专题08 一次函数的应用（期末复习专项训练）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数实际应用，通过分类题型构建从模型建立到综合应用的完整训练体系，强化数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分配方案问题|8题|含方案比较、调运优化等|从一次函数表达式构建到最优解选择，体现数学应用意识| |销售利润问题|10题|涉及成本控制、利润最大化|结合不等式约束的函数最值求解，培养数据分析能力| |行程问题|9题|包含相遇、追及等动态过程|通过函数图象分析运动关系，发展几何直观| |阶梯计费问题|5题|涉及分段函数应用|强化分类讨论思想，提升数学表达能力| |几何综合|8题|一次函数与图形性质结合|综合运用函数与几何知识，培养综合思维| |综合攻坚|22题|各地模拟题及创新题型|整合多模块知识，提升问题解决能力|

专题07 一次函数的应用目 录 A题型建模・专项突破 题型一、分配方案问题 1 题型二、销售利润问题（常考点） 5 题型三、行程问题（重点） 10 题型四、阶梯计费问题 14 题型五、一次函数与几何综合（难点） 16 B综合攻坚・能力跃升 20 题型建模·专项突破 A 题型一、分配方案问题 1．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 2．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： (1)分别求出选择这两种卡消费时，所需费用、元关于入园次数x次的函数表达式； (2)当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？ (3)若进入生态体验园15次，采用哪种方式比较划算？ 3．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表所示： 甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表： 甲 印 刷 社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为y元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数x之间的函数关系式，并说明选择哪家印刷社比较划算． 4．谷歌人工智能AlphaGo机器人与李世石的围棋挑战赛引起人们关注，人工智能战胜李世石．某网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式： 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/ 超时费/（元/） A 6 B 8 设小明每月上网学习人工智能课程的时间为x，方案A，B的收费金额分别为yA元、yB元． (1)当时，分别求出yA，yB与x之间的函数关系式； (2)若小明3月份上该网站学习的时间为 ，则他选择哪种方式上网学习合算？ 5．A校和B校分别有库存电脑14台和8台，现决定支援给C校12台和D校10台．已知从A校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为40元和10元；从B校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为30元和20元． (1)设A校运往C校的电脑为x台，则A校运往D校的电脑为____台；B校运往C校的电脑为______台，B校运往D校的电脑为______台； (2)求总运费W（元）关于x的函数关系式； (3)求出总运费W最低的调运方案，最低运费是多少? 6．某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书，设每月租书数量为册． (1)请分别写出零星租书方式应付金额（元）、会员卡租书方式应付金额（元）与租书数量（册）之间的函数关系式． (2)小军采用哪种租书方式更合算？ 7．实验学校体育中心为鼓励师生加强体育锻炼，准备购买10副某种的羽毛球拍，每副球拍配x（）筒羽毛球，供师生免费借用．A、B两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为400元，每筒羽毛球的标价均为20元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折销售； B超市：买一副羽毛球拍送3筒羽毛球． 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题： (1)分别写出与x之间的关系式： (2)若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？ (3)若每副球拍配20筒羽毛球，请你帮助体育中心设计出最省钱的购买方案． 8．根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案 素材1 某班级组织志愿者活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：米饭套餐 30元 方案一：套餐满20份及以上每份均打9折； 方案二：套餐满12份及以上每份均打8折； 方案三：总费用满850元立减90元． （方案三不可与方案一、方案二叠加使用） ：面食套餐 25元 素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元． 问题解决 任务1 已知确定套餐的20人中，有_________人选择套餐，___________人选择套餐． 任务2 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式． 任务3 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用． 题型二、销售利润问题（常考点） 9．我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列举措．复课返校后，为了拉开学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，原来购进根跳绳和个毽子共需元；购进根跳绳和个毽子共需元．学校计划购进跳绳和毽子两种器材共个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的倍，跳绳的数量不多于根，则最少费用是______ 元． 10．年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元． (1)求A，B两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 11．某商场分两次购进A，B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如图所示： 购进数量/件 购进所需费用/元 A B 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 (1)求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A，B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 12．某商店计划购进甲、乙两种商品，已知购进件甲商品和件乙商品共需元，购进件甲商品和件乙商品共需元． (1)求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)若商店以元每件出售甲商品，元每件出售乙商品，现购进甲、乙两种商品共件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 13．芯片是制造汽车不可或缺的零件，某芯片厂制造的两种型号芯片的成本和批发价如表所示： 型号价格 成本（万元/万件） 批发价（万元/万件） A 30 35 B 35 42 该厂计划制造A，B两种型号芯片共40万件，设制造A种型号芯片m万件，制造这批芯片获得的总利润为w万元． (1)求这批芯片获得的总利润w（万元）与制造A种型号芯片m（万件）的函数关系式； (2)若B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍，那么该厂制造A种型号芯片多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？ 14．5G时代的到来将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如下表所示： 价格型号 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元．手机销售完成后共获得利润4400元． (1)营业厅购进 A、B两种型号手机各多少部？ (2)若营业厅再次购进A、B两种型号机共20部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案，营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？ 15．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元. (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元. ①求的最大值. ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4200元，求的值. 16．2023年11月25日，“乡农荟”2022湖南省农特产品展销会在岳阳市南湖广场开展，有200余家企业参展为农产品、当地特产搭台，助力乡村振兴．某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 17．云南是我国玉米的主要生产省份之一，玉米种植面积和产量位居全国前列．经销商老王购进了一批花糯玉米和白糯拇指玉米进行销售，两种玉米的进价和售价如下 进价（元/斤） 售价（元/斤） 花糯玉米 a 6 白糯拇指玉米 b 8 已知老王购进40斤花糯玉米和10斤白糯拇指玉米共需200元；购进30斤花糯玉米和20斤白糯拇指玉米共需225元． (1)求a，b的值； (2)若老王购进两种玉米共320斤，其中白糯拇指玉米的进货量不超过花糯玉米进货量的3倍，且不低于花糯玉米进货量的，设购进花糯玉米x斤，则老王应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y（元）最大？最大利润为多少元？ 18．某蔬菜超市经销的A，B两种蔬菜，进价和售价如下表所示： 品名 A蔬菜 B蔬菜 批发价/（元/千克） 4 3 零售价/（元/千克） 5.8 5 (1)第一次进货时，超市用1000元购进A，B两种蔬菜共300千克，求全部售完获利多少元； (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种蔬菜进价每千克上涨了0.3元，B种蔬菜进价每千克上涨了0.2元，但两种蔬菜的售价不变．超市计划购进A，B两种蔬菜共240千克，且B种蔬菜的购进量不超过A种蔬菜购进量的2倍．设此次购进A种蔬菜m千克，两种蔬菜全部售完可获利w元（不考虑损耗）． ①请求出w与m的函数解析式并写出m的取值范围； ②超市第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 题型三、行程问题（重点） 19．、两地相距千米，慢车从地到地，快车从地到地，慢车的速度为千米/小时，快车的速度为千米/小时，两车同时出发．设两车的行驶时间为（小时），两车之间的路程为（千米）．则能大致表示与之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 20．甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到B地后立即返回A地，若两车行驶时速度保持不变，如图是两车离A地的距离y与所用时间x的函数关系图象．下列说法错误的是（    ） A．甲车从A地到B地时间为分钟 B．甲车速度是乙车速度的倍 C．甲车行驶路程是乙车的2倍 D．甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟 21．甲、乙两人登山，在登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（单位：米）与登山时间（单位：分）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为30米的时间不可能是（    ） A．5分钟 B．8分钟 C．15分钟 D．17分钟 22．明明、亮亮在学校操场上玩飞机模型，已知1号、2号两个飞机模型分别从距水平线起点和距水平线起点处同时出发，匀速上升、如图是1号、2号两个飞机模型所在位置的高度与飞机上升时间的函数图象．当这两个飞机模型的高度相差时，上升的时间为_____________ 23．小敏上午8∶00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程（单位：）和所经过的时间（单位：）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)小敏去超市途中的速度是多少？在超市停留了多长时间？ (2)请写出与的函数关系式； (3)小敏几点几分返回到家？ 24．如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发骑车前往地，两人行驶的路程与甲行驶的时间之间的关系如图所示，请根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)两地相距_______km，乙骑车的速度是________； (2)分别求甲、乙在的时间段内的函数关系式； (3)在的时间段内，当为何值时甲、乙两人相距5千米． 25．小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小王的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题． (1)直接写出的函数表达式； (2)直接写出的函数表达式； (3)求点的坐标； (4)设小王和妈妈两人之间的距离为，当时，直接写出的值． 26．在一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地，两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)甲车的行驶速度是 千米/时，B、C两地之间的距离为 千米； (2)求点M、N的坐标； (3)求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）． 27．学校组织徒步活动，小甬从学校出发步行前往露营基地．出发小时后小甬到达离学校3千米的中途休息区，休息一段时间后按原速继续前往露营基地．小甬离开学校小时后，王老师驾车沿相同路线前往露营基地与小甬汇合，如图是他们离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数图象．已知王老师驾车的速度是小甬步行的速度的6倍． (1)求小甬步行的速度及王老师驾车的速度． (2)求王老师离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数表达式． (3)小甬从学校出发多少小时后被王老师追上？此时离学校多远？ 题型四、阶梯计费问题 28．小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的8.5折卖．设购买练习本数量为x本，甲商店收费为元，乙商店收费为元．（） (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为多少本？ (3)当购买的数量为22本时，应选择哪个商店更优惠？请说明理由． 29．我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费，该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元． (1)请写出y与x的函数关系式． (2)如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？ 30．某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）． 用水量x（立方米） 应交水费y（元） 不超过12立方米 每立方米3.5元 超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元 (1)求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； (2)若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？ 31．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司小唐、小宋、小元三位员工每天骑电动车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计）．每次支付费用y元与骑行时间x min之间的对应关系如图所示．其中A种电动车支付费用对应的函数为；B种电动车支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为．请根据函数图象信息，解决下列问题： (1)小唐每天早上骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为，小唐家到公司的距离为，那么小唐选择______种电动车更省钱（填“A”或“B”）； (2)一天，小宋骑行A种电动车从家到公司上班，小元骑行B种电动车从家到公司上班，若两人支付费用同为7.6元，求小宋和小元骑行的时间差． 32．某学校社团开展了《哪一款手机资费套餐更合适》学习活动．下表是调查的有关信息： 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 请根据表中的信息完成下列问题： (1)根据调查内容，某用户使用流量为，使用语音分钟，按A套餐月资费为______元，按B套餐月资费为______元； (2)根据访谈内容，小明妈妈每月语音通话不超过分钟，设她每月使用流量为，每月的手机资费为元． ①若她使用的是A套餐，与的函数关系为：当时，；时，．如图为与的函数图象．若她使用套餐，请求出与之间的函数关系式，并在坐标系中画出它的图象； ②若她某月使用流量为，则使用______（填：A或B）套餐月资费更少； ③若她某月的月资费为元，请判断使用哪种套餐流量更多，并说明理由． 题型五、一次函数与几何综合（难点） 33．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，点在第一象限，且，． (1)求点坐标； (2)点在直线上，，求点坐标； (3)点是线段上的一个动点（点，除外），试探究在轴的上方是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点．设x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，分别交直线、直线于点D，E，连接． (1)________，________． (2)当时，若，求此时点P的坐标． (3)当a为何值时，线段的长为14？ 35．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点E，点E的横坐标为3． (1)点E的坐标为________，________； (2)在y轴上有一点，过点P作y轴的垂线，与直线交于点C，与直线交于点D，若，求m的值． 36．建立模型 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用 (1)如图2，直线：与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，求直线的表达式； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 37．如图1，平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B．直线交于点D，交x轴于点E． (1)求直线的解析式和D点坐标； (2)如图2，点P坐标为，求的面积； (3)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点C的坐标． 38．如图，直线与直线交于点，与轴、轴分别交于点和点， (1)求的值； (2)直接写出二元一次方程组的解； (3)若点是轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 39．如图，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点，且与直线相交于点A， (1)求直线的表达式和点A的坐标． (2)如图1，点D在直线上，且横坐标为2，点Q为射线上一动点，若，请求出点Q的坐标． (3)如图2，过点A作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上一点，且，请直接写出直线的表达式． 综合攻坚·能力跃升 B 1．（2026·安徽淮北·二模）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的体重之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板后电压表显示的读数为2伏，则此人的体重是（   ） 提示：（1）导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； （2）串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．50 B．55 C．60 D．65 2．（2026·山西·一模）某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高，待加热到，养生壶自动停止加热．小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据： 通电时间 0 1 2 3 4 … 水温 20 30 40 50 60 … 则下列说法正确的是（） A．加热到用时 B．与之间的函数表达式为 C．加热过程中，水温高于的时间为 D．小林在8：06可以接到不低于的水 3．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）某游泳馆的年收费有A，B两种方式：方式A的年收费总额y（元）与游泳次数x之间的关系式为；方式B的年收费总额y（元）与游泳次数x之间的关系如图所示．若王叔叔估计了一年去游泳馆游泳的次数后，选择了方式A，则他估计的这一年去游泳馆游泳的次数最多为（    ） A．35次 B．29次 C．10次 D．7次 4．（25-26八年级下·福建厦门·期中）、两地相距4000米，甲货车从地匀速开往地，乙货车在甲货车出发10分钟后，从地沿同一公路出发匀速开往地，到达地后停止，而甲继续开往地，到达地后才停止．两车之间的距离（米）与甲货车出发的时间（分钟）之间的函数关系如图中的折线所示：①甲的速度为100米/分钟；②乙的速度为140米/分钟；③乙货车从地到地用的时间为分钟；④当乙到达地时，甲离地的距离为米．上述说法正确的是_____． 5．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，直线：与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线与直线交于点E，点C在x轴的正半轴上，且． (1)求点B与点E的坐标； (2)点P是线段上一动点，点F为x轴上一动点，连接，，，当面积为4时． ①求点P的坐标； ②直接写出的最小值； (3)如图2，点Q为线段的中点，连接和，在x轴是否存在动点M，使得，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点M的坐标． 6．（25-26八年级下·重庆·期中）如图在平面直角坐标系中，直线过点，． (1)求直线表达式． (2)在图1中，以为腰在第一象限作等腰直角三角形，．线段在轴上移动（E在F左侧），，当最小时，求E点坐标和的最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，点P坐标，点M是线段中垂线上一动点，过点C作轴垂线，点Q是此垂线上的一个动点，若是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、． (1)求直线的表达式； (2)若的面积为20，求点坐标； (3)在（2）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 8．（25-26八年级下·北京·期中）已知点为图形上一点，点为图形上一点（，不重合），若一点能使得点为线段的中点，则称点为图形关于图形的“倍中点” 若图形上每一点都是图形关于图形的“倍中点”，且图形关于图形的“倍中点”都在图形上，则图形为图形关于图形的“倍中图” 在平面直角坐标系中，点，，，． (1)在点，，，中，点_____是点关于线段的“倍中点”； (2)若图形为线段关于线段的“倍中图”，请在图中画出图形，并直接写出图形的面积为_____． (3)点是轴上一动点，正方形，，，的各顶点坐标为，，，，线段上任一点都为正方形关于正方形的“倍中点”，直接写出的取值范围为_____． 9．（25-26八年级下·山东青岛·期中）某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表： 商店 优惠条件 甲商店 前件按原价销售，其余每件享受七折优惠 乙商店 每件均享受九折优惠 (1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？ (2)该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？ 10．（2026·辽宁朝阳·一模）某电商计划购进A、B两种农产品，已知购进2件A产品和3件B产品共需270元，购进3件A产品和2件B产品共需230元． (1)求每件A、B产品的进价分别是多少元？ (2)该电商计划购进A、B两种产品共100件，且A产品的数量不超过B产品数量的3倍，总费用不超过4200元，该电商共有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，若每件A产品售价40元，每件B产品售价100元．哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 11．（2026·湖北咸宁·模拟预测）数学来源于生活也应用于生活，建筑楼梯设计有很多数学奥秘，探究并完成活动． 主题：建筑楼梯优化设计问题 材料阅读：为提升学生数学实践应用能力，某校兴趣小组对建筑工地楼梯设计开展调研活动，首先学习了楼梯的核心构造概念，示意图如下： 1．踏步面宽（）：每级楼梯水平踩踏面的宽度，为保障行走安全，规范要求：且每级踏步面宽相等； 2．踏步高度（）：每级楼梯的垂直高度，规范要求：且踏步高度一致； 3．歇脚台：楼梯顶端与入户门之间的水平平台，供行人临时停留； 4．总进深：从楼梯最底端到入户门的水平总距离，本次测量值为； 5．总高度：从地面到入户门的垂直总高度，本次测量值为； (1)活动一：设踏步总级数为n（n为正整数），根据题意及示意图填空： ①用n表示踏步高度_____； ②用n表示踏步水平踩踏面（不包括歇脚台）数量______； ③用n，b表示歇脚台宽度______． (2)活动二：为最大化歇脚台使用空间即歇脚台宽s取最大，请通过数学计算确定最合理的踏步宽b和高度h，并求出歇脚台此时的宽度s值． 12．（2026·天津滨海新区·一模）已知小华家、超市、书店依次在同一条直线上，超市离小华家，书店离小华家，小华从家骑车匀速骑行到书店，在那里停留了，之后又匀速步行到超市，在超市停留了后，用了匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 2 10 55 90 小华离开家的距离 3 ②填空；书店到超市的距离为________； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于x的函数解析式； (2)当小华从书店出发前往超市时，同时小华的哥哥也从书店出发，以的速度匀速步行直接回家，从书店到家过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 13．（2026·河南周口·一模）某文具店购进A、B两种笔记本，已知购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元． (1)求A、B两种笔记本的单价； (2)若该文具店准备购进这两种笔记本共100本，且A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的设购进A种笔记本m本，总费用为W元，求W与m的函数关系式，并求最少费用． 14．（2026·陕西·一模）2026年3月14日是第七个“国际数学日”，今年国际数学日的主题是“数学与希望”．某校计划开展趣味数学活动，数学老师欲购买汉诺塔作为活动道具，已知文具店里汉诺塔售价为15元套，文具店的优惠方案如下：一次购买不超过10套，则每套打九折；若一次购买超过10套，则前10套打九折，超过的部分打八折．设数学老师购买套汉诺塔，购买费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若数学老师计划用195元购买汉诺塔，则他能购买多少套汉诺塔？ 15．（25-26八年级下·河南周口·期中）为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？ (3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 16．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）春假期间，某景区文创店准备购进有、两种冰箱贴（每种至少个）共个进行销售．在结合自身销售情况和商家商谈中获得以下信息： 冰箱贴购进单价信息 商家有、两种冰箱贴可供选择，下表为该商家记录单的部分信息： 记录单 型冰箱贴（个） 型冰箱贴（个） 总费用（元） 记录单 记录单 文创店销售信息 信息一：文创店计划购进这批冰箱贴所花的费用不超过元． 信息二：型冰箱贴的售价为每个元，型冰箱贴的售价为每个元． 根据以上信息，完成下列3个任务： (1)任务1：根据冰箱贴购进单价信息，计算，两种型号冰箱贴每个分别是多少元． (2)任务2：根据文创店销售信息，求出文创店有几种购货方案，并具体列出对应方案． (3)任务3：根据以上信息，在上面的方案中，确定利润最大的购进方案，并求出最大利润． 17．（2026·天津滨海新区·模拟预测）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 1.2 ②填空：张强从体育场到文具店的速度为________； ③当时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发，以的速度匀速步行直接回宿舍．在李明返回宿舍的图中，设张强距宿舍的距离为，李明距宿舍的距离为，直接写出当时的取值范围． 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 0.12 1.2 1.2 0.6 18．（25-26八年级下·河北邢台·期中）在物理课上，老师为了更好地让学生感受光的反射规律并激发学生探索物理的兴趣，他设计了一个正方体的魔法盒子，如图是老师在平面直角坐标系中的设计图．其中点，点的坐标分别为，，在点处放置一支激光笔，激光笔发射的光线是直线的一部分． (1)点为平面镜的中点，若激光笔发射的光线恰好经过点，求所在直线的解析式； (2)已知在魔法盒子的上方有一个感光元件，当经过反射的光线照射到点与点之间时（包含端点），上方显示屏就会显示出“我爱物理”的字样．若要让同学们看到“我爱物理”字样，求反射光线与轴交点纵坐标的取值范围． 19．（25-26八年级下·广东深圳·期中）数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论． 【实验发现】 糖水实验一： (1)①现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．加入克水，则糖水的浓度为________； ②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，即糖水浓度变低，由此可以写出一个不等式________，我们趣称为“糖水不等式”； 糖水实验二： (2)将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖并完全溶解”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”________； 【应用拓展】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 果汁：糖的浓度为（糖的浓度）； 果汁：糖的浓度为； (3)若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为________； (4)饮料公司需要生产一批的混合果汁，生产果汁A和果汁B的利润分别为7元和13元，要求混合果汁的糖的浓度不高于，如何生产能获得最大利润？最大利润是多少？ 20．（25-26八年级下·广东深圳·期中）综合实践 背景一 深圳实验学校四十周年校庆的吉祥物是“燕宝啾啾”，某文创店购进大、小两种型号的“燕宝啾啾”玩偶共80个，且购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量不少于大号“燕宝啾啾”玩偶数量的． 背景二 经调查，大号“燕宝啾啾”玩偶进价每个58元，小号“燕宝啾啾”玩偶进价每个37元．因此，文创店计划大号“燕宝啾啾”玩偶每个卖88元，小号“燕宝啾啾”玩偶每个卖45元． (1)该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少多少件？ (2)该文创店所获得的最大利润是多少？ (3)实际进货时，小号“燕宝啾啾”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“燕宝啾啾”玩偶的购进数量不得超过40个．在(1)问的条件下，若该文创店保持两种型号的“燕宝啾啾”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大，求购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量？ 21．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，，为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称为矩形的等长点．例如：如图中的为矩形的一个等长点． (1)在点中，矩形的等长点是_____； (2)若为矩形的等长点，则值为_____； (3)若一次函数的图象上有且只有一个矩形的等长点，则的取值范围是_____． 22．（25-26八年级下·福建福州·期中）根据以下素材，探索完成任务 探究通过维修路段的最短时长 素材1 如图1，某路段（段）需要维修，临时变成双向交替通行，故在，处各设置红绿灯指导交通（仅设置红灯与绿灯） 素材2 甲车为路口第一辆车，甲车先由通行，乙车等待绿灯亮起后再由通行，甲车经过段的时间分别为，，，它的路程与时间的关系如图2所示；两车经过段的速度相等，乙车经过段的速度是． 素材3 红绿灯1，2每114秒一个循环，图3中记录了从甲车通过路口开始，一段时间内红灯、绿灯的时长，且每次双向红灯时，已经进入段的车辆都能及时通过该路段．                                          问题解决： (1)若乙车在路口绿灯转为红灯的瞬间恰好通过路口（即进入段），并在路口的双向红灯时段结束时恰好通过维修路段．结合素材直接写出甲车经过、、段的速度，并在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程（）与时间（）之间的函数图象． (2)丙车沿方向行驶，经过段的车速与任务1中乙车经过时的速度相同，在段等红灯时车辆开始行驶后平均速度为8，等红灯时车流长度每秒增加2，记丙车在红绿灯2由绿灯变为红灯后的秒到达段开始等待（），记红绿灯2由绿灯变为红灯后的秒丙车恰好到达路口（红绿灯2下方），求关于的解析式． (3)丙车在段从开始等待至离开点需要秒，求的最小值． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一次函数的应用 目 录 A题型建模・专项突破 题型一、分配方案问题 1 题型二、销售利润问题（常考点） 10 题型三、行程问题（重点） 21 题型四、阶梯计费问题 33 题型五、一次函数与几何综合（难点） 39 B综合攻坚・能力跃升 55 题型建模·专项突破 A 题型一、分配方案问题 1．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800千米， 故选：C． 2．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： (1)分别求出选择这两种卡消费时，所需费用、元关于入园次数x次的函数表达式； (2)当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？ (3)若进入生态体验园15次，采用哪种方式比较划算？ 【答案】(1)， (2)当消费10次时，选择两种消费卡的费用相同 (3)当进入生态体验园15次，采用乙方式比较划算 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的点求出甲、乙两种卡费用关于入园次数的函数表达式； （2）通过联立两个函数表达式的方程，求解费用相同时的入园次数； （3）将入园次数代入两个函数表达式，比较费用大小确定划算的方式． 【详解】（1）解：甲卡：设，由图象过点，得，解得，所以； 乙卡：设，由图象过点，得，解得，所以． （2）解：联立和，得，解得，即消费10次时，两种卡费用相同． （3）解：当时，， 因为，所以采用乙卡比较划算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数表达式，联立一次函数方程求交点，以及通过代入求值比较函数值大小是解题的关键． 3．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表所示： 甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表： 甲 印 刷 社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为y元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数x之间的函数关系式，并说明选择哪家印刷社比较划算． 【答案】(1)在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张 (2)甲印刷社：，乙印刷社：，时选择甲印刷社划算；，选择两家印刷社一样划算；，选择乙印刷社划算． 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的实际应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，找出题目蕴含的数量关系解决问题． （1）通过设未知数，利用数量和费用关系列方程组求解； （2）先分别建立甲、乙的费用函数，再分区间比较函数值大小，确定最优选择． 【详解】（1）解：设甲、乙两家印刷各印了、张宣传单， ，解得， 答：在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张； （2）甲印刷社：， 乙印刷社：， 当时，，选择甲印刷社； 当时，若，得，即，选择甲印刷社划算； 若，得，即，选择两家印刷社一样划算； 若得，即，选择乙印刷社划算． 综上所述，时选择甲印刷社划算； ，选择两家印刷社一样划算； ，选择乙印刷社划算． 4．谷歌人工智能AlphaGo机器人与李世石的围棋挑战赛引起人们关注，人工智能战胜李世石．某网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式： 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/ 超时费/（元/） A 6 B 8 设小明每月上网学习人工智能课程的时间为x，方案A，B的收费金额分别为yA元、yB元． (1)当时，分别求出yA，yB与x之间的函数关系式； (2)若小明3月份上该网站学习的时间为 ，则他选择哪种方式上网学习合算？ 【答案】(1)， (2)选择方式上网学习合算 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式和函数值． （1）根据题意和表格中的数据，可以分别求出，与之间的函数关系式； （2）将代入（1）中的函数关系式，求出，的值，然后比较大小，即可得到选择哪种方式上网学习合算． 【详解】（1）解：由题意可得， 当时，与之间的函数关系式为：， 与之间的函数关系式为：； （2）解：当时， ， ， ， ， 故选择方式上网学习合算． 5．A校和B校分别有库存电脑14台和8台，现决定支援给C校12台和D校10台．已知从A校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为40元和10元；从B校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为30元和20元． (1)设A校运往C校的电脑为x台，则A校运往D校的电脑为____台；B校运往C校的电脑为______台，B校运往D校的电脑为______台； (2)求总运费W（元）关于x的函数关系式； (3)求出总运费W最低的调运方案，最低运费是多少? 【答案】(1)，， (2)（，且为整数） (3)A校运4台电脑到C校，运10台电脑到D校；B校运8台电脑到C校，运0台电脑到D校，最低费用为500元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据表格即可填空； （2）利用总费用等于A校运往学校的费用加上B校运往学校的费用即可求解函数关系式； （3）利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设A校运往C校的电脑为x台，则A校运往D校的电脑为台；B校运往C校的电脑为台，B校运往D校的电脑为台， 故答案为：；；； （2）解：由题意得， （，且为整数） （3）解：∵，， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最小， ∴最低运费是（元）， 总运费最低的调运方案为：A校运往4台电脑到C校，运往10台电脑到D校；B校运往8台电脑到C校，运往0台电脑到D校． 答：最低运费为元，总运费最低的调运方案为：A校运4台电脑到C校，运10台电脑到D校；B校运8台电脑到C校，运0台电脑到D校． 6．某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书，设每月租书数量为册． (1)请分别写出零星租书方式应付金额（元）、会员卡租书方式应付金额（元）与租书数量（册）之间的函数关系式． (2)小军采用哪种租书方式更合算？ 【答案】(1)， (2)小于20本时，采用零星租书方式比较划算；等于20本时，两种方式都可以；大于20本时，采用会员卡租书方式比较划算 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求函数的解析式，利用一次函数的交点解决方案问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）根据题意列出函数关系式即可； （2）求出函数的交点，通过交点和函数的性质得出方案即可． 【详解】（1）解：零星租书方式函数关系式为：； 会员卡租书方式函数关系式为：； （2）解：当时，， 解得， 根据一次函数的性质得， 当时，，即小于20本时，采用零星租书方式比较划算； 当时，，即等于20本时，两种方式都可以； 当时，，即大于20本时，采用会员卡租书方式比较划算； 7．实验学校体育中心为鼓励师生加强体育锻炼，准备购买10副某种的羽毛球拍，每副球拍配x（）筒羽毛球，供师生免费借用．A、B两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为400元，每筒羽毛球的标价均为20元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折销售； B超市：买一副羽毛球拍送3筒羽毛球． 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题： (1)分别写出与x之间的关系式： (2)若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？ (3)若每副球拍配20筒羽毛球，请你帮助体育中心设计出最省钱的购买方案． 【答案】(1)在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 (2)见解析 (3)在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）根据优惠方案，分别列出函数关系式即可； （2）分，和三种情况，进行求解即可； （3）分去A超市，B超市，以及去B超市买球拍，A超市买羽毛球，三种方案，分别求出费用，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ； ∴在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为； （2）解：当时，即， 解得， ∴时，去A超市买更划算； 当时，即， 解得， ∴时，去A、B超市买花费一样多； 当时，即， 解得， ∴时，去B超市买更划算； （3）解：如果选择A超市，那么总费用为：（元）， 如果选择B超市，那么总费用为：（元）， 如果先在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球，那么总费用为：（元）， ∵， ∴在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱． 8．根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案 素材1 某班级组织志愿者活动，需提前为同学们订购午餐，现有两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：米饭套餐 30元 方案一：套餐满20份及以上每份均打9折； 方案二：套餐满12份及以上每份均打8折； 方案三：总费用满850元立减90元． （方案三不可与方案一、方案二叠加使用） ：面食套餐 25元 素材2 该班级共31位同学，每人都从两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费．经统计，有20人已经确定或套餐，其余11人两种套餐皆可．若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元． 问题解决 任务1 已知确定套餐的20人中，有_________人选择套餐，___________人选择套餐． 任务2 设两种套餐皆可的同学中有人选择套餐，该班订餐总费用为元，当全班选择套餐人数不少于20人时，请求出与之间的函数关系式． 任务3 要使得该班订餐总费用最低，则套餐应各订多少份？并求出最低总费用． 【答案】任务一：13，7；任务二：；任务三：订购套餐13份，订购套餐18份时，订餐总费用最低750元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用： 任务一：设20人中有x人选择A套餐，则有人选择B套餐，根据总费用为565元列一元一次方程，解方程即可； 任务二：先判断选择套餐人数是否满足优惠方案二的条件，再根据优惠方式列函数关系式即可； 任务三：先计算出以及时，与之间的函数关系式，计算出所需的低费用，再计算出按照优惠方案三所需的最低费用，最后比较大小即可． 【详解】解：任务一： 设20人中有x人选择套餐， 由题意知，， 解得， ， 即20人中有13人选择A套餐，7人选择B套餐， 故答案为：13，7； 任务二：∵两种套餐皆可的11人中有人选择套餐， ∴当套餐人数不少于20人时，， ∴， 则选择套餐人数为，不满足优惠方案二的条件， ∴订餐总费用为：； 任务三：∵两种套餐皆可的11人中有人选择套餐， ①当时，由（2）得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时总费用最小为（元）， ②当时，， ∴订餐总费用， ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，最小为750元， ③若选择优惠方案三，订餐总费用为， ∵总费用满850元立减90元，且， ∴当时，订餐费用最小为（元）， 综上所述，当订购套餐13份，订购套餐18份时，订餐总费用最低750元． 题型二、销售利润问题（常考点） 9．我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列举措．复课返校后，为了拉开学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，原来购进根跳绳和个毽子共需元；购进根跳绳和个毽子共需元．学校计划购进跳绳和毽子两种器材共个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的倍，跳绳的数量不多于根，则最少费用是______ 元． 【答案】 【分析】设打折前跳绳的单价为元，毽子的单价为元，根据“打折前，购进根跳绳和个毽子共需元；购进根跳绳和个毽子共需元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出跳绳及毽子的单价，设购买跳绳根，则购买个，根据“购进跳绳的数量不少于毽子数量的倍，且跳绳的数量不多于根”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设购买跳绳和毽子的总费用为元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：设打折前跳绳的单价为元，毽子的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 打折前跳绳的单价为元，毽子的单价为元． 设购买跳绳根，则购买毽子个， 根据题意得：， 解得：． 设购买跳绳和毽子的总费用为元，则， 即， ， 随的增大而增大， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，最小值， 最少费用是元． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键． 10．年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元． (1)求A，B两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)元；元 (2)A种购买千克，B种购买千克；元 【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，最大利润问题(一次函数的实际应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克，根据题中的等量关系列出方程组求解； （2）设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元，列出一次函数关系式，再根据一次函数的增减性求出最值． 【详解】（1）解：设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克． 根据题意，得， 解得， A种食材的单价是每千克元，B种食材的单价是每千克元． （2）解：设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元． 根据题意，得． ， ． ， 随的增大而增大． 当时，有最小值为：（元）． A种食材购买千克，B种食材购买千克时，总费用最少，为元． 11．某商场分两次购进A，B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如图所示： 购进数量/件 购进所需费用/元 A B 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 (1)求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A，B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 【答案】(1)A、B两种商品每件的进价分别是20元，80元 (2)购进商品件，B商品件时，获利最大，最大利润为元 【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A商品a件，B商品件，利润为m元，根据题意列出不等式组，解之即可得出a的取值范围，根据总利润=单件利润×购进数量，可得出m和a的函数关系式，再根据一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A、B两种商品每件的进价分别是x元，y元 根据题意得： 解得： 答：A、B两种商品每件的进价分别是20元，80元． （2）解：设A商品a件，B商品件，利润为m元． 根据题意得： 解得： ∵ ∴m随a的增大而减小 ∴时，m的最大值为12000元． ∴（件） 答：购进商品件，B商品件时，获利最大，最大利润为元． 12．某商店计划购进甲、乙两种商品，已知购进件甲商品和件乙商品共需元，购进件甲商品和件乙商品共需元． (1)求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)若商店以元每件出售甲商品，元每件出售乙商品，现购进甲、乙两种商品共件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲商品进价元/件，乙商品进价元/件 (2)甲商品进件，乙商品进件时利润最大，是元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一次函数的最值问题，根据题意列出方程组与函数关系式，并结合不等式确定自变量的取值范围是解题的关键． （1）设甲种商品每件的进价为元/件，乙种商品每件的进价为元/件，根据“购进件甲商品和件乙商品共需元，购进件甲商品和件乙商品共需元”可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出两种商品的进价； （2）设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件，设总利润为元，根据“总利润甲商品单个利润数量乙商品单个利润×数量”即可得出关于的一次函数关系式，根据“甲商品的数量不少于乙商品数量的倍”可列出关于的一元一次不等式，解不等式可得出的取值范围，根据一次函数的性质结合的取值范围即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲商品进价元/件，乙商品进价元/件， ， 解得， 答：甲商品进价元/件，乙商品进价元/件； （2）解：设购进甲商品件，则购进乙种商品件，设总利润为元，由题意得， ， ，解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，（元）， （件）， 答：甲商品进件，乙商品进件时利润最大，是元． 13．芯片是制造汽车不可或缺的零件，某芯片厂制造的两种型号芯片的成本和批发价如表所示： 型号价格 成本（万元/万件） 批发价（万元/万件） A 30 35 B 35 42 该厂计划制造A，B两种型号芯片共40万件，设制造A种型号芯片m万件，制造这批芯片获得的总利润为w万元． (1)求这批芯片获得的总利润w（万元）与制造A种型号芯片m（万件）的函数关系式； (2)若B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍，那么该厂制造A种型号芯片多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)制造A种型号芯片10万件时，会获得最大利润，最大利润是260万元 【分析】本题主要考查的是一次函数的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，理解题意列出函数关系式以及一元一次不等式组是解本题的关键． （1）由制造A种型号芯片m万件，则制造B种芯片万件，再根据总利润等于两种芯片的利润之和求解即可； （2）先根据B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍，列不等式求解m的范围，再利用一次函数的性质求解最大利润即可． 【详解】（1）解：由制造A种型号芯片m万件，则制造B种芯片万件，根据题意得： ，即． （2）解：∵B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍， ∴，解得：， ∵、 ∴， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴时，w取最大值，最大值为（万元），此时． 答：制造A型芯片10万件，B型芯片30万件，会获得最大利润，最大利润是260万元． 14．5G时代的到来将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如下表所示： 价格型号 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元．手机销售完成后共获得利润4400元． (1)营业厅购进 A、B两种型号手机各多少部？ (2)若营业厅再次购进A、B两种型号机共20部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案，营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)营业厅购进A，B两种型号手机各6部，4部 (2)再次购进A种型号机7部，B种型号机13部，获得的利润最大，最大利润是9300元 【分析】本题主要考查一元一次不等式、二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设营业厅购进A，B两种型号手机各x部、y部，由题意可得方程组为，进而求解即可； （2）设购进A种型号机x部，则购进B种型号机部，获得的利润为w元，由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设营业厅购进A，B两种型号手机各x部、y部，则： ， 解之，得：， 答：营业厅购进A，B两种型号手机各6部，4部． （2）解：设购进A种型号机x部，则购进B种型号机部，获得的利润为w元，由题意得： ， 因为B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍， 所以， 解得：， 因为，， 所以w随着x的增大而减小， 所以当时，w取得最大值，此时，， 所以方案为：再次购进A种型号机7部，B种型号机13部，获得的利润最大，最大利润是9300元． 15．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元. (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元. ①求的最大值. ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4200元，求的值. 【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，元； (2)①；② 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数的应用，根据题意正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数是关键． （1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，根据题意列出方程组解方程组即可； （2）①设甲种型号头盔购进了个，则甲种型号头盔购进了个，根据题意得到，求出，根据一次函数的性质进行解答即可；②列出一次函数解析式，分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元， 则， 解得 答：甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，元； （2）①设甲种型号头盔购进了个，则乙种型号头盔购进了个， ∴， 由题意可得， 解得， ∵，其中，， ∴随着x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为． ②由题意可得，， ∵， ∴当即时，随着x的增大而增大，当时，w取得最小值，最小值为， ∴， 解得， 当即时，随着x的增大而减小，当时，w取得最小值，最小值为， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴． 16．2023年11月25日，“乡农荟”2022湖南省农特产品展销会在岳阳市南湖广场开展，有200余家企业参展为农产品、当地特产搭台，助力乡村振兴．某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】(1)甲特产15吨，乙特产85吨 (2)26万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用， （1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，再根据总成本为235万元得出方程，求出解即可； （2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，再根据总利润等于甲，乙两种特产的利润和得出一次函数关系式，然后根据一次函数的性质讨论最大值即可. 【详解】（1）解：设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨． 依题意，得， 解得，则． 经检验符合题意， 所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨； （2）解：设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且， 公司获得的总利润， 因为，所以随着的增大而增大． 又因为， 所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元， 故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元. 17．云南是我国玉米的主要生产省份之一，玉米种植面积和产量位居全国前列．经销商老王购进了一批花糯玉米和白糯拇指玉米进行销售，两种玉米的进价和售价如下 进价（元/斤） 售价（元/斤） 花糯玉米 a 6 白糯拇指玉米 b 8 已知老王购进40斤花糯玉米和10斤白糯拇指玉米共需200元；购进30斤花糯玉米和20斤白糯拇指玉米共需225元． (1)求a，b的值； (2)若老王购进两种玉米共320斤，其中白糯拇指玉米的进货量不超过花糯玉米进货量的3倍，且不低于花糯玉米进货量的，设购进花糯玉米x斤，则老王应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y（元）最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)a的值为，b的值为6 (2)应该购进200斤花糯玉米，120斤白糯拇指玉米，才能使全部售完后的销售利润y（元）最大，最大利润为740元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式． （1）根据“老王购进40斤花糯玉米和10斤白糯拇指玉米共需200元；购进30斤花糯玉米和20斤白糯拇指玉米共需225元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据“白糯拇指玉米的进货量不超过花糯玉米进货量的3倍，且不低于花糯玉米进货量的”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，利用总利润每斤白糯拇指玉米的销售利润购进白糯拇指玉米的数量每斤花糯玉米的销售利润购进花糯玉米的数量，可找出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：依题意得， 解得， 答：a的值为，b的值为6； （2）解：∵购进花糯玉米x斤， ∴购进白糯拇指玉米斤， 依题意得， 解得， ∵全部售完后的销售利润为y元， ∴， ∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为，此时． 答：老王应该购进200斤花糯玉米，120斤白糯拇指玉米，才能使全部售完后的销售利润y（元）最大，最大利润为740元． 18．某蔬菜超市经销的A，B两种蔬菜，进价和售价如下表所示： 品名 A蔬菜 B蔬菜 批发价/（元/千克） 4 3 零售价/（元/千克） 5.8 5 (1)第一次进货时，超市用1000元购进A，B两种蔬菜共300千克，求全部售完获利多少元； (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种蔬菜进价每千克上涨了0.3元，B种蔬菜进价每千克上涨了0.2元，但两种蔬菜的售价不变．超市计划购进A，B两种蔬菜共240千克，且B种蔬菜的购进量不超过A种蔬菜购进量的2倍．设此次购进A种蔬菜m千克，两种蔬菜全部售完可获利w元（不考虑损耗）． ①请求出w与m的函数解析式并写出m的取值范围； ②超市第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【答案】(1)全部售完获利为580元 (2)①，②超市第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，找出等量关系式，用一次函数的性质求解是解题的关键． （1）等量关系式：购进A种蔬菜的重量购进B种蔬菜的重量千克，购进A种蔬菜的费用购进B种蔬菜的费用千克，列出方程组，即可求解； （2）①等量关系式：总获利销售A种蔬菜的获利销售B种蔬菜的获利，据此列出函数关系式，即可求解；②由①得函数关系式，再由一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设购进A种蔬菜x千克，购进B种蔬菜y千克， 根据题意列出方程组为：， 解得：， 全部售完获利： （元）． （2）解：①设第二次购进A种蔬菜m千克，则购进B种蔬菜千克， 根据题意， 解得：， ， ②超市第二次获利不能超过第一次获利，理由如下： 由①可知，， ， 一次函数w随m的增大而减小， ∴当时，w取最大值， （元）， ， 超市第二次获利不能超过第一次获利． 题型三、行程问题（重点） 19．、两地相距千米，慢车从地到地，快车从地到地，慢车的速度为千米/小时，快车的速度为千米/小时，两车同时出发．设两车的行驶时间为（小时），两车之间的路程为（千米）．则能大致表示与之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，确定分段函数的解析式，并根据函数解析式确定函数图象是解题关键．分别求出慢车到达地、快车到达地、两车相遇时间，然后分、、三段求出函数关系式，再结合函数图象即可求解． 【详解】解：根据题意得：慢车从地到地所用时间为（小时）， 快车从地到地所用时间为（小时）， 两车同时出发，相遇时慢车所用时间为（小时）． 当时，﹔ 当时，； 当时，快车已到地，； 故选：C． 20．甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到B地后立即返回A地，若两车行驶时速度保持不变，如图是两车离A地的距离y与所用时间x的函数关系图象．下列说法错误的是（    ） A．甲车从A地到B地时间为分钟 B．甲车速度是乙车速度的倍 C．甲车行驶路程是乙车的2倍 D．甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．根据时间、速度和路程之间的关系结合函数图象逐一判断即可． 【详解】解：甲车从地到地时间为（分钟）， 故A选项不符合题意； 甲车从地到地时间为分钟，乙车从地到地时间为分钟， 行驶相等的路程甲、乙两车所用时间之比为， 甲、乙两车的速度之比为， 甲车速度是乙车速度的3倍， 故B选项符合题意； 甲车行驶路程是乙车的2倍， 故C选项不符合题意； 设乙车的速度为千米分钟，则甲车的速度为千米分钟，、两地之间的路程为 千米， 设甲、乙两车第一次相遇的时间为分钟，则 解得， 设甲、乙两车第二次相遇的时间为分钟，则， 解得， （分钟）， 甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟， 故D选项不符合题意． 故选：B． 21．甲、乙两人登山，在登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（单位：米）与登山时间（单位：分）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为30米的时间不可能是（    ） A．5分钟 B．8分钟 C．15分钟 D．17分钟 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用；待定系数法求出乙提速后的函数关系式为，甲的函数关系式为，即可求解；理解横纵坐标的实际意义，能用待定系数法求出甲乙的一次函数关系式是解题的关键． 【详解】解：甲的速度为（米/分）， 乙提速后的速度为（米/分）， 乙到达山顶的时间为（分）， 设乙提速后的函数关系式为， 图象经过，，则有 ， 解得：， 乙提速后的函数关系式为， 同理可求：甲的函数关系式为， ①当时， 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； ②当时， ， 解得：； 综上所述：时间为分钟或分钟或分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为30米； 甲、乙两人距地面的高度差为30米的时间不可能是分钟； 故选：C． 22．明明、亮亮在学校操场上玩飞机模型，已知1号、2号两个飞机模型分别从距水平线起点和距水平线起点处同时出发，匀速上升、如图是1号、2号两个飞机模型所在位置的高度与飞机上升时间的函数图象．当这两个飞机模型的高度相差时，上升的时间为_____________ 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题关键． 设1号飞机模型的函数表达式为，将，代入求解析式；设2号飞机模型的函数表达式为，将，代入求解析式；然后令，求解该绝对值方程即可． 【详解】解：设1号飞机模型的函数表达式为. 将，代入中， 得 解得 1号飞机模型的函数表达式为； 设2号飞机模型的函数表达式为. 将，代入中， 得 解得 2号飞机模型的函数表达式为 ∵当这两个飞机模型的高度相差时，可得 ， 解得或， 故答案为：或. 23．小敏上午8∶00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程（单位：）和所经过的时间（单位：）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)小敏去超市途中的速度是多少？在超市停留了多长时间？ (2)请写出与的函数关系式； (3)小敏几点几分返回到家？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据观察横坐标，可得去超市的时间，根据观察纵坐标，可得去超市的路程，根据路程与时间的关系，可得答案；在超市逗留的时间即路程不变化所对应的时间段； （2）分类讨论：①当时，②当时，③设返回家时，逐个分析求解即可； （3）求出返回家时的函数解析式，当时，求出x的值，即可解答． 【详解】（1）解：速度为：（米/分） 逗留的时间为：． （2）解：①由（1）可知，当时，y与x的函数解析式为， ②当时，； ③设返回家时，y与x的函数解析式为，把分别代入，得 ， 解得 ∴函数解析式为， 当时，， 解得， 综上所述，． （3）解：由（2）可知，当时，， ∴返回到家的时间为． 24．如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发骑车前往地，两人行驶的路程与甲行驶的时间之间的关系如图所示，请根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)两地相距_______km，乙骑车的速度是________； (2)分别求甲、乙在的时间段内的函数关系式； (3)在的时间段内，当为何值时甲、乙两人相距5千米． 【答案】(1)20，5； (2)， (3)3小时或5小时 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、从函数图像获取信息、求函数解析式、一元一次方程等知识点，掌握数形结合思想和分类讨论的思想是解答本题的关键． （1）根据函数图像中的数据，可以直接写出A、B两地的距离，然后再根据图像中的数据，可以计算出乙骑车的速度； （2）根据函数图像中的数据，分别运用待定系数法求出甲、乙两人在的时间段内y与x之间的函数关系式； （3）分相遇之前两人相距和相遇之后且甲到达C地之前相距两种情况，分别根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由图像可得，A、B两地相距，乙骑车的速度是． 故答案为：20，5； （2）解：设甲在时，y与x之间的函数关系式是， ∵点在该函数图像上， ∴，解得：， ∴甲在时，y与x之间的函数关系式是； 设乙在时，y与x之间的函数关系式是， ∵点在函数图像上， ∴，解得 ， ∴乙在时，y与x之间的函数关系式是． （3）解：①相遇之前两人相距，则，解得； 相遇之后且甲到达C地之前相距，则，解得． 答：当乙行驶3小时或5小时时，甲、乙两人相距5千米． 25．小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小王的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题． (1)直接写出的函数表达式； (2)直接写出的函数表达式； (3)求点的坐标； (4)设小王和妈妈两人之间的距离为，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)、 【分析】本题考查了求一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解，行程问题(一次函数的实际应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）是过原点和 的直线，设 的解析式为，将代入求得，从而可得的函数表达式； （2）是连接和的线段，设的解析式为，代入和求得，从而可得的函数表达式； （3）根据K为，的交点，联立两个函数表达式，求出交点K的坐标； （4）分，，三种情况进行讨论，分别得到关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是过原点和 的直线， ∴设 的解析式为， ∴， 解得：， ∴的函数表达式为：； （2）∵是连接和的线段， ∴设的解析式为， ∴， 解得：， ∴的函数表达式为：； （3）∵K为，的交点，的函数表达式为：，的函数表达式为：， ∴， 解得：， 所以点K的坐标为； （4）当时， ∵小王：，小王妈妈：，， ∴， 令，则， 解得：， ∵， ∴不符合，舍去！ 当时， ∵小王：，小王妈妈：， ∴， 令，则 若，解得：， ，符合； 若，解得：， ，符合； 当时， ∵小王妈妈已经到家，，小王：， ∴， 令，则， 解得：， ∵， ∴不符合， 综上，满足的t值有两个，分别是、． 26．在一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地，两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)甲车的行驶速度是 千米/时，B、C两地之间的距离为 千米； (2)求点M、N的坐标； (3)求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）． 【答案】(1)60；360 (2) (3) 【分析】（1）由图象知，根据点F的坐标可求出甲车速度，根据点M的纵坐标可得B、C两地之间距离； （2）根据甲车比乙车晚1.5小时到达C地可得点E的坐标，因为乙车匀速行驶且按照原路原速返回，所以乙车从C地到B地和从B地到C地的时间相同，可求出乙车从C地到B地的时间，从而可求出点N坐标； （3）利用待定系数法求解即可． 本题考查了一次函数的实际应用行程问题，结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义是解题关键． 【详解】（1）解：由图象得，甲车的行驶速度是（千米/时），B、C两地之间的距离为360千米； 故答案为：60；360； （2）∵甲车比乙车晚1.5小时到达C地， ∴点， 乙车从C地到B地的时间为（小时）， ∴； （3）设直线NE的解析式为y=kx+b， 将和分别代入得， 解得， ∴y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为． 27．学校组织徒步活动，小甬从学校出发步行前往露营基地．出发小时后小甬到达离学校3千米的中途休息区，休息一段时间后按原速继续前往露营基地．小甬离开学校小时后，王老师驾车沿相同路线前往露营基地与小甬汇合，如图是他们离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数图象．已知王老师驾车的速度是小甬步行的速度的6倍． (1)求小甬步行的速度及王老师驾车的速度． (2)求王老师离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数表达式． (3)小甬从学校出发多少小时后被王老师追上？此时离学校多远？ 【答案】(1)小甬步行的速度为，王老师驾车的速度为 (2) (3)小甬从学校出发2小时后被王老师追上，此时离学校9千米 【分析】本题考查了一次函数的应用，路程速度时间的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数图象性质的运用，解题的关键是从实际问题中整理出一次函数模型． （1）根据出发小时后小甬到达离学校3千米的中途休息区和王老师驾车的速度是小甬步行的速度的6倍即可求出； （2）根据题意设，将代入解析式即可求解； （3）先求出小甬后半段的解析式，再联立即可求解． 【详解】（1）解：∵出发小时后小甬到达离学校3千米的中途休息区， ∴， ∵王老师驾车的速度是小甬步行的速度的6倍， ∴， 答：小甬步行的速度为，王老师驾车的速度为； （2）解：由（1）得，王老师驾车的速度为， ∴设，将代入，得 解得， ∴， 答：王老师离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数表达式为； （3）解：设小甬后半段的解析式为， ∵小甬步行的速度为， ∴， 由函数图象得，将代入中， 得 ， ∴， ∴ 解得， ∴， 答：小甬从学校出发2小时后被王老师追上，此时离学校9千米． 题型四、阶梯计费问题 28．小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的8.5折卖．设购买练习本数量为x本，甲商店收费为元，乙商店收费为元．（） (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为多少本？ (3)当购买的数量为22本时，应选择哪个商店更优惠？请说明理由． 【答案】(1)， (2)当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为20本 (3)应选择甲商店更优惠，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意正确建立函数解析式． （1）根据总价单价数量就可以表示出y与x之间的关系式； （2）根据题意得，可得方程，再解方程即可； （3）将分别代入两个函数解析式，求出函数值，再比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ； （2）解：根据题意得， 即， 解得， 答：当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为20本． （3）解：应选择甲商店更优惠，理由如下： 买22本练习本， 甲商店的费用为元， 乙商店的费用为元． ∵， ∴应选择甲商店更优惠． 29．我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费，该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元． (1)请写出y与x的函数关系式． (2)如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？ 【答案】(1)； (2)这个月该户用了11吨水． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，理解题意，根据题意列出一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意，分类和两种情况分别列出函数关系式即可； （2）先判断该户居民用了超过6吨水，再代入求解方程得出x的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，分2种情况讨论： ①当时，； ②当时，； 与x的函数关系式为． （2）， 该户居民用了超过6吨水， 当时，， 解得：， 答：这个月该户用了11吨水． 30．某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）． 用水量x（立方米） 应交水费y（元） 不超过12立方米 每立方米3.5元 超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元 (1)求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； (2)若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)该户居民用水20立方米 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据表格中的数据，可以写出每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； （2）先判断该户居民用水量的范围，然后根据（1）中的关系式，即可计算出该户居民用水多少立方米． 【详解】（1）解：由题意可得， 当时，， 当时，， 由上可得，每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式是； （2）解：∵， ∴该户居民用水超过12立方米， 设该户居民用水a立方米， 则， 解得， 答：该户居民用水20立方米． 31．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司小唐、小宋、小元三位员工每天骑电动车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计）．每次支付费用y元与骑行时间x min之间的对应关系如图所示．其中A种电动车支付费用对应的函数为；B种电动车支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为．请根据函数图象信息，解决下列问题： (1)小唐每天早上骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为，小唐家到公司的距离为，那么小唐选择______种电动车更省钱（填“A”或“B”）； (2)一天，小宋骑行A种电动车从家到公司上班，小元骑行B种电动车从家到公司上班，若两人支付费用同为7.6元，求小宋和小元骑行的时间差． 【答案】(1)B (2)小宋和小元骑行的时间差为1分钟． 【分析】本题考查了一次函数的应用， （1）首先求出所用时间为分钟，然后根据函数图象，即可求解； （2）分别求得的函数解析式，根据两人支付费用同为7.6元，代入解析式即可求解． 【详解】（1）∵两种电动车的平均行驶速度均为，小刘家到公司的距离为， ∴所用时间为分钟， 根据函数图象可得当时，更省钱， ∴小唐选择种电动车更省钱； （2）设，将代入得， 解得： ∴； 当时，， 当时，设，将，代入得， 解得： ∴ ∵两人支付费用同为7.6元 ∴， ∴当时， 解得； 当时， 解得； ∴． ∴小宋和小元骑行的时间差为1分钟． 32．某学校社团开展了《哪一款手机资费套餐更合适》学习活动．下表是调查的有关信息： 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 请根据表中的信息完成下列问题： (1)根据调查内容，某用户使用流量为，使用语音分钟，按A套餐月资费为______元，按B套餐月资费为______元； (2)根据访谈内容，小明妈妈每月语音通话不超过分钟，设她每月使用流量为，每月的手机资费为元． ①若她使用的是A套餐，与的函数关系为：当时，；时，．如图为与的函数图象．若她使用套餐，请求出与之间的函数关系式，并在坐标系中画出它的图象； ②若她某月使用流量为，则使用______（填：A或B）套餐月资费更少； ③若她某月的月资费为元，请判断使用哪种套餐流量更多，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①,图象见解析；②B；③使用B种套餐流量更多，理由见解析 【分析】此题考查了一次函数的实际应用， （1）分别根据两种套餐求出费用即可； （2）①分两种情况求出函数解析式，画出函数图象即可；②根据图象回答问题即可；③分别求出当时，A套餐的流量为，B套餐，比较后后即可得到答案． 【详解】（1）按A套餐：（元）， 按B套餐：元， 故答案为：， （2）解：当时，； 当时，； ∴ B套餐的大致图象如图； ； ②由图象可知，若她某月使用流量为，则使用B套餐月资费更少； 故答案为：B ③使用B种套餐流量更多，理由： 当时，A套餐，，， B套餐，，， ∴使用B种套餐流量更多 题型五、一次函数与几何综合（难点） 33．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，点在第一象限，且，． (1)求点坐标； (2)点在直线上，，求点坐标； (3)点是线段上的一个动点（点，除外），试探究在轴的上方是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点坐标为 (2)点坐标为或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积计算以及菱形的存在性问题，熟练运用相关定理和分类讨论思想是解答本题的关键． （1）先根据直线解析式求出，两点的坐标，再通过构造“一线三垂直”模型证明三角形全等，利用全等三角形的性质求出点的坐标； （2）先求出直线与的交点的坐标，设出点的坐标，用含未知数的式子表示的长度，结合三角形面积公式列方程求解点坐标； （3）根据菱形的性质，分“以为对角线”和“以为边”两种情况，结合一次函数解析式与菱形的边长关系，分类讨论求解点的坐标． 【详解】（1）解：直线分别与轴，轴交于点，， 当时，；当时，， 、， 如图，过点作轴于点， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 点坐标为； （2）解：设与直线交于点， 由，当时，， ， 点在直线上，设， ， ， ， 即， 解得：或， 点坐标为或； （3）解：存在， ①如图，当时，四边形为菱形， 则、在的中垂线上， 的纵坐标为， 把代入中，得， ，； ②如图，当时，四边形为菱形， 设， ， ， 解得：或（舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 34．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点．设x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，分别交直线、直线于点D，E，连接． (1)________，________． (2)当时，若，求此时点P的坐标． (3)当a为何值时，线段的长为14？ 【答案】(1)，7 (2) (3)或12 【分析】本题考查了求一次函数解析式，直线围成的面积，解绝对值方程等知识，掌握这些知识是关键． （1）把点分别代入两个函数解析式中即可求解； （2）求出点B的坐标，则可求得，再由得，由此建立方程即可求解； （3）用字母a表示，根据得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点， ∴把点代入直线中，得：， 解得：； 把点代入直线中，得：， 解得：， 故答案为：，7； （2）解：由（1）知：，令，得， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵，轴 ∴， ∴ ∴， 解得：， 即点P的坐标为； （3）解：由（1）知，， ∵，轴， ∴， ∴， 由题意得：， 解得：或， ∴a的值为或12． 35．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点E，点E的横坐标为3． (1)点E的坐标为________，________； (2)在y轴上有一点，过点P作y轴的垂线，与直线交于点C，与直线交于点D，若，求m的值． 【答案】(1)，4 (2)或 【分析】本题主要考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得点E坐标，然后把点E坐标代入直线进行求解即可； （2）由题意易得，，则有，然后可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点E的横坐标为3， ∴， ∴ 把代入直线得：， ∴， 故答案为，4； （2）解：由（1）可知：直线， ∴令时，则有， ∴，即， ∵过点P作y轴的垂线，与直线交于点C，与直线交于点D，且， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或． 36．建立模型 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用 (1)如图2，直线：与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，求直线的表达式； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在一点Q，使得是等腰直角三角形，点Q坐标为或 【分析】（1）根据解析式得出、坐标，由 “”可证 可得，即可求解； （2）由待定系数法可求解； （3）分两种情况，结合全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：∵与轴、轴分别交于、两点， ∴点，点， ∴，， 如图，过点作轴于， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点； （2）解：设直线的表达式为：， ∵， ∴， ∴， ∴直线的表达式； （3）解：存在一点Q，使得是等腰直角三角形， 当时，过点作轴于，过点作于， ∵点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 当时， 过作于点，过作，交延长线于点， 同理， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴点， 综上所述： 点坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点的性质是解题的关键． 37．如图1，平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B．直线交于点D，交x轴于点E． (1)求直线的解析式和D点坐标； (2)如图2，点P坐标为，求的面积； (3)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点C的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）运用待定系数法求解直线的解析式即可，再把代入直线解析式即可求解D点坐标； （2）根据即可求解； （3）分两种情况，构造全等三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：把、代入得到， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上，横坐标为， 把代入可得：， ∴点的坐标为； （2）解：∵点坐标为，， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3中， ①当是等腰直角三角形时，作轴于， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ②当是等腰直角三角形时，同理可得， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 38．如图，直线与直线交于点，与轴、轴分别交于点和点， (1)求的值； (2)直接写出二元一次方程组的解； (3)若点是轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识． （1）把点P的坐标代入中，求出的值，即求出点P的坐标，再把点P的坐标代入中，求出m的值即可； （2）两直线的交点的横纵坐标即为两直线的解析式组成的方程组的解，据此可得答案； （3）如图，作点A关于y轴对称点，则，由两点之间线段最短可知的最小值为的长，求出直线的表达式，则可求出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点， ∴， ∴， 把点P坐标代入中得， ∴； （2）解：由（1）可得直线与直线交于点， ∴二元一次方程组的解为； （3）解：如图，作点A关于y轴对称点，则， 由两点之间线段最短可知的最小值为的长， ， 在中，当时，， ， ， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将，代入，得 解得 直线的表达式为， 在中，当时，， 点C的坐标为． 39．如图，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点，且与直线相交于点A， (1)求直线的表达式和点A的坐标． (2)如图1，点D在直线上，且横坐标为2，点Q为射线上一动点，若，请求出点Q的坐标． (3)如图2，过点A作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上一点，且，请直接写出直线的表达式． 【答案】(1)； (2) (3)直线的表达式为或 【分析】（1）将点，点代入之中求出，进而可得直线的表达式；联立，得，由此可得点A的坐标； （2）连接，依题意得点，根据点，点，由此可利用勾股定理的逆定理证明，设点，其中，则，然后根据得，由此解出，进而可得点Q的坐标； （3）依题意有以下两种情况：①点M在点E的上方时，过点B作交直线于点N，过点N作轴于H，过点A作轴于T，先证明为等腰直角三角形得，进而证明和全等得，由此得，则点，然后利用待定系数法即可求出直线的表达式；②当点M在点E的下方的时，先求出点，则，证明和全等得，则点，再利用待定系数法即可求出直线的表达式，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， ，得：， ∴直线与直线的交点坐标为； （2）解：连接，如图1所示： ∵点D在直线上，且横坐标为2， ∴点， ∵， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴， ∵点Q为射线上一动点， ∴设点，其中， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为； （3）解：∵M为y轴上一点，且， ∴有以下两种情况： ①点M在点E的上方时，过点B作交直线于点N，过点N作轴于H，过点A作轴于T，如图2所示： 则， ∵点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴，， ∵点N的坐标为， 设直线的表达式为， 将点，点代入， 得：，解得：， 直线的表达式为； ②当点M在点E的下方的时，如图3所示： ∵直线的表达式为， ∴当时，， ∴点M的坐标为， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线的表达式为， 将代入， 得：，解得：， ∴直线的表达式为， 综上所述：直线的表达式为或． 【点睛】此题主要考查了一次函数，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，一次函数交点坐标，正确地作出辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形是解决问题的关键． 综合攻坚·能力跃升 B 1．（2026·安徽淮北·二模）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的体重之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板后电压表显示的读数为2伏，则此人的体重是（   ） 提示：（1）导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； （2）串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出与踏板上人的体重之间的函数关系式为，再结合题意求出的电阻，在中，当时，，求解即可． 【详解】解：将，代入可得：， 解得：， ∴与踏板上人的体重之间的函数关系式为， 由题意可得：电流为， 两端的电压为：， 故的电阻为（欧）， 在中，当时，， 解得：， 故此人的体重是． 2．（2026·山西·一模）某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高，待加热到，养生壶自动停止加热．小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据： 通电时间 0 1 2 3 4 … 水温 20 30 40 50 60 … 则下列说法正确的是（） A．加热到用时 B．与之间的函数表达式为 C．加热过程中，水温高于的时间为 D．小林在8：06可以接到不低于的水 【答案】D 【分析】根据表格数据判断与为一次函数关系，求出函数表达式和停止加热时的通电时间，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：由表格数据可知，通电时间x每增加，水温增加，因此是的一次函数． 设， ∵当时，；当时，， ∴，解得， ∴ 当时，，解得， ∵加热到，养生壶自动停止加热， ∴， ∴与的函数表达式为． 对各选项逐一判断： A选项：当时，，解得，即用时，故本选项错误； B选项：函数表达式为，不是，故本选项错误； C选项：当时，，解得， ∵， ∴水温高于的时间为，故本选项错误； D选项：∵8∶00接通电源，8∶06接水， ∴通电时间为， 当时，， ∵ ∴小林在8：06可以接到不低于的水，故本选项正确． 3．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）某游泳馆的年收费有A，B两种方式：方式A的年收费总额y（元）与游泳次数x之间的关系式为；方式B的年收费总额y（元）与游泳次数x之间的关系如图所示．若王叔叔估计了一年去游泳馆游泳的次数后，选择了方式A，则他估计的这一年去游泳馆游泳的次数最多为（    ） A．35次 B．29次 C．10次 D．7次 【答案】B 【分析】先根据图象求出方式B的函数解析式，再根据王叔叔选择了方式A，列出不等式，解不等式即可求出的取值范围，进而确定最大整数解． 【详解】解：由图象可知，方式B的函数解析式为，直线经过点， ， 解得：， 方式B的函数解析式为， 王叔叔选择了方式A， 方式A的费用小于方式B的费用，即， 解得， 为游泳次数，应为整数， 的最大值为29 ． 4．（25-26八年级下·福建厦门·期中）、两地相距4000米，甲货车从地匀速开往地，乙货车在甲货车出发10分钟后，从地沿同一公路出发匀速开往地，到达地后停止，而甲继续开往地，到达地后才停止．两车之间的距离（米）与甲货车出发的时间（分钟）之间的函数关系如图中的折线所示：①甲的速度为100米/分钟；②乙的速度为140米/分钟；③乙货车从地到地用的时间为分钟；④当乙到达地时，甲离地的距离为米．上述说法正确的是_____． 【答案】①③④ 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲乙两货车的速度，然后即可计算出乙货车从B地到A地用的时间，再根据函数图象中的数据，即可计算出当乙到达A地时，甲离B地的距离． 【详解】解：由题意可得， 甲货车的速度为：（米/分钟），故①正确； 由甲乙两车在22分钟相遇可得乙货车的速度为：（米/分钟），故②错误； 乙货车从B地到A地用的时间为：（分钟），故③正确； 当乙到达A地时，甲行驶时间为分钟，此时离B地的距离为（米），故④正确； 正确的有①③④． 5．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，直线：与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线与直线交于点E，点C在x轴的正半轴上，且． (1)求点B与点E的坐标； (2)点P是线段上一动点，点F为x轴上一动点，连接，，，当面积为4时． ①求点P的坐标； ②直接写出的最小值； (3)如图2，点Q为线段的中点，连接和，在x轴是否存在动点M，使得，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点M的坐标． 【答案】(1)， (2)①；② (3)或 【分析】（1）先求出点C的坐标，可得点B的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立两函数解析式，即可求出点E的坐标； （2）①根据图形得出，可得点P的坐标；②根据将军饮马即可求出最小值； （3）分两种情况：当点M在点C的左侧时，当点M在点C的右侧时，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，，解得：， ∴点，即， ∵， ∴，即， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴点； （2）解：①∵，， ， ， ， 此时， ， ； ②如图，作关于轴对称点，则点， 此时，当且仅当、、三点共线时取等， 此时最小值为， 即最小值为； （3）解：∵点Q为线段的中点，， ∴点，即， 如图，当点M在点C的左侧时， 由（1）得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； 如图，当点M在点C的右侧时， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 6．（25-26八年级下·重庆·期中）如图在平面直角坐标系中，直线过点，． (1)求直线表达式． (2)在图1中，以为腰在第一象限作等腰直角三角形，．线段在轴上移动（E在F左侧），，当最小时，求E点坐标和的最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，点P坐标，点M是线段中垂线上一动点，过点C作轴垂线，点Q是此垂线上的一个动点，若是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)Q点坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出点的坐标，再将点B向右平移2个单位长度到，作关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点F， 的长即为的最小值，再求出直线的解析式，即可求得点的坐标，根据，可得点E的坐标； （3）过点M作轴于点F，延长交于点G，设，由点M在线段中垂线上，可得，可得，则，再证明，可得，，再由，即可求解． 【详解】（1）解：（1）设直线表达式为， 将点，代入表达式得， 解得：， ∴直线表达式为． （2）解：如图1，过点C作轴于点D，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图，将点B向右平移2个单位长度到，作关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点F，此时的长即为的最小值， 设直线的解析式为， ∵， ∴，， ∴， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为 当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时， 点E坐标为，的最小值是． （3）解：如图，过点M作轴于点F，延长交于点G， 设， ∵点M在线段中垂线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵轴，， ∴， ∵是以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵延长交于点G，轴，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，， 当时，， ∴，， 如图，此时点在下方， ∵， ∴点的纵坐标为， ∴； 当时，， ∴，， 如图，此时点在上方， ∵， ∴点的纵坐标为， ∴； 综上所述，Q点坐标为或． 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、． (1)求直线的表达式； (2)若的面积为20，求点坐标； (3)在（2）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点E坐标为 ； (3)Q坐标为或或 【分析】（1）根据一次函数解析式，分别令，可以得两点的坐标，根据两点的坐标，求出与的长度，再根据和点C为的中点来确定C与D的坐标，然后根据待定系数法可以计算出直线的解析式； （2）根据的面积的面积的面积的面积的面积，求解即可； （3）设点，点，分情况讨论∶①以，为对角线，②以，为对角线，③以，为对角线分别列二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解∶∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， 时，， 点， ， ∵点C为的中点， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式：， 将点，点代入直线解析式 得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为； （2）解：设点， ， ， 的面积， ， ， 的面积， 的面积， 的面积， 的面积的面积的面积的面积的面积， ， 解得， ， ∴点E坐标为 ； （3）解：存在以D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴设点，点， ①当四边形以， 为对角线时， ∵点，， ∴， 解得， ， ∴点； ②当四边形以， 为对角线， ∵点，， ， 解得， ， ∴点， ③当四边形以， 为对角线， ， 解得， ， ∴点， 综上，满足条件的点Q坐标为或或． 8．（25-26八年级下·北京·期中）已知点为图形上一点，点为图形上一点（，不重合），若一点能使得点为线段的中点，则称点为图形关于图形的“倍中点” 若图形上每一点都是图形关于图形的“倍中点”，且图形关于图形的“倍中点”都在图形上，则图形为图形关于图形的“倍中图” 在平面直角坐标系中，点，，，． (1)在点，，，中，点_____是点关于线段的“倍中点”； (2)若图形为线段关于线段的“倍中图”，请在图中画出图形，并直接写出图形的面积为_____． (3)点是轴上一动点，正方形，，，的各顶点坐标为，，，，线段上任一点都为正方形关于正方形的“倍中点”，直接写出的取值范围为_____． 【答案】(1)和 (2)图见解析， (3)或 【分析】（1）先求出直线的解析式，由“倍中点”的定义可得的中点在线段上，再分别验证，，，的中点是否在线段上即可； （2）根据题意推导图形是一个平行四边形，分别求出四个顶点的坐标，再用割补法求面积即可； （3）根据题意可知正方形关于正方形的“倍中图”是由一个与正方形共对角线的交点即点且边长为且各边都与坐标轴垂直或平行的正方形去除正方形的内部所得到的，然后分别求出四个临界情况时的值，从而得解． 【详解】（1）解：设直线的解析式是， 将点，代入得： ， 解得， 直线的解析式是， 由题意可知：若点是点关于线段的“倍中点”，则的中点在线段上， 对于点，的中点是点， 当 时，， 点不在线段上，即点不是点关于线段的“倍中点”； 对于点，的中点是点， 当 时，， 点在线段上，即点是点关于线段的“倍中点”； 对于点，的中点是点， 当 时，， 点在线段上，即点是点关于线段的“倍中点”； 对于点，的中点是点， 当 时，， 点不在线段上，即点不是点关于线段的“倍中点”； 综上，点和是点关于线段的“倍中点”； （2）解：如图，平行四边形即为所求作的图形， 由题意可知，点关于线段的“倍中图”，就是以这条线段为中位线的第三边，如图中点关于线段的“倍中图”即为，此时是的中位线， 由中位线定理可知：，即当长度不变时，的长度不变， 线段关于线段的“倍中图”就是线段平移产生的图形，这个图形是线段或者平行四边形， 如图所示，图形为线段关于线段的“倍中图”是平行四边形，其中点关于线段的“倍中图”是，点关于线段的“倍中图”是， 则是的中点， 设点为， ，， ，， 解得，，即， 同理可得：，，， 该部分面积等于长方形面积减去四个直角三角形的面积， 即图形的面积为：； （3）解：如图所示：正方形的边长为， 正方形关于正方形的“倍中图”，如图所示，它是由一个与正方形共对角线的交点即点且边长为且各边都与坐标轴垂直或平行的正方形去除正方形的内部所得到的． 所以点到该部分的外边界与轴的交点的距离是，到该部分的内边界与轴的交点的距离是， 要使得线段上任一点都为正方形关于正方形的“倍中点”，只需该部分包括线段即可． 如图，当外边界与轴的右交点是点时，， 则； 如图，当内边界与轴的右交点是点时，， 则； 如图，当点在线段上时， 将点代入直线的解析式得：， 解得； 如图，当外边界与轴的左交点是点时，， 则； 综上所述：的取值范围是：或． 9．（25-26八年级下·山东青岛·期中）某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表： 商店 优惠条件 甲商店 前件按原价销售，其余每件享受七折优惠 乙商店 每件均享受九折优惠 (1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？ (2)该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？ 【答案】(1)当时，甲乙两商店一样合算，当时，选择乙商店更合算，当时，选择甲商店更合算 (2)选择甲商店更合算，即到乙商店购买不合算 【分析】（1）分别求出该公司购买纪念品的件数是件时，、与之间的函数关系式，然后根据购买的件数分情况讨论； （2）分别求出在甲、乙两个商店购买件纪念品所需费用，通过比较选择确定哪个商店更合算． 【详解】（1）解：设该公司购买纪念品的件数是件，选择甲商店时所需的费用为元，选择乙商店时，所需的费用为元， 根据题意得：，， 由得：， 解得：； 由得：， 解得：； 由得：， 解得：； 当时，甲乙两商店一样合算， 当时，选择乙商店更合算， 当时，选择甲商店更合算； （2）解：当时， 可得：，， ， 到甲商店购买件纪念品更合算，到乙商店购买件纪念品不合算． 10．（2026·辽宁朝阳·一模）某电商计划购进A、B两种农产品，已知购进2件A产品和3件B产品共需270元，购进3件A产品和2件B产品共需230元． (1)求每件A、B产品的进价分别是多少元？ (2)该电商计划购进A、B两种产品共100件，且A产品的数量不超过B产品数量的3倍，总费用不超过4200元，该电商共有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，若每件A产品售价40元，每件B产品售价100元．哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每件A产品的进价为30元，每件B产品的进价为70元 (2)进货方案共有6种 (3)当购进A产品70件、B产品30件时，获利最大，最大利润为1600元 【分析】（1）设每件A产品的进价为x元，每件B产品的进价为y元，根据题意列出方程组，解方程组可得结果； （2）设该平台计划购进A产品m件，B产品件，根据题意列出不等式组，解不等组，结合是整数，进行解答即可； （3）设利润为元，根据题意，表示出总利润与的关系，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A产品的进价为x元，每件B产品的进价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：每件A产品的进价为30元，每件B产品的进价为70元； （2）解：设该平台计划购进购进A产品m件，B产品件， 根据题意得： 解得：， 为整数， 可以取70，71，72，73，74，75，共6种取值， 即该商场共有6种进货方案； （3）解：设利润为元，根据题意得： ， ， 随的增大而减小， 当m取最小值时，为最大值， 由（2）可知，m的最小值为70，此时件， 最大利润为元， 答：当购进A产品70件、B产品30件时，获利最大，最大利润为1600元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，涉及到解不等式，一次函数的性质的应用，正确理解题意是解题的关键． 11．（2026·湖北咸宁·模拟预测）数学来源于生活也应用于生活，建筑楼梯设计有很多数学奥秘，探究并完成活动． 主题：建筑楼梯优化设计问题 材料阅读：为提升学生数学实践应用能力，某校兴趣小组对建筑工地楼梯设计开展调研活动，首先学习了楼梯的核心构造概念，示意图如下： 1．踏步面宽（）：每级楼梯水平踩踏面的宽度，为保障行走安全，规范要求：且每级踏步面宽相等； 2．踏步高度（）：每级楼梯的垂直高度，规范要求：且踏步高度一致； 3．歇脚台：楼梯顶端与入户门之间的水平平台，供行人临时停留； 4．总进深：从楼梯最底端到入户门的水平总距离，本次测量值为； 5．总高度：从地面到入户门的垂直总高度，本次测量值为； (1)活动一：设踏步总级数为n（n为正整数），根据题意及示意图填空： ①用n表示踏步高度_____； ②用n表示踏步水平踩踏面（不包括歇脚台）数量______； ③用n，b表示歇脚台宽度______． (2)活动二：为最大化歇脚台使用空间即歇脚台宽s取最大，请通过数学计算确定最合理的踏步宽b和高度h，并求出歇脚台此时的宽度s值． 【答案】(1)①；②；③ (2)踏步宽b为，高度h为，歇脚台宽度s为 【分析】（1）①②③根据题意列代数式即可； （2）根据题意得出，确定n可以取12或13，然后分两种情况利用一次函数的性质求解确定最大值即可． 【详解】（1）解：①根据题意得：高度； ②， ③歇脚台宽度； （2）解：由题意得 解得 ， ∵n为正整数， ∴n可以取12或13， 当时，      ， 此时， s随b的增大而减小，且 ， ∴当时，s取得最大值， ， 当时， ， 此时， 同理，当时，s取得最大值， ， ∵， ∴踏步宽b为，高度h为，歇脚台宽度s为． 12．（2026·天津滨海新区·一模）已知小华家、超市、书店依次在同一条直线上，超市离小华家，书店离小华家，小华从家骑车匀速骑行到书店，在那里停留了，之后又匀速步行到超市，在超市停留了后，用了匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 2 10 55 90 小华离开家的距离 3 ②填空；书店到超市的距离为________； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于x的函数解析式； (2)当小华从书店出发前往超市时，同时小华的哥哥也从书店出发，以的速度匀速步行直接回家，从书店到家过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①0.6，3，1.6；②1.4；③当时，小华离家的距离y关于x的函数解析式 (2) 【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，由书店离小华家的距离减去超市离小华家的距离即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华在最初的内的速度为， 当时，， 当时，， 当时，； ②书店到超市的距离为； ③由图象可知，当时，， 当时，图象经过点，， 设函数解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴函数解析式为， ∴当时，小华离家的距离y关于x的函数解析式． （2）解：小华的哥哥从书店到家所用时间为， ∴小华的哥哥从书店出发时的时间为，到家的时间为， ∴小华的哥哥离家的距离与x之间的函数图象经过点，， 设与x之间的函数关系式为， 将点，代入得： ，解得， ∴与x之间的函数关系式为：， ∴小华的哥哥离家的距离与x之间的函数图象如下： 当时，令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意， ∴当时，． 13．（2026·河南周口·一模）某文具店购进A、B两种笔记本，已知购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元． (1)求A、B两种笔记本的单价； (2)若该文具店准备购进这两种笔记本共100本，且A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的设购进A种笔记本m本，总费用为W元，求W与m的函数关系式，并求最少费用． 【答案】(1)A种单价6元，B种单价5元 (2)，最少费用为525元 【分析】（1）设A种笔记本单价为x元，B种为y元，根据购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元，列出方程组进行求解即可； （2）根据A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的列出不等式求出的取值范围，根据总费用等于购买两种笔记本的费用之和，列出函数关系式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设A种笔记本单价为x元，B种为y元． 由题意，得， 解得； 答：A种单价6元，B种单价5元． （2）解：设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本本， 由题意，解得 ， ∴W随m增大而增大， 故当时，W最小，为525元． 答：函数关系式为，最少费用为525元． 14．（2026·陕西·一模）2026年3月14日是第七个“国际数学日”，今年国际数学日的主题是“数学与希望”．某校计划开展趣味数学活动，数学老师欲购买汉诺塔作为活动道具，已知文具店里汉诺塔售价为15元套，文具店的优惠方案如下：一次购买不超过10套，则每套打九折；若一次购买超过10套，则前10套打九折，超过的部分打八折．设数学老师购买套汉诺塔，购买费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若数学老师计划用195元购买汉诺塔，则他能购买多少套汉诺塔？ 【答案】(1) (2)能购买15套汉诺塔 【分析】（1）根据“一次购买不超过10套，则每套打九折；若一次购买超过10套，则前10套打九折，超过的部分打八折”进行求解即可； （2）先判断购买的数量是否大于10套，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，当时，费用为， 当时，费用为． 与之间的函数关系式为； （2）解：， 数学老师的购买数量大于10套． 令， 解得， 答：若数学老师计划用195元购买汉诺塔，则他能购买15套汉诺塔． 15．（25-26八年级下·河南周口·期中）为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？ (3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 【答案】(1) (2)9元 (3)最多骑行5小时 【分析】（1）根据收费标准求解即可； （2）将代入求解； （3）将代入求解． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：骑行3.5小时按4小时算， ∴将代入得，（元） ∴应付9元； （3）解：令，得 解得 答：最多骑行5小时． 16．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）春假期间，某景区文创店准备购进有、两种冰箱贴（每种至少个）共个进行销售．在结合自身销售情况和商家商谈中获得以下信息： 冰箱贴购进单价信息 商家有、两种冰箱贴可供选择，下表为该商家记录单的部分信息： 记录单 型冰箱贴（个） 型冰箱贴（个） 总费用（元） 记录单 记录单 文创店销售信息 信息一：文创店计划购进这批冰箱贴所花的费用不超过元． 信息二：型冰箱贴的售价为每个元，型冰箱贴的售价为每个元． 根据以上信息，完成下列3个任务： (1)任务1：根据冰箱贴购进单价信息，计算，两种型号冰箱贴每个分别是多少元． (2)任务2：根据文创店销售信息，求出文创店有几种购货方案，并具体列出对应方案． (3)任务3：根据以上信息，在上面的方案中，确定利润最大的购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元． (2)共有种购货方案，具体为：方案一：购进型个，型个；方案二：购进型个，型个；方案三：购进型个，型个． (3)最大利润的购进方案为购进型个，型个，最大利润为元． 【分析】（1）根据表格中的总费用信息，列二元一次方程组求解、两种冰箱贴的购进单价． （2）设购进型冰箱贴个，根据总费用限制和数量要求列一元一次不等式，求出符合条件的正整数解，得到所有购货方案． （3）根据利润关系列出总利润关于的一次函数，利用一次函数的增减性求出最大利润及对应方案． 【详解】（1）解：设型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元， ， 解得， ∴型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元． （2）解：设购进型冰箱贴个，则购进型冰箱贴个， ， 解不等式组得， ∵为正整数， ∴，，． 当时，； 当时，； 当时，． ∴共有种购货方案：方案一：购进型个，型个； 方案二：购进型个，型个； 方案三：购进型个，型个． 答：共有种购货方案，具体为：方案一：购进型个，型个；方案二：购进型个，型个；方案三：购进型个，型个． （3）解：设总利润为元， 单个型冰箱贴利润：元，单个型冰箱贴利润：元， ， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， ， 此时对应方案为购进型个，型个． 17．（2026·天津滨海新区·模拟预测）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 1.2 ②填空：张强从体育场到文具店的速度为________； ③当时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发，以的速度匀速步行直接回宿舍．在李明返回宿舍的图中，设张强距宿舍的距离为，李明距宿舍的距离为，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)①0.12，1.2，0.6；②0.06；③； (2)． 【分析】（1）①根据图象作答即可； ②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时间求解即可； ③当时，直接根据图象写出解析式即可；当时，设y与x的函数解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，可求得，，据此列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：①， 由图填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 0.12 1.2 1.2 0.6 故答案为：0.12，1.2，0.6； ②张强从体育场到文具店的速度为， 故答案为：0.06； ③当时， ； 当时，设y与x的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 综上，张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为； （2）解：当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍， ∴，， 当时，即， 解得， ∴． 18．（25-26八年级下·河北邢台·期中）在物理课上，老师为了更好地让学生感受光的反射规律并激发学生探索物理的兴趣，他设计了一个正方体的魔法盒子，如图是老师在平面直角坐标系中的设计图．其中点，点的坐标分别为，，在点处放置一支激光笔，激光笔发射的光线是直线的一部分． (1)点为平面镜的中点，若激光笔发射的光线恰好经过点，求所在直线的解析式； (2)已知在魔法盒子的上方有一个感光元件，当经过反射的光线照射到点与点之间时（包含端点），上方显示屏就会显示出“我爱物理”的字样．若要让同学们看到“我爱物理”字样，求反射光线与轴交点纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）根据轴对称的性质确定对称点，待定系数法求解析式，确定直线与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵点，点的坐标分别为，，且点为平面镜的中点， ∴， 设所在直线的解析式为， 将和代入解析式得， ， 解得， ∴所在直线的解析式为； （2）解：如图，取点关于轴的对称点， ∴， 根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点， 设反射光线所在的直线的解析式为， 将代入解析式得， ∴， ∴， 当反射光线经过点时，代入解析式得，， 解得， ∴， 当时，， ∴此时，反射光线与轴交点纵坐标的取值为； 当反射光线经过点时，代入解析式得，， 解得， ∴， 当时，， ∴此时，反射光线与轴交点纵坐标的取值为； 综上，反射光线与轴交点纵坐标的取值为． 19．（25-26八年级下·广东深圳·期中）数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论． 【实验发现】 糖水实验一： (1)①现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．加入克水，则糖水的浓度为________； ②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，即糖水浓度变低，由此可以写出一个不等式________，我们趣称为“糖水不等式”； 糖水实验二： (2)将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖并完全溶解”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”________； 【应用拓展】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 果汁：糖的浓度为（糖的浓度）； 果汁：糖的浓度为； (3)若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为________； (4)饮料公司需要生产一批的混合果汁，生产果汁A和果汁B的利润分别为7元和13元，要求混合果汁的糖的浓度不高于，如何生产能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)①；② (2) (3)200， (4)该饮料公司生产果汁A的质量为175千克，则生产果汁B的质量为千克，利润最大，最大利润为2590千克． 【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）加入n克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可； （3）先求出取出果汁A和果汁B的质量都为100，然后根据糖的浓度列式并化简即可； （4）设生产果汁A的质量为x千克，则生产果汁B的质量为千克，再根据混合果汁的糖的浓度不高于列不等式求得x的取值范围，再列出一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：①由题意得，加入m克水，糖水为克， ∴糖水的浓度为； ②∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴． （2）解：由题意得，加入n克糖，糖水为克，糖为克， ∴糖水的浓度为， ∵， ∵， ∴， ∴，即． （3）解：由题意可知：取果汁A和果汁B中的糖的质量为8和24，假设取果汁A和果汁B的质量都为100 ∴混合果汁的糖的浓度可以表示为． （4）解：设生产果汁A的质量为x千克，则生产果汁B的质量为千克， 由题意可得：，解得：， 饮料公司获得利润， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，利润最大，最大利润为元． 答：该饮料公司生产果汁A的质量为175千克，则生产果汁B的质量为千克，利润最大，最大利润为2590千克． 20．（25-26八年级下·广东深圳·期中）综合实践 背景一 深圳实验学校四十周年校庆的吉祥物是“燕宝啾啾”，某文创店购进大、小两种型号的“燕宝啾啾”玩偶共80个，且购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量不少于大号“燕宝啾啾”玩偶数量的． 背景二 经调查，大号“燕宝啾啾”玩偶进价每个58元，小号“燕宝啾啾”玩偶进价每个37元．因此，文创店计划大号“燕宝啾啾”玩偶每个卖88元，小号“燕宝啾啾”玩偶每个卖45元． (1)该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少多少件？ (2)该文创店所获得的最大利润是多少？ (3)实际进货时，小号“燕宝啾啾”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“燕宝啾啾”玩偶的购进数量不得超过40个．在(1)问的条件下，若该文创店保持两种型号的“燕宝啾啾”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大，求购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量？ 【答案】(1)35件 (2)1630元 (3)当 时，小号数量35 个，利润最大．当时，小号数量可为 35∼40 个；当时，小号数量40 个时，利润最大． 【分析】（1）设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶x个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，然后根据题意列不等式求解即可； （2）设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶a个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，然后根据题意列出一次函数解析式，再根据一次函数的性质求最值即可； （3）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶b件，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，易得则文创店所获得的利润，然后分、和三种情况解答即可． 【详解】（1）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶x个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个， 由题意可得：，解得：， 所以该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少35件． （2）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶a个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，， 则文创店所获得的利润， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，文创店所获得利润最大，最大利润为元． （3）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶b件，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，， 则文创店所获得的利润， ∵， ∴当 时，，w 随b增大而减小，故，即小号数量35 个，利润最大． 当时， ，小号数量可为 35∼40 个； 当时，，w 随b增大而增大，故，即小号数量： 40 个时，利润最大． 21．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，，为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称为矩形的等长点．例如：如图中的为矩形的一个等长点． (1)在点中，矩形的等长点是_____； (2)若为矩形的等长点，则值为_____； (3)若一次函数的图象上有且只有一个矩形的等长点，则的取值范围是_____． 【答案】(1)，； (2)或或或； (3)或． 【分析】本题是新定义问题，考查了坐标与图形的性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是理解等长点的定义以及一次函数的图象与性质，利用数形结合的思想进行求解． （1）理解等长点的定义，逐个判断即可； （2）根据等长点的定义分四种情况构建方程，再解方程，即可解决问题； （3）设为矩形的等长点，确定点的轨迹，由一次函数可得过定点，结合题意以及图象，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵， ∴是矩形的等长点； ∵， ∴不是矩形的等长点； ∵， ∴是矩形的等长点； 故答案为：，； （2）解：∵为矩形的等长点， ∴或或或， 解得或或或， 故答案为：或或或； （3）解：由题意可得，设为矩形的等长点， 则或或或，且，， 可得或或或， 画图象如下， 则矩形的等长点在线段、、，上， 由一次函数可得过定点， 因为一次函数的图象上有且只有一个矩形的等长点，可得图象如下： 当一次函数经过点时，， 当一次函数经过点时，， 由此可得，； 当一次函数经过点时，， 当一次函数经过点时，， 由此可得，， 故答案为：或． 22．（25-26八年级下·福建福州·期中）根据以下素材，探索完成任务 探究通过维修路段的最短时长 素材1 如图1，某路段（段）需要维修，临时变成双向交替通行，故在，处各设置红绿灯指导交通（仅设置红灯与绿灯） 素材2 甲车为路口第一辆车，甲车先由通行，乙车等待绿灯亮起后再由通行，甲车经过段的时间分别为，，，它的路程与时间的关系如图2所示；两车经过段的速度相等，乙车经过段的速度是． 素材3 红绿灯1，2每114秒一个循环，图3中记录了从甲车通过路口开始，一段时间内红灯、绿灯的时长，且每次双向红灯时，已经进入段的车辆都能及时通过该路段．                                          问题解决： (1)若乙车在路口绿灯转为红灯的瞬间恰好通过路口（即进入段），并在路口的双向红灯时段结束时恰好通过维修路段．结合素材直接写出甲车经过、、段的速度，并在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程（）与时间（）之间的函数图象． (2)丙车沿方向行驶，经过段的车速与任务1中乙车经过时的速度相同，在段等红灯时车辆开始行驶后平均速度为8，等红灯时车流长度每秒增加2，记丙车在红绿灯2由绿灯变为红灯后的秒到达段开始等待（），记红绿灯2由绿灯变为红灯后的秒丙车恰好到达路口（红绿灯2下方），求关于的解析式． (3)丙车在段从开始等待至离开点需要秒，求的最小值． 【答案】(1)甲车经过、、段的速度分别为：；；；图见详解； (2) (3)47 【分析】（1）根据题中素材，结合“路程、速度、时间”的关系即可求解，画图； （2）结合题意直接列出关于的解析式 （3）列出符合题意的函数解析式，再根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图像可得： 段的路程为：，甲车经过段的时间为：，则甲车经过段的速度为： 段的路程为：，甲车经过段的时间为：，则甲车经过段的速度为：； 段的路程为：，甲车经过段的时间为：，则甲车经过段的速度为：; 根据题意，乙车通过维修路段时行驶的时间为，根据两车经过段的速度相等，则乙车经过段的时间为， 根据乙车经过段的速度是，得乙车经过段的时间为：． 即补全函数图像如图： （2）解：由题意得：； （3）解：红绿灯2由绿灯变成红灯后秒丙车恰好到达路口， 则丙车在段从开始等待至离开点需要秒， ， 随的增大而减小， ， 时，的最小值为． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $