6.1.3相等向量与共线向量 分层作业-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本分层作业通过A、B两层设计，A层夯实向量概念与基础应用，B层深化逻辑推理与综合应用，形成从概念到能力的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|向量基本概念（定义、零向量等）、相等与共线向量辨析|以选择、填空为主，如概念辨析题（题1-4）、基础填空题（题5），强化数学抽象与几何直观| |B层|充要条件、综合命题判断、向量证明与计算|含多选（题10）、证明题（题12），突出逻辑推理与数学应用，如半圆情境中向量平行证明（题12）|

6.1.3相等向量与共线向量 分层作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ A层 1．下面命题中，正确的是（    ） A．若， 则 B．若，则 C．若， 则 D．若 则 2．①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．，则 C．若，且，则 D．若，则与不共线 4．（多选）对于平面向量，下列命题不正确的是（    ） A．若向量与不相等，则 B．若，则向量 C．若向量与不共线，则与都是非零向量 D．若向量与共线，向量与共线，则向量与也共线 5．向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有________的量叫做向量，向量的大小称为向量的________． （2）零向量：长度为________的向量，记作________． （3）单位向量：长度等于________长度的向量． （4）平行向量：方向相同或________的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量________． （5）相等向量：长度相等且方向________的向量． （6）相反向量：长度相等且方向________的向量． 6．设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.   (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. B层 7．已知非零向量，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形； ④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则； ⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（多选）有下列说法其中正确的说法为 A．若，，则： B．若，，分别表示，的面积，则； C．两个非零向量，，若，则与共线且反向； D．若，则存在唯一实数使得 11．在下列判断中，真命题的是______. ①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． 12．如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，. （1）求证：； （2）求. 《 6.1.3相等向量与共线向量》参考答案 题号 1 2 3 4 7 8 9 10 答案 D C A ABD B B A BC 1．D 【分析】根据相等向量、零向量、平行向量的概念逐一判断即可. 【详解】对A，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误； 对B，向量不能比较大小，错误； 对C，若，则，错误； 对D，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确. 故选：D 2．C 【分析】根据共线向量、相反向量的定义判断即可. 【详解】对于①：平行向量就是共线向量，故①正确； 对于②：若向量与是共线向量，则直线直线或、、、四点共线，故②错误； 对于③：若非零向量与满足，即，所以、互为相反向量，故③正确. 故选：C 3．A 【分析】根据向量及共线向量的定义判断. 【详解】由向量相等的定义知选项A正确； 向量是有方向的量，不能比较大小，选项B错误； 当时，与不一定平行，选项C不正确； 可以是但与的模不相等，选项D不正确. 故选：A. 4．ABD 【分析】由向量的基本概念及共线向量的概念逐项判断即可； 【详解】对于A，当向量与互为相反向量时，两向量的模长相等，故该命题不正确； 对于B，向量的模长有大小关系，但向量之间无大小关系，该命题不正确； 对于C，由于零向量与任意向量共线，向量与不共线，则与都是非零向量，该命题正确； 对于D,与共线，与共线时，与也共线，当时命题不一定成立，该命题不正确， 故选：ABD. 5． 方向 模 相反 平行 相同 相反 【分析】略. 【详解】略. 6．(1) (2) (3)、、、、、. 【分析】根据向量相等的定义直接求解即可. 【详解】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以； （2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以 （3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以、、、、、. 7．B 【分析】根据向量共线的性质，运用特殊值法结合充分条件的判断规则分析充分性，结合余弦函数的性质结合必要条件的判断规则分析必要性． 【详解】已知非零向量， 若“与共线”： 当时，，则，故充分性不成立； 若： 则，即，化简得， ，，即， ，，即，与共线，必要性成立； 故“与共线”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 8．B 【分析】根据向量的概念可依次判断各个选项. 【详解】解：①两个向量相等是指大小相等，方向相同，则它们的起点和终点不一定相同，故错误； ②若，方向不同，则 不一定成立； ③在四边形中，若，则且，所以四边形是平行四边形，正确； ④平行四边形中，一定有，正确； ⑤若，，则，正确； ⑥， ，则，取时，与不一定共线，错误． 其中不正确的命题的个数为3. 故选：B. 9．A 【分析】由相等向量与相反向量的概念，以及向量共线的概念，结合充分必要条件的判定即可求解. 【详解】若“”则“且”成立，即充分性成立； 反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立， 故“”是“且”的充分不必要条件， 故选：A. 10．BC 【解析】A选项错误，例如，推不出，B选项利用向量可确定O点位置，可知O到AC的距离等于B到AC距离的,故正确，C选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为，结论正确，D选项错误，例如. 【详解】A选项错误，例如，推不出，B选项,设AC的中点为M, BC的中点为D, 因为，所以,即,所以O是MD的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的,而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的，根据三角形面积公式可知正确，C选项两边平方可得 ，所以，即夹角为，结论正确，D选项错误，例如. 故选B C. 【点睛】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题. 11．①③⑤ 【分析】根据向量的定义及知识即可逐项判断求解. 【详解】对①：由定义知①正确； 对②：由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故②不正确； 对③：根据定义可知单位向量的长度都为1，故③正确； 对④：单位向量方向可以不同，故④错误； 对⑤：任意向量与零向量都共线，故⑤正确； 故答案为：①③⑤. 12．（1）见解析；（2） 【分析】(1)本题首先可以根据勾股定理得出是直角三角形，然后根据点为半圆上一点得出，最后根据即可得出结果； (2)本题首先可以根据得出，然后根据计算出，最后即可得出结果。 【详解】(1)由题意知，在中，，，， 所以，是直角三角形， 因为点为半圆上一点，所以 所以，故 (2)因为，所以，， 即，解得，即。 【点睛】本题考查向量平行的证明以及向量的模的计算，若两向量所在直线平行或重合，则说明这两个向量平行，向量所在线段的长即向量的模，考查计算能力，是中档题。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $