八年级数学下学期期末模拟卷（新教材苏科版八下全部：概率统计+四边形+因式分解+分式+二次根式）

**基本信息** 苏科版八年级数学下册期末模拟卷，以文化情境（如成语概率判断）和生活应用（如粽子礼盒问题）为载体，覆盖因式分解、四边形等核心知识，通过分层设计（基础题至探究题）考查抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|因式分解（1）、二次根式（2）、概率事件（4）|第4题结合成语诗句考查随机事件，体现文化传承| |填空题|10/20|分式（16）、平行四边形（12）、坐标几何（18）|第18题矩形坐标计算，培养空间观念| |解答题|8/64|分式方程（20）、四边形证明（24）、几何探究（26）|第26题正方形动态探究，发展创新意识；23题概率调查分析，提升数据意识|

2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A．a（x+y）＝ax+ay B．x2+2xy+y2＝（x+y）2 C．（x+2）（x+3）＝x2+5x+6 D．y2﹣2y+3＝y（y﹣2）+3 【分析】根据因式分解的定义，判断变形是否将多项式转化为几个整式乘积的形式，即可得出答案． 【解答】解：A、a（x+y）＝ax+ay是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义，不符合题意； B、将多项式x2+2xy+y2化为两个整式（x+y）的乘积，符合因式分解的定义，符合题意； C、（x+2）（x+3）＝x2+5x+6是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义，不符合题意； D、y2﹣2y+3＝y（y﹣2）+3的结果是两个部分相加的形式，不是几个整式的积，不符合定义，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的方法是关键． 2．下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【解答】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟知其定义是解题的关键． 3．若分式的值为零，则x的值为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝±1 C．x＝1 D．x≠﹣1 【分析】分式值为零需同时满足两个条件，分子为零，分母不为零，分别计算两个条件即可得到结果． 【解答】解：∵分式的值为零， ∴|x|﹣1＝0且x+1≠0， 由|x|﹣1＝0得x＝±1， 由x+1≠0得x≠﹣1． 故x＝1． 故选：C． 【点评】本题考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 4．从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（　　） A．成语“刻舟求剑”是随机事件 B．诗句“手可摘星辰”是必然事件 C．成语“水中捞月”是不可能事件 D．谚语“竹篮打水一场空”是随机事件 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A、诗句“刻舟求剑“是不可能事件，不正确，不符合题意； B、诗句”手可摘星辰“是不可能事件，不正确，不符合题意； C、成语“水中捞月”是不可能事件，正确，符合题意； D、谚语“竹篮打水一场空”是必然事件，不正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5．若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【解答】解：（3m+2）2﹣9m2＝（3m+2+3m）（3m+2﹣3m）＝2（6m+2）＝4（3m+1）， 4（3m+1）的值总能被4整除， 因此（3m+2）2﹣9m2的值总能被4整除， 故选：A． 【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行运算是解题关键． 6．分式与的最简公分母是（　　） A．6x3 B．5x5 C．6x5 D．6x6 【分析】利用最简公分母的定义：取系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母作为最简公分母的一个因数，判断即可． 【解答】解：分式与的最简公分母是6x3． 故选：A． 【点评】此题考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解本题的关键． 7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列说法错误的是（　　） A．四边形ABCD是平行四边形 B．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形 C．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形 D．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形 【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定以及正方形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故选项A不符合题意； B、若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C、若AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、若∠ABC＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及正方形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D．2 【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可． 【解答】解：如图： 当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2， ∴P1P2∥CE且P1P2CE． 当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP． 由中位线定理可知：P1P∥CE且P1PCF． ∴点P的运动轨迹是线段P1P2， ∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值． ∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点， ∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1． ∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°． ∴∠DP2P1＝90°． ∴∠DP1P2＝45°． ∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2， ∴BP的最小值为BP1的长． 在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1． ∴BP1． ∴PB的最小值是． 故选：C． 【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 9．化简：a+1　 ． 【分析】根据分式的运算法则计算再化简即可． 【解答】解：原式a+1． 故答案为：a+1． 【点评】本题考查了分式的加减法，掌握同分母分式的减法运算法则是关键 10．如果，那么代数式x2﹣8x+5的值为　﹣4　 ． 【分析】根据二次根式的运算法则及配方法进行计算即可． 【解答】解：由题知， x2﹣8x+5＝（x﹣4）2﹣11． 因为， 所以原式＝（）2﹣11＝7﹣11＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值及配方法的应用，熟知二次根式的运算法则及配方法是解题的关键． 11．已知，则xy＝　　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x的值，进而可得y的值，再计算xy的值即可． 【解答】解：由题意得：， 解得， 则y＝2， ∴， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 12．如图，在▱ABCD中，AD＝3，AE平分∠DAB交CD于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，已知EF＝1，则AB长为　5　 ． 【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明AD＝DE，BC＝FC，再求出CD＝DE+CF﹣EF＝5，即可得解． 【解答】解：▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD＝3， ∴∠ABF＝∠CFB，∠EAB＝∠DEA， ∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC， ∴∠DAE＝∠BAE，∠CBF＝∠ABF， ∴∠AED＝∠DAE，∠CBF＝∠CFB， ∴AD＝DE，BC＝FC， ∴DE＝CF＝AD＝3， ∴CD＝DE+CF﹣EF＝3+3﹣1＝5， ∴AB＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13．不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和若干个蓝球，这些小球除颜色外其他均相同．每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在0.5，估计口袋中蓝球的个数为　5　 个． 【分析】利用频率估计概率，由概率列方程求解即可． 【解答】解：设口袋中蓝球的个数为n， 所以由大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在0.5，可得摸到蓝球的概率为0.5， ∴0.5， 解得n＝5， 经检验，n＝5是原方程的解， 因此n的值最可能是5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握概率公式． 14．比较大小： 　＜　 ． 【分析】先求出这两个数的倒数，然后把分母有理化，再比较大小，最后根据同分子两数比较，分母越小分数越大，进行比较即可． 【解答】解：， ， ∵7＞6＞5， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握几种常见的几种比较大小的方法． 15．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足ab﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC是 　等腰　 三角形． 【分析】根据已知等式因式分解，得出a＝b或b＝c，即可求解． 【解答】解：∵ab﹣b2＝ac﹣bc， ∴b（a﹣b）＝c（a﹣b）， 即（a﹣b）（b﹣c）＝0， ∴a＝b或b＝c， ∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：等腰． 【点评】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，掌握因式分解是关键． 16．关于x的分式方程有增根，则m的值是　　 ． 【分析】分式方程去分母化为整式方程，然后根据分式方程有增根（即分式方程的分母为0）求出x，再代入整式方程求解即可． 【解答】解：方程两边都乘2﹣3x得：2x﹣m＝2（2﹣3x）， ∵方程有增根， ∴2﹣3x＝0， ∴， 把代入上述整式方程得：； 故答案为：． 【点评】本题考查了分式方程的增根问题，掌握求解的方法是关键． 17．如图，两张等宽矩形纸片交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，若矩形纸片的宽为3，∠ABC＝60°，BD＝　6　 ． 【分析】根据菱形的判定得出四边形ABCD是菱形，进而利用菱形的性质解答即可． 【解答】解：∵两张等宽矩形纸片交叉叠放在一起， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵矩形的宽相等， 即平行四边形的两条高相等， ∴邻边相等， ∴▱ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， 过A作AE⊥BC于E，AE＝3， ∵∠ABC＝60°， ∴AB＝2BE， 在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2， 即， ∴AB＝2， 连接AC交BD于点O， ∵菱形ABCD， ∴∠ABD＝30°， ∴OA， ∴BO， ∴BD＝2OB＝6， 故答案为：6． 【点评】此题考查菱形的判定与性质，关键是根据菱形的判定得出四边形ABCD是菱形解答． 18．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 （8，10） ． 【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作BG⊥AH轴于点G，证明△ABG≌△DCF（AAS），可得AG＝DF，BG＝CF，再根据点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），即为可以解决问题． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作BG⊥AH轴于点G， 则四边形BEHG是矩形， ∴GH＝BE，∠EBG＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠ABC＝90°， ∴∠ABG＝∠EBC， ∵∠EBC+∠ECB＝∠ECB+∠DCF＝90°， ∴∠EBC＝∠DCF， ∴∠ABG＝∠DCF， 在△ABG和△DCF中， ， ∴△ABG≌△DCF（AAS）， ∴AG＝DF，BG＝CF， ∵点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4）， ∴BE＝6，OC＝2，OF＝10，DF＝4， ∴AG＝DF＝4， ∴AH＝AG+GH＝AG+BE＝4+6＝10， ∴BG＝CF＝OC+OF＝12， ∴OH＝12﹣4＝8， 则点A的坐标是（8，10）． 方法2：C点到D点向右平移12个单位长度，向上平移4个单位长度， ∴B点到A点向右平移12个单位长度，向上平移4个单位长度， ∴A（8，10）； 故答案为：（8，10）． 【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确作出辅助线得到△ABG≌△DCF． 三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答； （2）按照从左到右的顺序进行计算，即可解答． 【解答】解：（1） 2 2﹣222 4； （2） 3 •ab ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20．（8分）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）方程两边同时乘x﹣2，将分式方程化为整式方程求解即可； （2）先变形，再方程两边同时乘2x﹣3，将分式方程化为整式方程求解即可． 【解答】解：（1） 方程两边同时乘x﹣2，得1＝x﹣1， 解得x＝2， 检验：，当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2不是分式方程的解， 所以原分式方程无解； （2） 方程可化为， 方程两边同时乘2x﹣3，得x﹣5＝4（2x﹣3）， 解得x＝1， 检验：当x＝1时，2x﹣3≠0， 所以原分式方程的解是x＝1． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 21．（6分）先化简，再求代数式的值，其中． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解： • ， 当4﹣1＝3时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 22．（8分）端午节到了，某商场出售A，B两种粽子礼盒，其中B种礼盒单价是A种礼盒的1.5倍，已知用2000元购买A种礼盒的数量，比用2400元购买B种礼盒的数量多5盒，求A，B两种粽子礼盒的单价分别是多少元？ 【分析】设A种粽子礼盒的单价是x元，则B种粽子礼盒的单价是1.5x元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； 【解答】解：设A种粽子礼盒的单价是x元，则B种粽子礼盒的单价是1.5x元，由题意得： ， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝120． 答：A种粽子礼盒的单价是80元，则B种粽子礼盒的单价是120元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程． 23．（8分）数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣．某校同学们对“概率发展的历史背景”的了解程度在九年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图．根据统计图的信息，解答下列问题： （1）求条形统计图中m的值； （2）若该校九年级共有学生1500名，估计该校约有多少名学生不了解“概率发展的历史背景”； （3）计算在图2中“很了解”部分圆心角α的度数； （4）调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两名去市里参加“初中数学知识的历史背景”知识竞赛，用画树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率． 【分析】（1）用了解很少的人数除以其人数占比求出参与调查的学生人数，再求出m的值即可； （2）用1500乘以样本中不了解的人数占比即可得到答案； （3）用360度乘以样本中很了解的人数占比即可得到答案； （4）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好抽中一名男生和一名女生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【解答】解：（1）（名）， ∴参与调查的学生人数为60名， ∴m＝60﹣12﹣24﹣6＝18（名）； （2）由题意得，该校不了解“概率发展的历史背景”的学生数为（名）； （3）由题意得，“很了解”部分圆心角； （4）根据题意画树状图为： 根据树状图可知共有6种等可能的结果，其中恰好抽中一名男生和一名女生的可能共有4种， ∴恰好抽中一名男生和一名女生的概率为P（一男一女）． 【点评】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图是解题的关键． 24．（8分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠DAC，交CD于点E，CF平分∠ACB，交AB于点F． （1）求证：△ADE≌△CBF． （2）若AD＝AC，求证：四边形AFCE是矩形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC．AD∥BC，∠B＝∠D，根据平行线的性质得到∠DAC＝∠ACB，根据角平分线的定义得到∠DAE＝∠BCF，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到AE＝CF，DE＝BF，推出四边形AFCE是平行四边形，根据角平分线的定义得到∠DAE＝∠CAE，根据全等三角形的性质得到∠AED＝∠AEC，根据矩形的判定定理得到结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC．AD∥BC，∠B＝∠D， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵AE平分∠DAC，CF平分∠ACB， ∴∠DAE∠DAC，∠BCF∠ACB， ∴∠DAE＝∠BCF， 在△ADE与△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（ASA）． （2）∵△ADE≌△CBF， ∴AE＝CF，DE＝BF， ∵AB＝CD， ∴AF＝CE， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AE平分∠DAC，AD＝AC， ∴AE⊥CD， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形AFCE是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 25．（8分）如图，已知∠AOB，点C在射线OA上，点D在射线OB上，其中OC＝OD． （1）尺规作图：用直尺和圆规作出菱形CODN． （2）作出（1）中菱形CODN后，若，∠AOB＝60°，求ON的长． 【分析】（1）结合菱形的判定，以点C为圆心，OD的长为半径画弧，再以点D为圆心，OC的长为半径画弧，两弧交于点N，连接CN，DN即可． （2）连接CD，ON，相交于M，根据菱形的性质可得OC＝OD，CD⊥ON，OM＝MN，CM＝DM，进而可得△COD为等边三角形，则CD，DMCD．在Rt△DOM中，利用勾股定理求出OM的长，进而可得ON的长． 【解答】解：（1）如图，以点C为圆心，OD的长为半径画弧，再以点D为圆心，OC的长为半径画弧，两弧交于点N，连接CN，DN， 则四边形CODN即为所求． （2）连接CD，ON，相交于M， ∵四边形CODN为菱形， ∴OC＝OD，CD⊥ON，OM＝MN，CM＝DM， ∵∠AOB＝60°， ∴△COD为等边三角形， ∴CD， ∴DMCD． 在Rt△DOM中，由勾股定理得，OM3， ∴ON＝2OM＝6． 【点评】本题考查作图—复杂作图、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 26．（10分）问题背景：如图1，在正方形ABCD中，边长为3．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN，CM与DN相交于点O． （1）探索发现：如图1，探索线段DN与CM的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）探索发现：如图2，若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长； （3）拓展提高：如图3，延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，请直接写出线段PM的长． 【分析】（1）证△BCM≌△CDN，得出CM＝DN，∠BCM＝∠CDN，再证∠CDN+∠MCD＝90°即可； （2）连CE并延长交AD于G，求出GM长，再根据中位线的性质求出EF即可； （3）过点B作BH⊥CM于点H，根据勾股定理求出，，再根据PC＝PH+CH即可求解． 【解答】解：（1）线段CM和DN的关系为：CM＝DN，且DN⊥CM， 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠DCN＝90°，BC＝CD， ∴在△BCM和△CDN中， ， ∴△BCM≌△CDN（SAS）， ∴∠BCM＝∠CDN，CM＝DN， ∵∠BCM+∠MCD＝90°， ∴∠CDN+∠MCD＝90°， ∴∠COD＝90°， ∴DN⊥CM， ∴CM＝DN，且DN⊥CM； （2）连接CE并延长交AD于G，连接GM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC∥AD，AD＝AB，∠A＝90°， ∴∠ENC＝∠EDG， ∴在△CNE和△GDE中， ， ∴△CNE≌△GDE（ASA）， ∴GD＝CN＝1，CE＝EG， 又∵MF＝CF， ∴， ∵BM＝DG＝1，正方形的边长为3， ∴AM＝AG＝2， 在Rt△AGM中，由勾股定理得：AM2+AG2＝GM2， ∴22+22＝GM2， ∴， ∴； （3）如图，过点B作BH⊥CM于点H， ∵CM2＝BC2+BM2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵∠BPC＝45°， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是构造三角形CGM从而使用中位线定理、作BH⊥CM构造直角三角形PHB． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C C A A D C 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 9．a+1 10．﹣4 11． 12．5 13．5 14．＜ 15．等腰 16． 17．6 18．（8，10） 三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） 解：（1） 2 2﹣222 4；···········································································4分 （2） 3 •ab ．···········································································8分 20．（8分） 解：（1） 方程两边同时乘x﹣2，得1＝x﹣1， 解得x＝2，···········································································3分 检验：，当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2不是分式方程的解， 所以原分式方程无解；·································································4分 （2） 方程可化为， 方程两边同时乘2x﹣3，得x﹣5＝4（2x﹣3）， 解得x＝1，·············································································7分 检验：当x＝1时，2x﹣3≠0， 所以原分式方程的解是x＝1．····························································8分 21．（6分） 解： • ，···············································································4分 当4﹣1＝3时，原式．···········································6分 22．（8分） 解：设A种粽子礼盒的单价是x元，则B种粽子礼盒的单价是1.5x元，由题意得： ， 解得：x＝80，··········································································6分 经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝120． 答：A种粽子礼盒的单价是80元，则B种粽子礼盒的单价是120元．·························8分 23．（8分） 解：（1）（名）， ∴参与调查的学生人数为60名， ∴m＝60﹣12﹣24﹣6＝18（名）；··························································1分 （2）由题意得，该校不了解“概率发展的历史背景”的学生数为（名）；········2分 （3）由题意得，“很了解”部分圆心角；·······························4分 （4）根据题意画树状图为： 根据树状图可知共有6种等可能的结果，其中恰好抽中一名男生和一名女生的可能共有4种， ∴恰好抽中一名男生和一名女生的概率为P（一男一女）．···························8分 24．（8分） 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC．AD∥BC，∠B＝∠D， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵AE平分∠DAC，CF平分∠ACB， ∴∠DAE∠DAC，∠BCF∠ACB， ∴∠DAE＝∠BCF， 在△ADE与△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（ASA）．····························································4分 （2）∵△ADE≌△CBF， ∴AE＝CF，DE＝BF， ∵AB＝CD， ∴AF＝CE， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AE平分∠DAC，AD＝AC， ∴AE⊥CD， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形AFCE是矩形．································································8分 25．（8分） 解：（1）如图，以点C为圆心，OD的长为半径画弧，再以点D为圆心，OC的长为半径画弧，两弧交于点N，连接CN，DN， 则四边形CODN即为所求． ································································4分 （2）连接CD，ON，相交于M， ∵四边形CODN为菱形， ∴OC＝OD，CD⊥ON，OM＝MN，CM＝DM， ∵∠AOB＝60°， ∴△COD为等边三角形， ∴CD， ∴DMCD． 在Rt△DOM中，由勾股定理得，OM3， ∴ON＝2OM＝6．·····································································8分 26．（10分） 解：（1）线段CM和DN的关系为：CM＝DN，且DN⊥CM， 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠DCN＝90°，BC＝CD， ∴在△BCM和△CDN中， ， ∴△BCM≌△CDN（SAS）， ∴∠BCM＝∠CDN，CM＝DN， ∵∠BCM+∠MCD＝90°， ∴∠CDN+∠MCD＝90°， ∴∠COD＝90°， ∴DN⊥CM， ∴CM＝DN，且DN⊥CM；······························································3分 （2）连接CE并延长交AD于G，连接GM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC∥AD，AD＝AB，∠A＝90°， ∴∠ENC＝∠EDG， ∴在△CNE和△GDE中， ， ∴△CNE≌△GDE（ASA）， ∴GD＝CN＝1，CE＝EG， 又∵MF＝CF， ∴， ∵BM＝DG＝1，正方形的边长为3， ∴AM＝AG＝2， 在Rt△AGM中，由勾股定理得：AM2+AG2＝GM2， ∴22+22＝GM2， ∴， ∴；···································································6分 （3）如图，过点B作BH⊥CM于点H， ∵CM2＝BC2+BM2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵∠BPC＝45°， ∴， ∴， ∴．··················································10分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A．a（x+y）＝ax+ay B．x2+2xy+y2＝（x+y）2 C．（x+2）（x+3）＝x2+5x+6 D．y2﹣2y+3＝y（y﹣2）+3 2．下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．若分式的值为零，则x的值为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝±1 C．x＝1 D．x≠﹣1 4．从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（　　） A．成语“刻舟求剑”是随机事件 B．诗句“手可摘星辰”是必然事件 C．成语“水中捞月”是不可能事件 D．谚语“竹篮打水一场空”是随机事件 5．若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 6．分式与的最简公分母是（　　） A．6x3 B．5x5 C．6x5 D．6x6 7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列说法错误的是（　　） A．四边形ABCD是平行四边形 B．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形 C．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形 D．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D．2 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 9．化简：　 　 ． 10．如果，那么代数式x2﹣8x+5的值为　 　 ． 11．已知，则xy＝　 　 ． 12．如图，在▱ABCD中，AD＝3，AE平分∠DAB交CD于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，已知EF＝1，则AB长为　 　 ． 13．不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和若干个蓝球，这些小球除颜色外其他均相同．每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在0.5，估计口袋中蓝球的个数为　 　 个． 14．比较大小： 　 　 ． 15．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足ab﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC是 　 　 三角形． 16．关于x的分式方程有增根，则m的值是　 　 ． 17．如图，两张等宽矩形纸片交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，若矩形纸片的宽为3，∠ABC＝60°，BD＝　 　 ． 18．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算： （1）； （2）． 20．（8分）解方程： （1）； （2）． 21．（6分）先化简，再求代数式的值，其中． 22．（8分）端午节到了，某商场出售A，B两种粽子礼盒，其中B种礼盒单价是A种礼盒的1.5倍，已知用2000元购买A种礼盒的数量，比用2400元购买B种礼盒的数量多5盒，求A，B两种粽子礼盒的单价分别是多少元？ 23．（8分）数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣．某校同学们对“概率发展的历史背景”的了解程度在九年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图．根据统计图的信息，解答下列问题： （1）求条形统计图中m的值； （2）若该校九年级共有学生1500名，估计该校约有多少名学生不了解“概率发展的历史背景”； （3）计算在图2中“很了解”部分圆心角α的度数； （4）调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两名去市里参加“初中数学知识的历史背景”知识竞赛，用画树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率． 24．（8分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠DAC，交CD于点E，CF平分∠ACB，交AB于点F． （1）求证：△ADE≌△CBF． （2）若AD＝AC，求证：四边形AFCE是矩形． 25．（8分）如图，已知∠AOB，点C在射线OA上，点D在射线OB上，其中OC＝OD． （1）尺规作图：用直尺和圆规作出菱形CODN． （2）作出（1）中菱形CODN后，若，∠AOB＝60°，求ON的长． 26．（10分）问题背景：如图1，在正方形ABCD中，边长为3．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN，CM与DN相交于点O． （1）探索发现：如图1，探索线段DN与CM的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）探索发现：如图2，若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长； （3）拓展提高：如图3，延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，请直接写出线段PM的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A．a（x+y）＝ax+ay B．x2+2xy+y2＝（x+y）2 C．（x+2）（x+3）＝x2+5x+6 D．y2﹣2y+3＝y（y﹣2）+3 2．下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．若分式的值为零，则x的值为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝±1 C．x＝1 D．x≠﹣1 4．从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（　　） A．成语“刻舟求剑”是随机事件 B．诗句“手可摘星辰”是必然事件 C．成语“水中捞月”是不可能事件 D．谚语“竹篮打水一场空”是随机事件 5．若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　） A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除 6．分式与的最简公分母是（　　） A．6x3 B．5x5 C．6x5 D．6x6 7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列说法错误的是（　　） A．四边形ABCD是平行四边形 B．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形 C．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形 D．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D．2 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 9．化简：　 　 ． 10．如果，那么代数式x2﹣8x+5的值为　 　 ． 11．已知，则xy＝　 　 ． 12．如图，在▱ABCD中，AD＝3，AE平分∠DAB交CD于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，已知EF＝1，则AB长为　 　 ． 13．不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和若干个蓝球，这些小球除颜色外其他均相同．每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在0.5，估计口袋中蓝球的个数为 　 个． 14．比较大小： 　 　 ． 15．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足ab﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC是 　 　 三角形． 16．关于x的分式方程有增根，则m的值是　 　 ． 17．如图，两张等宽矩形纸片交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，若矩形纸片的宽为3，∠ABC＝60°，BD＝　 　 ． 18．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算： （1）； （2）． 20．（8分）解方程： （1）； （2）． 21．（6分）先化简，再求代数式的值，其中． 22．（8分）端午节到了，某商场出售A，B两种粽子礼盒，其中B种礼盒单价是A种礼盒的1.5倍，已知用2000元购买A种礼盒的数量，比用2400元购买B种礼盒的数量多5盒，求A，B两种粽子礼盒的单价分别是多少元？ 23．（8分）数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣．某校同学们对“概率发展的历史背景”的了解程度在九年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图．根据统计图的信息，解答下列问题： （1）求条形统计图中m的值； （2）若该校九年级共有学生1500名，估计该校约有多少名学生不了解“概率发展的历史背景”； （3）计算在图2中“很了解”部分圆心角α的度数； （4）调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两名去市里参加“初中数学知识的历史背景”知识竞赛，用画树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率． 24．（8分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠DAC，交CD于点E，CF平分∠ACB，交AB于点F． （1）求证：△ADE≌△CBF． （2）若AD＝AC，求证：四边形AFCE是矩形． 25．（8分）如图，已知∠AOB，点C在射线OA上，点D在射线OB上，其中OC＝OD． （1）尺规作图：用直尺和圆规作出菱形CODN． （2）作出（1）中菱形CODN后，若，∠AOB＝60°，求ON的长． 26．（10分）问题背景：如图1，在正方形ABCD中，边长为3．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN，CM与DN相交于点O． （1）探索发现：如图1，探索线段DN与CM的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）探索发现：如图2，若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长； （3）拓展提高：如图3，延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，请直接写出线段PM的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $