得与平行或相交，如同时垂直于地面的两堵墙面可以平行，也可以相交，故C错误； 对于D，由，可得或，当时，由可得； 当时，利用线面平行的性质，则必存在且，同法可得，故也可得，即D正确. 故选：D. 4. 某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的（ ） A. B. 满意度计分的众数约为75分 C. 满意度计分的平均分约为80分 D. 满意度计分的第一四分位数约为70分 【答案】C 【解析】 【分析】由频率分布直方图的面积和为1可得A正确；由频率分布直方图计算众数，平均数，第25百分位数可得B正确，C错误，D正确. 【详解】对于A，由频率分布直方图可得，又， 解得，故A正确； 对于B，满意度计分的众数为最高矩形底边中点横坐标75分，故B正确； 对于C，满意度计分的平均分约为，故C错误； 对于D，前两组的频率之和为，所以满意度计分的第一四分位数约为70分，故D正确. 故选：C. 5. 在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出三棱台的上下底面的面积，再根据底面边长与侧棱长求解三棱台的高，进而计算出三棱台的体积． 【详解】正三棱台中，已知，， 所以的面积为，的面积为， 设，分别是，的中心， 设，分别是，的中点， ，，三点共线，，，三点共线， ，， ，， ， 过作，垂足为，则， ， 三棱台的高为， 三棱台的体积为． 故选：C． 6. 如图，在正三棱柱中，，，则四棱锥的体积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用割补法，结合柱体、锥体的体积公式运算求解. 【详解】由题意可知：正三棱柱的体积， 三棱锥的体积， 所以四棱锥的体积. 故选：A. 7. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中错误的是（ ） A. EF平面 B. C. EF与AD1所成角为60° D. EF与平面所成角的正弦值为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，证得，则EF平面ABC1D1，从而得出判断；对于B，证得平面ABC1D1，从而，而EFBD1，可得EF⊥B1C，从而得出判断；对于C，由，得EF与AD1所成角为，在中求解即可得出判断；对于D，由，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角，在中求解即可得出判断． 【详解】对于A，连接BD1，在中，E、F分别为D1D、DB的中点，则EFD1B， 又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1 ，∴EF平面ABC1D1，故A正确； 对于B，∵平面，平面，∴B1C⊥AB， 又B1C⊥BC1，AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1， 又∵BD1平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，而EFBD1，∴EF⊥B1C，故B正确； 对于C，由，得EF与AD1所成角为. 在中，，所以， 所以EF与AD1所成角不为60°，故C错误； 对于D，由，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角， 在中，，所以，故D正确． 故选：C． 8. 在中，，，，平面，，是边上的一动点，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 因为平面，故要使的值最小，只需在平面内的射影最短即可，当时，此时最短． 【详解】因为平面，故要使的值最小，只需在平面内的射影最短， 过在平面内，作，此时最短，连结， 在中，，，所以， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以． 故选：A 【点睛】本题主要考查点到线的距离，同时考查空间想象能力，属于基础题． 9. 如图，正三棱柱的各棱长均为1 ，点是棱的中点，点是线段上的动点，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则下列命题： ①平面； ②三棱锥的体积为定值； ③当是的中点时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为 ④点是上底面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为 其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理即可判断①；根据三棱锥的体积公式求出三棱锥的体积即可判断②；如图，作出过点P，A，R的平面截正三棱柱所得截面图形为，再计算的面积即可判断③；当D在上运动时，其轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧，计算弧长即可判断④. 【详解】对于①，如图，由点R，P分别为的中点，得． 又平面，平面，所以平面，故①正确； 对于②，由题意可知， 设点到平面的距离为d，平面平面， 所以点到平面的距离等于点到线段的距离． 又，所以， 所以，为定值，故②正确； 对于③，连接并延长交于点S，连接， 则过点P，A，R的平面截正三棱柱所得截面图形为． 因为，平面平面，平面平面， 平面，所以平面． 又平面，所以， 取的中点N，连接，则点Q为的中点， 又点R为的中点，所以，， 又点M为的中点，所以， 所以，所以，所以， 所以，故，故③错误； 对于④，由题可知，点D的轨迹是以为轴（其中B为顶点）， 母线与轴所成角为的圆锥的底面圆周与正三棱柱的上表面的交线． 所以，所以， 所以D在上运动时，其轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧， 故点D在上运动的轨迹长度为，故④正确； 故选：C． Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，共30分． 10. 若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别对总体进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取____人. 【答案】6 【解析】 【分析】先计算得到抽取比例为2:7，再计算得到答案. 【详解】学校田径队有49名运动员，其中女运动员有21人，抽出一个容量为14的样本，抽样比为， 所以女运动员应抽取人. 故答案为：6. 11. 已知底面半径为r(r>0)的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为 则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为________； 【答案】 【解析】 【分析】由△△，可得，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答案． 【详解】由题意可知圆锥的轴截面是边长为的正三角形， 则圆锥的高，如图， 由△△，可得，则， ， 圆柱侧面积， 圆锥侧面积，则． 故答案为：． 12. 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意推出球心到四个顶点的距离相等，利用直角三角形，求出球的半径，即可求出外接球的体积． 【详解】如图，为正三角形的中心，为三棱锥外接球球心， 因为正三棱锥中，底面边长为3，侧棱长为2， 所以，则， 所以高． 由球心到四个顶点的距离相等， 在直角三角形中，，， 由，所以，解得， 所以外接球的半径为，所以它的外接球的体积为. 故答案为：． 13. 已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，则，所以即为异面直线与所成角，根据题干求出各边的长，利用余弦定理求解即可. 【详解】设中点为，连接，， 因为为线段中点，所以，则或其补角即为异面直线与所成角， 因为，，， 所以，，， 所以在中由余弦定理可得， 所以异面直线与所成角的正弦值为， 故答案为： 14. 如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面所成的二面角的大小为________． 【答案】 【解析】 【详解】根据题意，可将直三棱柱补成正方体， 因为平面平面，所以， 所以即为平面与平面所成的二面角， 又因为等腰直角三角形， 所以平面与平面所成的二面角的大小为. 15. 如图1，平行四边形由六个边长为2的正三角形构成.将它沿虚线折起来，可得如图2所示的六面体.（i）若将这个六面体放入球中，则该球体积的最小值为______________；（ii）若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为______________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（i）通过求六面体的高来求得球体积的最小值. （ii）通过求点面距的方法求得球表面积的最大值. 【详解】设六面体为，如下图所示， 设平面，则平面，且是等边三角形的中心， 连接并延长，交于，则是的中点， 由正弦定理得， 即等边三角形的外接圆半径为，直径为， ，则， 所以若将这个六面体放入球中，则该球的半径的最小值为， 故该球的体积的最小值为. 连接，当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时， 球心为，且该球与相切，过作，为垂足， 则就是球的半径，， ，解得， 所以若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为. 故答案为：； 三、解答题：本题共2小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 首次实施新高考的八省（市）于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段，，，，分组，绘制了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求出图中的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）； （Ⅱ）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数； （Ⅲ）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）120；（Ⅲ）众数为100，平均为. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质列出方程，求得，进而得到及格率； （Ⅱ）分别求得在110以下和130以下的学生所在比例，结合百分数的计算方法，即可求解； （Ⅲ）结合频率分布直方图的众数和平均数的计算方法，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质，可得， 解得． 所以及格率为. （Ⅱ）得分在110以下的学生所在比例为， 得分在130以下的学生所占比例为， 所以第80百分位数位于内， 由，估计第80百分位数为120． （Ⅲ）由图可得，众数估计值为100． 平均数估计值为． 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求三棱锥的体积． （4）求直线与平面所成角的余弦值． （5）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）连接，因为底面为平行四边形，为中点， 故与相交于， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为，，所以，即， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且，所以平面. （3） （4） （5） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行； （2）利用线面垂直的判定定理求证； （3）利用等体积计算即可； （4）取的中点，求证为直线与平面所成角，在三角形中计算即可； （5）过点N作于E，求证即为平面与平面所成角即可计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，，得， 因为平面，， 所以. 【小问4详解】 取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 【小问5详解】 过点N作于E，则E为中点，连接， 因为平面，平面，所以， 则即为平面与平面所成角， 因为，，所以， 则平面与平面所成角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高一年级学科练习二 数学学科 （共3页） 2026年6月 Ⅰ卷 一、单选题：本题共4小题，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1. 用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形，所得直观图的周长为（ ） A. 8 B. 6 C. D. 4 2. 为激发同学们对无人机飞行的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名学生的成绩依次为：65，70，75，80，85，92，95，97，则这组数据的分位数为（ ） A. 92 B. 93.5 C. 95 D. 96 3. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的（ ） A. B. 满意度计分的众数约为75分 C. 满意度计分的平均分约为80分 D. 满意度计分的第一四分位数约为70分 5. 在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正三棱柱中，，，则四棱锥的体积是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中错误的是（ ） A. EF平面 B. C. EF与AD1所成角为60° D. EF与平面所成角的正弦值为 8. 在中，，，，平面，，是边上的一动点，则的最小值为 A. B. C. D. 9. 如图，正三棱柱的各棱长均为1 ，点是棱的中点，点是线段上的动点，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则下列命题： ①平面； ②三棱锥的体积为定值； ③当是的中点时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为 ④点是上底面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为 其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，共30分． 10. 若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别对总体进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取____人. 11. 已知底面半径为r(r>0)的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为 则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为________； 12. 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为_____________. 13. 已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为_____________. 14. 如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面所成的二面角的大小为________． 15. 如图1，平行四边形由六个边长为2的正三角形构成.将它沿虚线折起来，可得如图2所示的六面体.（i）若将这个六面体放入球中，则该球体积的最小值为______________；（ii）若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为______________. 三、解答题：本题共2小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 首次实施新高考的八省（市）于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段，，，，分组，绘制了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求出图中的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）； （Ⅱ）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数； （Ⅲ）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数． 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求三棱锥的体积． （4）求直线与平面所成角的余弦值． （5）求平面与平面所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $