微专题四 因式分解、分式、二次根式计算 专项练习 2025-2026学年苏科版八年级数学下册期末复习

**基本信息** 聚焦因式分解、分式、二次根式三大模块，以“基础方法—综合应用—实际求值”递进设计，通过典例与变式训练强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |因式分解|3题型（提公因式/公式/结合）|含符号转化（如y-z与z-y）、公式逆用|从单一方法到综合运用，构建“提公因式→公式法→混合分解”逻辑链| |分式|5题型（加减/乘除/混合/解方程/化简求值）|涉及通分约分、整体代入|按运算复杂度递进，衔接因式分解基础，强化代数变形能力| |二次根式|3题型（乘除/加减/混合）|含化简、同类根式合并|从基本运算到混合应用，培养符号意识与运算准确性|

期末复习·重点难点题型·2025一2026学年苏科版八年级下册 微专题四 因式分解、分式、二次根式 计算专项练习 题型一：因式分解之提公因式法 【典例精讲】(2026春·兴庆区校级期中)分解因式： （1)24x3y-12y2; (2)2a(y-z)-3b(z-y). 【变式训练1】(2026春·宿豫区期中)分解因式： (1)5a(x-y)-15b(y-x); (2)x(x+2y-1)-2xy+2x. 【变式训练2】(2026春·龙华区期中)因式分解： (1)3m+3; (2)10ab+5ac. 【变式训练3】(2026春·同步)把下列各式因式分解： (1)2x(b-c)-4y(b-c). (2)m(a-3)+2(3-a)· 题型二：因式分解之公式法 第1页共17页 期末复习·重点难点题型·2025一2026学年苏科版八年级下册 【典例精讲】(2026春·济阳区期中)将下列各式因式分解： (1)x2-4x+4: (2)9(m+n)2-(m-n)2. 【变式训练1】(2026春·同步)把下列各式因式分解： （1)9m2-4n2; (2)-16+a2b2 【变式训练2】(2026春·上海校级月考)将下列多项式进行因式分解. (1)x2-9y2; (2)x2-x4; (3)-号m242n2. 【变式训练3】(2025秋·天等县月考)因式分解： (1)4m2-n2-1+2n; (2)(a2+b2-c2)2-4a2b2. 题型三：提公因式法与公式法结合 【典例精讲1】(2025秋·张北县期末)将下列各式分解因式： ①x2(x-1)-16(x-1); 第2页共17页 期末复习·重点难点题型·2025一2026学年苏科版八年级下册 ②(m-n)2-6(n-m)+9. 【典例精讲1】(2026春·灞桥区校级月考)分解因式： (1)3a2-6ab+3b2; (2)x2(3x-2)+(2-3x)· 【变式训练1】(2026春·雁塔区校级月考)分解因式： (1)3x2y-6y+3y; (2)x2(m-n)+9(n-m). 【变式训练2】(2026春·东台市期中)将下列各式分解因式. (1)a-2a2+a3: (2)9x2(a-b)+4y2(b-a). 【变式训练3】(2026春·宿城区校级期中)分解因式： （1)3x2-27: (2)(x2+y2)2-4x3y2. 第3页共17页 期末复习·重点难点题型·2025一2026学年苏科版八年级下册 【变式训练4】(2026春·禅城区校级期中)因式分解： (1)4x2-8x+4: (2)a2(a-b)+25(b-a). 【变式训练5】(2026春·雁塔区校级月考)因式分解： (1)3a(a+b)-(a+b)(2a-3b); (2)a4-2a2b2+b4. 题型四：先因式分解，然后求值 【典例精讲1】(2026春·婺城区校级期中)已知x一y=立，y=青，求下列代数式的值： (1)x3y-y2: (2)x2+y2. 【典例精讲2】(2026春·亭湖区期中)先分解因式，再计算求值，已知a-b=3,ab=4, 求a3b-2a2b2+ab3的值. 【变式训练1】(2026春·新华区校级月考)己知x+y=4,y=2,求x3y+2xy2+xy3的值. 第4页共17页 期末复习·重点难点题型·2025一2026学年苏科版八年级下册 【变式训练2】(2026春·城关区校级期中)先因式分解，然后计算求值. 已知a-b=专，ab=8,求-2a2b2+ab3+a3b的值. 【变式训练3】(2026·东莞市模拟)按要求完成： (1)将3x2+12y+12y2因式分解； (2)当x=5,y=-时，求3x2412+12y2的值. 【变式训练4】(2026春·徐州期中)己知a-b=3,a+c=5,求代数式ac-bc+a2-ab的 值。 题型五：分时加减法 【典例精讲1】(2026春·梁溪区校级期中)计算： 1)#- (2)之十帝 第5页共17页 期末复习·重点难点题型·2025一2026学年苏科版八年级下册 【典例精讲2】(2026春·同步)计算： 品。-品 a2 b2 (2)(ab(b-a (3)器- (4)a-b+器 【变式训练1】(2026春·同步)计算下列各题. )启-路-动 2)器十- 23 2a+4 a+2 (3)(3-x-2)+x 【变式训练2】(2026春·扬州期中)计算： (1)+: (2)- 第6页共17页 期末复习·重点难点题型·2025一2026学年苏科版八年级下册 5x 6 4 【变式训练3】(2026春·南京校级月考)计算：x4x-6十2x2十44x+· 【变式训练4】(2026春·同步)计算： (1)+: (2)号-： (3)对1十： (4)1-x-1. 题型六：分式乘除法 【典例精讲】(2026春•钟楼区校级月考)化简： 1w(-)°()2÷(-)： (2)1-是)÷ 【变式训练1】(2026春·福田区校级期中)(1)（架）÷曾； 第7页共17页 期末复习·重点难点题型·2025一2026学年苏科版八年级下册 2)是-： (3)1-品)÷ 【变式训练2】(2026春·江北区校级期中)化简. 条÷(-) (2) 驶÷(1-是) 【变式训练3】(2026春喻树市期中)(1)计第：号÷景.（安）2， (2)÷, (3)(器)3+3后)2 【变式训练4】(2026·江阳区校级二模)化简：4÷(1十寻) 第8页共17页 期末复习·重点难点题型·2025一2026学年苏科版八年级下册 题型七：分式混合运算 【典例精讲1】(2026春·重庆期中)计算： 等(÷器， (2)(是-x+1)÷ +1 【奥例精讲2】(2026·潘桥K校级四核)化简：26÷（点一产）】 【变式训练1】(2026春·济南校级月考)计算： 1)兰十产x (2)(龈-)÷ 【变式训练2】(2026-江宁区校级模拟)计算：4÷（兰-x-2引 第9页共17页 期末复习·重点难点题型·2025一2026学年苏科版八年级下册 【变式训练3】(2026·泰和县校级一模)化简：(x+2-)÷ -2 【变式训练4】(2026·宝鸡一模)化简： (路-)÷寺， 【变式训练5】(2026·永川区校级模拟)化简：(2-x-)÷4+号 【变式训练6】(2026·南岸区校级开学)化简： )÷品十： 2)高-尝÷(x-2-点) 题型八：解分式方程 【典例精讲】(2026·榆树市模拟)解方程： 第10页共17页 期末复习·重点难点题型·2025一2026学年苏科版八年级下册 1)黄=寻： (2)=十2. 【变式训练1】(2026春·兴化市期中)解下列方程： 1)=, (2)-告=1. 【变式训练2】(2026春·钟楼区校级月考)解下列方程： (1)立1=2中： 8 (2)--可=1 【变式训练3】(2026春·市中区校级期中)解方程： 第11页共17页 期末复习·重点难点题型·2025一2026学年苏科版八年级下册 (1)表=， (2)+2= 【变式训练4】(2026春·历城区期中)解分式方程： )=舜： 2 (2)x-=景。 题型九：先化简后求值 【典例精讲1】(2026·溪桥区校级核拟)先化简：杀÷(1一品） 再从-1,2， 3中选择一个合适的数作为x的值代入求值. 【典例精讲2】(2026春·盐城月考)先化简代数式(-壁)÷4，再从0、反、 2、4这四个数中选一个恰当的数代入求值. 【变式训练1】(2026：鼓楼区校级模拟)先化简，再求值：（1-)÷器尝，其中 x=2+V5. 第12页共17页 期末复习·重点难点题型·2025一2026学年苏科版八年级下册 【变式训练2】(2026南山区三模)先化简，再求值：(-是2)÷品，其中a=4. 【变式训练3】(2026·琅琊区二模)先化简，再求值： 2-品)÷，其中 m=2+1. 【变式训练4水2026盐都区三模)先化简，再求值：（己2+8）÷二是，其中x满足x2-x-2 =0. 题型十：二次根式乘除法 【典例精讲1】(2026春·同步)计算： (1)5×V27 (2)V×V45 第13页共17页 期末复习·重点难点题型·2025一2026学年苏科版八年级下册 (3)V18aV2a(a≥0) (4)25×V得 【变式训练1】(2025春·岳西县月考)计算： (w4÷后x厚： (2)V27×V50÷2W6 【变式训练2】(2025秋·徐汇区校级月考)计算： DV÷Vb×(a<0,b<0 (2)3aV12ab(-6b, 【变式训练3】(2025春·东台市月考)计算： (1)2×V18: (2)V4写÷2， (3)25x华÷27. 第14页共17页 期末复习·重点难点题型·2025一2026学年苏科版八年级下册 题型十一：二次根式加减法 【典例精讲】(2026春·西和县月考)计算：V36+V27-√厉+25 【变式训练1】(25-26八年级下·吉林期中)计算：3V停-V27+6V易 【变式训练2】(25-26八年级下江苏泰州阶段检测)计算： 18-23-(V-75: 22本+醉2+2雨 【变式训练3】(25-26八年级下.陕西安康阶段检测)计算： (12W28+V7-V63. 第15页共17页 期末复习·重点难点题型·2025一2026学年苏科版八年级下册 2W12+V27+V48-9V得 【变式训练4】(25-26八年级下.安微合肥期中)计算： (1W75-54+96-108: 2W2×V5+(-π-1)°-|-V24 题型十二：二次根式混合运算 【典例精讲】(2026春·北京校级期中)计算： (1)-3)2+V27-2W12: (2)V悟×V48÷V6: 3(柜-°+6+6- 【变式训练1】(2026春·临清市期中)计算： 1w18-3厚： (2)27÷5-×V18: 第16页共17页 期末复习·重点难点题型·2025一2026学年苏科版八年级下册 3)（5+25-2+(5-月 【变式训练1】(2026春·北京校级期中)计算： (1)25-27+V: (2)V24+V32-(W6+v同： 3（5-2ox9. (4(N5+75-7)+2÷3 【变式训练2】(2026春·和平区校级期中)计算下列各题： (1)(N48+V54÷5: (2V得×5+25， c3)(5+v2°-2+52- 第17页共17页期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 微专题四 因式分解、分式、二次根式 计算专项练习 题型一：因式分解之提公因式法 【典例精讲】（2026春•兴庆区校级期中）分解因式： （1）24x2y﹣12xy2； （2）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）． 【分析】（1）提取公因式即可； （2）利用提取公因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝12xy（2x﹣y）； （2）原式＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z） ＝（y﹣z）（2a+3b）． 【变式训练1】（2026春•宿豫区期中）分解因式： （1）5a（x﹣y）﹣15b（y﹣x）； （2）x（x+2y﹣1）﹣2xy+2x． 【分析】（1）先变形，再提公因式5（x﹣y）即可； （2）先确定提公因式x，再提取计算即可． 【解答】解：（1）5a（x﹣y）﹣15b（y﹣x） ＝5a（x﹣y）+15b（x﹣y） ＝5（x﹣y）（a+3b）； （2）x（x+2y﹣1）﹣2xy+2x ＝x（x+2y﹣1﹣2y+2） ＝x（x+1）． 【变式训练2】（2026春•龙华区期中）因式分解： （1）3m+3； （2）10ab+5ac． 【分析】（1）先确定公因式3，再提取即可； （2）先确定公因式5a，再提取即可． 【解答】解：（1）3m+3＝3（m+1）； （2）10ab+5ac＝5a（2b+c）． 【变式训练3】（2026春•同步）把下列各式因式分解： （1）2x（b﹣c）﹣4y（b﹣c）． （2）m（a﹣3）+2（3﹣a）． 【分析】（1）先确定公因式2（b﹣c），再提取即可； （2）先变形，再提取公因式即可． 【解答】解：（1）2x（b﹣c）﹣4y（b﹣c）＝2（b﹣c）（x﹣2y）； （2）m（a﹣3）+2（3﹣a） ＝m（a﹣3）﹣2（a﹣3） ＝（a﹣3）（m﹣2）． 题型二：因式分解之公式法 【典例精讲】（2026春•济阳区期中）将下列各式因式分解： （1）x2﹣4x+4； （2）9（m+n）2﹣（m﹣n）2． 【分析】（1）利用完全平方公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再提公因式即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x+4＝（x﹣2）2； （2）9（m+n）2﹣（m﹣n）2 ＝[3（m+n）+（m﹣n）][3（m+n）﹣（m﹣n）] ＝（4m+2n）（2m+4n） ＝4（2m+n）（m+2n）． 【变式训练1】（2026春•同步）把下列各式因式分解： （1）9m2﹣4n2； （2）﹣16+a2b2． 【分析】（1）根据平方差公式可得答案； （2）根据平方差公式可得答案． 【解答】解：（1）原式＝（3m+2n）（3m﹣2n）； （2）原式＝（ab+4）（ab﹣4）． 【变式训练2】（2026春•上海校级月考）将下列多项式进行因式分解． （1）x2﹣9y2； （2）x2﹣x4； （3）m2+2n2． 【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可； （2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可； （3）提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝（x+3y）（x﹣3y）； （2）原式＝x2（1﹣x2） ＝x2（1+x）（1﹣x）； （3）原式（m2﹣4n2） （m+2n）（m﹣2n）． 【变式训练3】（2025秋•天等县月考）因式分解： （1）4m2﹣n2﹣1+2n； （2）（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2． 【分析】（1）先利用完全平方公式对后三项进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝4m2﹣（n2﹣2n+1） ＝（2m）2﹣（n﹣1）2 ＝（2m+n﹣1）（2m﹣n+1）； （2）原式＝（a2+b2﹣c2）2﹣（2ab）2 ＝（a2+b2﹣c2+2ab）（a2+b2﹣c2﹣2ab） ＝[（a+b）2﹣c2][（a﹣b）2﹣c2] ＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）． 题型三：提公因式法与公式法结合 【典例精讲1】（2025秋•张北县期末）将下列各式分解因式： ①x2（x﹣1）﹣16（x﹣1）； ②（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9． 【分析】①先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； ②先进行变形，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：①x2（x﹣1）﹣16（x﹣1） ＝（x﹣1）（x2﹣16） ＝（x﹣1）（x+4）（x﹣4）； ②（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9 ＝（m﹣n）2+6（m﹣n）+9 ＝（m﹣n+3）2． 【典例精讲1】（2026春•灞桥区校级月考）分解因式： （1）3a2﹣6ab+3b2； （2）x2（3x﹣2）+（2﹣3x）． 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先将式子变形，然后提取公因式，最后利用平方差公式继续分解． 【解答】解：（1）3a2﹣6ab+3b2 ＝3（a2﹣2ab+b2） ＝3（a﹣b）2； （2）3a2﹣6ab+3b2 ＝x2（3x﹣2）﹣（3x﹣2） ＝（x2﹣1）（3x﹣2） ＝（3x﹣2）（x+1）（x﹣1）． 【变式训练1】（2026春•雁塔区校级月考）分解因式： （1）3x2y﹣6xy+3y； （2）x2（m﹣n）+9（n﹣m）． 【分析】（1）利用公式法因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方查公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝3y（x2﹣2x+1）＝3y（x﹣1）2； （2）原式＝x2（m﹣n）﹣9（m﹣n） ＝（m﹣n）（x2﹣9） ＝（m﹣n）（x+3）（x﹣3）． 【变式训练2】（2026春•东台市期中）将下列各式分解因式． （1）a﹣2a2+a3； （2）9x2（a﹣b）+4y2（b﹣a）． 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（1）a﹣2a2+a3 ＝a（1﹣2a+a2） ＝a（1﹣a）2； （2）9x2（a﹣b）+4y2（b﹣a） ＝9x2（a﹣b）﹣4y2（a﹣b） ＝（a﹣b）（9x2﹣4y2） ＝（a﹣b）（3x+2y）（3x﹣2y）． 【变式训练3】（2026春•宿城区校级期中）分解因式： （1）3x2﹣27； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【解答】解：（1）3x2﹣27 ＝3（x2﹣9） ＝3（x+3）（x﹣3）； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2． ＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy） ＝（x+y）2（x﹣y）2． 【变式训练4】（2026春•禅城区校级期中）因式分解： （1）4x2﹣8x+4； （2）a2（a﹣b）+25（b﹣a）． 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【解答】解：（1）4x2﹣8x+4 ＝4（x2﹣2x+1） ＝4（x﹣1）2； （2）a2（a﹣b）+25（b﹣a） ＝（a﹣b）（a2﹣25） ＝（a﹣b）（a+5）（a﹣5）． 【变式训练5】（2026春•雁塔区校级月考）因式分解： （1）3a（a+b）﹣（a+b）（2a﹣3b）； （2）a4﹣2a2b2+b4． 【分析】（1）提取公因式法计算即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式求解即可． 【解答】解：（1）原式＝（a+b）（3a﹣2a+3b）＝（a+b）（a+3b）； （2）原式＝（a2）2﹣2a2b2+（b2）2 ＝（a2﹣b2）2 ＝（a﹣b）2（a+b）2． 题型四：先因式分解，然后求值 【典例精讲1】（2026春•婺城区校级期中）已知，xy，求下列代数式的值： （1）x2y﹣xy2； （2）x2+y2． 【分析】（1）先运用提取公因式法进行因式分解，再将，整体代入求值即可； （2）先利用完全平方公式变形，再将，整体代入求值即可． 【解答】解：（1）先运用提取公因式法进行因式分解可得： ． （2）先利用完全平方公式变形可得： ． 【典例精讲2】（2026春•亭湖区期中）先分解因式，再计算求值．已知a﹣b＝3，ab＝4，求a3b﹣2a2b2+ab3的值． 【分析】对多项式提取公因式ab，得到ab（a2﹣2ab+b2）；利用完全平方公式，将括号内的式子转化为（a﹣b）2，即ab（a﹣b）2；代入已知条件a﹣b＝3，ab＝4，计算4×32＝36． 【解答】解：a3b﹣2a2b2+ab3的 ＝ab（a2﹣2ab+b2） ＝ab（a﹣b）2， 因为a﹣b＝3，ab＝4， 所以原式＝4×32＝36． 【变式训练1】（2026春•新华区校级月考）已知x+y＝4，xy＝2，求x3y+2x2y2+xy3的值． 【分析】先将所求式子因式分解，再将x+y＝4，xy＝2代入计算即可． 【解答】解：∵x+y＝4，xy＝2， ∴x3y+2x2y2+xy3 ＝xy（x2+2xy+y2） ＝xy（x+y）2 ＝2×42 ＝2×16 ＝32． 【变式训练2】（2026春•城关区校级期中）先因式分解，然后计算求值． 已知，ab＝8，求﹣2a2b2+ab3+a3b的值． 【分析】先对待求式提取公因式ab，再对括号内的式子利用完全平方公式进行因式分解，最后代入已知数值计算结果． 【解答】解：原式＝ab（a2+b2﹣2ab）＝ab（a﹣b）2． 将，ab＝8代入， 原式． 【变式训练3】（2026•东莞市模拟）按要求完成： （1）将3x2+12xy+12y2因式分解； （2）当时，求3x2+12xy+12y2的值． 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）3x2+12xy+12y2 ＝3（x2+4xy+4y2） ＝3（x+2y）2； （2）当时， 3x2+12xy+12y2 ＝3（x+2y）2 ＝3×[5+2×（）]2 ＝3×22 ＝3×4 ＝12． 【变式训练4】（2026春•徐州期中）已知a﹣b＝3，a+c＝5，求代数式ac﹣bc+a2﹣ab的值． 【分析】先把所要求值的代数式用分组分解法分解因式，再整体代入即可求解． 【解答】解：ac﹣bc+a2﹣ab ＝c（a﹣b）+a（a﹣b） ＝（a﹣b）（c+a）， ∵a﹣b＝3，a+c＝5， ∴ac﹣bc+a2﹣ab＝3×5＝15． 题型五：分时加减法 【典例精讲1】（2026春•梁溪区校级期中）计算： （1）． （2）． 【分析】（1）根据分式的基本性质进行计算即可； （2）根据分式的基本性质进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【典例精讲2】（2026春•同步）计算： （1） （2） （3） （4）a﹣b 【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案． （2）根据分式的运算法则即可求出答案． （3）根据分式的运算法则即可求出答案． （4）根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解；（1）原式； （2）原式； （3）原式， ． （4）原式， ， ． 【变式训练1】（2026春•同步）计算下列各题． （1）． （2）． （3）． 【分析】（1）根据分式的加减运算法则即可求出答案； （2）根据分式的加减运算法则即可求出答案； （3）根据分式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 2 ； （3）原式 ． 【变式训练2】（2026春•扬州期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据分式的加减法则运算即可； （2）根据分式的加减法则运算即可． 【解答】解：（1）； （2）原式 ． 【变式训练3】（2026春•南京校级月考）计算：． 【分析】先通分，再利用分式的加法运算法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 【变式训练4】（2026春•同步）计算： （1）； （2）； （3）； （4）x﹣1． 【分析】利用同分母分式的加减计算法则和异分母分式的加减计算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 题型六：分式乘除法 【典例精讲】（2026春•钟楼区校级月考）化简： （1）； （2）． 【分析】（1）先进行分式的乘法运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【解答】解：（1）原式 •• ； （2）原式 ． 【变式训练1】（2026春•福田区校级期中）（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）先算乘方，再算除法即可； （2）先通分，再把分子相减即可； （3）先算括号里面的，再算除法即可． 【解答】解：（1） • ； （2） ； （3） • • ． 【变式训练2】（2026春•江北区校级期中）化简． （1）； （2）． 【分析】（1）把除法化成乘法，然后约分即可； （2）先把括号内的1写成分母是x+1的分式，分子和分母分解因式，再把除法化成乘法，然后先计算括号内的，再进行约分即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式训练3】（2026春•榆树市期中）（1）计算：•（）2； （2）•； （3）（）3•（）2． 【分析】（1）先算乘方，再把除法化成乘法，然后约分即可； （2）先把分母分解因式，再把除法化成乘法，然后约分即可； （3）先根据分式的乘方法则计算乘方，再把除法化成乘法，然后约分即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝2； （3）原式 ． 【变式训练4】（2026•江阳区校级二模）化简：． 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，然后把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【解答】解：原式 • ． 题型七：分式混合运算 【典例精讲1】（2026春•重庆期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算乘方：，将除法转化为乘法：除以等于乘以，分子分母分别相乘：，约分后得到结果：6； （2）括号内通分：将﹣x+1转化为﹣（x﹣1），通分后为，化简分子：3﹣x2+1＝4﹣x2，因式分解为（2﹣x）（2+x），除法转化为乘法：除以等于乘以，约分后得到结果：． 【解答】解：（1） ＝6； （2） ． 【典例精讲2】（2026•灞桥区校级四模）化简：． 【分析】先计算括号内的减法，再计算除法即可． 【解答】解：原式 • （m+4） m﹣1． 【变式训练1】（2026春•济南校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据分式的加减运算法则化简即可； （2）根据分式的混合运算法则化简即可． 【解答】解：（1）原式 ＝x； （2）原式 ． 【变式训练2】（2026•江宁区校级模拟）计算：． 【分析】先对括号内的式子进行通分计算，再对分子分母进行因式分解，最后将除法转化为乘法进行约分． 【解答】解： ． 【变式训练3】（2026•泰和县校级一模）化简：． 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可得出结果． 【解答】解：原式 ． 【变式训练4】（2026•宝鸡一模）化简：． 【分析】先进行括号内分式的减法计算，再将除法化为乘法计算，直至化为最简分式即可． 【解答】解：原式 ． 【变式训练5】（2026•永川区校级模拟）化简：． 【分析】根据分式的性质，先化简括号内的，再进行除法，最后进行加法． 【解答】解：原式 ＝﹣2． 【变式训练6】（2026•南岸区校级开学）化简： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算除法，再计算加法即可； （2）先计算括号内的，再计算除法，然后计算减法即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 题型八：解分式方程 【典例精讲】（2026•榆树市模拟）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：（1）原方程去分母得：4（x﹣1）＝3x， 整理得：4x﹣4＝3x， 解得：x＝4， 检验：当x＝4时，x（x﹣1）≠0， 故原方程的解为x＝4； （2）原方程去分母得：2x（x﹣3）＝7（x﹣2）+2（x﹣2）（x﹣3）， 整理得：2x2﹣6x＝7x﹣14+2x2﹣10x+12， 解得：x， 检验：当x时，（x﹣2）（x﹣3）≠0， 故原方程的解为x． 【变式训练1】（2026春•兴化市期中）解下列方程： （1）； （2）． 【分析】（1）分式方程两边乘以x（x+2）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程两边乘以（x+1）（x﹣1）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）去分母得：5x＝x+2， 解得：x， 经检验x是分式方程的解； （2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1， 去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1， 移项合并得：2x＝2， 解得：x＝1， 经检验x＝1是增根，原分式方程无解． 【变式训练2】（2026春•钟楼区校级月考）解下列方程： （1）； （2）． 【分析】（1）首先把方程两边同乘（x+1）（2x+1），化为一元一次方程，可得：3（x+1）＝2x+1，解一元一次方程求出x的值，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根； （2）首先把方程两边同乘x（x﹣2），化为整式方程，可得：x2﹣8＝x（x﹣2），解整式方程求出x的值，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根． 【解答】解：（1）原方程两边同乘（x+1）（2x+1），可得：2x+1＝3（x+1）， 去括号可得：2x+1＝3x+3， 移项得：2x﹣3x＝3﹣1， 合并同类项得：﹣x＝2， 系数化为1得：x＝﹣2， 检验：把x＝﹣2代入（x+1）（2x+1）， 可得：（x+1）（2x+1）＝（﹣2+1）（﹣2×2+1）＝3≠0， ∴x＝﹣2是原分式方程的解； （2）原方程两边同乘x（x﹣2）可得：x2﹣8＝x（x﹣2）， 去括号得：x2﹣8＝x2﹣2x， 移项得：x2﹣x2+2x＝8， 合并同类项得：2x＝8， 系数化为1得：x＝4， 检验：把x＝4代入x（x﹣2）， 可得：x（x﹣2）＝4×（4﹣2）＝4×2＝8≠0， ∴x＝4是原分式方程的解． 【变式训练3】（2026春•市中区校级期中）解方程： （1）． （2）． 【分析】（1）方程两边同乘2x（x+3），将分式方程化为整式方程求解即可； （2）先变形，再方程两边同乘2﹣x，将分式方程化为整式方程求解即可． 【解答】解：（1）， 方程两边同乘2x（x+3），得x+3＝4x， 解得x＝1， 检验：当x＝1时，2x（x+3）≠0， 所以分式方程的解是x＝1； （2）， 方程可化为， 方程两边同乘2﹣x，得x﹣1+2（2﹣x）＝1， 解得x＝2， 检验：当x＝2时，2﹣x＝0，即x＝2不是分式方程的解， 所以原分式方程无解． 【变式训练4】（2026春•历城区期中）解分式方程： （1）； （2）． 【分析】（1）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答； （2）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， 3（x+3）＝2（x﹣2）， 解得：x＝﹣13， 检验：当x＝﹣13时，（x﹣2）（x+3）≠0， ∴x＝﹣13是原方程的根； （2）， 3﹣x＝2（x﹣3）， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，x（x﹣3）＝0， ∴x＝3是原方程的增根， ∴原方程无解． 题型九：先化简后求值 【典例精讲1】（2026•灞桥区校级模拟）先化简：，再从﹣1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可 【解答】解： ， • ， ∵a+1≠0，a﹣2≠0， ∴a≠﹣1，2， 当a＝3时，原式． 【典例精讲2】（2026春•盐城月考）先化简代数式，再从0、、2、4这四个数中选一个恰当的数代入求值． 【分析】先计算括号内分式的减法，再计算除法运算得到化简的结果，根据分式有意义的条件取，再代入计算即可． 【解答】解：原式 ， ∵4﹣x≠0，x≠0，x﹣2≠0， ∴x≠4，x≠0，x≠2， ∴取， ∴原式． 【变式训练1】（2026•鼓楼区校级模拟）先化简，再求值：，其中． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【解答】解： • ， 当时，原式23． 【变式训练2】（2026•南山区三模）先化简，再求值：，其中a＝4． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a＝4代入进行计算即可． 【解答】解： •• ＝3（a+2）﹣（a﹣2） ＝3a+6﹣a+2 ＝2a+8， 当a＝4时，原式＝2×4+8＝16． 【变式训练3】（2026•琅琊区二模）先化简，再求值：，其中． 【分析】先化简所求式子，再将m的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： • ， 当时，原式． 【变式训练4】（2026•盐都区三模）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣2＝0． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由x2﹣x﹣2＝0得出x2﹣x＝2，代入原式进行计算即可． 【解答】解： • • ＝x（x﹣1） ＝x2﹣x， ∵x满足x2﹣x﹣2＝0， ∴x2﹣x＝2， ∴原式＝2． 题型十：二次根式乘除法 【典例精讲1】（2026春•同步）计算： （1） （2） （3）•（a≥0） （4）2 【分析】（1）利用二次根式的乘除法则进行计算可求解； （2）利用二次根式的乘除法则进行计算可求解； （3）利用二次根式的乘除法则进行计算可求解； （4）利用二次根式的乘除法则进行计算可求解； 【解答】解：（1）9； （2）3； （3）•6a； （4）222． 【变式训练1】（2025春•岳西县月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解． 【解答】解：（1）原式 ； （2） ． 【变式训练2】（2025秋•徐汇区校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算二次根式的乘除法，然后根据二次根式的性质化简； （2）计算二次根式的乘法，然后化简二次根式即可得． 【解答】解：（1）∵a＜0，b＜0， ∴原式 ； （2）原式 ． 【变式训练3】（2025春•东台市月考）计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算； （2）利用二次根式的除法法则计算； （3）利用二次根式的乘除法计算． 【解答】解：（1）6； （2） ； （3） ． 题型十一：二次根式加减法 【典例精讲】（2026春•西和县月考）计算：． 【分析】先根据二次根式的性质化简，然后再算二次根式的加减即可． 【解答】解： ． 【变式训练1】（25-26八年级下·吉林·期中）计算： 【详解】解： ． 【变式训练2】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式训练3】（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）计算： (1)． (2) 【分析】先运用二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答． 【详解】解：（1） ． （2）解：原式 ． 【变式训练4】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十二：二次根式混合运算 【典例精讲】（2026春•北京校级期中）计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据二次根式的运算法则化简即可； （2）根据二次根式的运算法则化简即可； （3）根据二次根式的运算法则化简即可． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ． 【变式训练1】（2026春•临清市期中）计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据二次根式的运算法则化简即可； （2）根据二次根式的运算法则化简即可； （3）根据二次根式的运算法则化简即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【变式训练1】（2026春•北京校级期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先化为最简二次根式，再合并即可； （2）先化为最简二次根式，再合并即可； （3）利用分配律进行简便运算即可； （4）先计算二次根式的乘法运算，除法运算，再合并即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ＝5﹣49+2 ＝﹣42． 【变式训练2】（2026春•和平区校级期中）计算下列各题： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据二次根式的运算法则化简即可； （2）根据二次根式的运算法则化简即可； （3）根据二次根式的运算法则化简即可． 【解答】解：（1）根据二次根式的运算法则化简可得： 原式； （2）（1）根据二次根式的运算法则化简可得： 原式； （3）（1）根据二次根式的运算法则化简可得： 原式 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $