专题06 函数（期末复习专项训练）2025-2026学年人教版数学八年级下册

专题05 函数 目 录 A题型建模・专项突破 题型一、变量间关系的表示 1 题型二、函数的概念 3 题型三、求自变量的取值范围 4 题型四、求自变量的值与函数值（常考点） 5 题型五、函数图像的识别 7 题型六、从函数图像获取信息（重点） 10 题型七、函数图像的动点问题（难点） 14 B综合攻坚・能力跃升 17 题型建模·专项突破 A 题型一、变量间关系的表示 1．司机师傅到加油站加油，加油结束后，加油机显示牌上的数据如图所示，其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 2．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表，以下说法错误的是（    ） 刹车时车速v（） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离s（m） 0 2.0 5 7.5 10 12.5 A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．s随v的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是20m D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为30m 3．已知一个等腰三角形的周长为40，那么它的底边与腰长之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 4．晓晓经常购买汉中热米皮；热米皮的单价是8元/份，晓晓购买热米皮的总钱数随着热米皮的份数变化而变化，在这个过程中，自变量是（） A．热米皮的单价 B．购买的热米皮的份数 C．购买热米皮的总钱数 D．热米皮的单价和购买的份数 5．清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”在儿童从学校回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与注水时间t（s）的大致图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   7．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入自变量x的值为3，则最后输出因变量y的值为______． 题型二、函数的概念 8．下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（   ） A．圆的面积公式中，S是r的函数 B．在匀速运动公式中，s是t的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数 D．表达式中，y是x的函数 9．下列关系式：（1），（2），（3），（4），（5），y不是x的函数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．下列曲线中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 11．下列图象中，表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 12．老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如图所示的4个x，其中y一定是x的函数的是_____________ （填写所有正确的序号） 13．下列关于两个变量之间的关系的四种表述中，是的函数的有___________（填写编号） ①：三角形的面积，：这个三角形一边的长； ② ③ 6 1 2 3 4 ④ 题型三、求自变量的取值范围 14．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 15．函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 16．函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 19．函数中，自变量x的取值范围是_____． 20．函数中，自变量x的取值范围是_____． 21．在函数中，自变量x的取值范围是_________ 22．函数的定义域是_______． 题型四、求自变量的值与函数值（常考点） 23．若函数，则当函数值时，自变量x的值是（   ） A．或1.5 B． C．1.5或 D．1.5 24．下列函数中，其图象不经过点的是（   ） A． B． C． D． 25．弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度（）与所挂的物体的质量（）之间有下面的关系： 下列说法不正确的是（    ）． A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．所挂物体质量为时，弹簧长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度增加 D．弹簧不挂重物时的长度为 26．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和时，输出的值相等，则等于（   ） A． B． C． D． 27．已知函数 ，则 ___________． 28．在函数中，当函数值为时，自变量的值为______． 29．自由落体运动是由于引力的作用而造成的，月球上物体自由下落的时间和下落的距离 的关系大约是， 物体下落时，在月球上下落的距离是__________米． 30．一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度也不同，实验数据如表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？关系式为？ (3)如果弹簧最大挂重为，你能预测当挂重为时，弹簧的长度是多少？ 31．声音在空气中的传播速度随着气温的变化而有规律的变化．某校科技小组查阅资料发现，当气温为时，声音在空气中的传播速度为，随着气温每上升，声音在空气中的传播速度就增加． (1)根据上述变化过程，请写出声音在空气中的传播速度与气温的关系表达式； (2)当声音在空气中的传播速度为时，求对应的气温； (3)某地在进行爆破作业，当天气温为，小远同学在爆破进行后听到声音，若爆破产生的烟尘会对周围1800米内的动植物造成影响，小远同学是否会受到该次爆破的影响？ 32．6月4日7时许，嫦娥六号将五星红旗在月球背面成功展开．该国旗是科研人员通过一年多时间攻关，利用玄武岩熔融拉丝技术制作而成的，具有更强的耐腐蚀性，耐高温，耐低温等优异性能．现科研人员将一块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，当圆柱的底面积由大到小变化时，圆柱的高也随之发生了变化，数据记录如下表所示： 圆柱的底面积 … 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 … 圆柱的高 … 24 30 40 60 120 240 … (1)在这个变化过程中，自变量是_____，因变量是_____； (2)当圆柱的底面积为时，圆柱的高是_____； (3)根据上表反映的规律写出锻造过程中圆柱的高与底面积之间的关系式，并标注自变量取值范围：_____； (4)科研人员将这块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，拉丝后的圆柱体底面直径是头发丝直径的三分之一，然后把它纺成线，织成布，从而制作成五星红旗．已知头发丝的直径是，请你计算说明这块圆柱体玄武岩材料能纺线多少cm?（结果保留π） 题型五、函数图像的识别 33．若等腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长与底边长的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 34．长方体水槽里面放有一酒瓶，示意图如图所示，现向水槽内匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x的关系是（    ） A． B． C． D． 35．如图，一只水桶底部有一小孔，在装满水的情况下，能简单刻画水位高度h随漏水时间t变化情况的图象是（     ） A． B． C． D． 36．春节过后，某服装店店主小明购进一批春装销售，小明以每件元的利润销售一部分后，发现销售情况很好，于是提高售价继续销售，由于天气转热，为了清空库存购进夏装，小明只好以进价处理了余下的衣服．在销售的过程中，小明获得的利润（元）与销售的数量（件）的函数关系大致图象是（   ） A． B． C． D． 37．如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序． a.运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）； b.小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地（小车行驶路程与时间的关系）； c.一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）； d.小明从地到地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回（小明离地的距离与时间的关系）． 正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 38．如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 题型六、从函数图像获取信息（重点） 39．郧阳中学举办运动会，在1500米的项目中，参赛选手在400米的环形跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程（甲跑完了全程），其中表示甲的跑步时间，表示甲乙之间的距离，现有以下4种说法，正确的有（   ） ①甲到达终点时，乙还有80米未跑；②甲用时； ③甲到达终点时，途中甲乙相遇了两次；④出发后甲乙第一次相遇比第二次相遇的用时长. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离y与时间x之间的关系如图所示．下列结论错误的是（   ） A．小丽家到便利店距离500米 B．小丽在便利店停留了5分钟 C．小丽步行的速度是 D．小丽骑共享单车的速度是步行速度的1.5倍 41．物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 42．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，则： （1）慢车的速度为______； （2）图中点的坐标为______． 43．笔直的海岸线上依次有、、三个港口，甲船从港口出发，沿海岸线匀速驶向港口，1小时后乙船从港口出发，沿海岸线匀速驶向港口，两船同时到达目的地，甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与港口的距离与甲船行驶时间之间的函数关系如图所示，给出下列说法： ①、港口相距；②、港口相距；③甲船的速度为100km/h；④乙船出发时，两船相距．其中正确的是______． 44．在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度（米）与操控无人机的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)无人机在米高的上空停留的时间是______分钟； (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟； (3)图中表示的数是______；表示的数是______； (4)求第分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 45．小明和小红住在同一小区，他们相约周末去距离小区4500米的公园游玩，由于小红临时有事，小明先骑自行车一段时间，小红才从小区乘坐出租车出发，两车均是匀速行驶，且小明和小红的行驶路线相同，半路上出租车遭遇堵车，便停在原地不动，而自行车道畅通无阻，当小明追上小红后，小红下车并坐上小明的自行车一起去公园（小红上下车的时间忽略不计），自行车的速度仍然不变，如图是小明、小红两人距小区的距离与小明出发的时间的函数图象，请观察图象，回答下列问题． (1)小明骑自行车的速度为______，______； (2)求从小红开始遇到堵车到被小明追上所经过的时间； (3)直接写出小红出发多长时间时，两人恰好相距510米． 46．小实和小外都是跑步爱好者，他们相约在江安河旁边的一段直道上跑步，如图，该直道上依次有甲、乙、丙三个点位，小实从甲点位出发匀速跑向丙点位，小外从丙点位出发匀速跑向乙点位，小外到达乙点位后休息片刻，再以原来的速度迅速跑回丙点位，两人同时出发，如图，是两人距甲点位的路程（米）与跑步（分钟）之间的图象关系，请你结合图象信息解决下列问题： (1)直接写出：甲、乙两点位相距______米，图象中的值为______，的值为______； (2)求小外从乙点位往回跑多长时间与小实相遇？ (3)在小外停止运动前，小实出发多长时间两人相距米？请直接写出答案． 47．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)根据图象信息，当 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟； (2)图中点A的坐标为 ； (3)在整个过程中，何时两人相距1500米？ 48．汽车在山区行驶过程中，要经过上坡、下坡、平路等路段，在自身动力不变的情况下，上坡时速度越来越慢，下坡时速度越来越快，平路上保持匀速行驶，如图表示了一辆汽车在山区行驶过程中，速度随时间变化的情况． (1)在这个变化过程中，自变量是_____，因变量是_____； (2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？ (3)汽车遇到了几个上坡路段？几个下坡路段？在哪个下坡路段上所花时间最长？ 题型七、函数图像的动点问题（难点） 49．如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（　　） A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12 50．如图1，在矩形中分别为边上的动点，点沿折线 以每秒2个单位长度的速度运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点沿着运动，当点到达点时，点随之停止运动．连接，若的面积与运动时间之间的函数图象如图2所示．下列结论中：①边的长度为4；②四边形的面积为20；③当时，点与点的距离为4；④当 时，．正确的序号为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 51．如图，中，，点为的中点，动点从点出发沿 运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图所示，则的长为________．    52．如图，在梯形中（图），，，，动点 以每秒 的速度沿着方向运动，相应的 的面积与时间之间的函数关系如图 所示，则梯形 的面积为______． 53．如图①，在直角梯形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位的速度沿运动到点D停止．设运动时间为a秒，的面积为S，S与a的变化情况如图②所示． (1)求出、的长． (2)如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点A停止．设运动时间为t秒，当P、Q点运动到边上时，连接，当的面积为8时，时间t是多少？ 54．如图①，在中，，点以的速度从点出发，沿运动一周，连接的面积与点的运动时间之间的关系如图②所示，请解答下列问题： (1)的面积为____________； (2)在中，求边上的高； (3)当为何值时，？ 55．如图1，在长方形中，，点P从点A出发以秒的速度沿的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示． (1)点P 从点A 出发，经过多少秒后到达点 D？ (2)点P从点A 出发，经过多少秒后三角形的面积恰好是 ？ 56．如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ (3)若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 综合攻坚·能力跃升 B 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）小明在数学课上看到老师用画板生成了丰富的函数图象，课后自己也尝试利用网络画板研究函数的图象．请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构判断小明得到的图象是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南周口·一模）如图，正方形的边长为4，点P从点A出发，沿匀速运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t秒， 的面积为S，则S与t的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·北京房山·期中）房山区某中学举办班级比赛，在初二男子组米的项目中，参赛选手在米的环形跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程（甲跑完了全程），其中表示甲的跑步时间，表示甲、乙两位选手之间的距离，给出下面四个结论： ①甲到达终点时，乙还有米未跑； ②甲跑完全程用时； ③起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手共相遇两次； ④出发后甲、乙两位选手第一次相遇比第二次相遇所用的时间长． 上述结论中，所有正确结论的个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·河南开封·一模）如图①，菱形中，点为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于，两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图②，若，则的值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 5．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知一个等腰三角形的周长为20，写出底边长关于腰长的函数解析式：______，该解析式中自变量的取值范围是_____． 6．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 7．（25-26八年级下·广东惠州·期中）按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输出的值是5．则输入的值是___________． 8．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 … y … 0 0 0 6 … 下列五个结论： ①点在该函数图象上； ②该函数图象关于原点对称； ③当时，y随x的增大而增大； ④点、是函数图象的两点，若，则； ⑤若关于x的方程有三个不等实数根，则t的取值范围是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 9．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）公路上有A，B，C，D四个路口．之间的距离为，为，为．已知这四个路口（假设没有黄灯）的绿灯持续，红灯持续，路口A的绿灯亮起后路口C，D的绿灯亮起；亮起后路口B的绿灯亮起，其他因素忽略不计．当路口A的绿灯亮起，一辆汽车从路口A以的速度匀速向路口D行驶．若汽车可以一路绿灯通过这四个路口，则v的范围是______． 10．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，正方形边长，点在边上，且 ，点从点出发，以的速度在、之间往返匀速运动，同时，点从点出发，以的速度沿路径匀速运动，当点运动到点时，两点都停止运动，设运动时间为（单位：s）．在运动过程中的面积（单位：）随运动时间的变化而变化． (1)当点第一次运动到点时，则_____________，_____________； (2)在整个运动过程中，求与的关系式； (3)当时，若，求的值． 11．（2026·北京石景山·一模）为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取A，B两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：）下的百公里能耗（单位：）数据，部分数据如下： 行驶速度 20 40 60 80 100 120 A款车百公里能耗 10.2 8.6 8.7 10.4 13.6 18.5 B款车百公里能耗 10.7 9.5 9.4 10.3 12.2 15.2 对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，补充完成以下内容． (1)在平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，在同一坐标系中画出与的函数图象； (2)当A款车的行驶速度约为______（精确到个位）时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为______（结果保留小数点后一位）； (3)小石和小京分别驾驶A，B两款车从甲地前往乙地，两地相距．两车都先以的速度行驶，随后立即切换至的速度继续行驶，直至到达乙地，则______（填“A”或“B”）款车行驶这的能耗更低． 12．（25-26八年级下·北京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 … … … 写出表中的值：__________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①当__________时，函数有最大值是__________； ②对于图象上两点，若，则__________（填“”，“”或“”）； ③对于函数，当时，的取值范围是__________． 13．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）湘绣是中国的四大名绣之一，以其浓郁的湘楚地方文化特色和高超的刺绣艺术而闻名天下．湘绣是以画稿为蓝本，“以针代笔，以线润色”，通过刺绣工艺进行艺术再创造，不但保存了画稿原有的笔墨神韵，更是增添了物象的真实性和立体感，从而使绣品更加生动逼真、栩栩如生．春假期间，小山和他爸爸两人从家出发，骑自行车沿同一条路到长沙市湘绣研究所参观学习．从小山家到长沙市湘绣研究所的路程是．他们离家的路程（单位：）与骑行时间（单位：）之间的关系如图所示，小山先出发，在途中休息了一段时间，休息后骑行的速度是原来的一半．小山爸爸始终保持匀速骑行． (1)求小山爸爸骑行的速度； (2)小山在途中休息了多长时间？ (3)小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有多远？ 14．（2026·北京顺义·一模）某技术员借助人工智能软件模拟篮球运动员罚篮，当出手位置不变时，研究出手仰角与出手速度对篮球空心入网的影响．当篮球出手仰角为（单位：度）时，分别记录了篮球空心入网的最小出手速度（单位：）和最大出手速度（单位：），部分数据如下： 47.5 50.0 52.5 55.0 57.5 60.0 62.5 65.0 7.70 7.65 7.65 7.76 7.90 8.08 8.31 7.72 7.70 7.72 7.78 7.87 8.02 8.22 8.47 当出手仰角为55度时，篮球空心入网的最大出手速度与最小出手速度的差约为．    (1)写出表中m的值（结果保留小数点后两位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．如图，在给定的平面直角坐标系中，曲线是函数的图像，画出函数的图像．结合数据，利用函数图像可以推断，当篮球空心入网的出手速度最小时，出手仰角约为______度（结果保留整数）； (3)根据以上数据与函数图像，解决下列问题： ①若篮球空心入网的出手仰角为，最大出手速度与最小出手速度的差不小于，则的最小值约为____度（结果保留整数）； ②若出手速度一定，，分别为篮球空心入网的出手仰角的最大值和最小值，对于中的每一个值，篮球都能空心入网，则与差的最大值约为____度（结果保留小数点后一位）． 15．（25-26八年级下·福建厦门·期中）探究：某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)自变量x的取值范围是______． (2)下表是y与x的几组对应数值： x … 0 n 2 3 4 … y … m 0 5 2 … ①表格中的______；______； ②在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质； 16．（25-26八年级下·河北衡水·期中）石家庄市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)由图象可得，________，________，________． (2)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为y元，请写出y与x之间的关系式． (3)小明乘坐出租车行驶了21千米，那么他应付多少乘车费？ 17．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图像研究其性质——应用函数解决问题”的学习过程，并会通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图像．结合经历的学习过程，我们来研究函数并完成下列填空： … 1 2 3 … … 2 2 … (1)函数的定义域是______； (2)用“描点法”画出函数的图像； ①列表：如上表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如上图． (3)结合函数图像，写出函数中y随x的变化特征：__________； (4)请结合图像直接写出不等式的解集：__________． 18．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在长方形电子屏中，，．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点A出发沿边以的速度向点C运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)求展开的画面面积S（单位：）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续5s，求播放结束时展开的画面面积． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数 目 录 A题型建模・专项突破 题型一、变量间关系的表示 1 题型二、函数的概念 5 题型三、求自变量的取值范围 8 题型四、求自变量的值与函数值（常考点） 11 题型五、函数图像的识别 17 题型六、从函数图像获取信息（重点） 22 题型七、函数图像的动点问题（难点） 32 B综合攻坚・能力跃升 42 题型建模·专项突破 A 题型一、变量间关系的表示 1．司机师傅到加油站加油，加油结束后，加油机显示牌上的数据如图所示，其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．根据常量与变量的定义即可判断． 【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， ∴常量是：单价． 故选：C． 2．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表，以下说法错误的是（    ） 刹车时车速v（） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离s（m） 0 2.0 5 7.5 10 12.5 A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．s随v的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是20m D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为30m 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示两个变量之间的距离，根据表格数据逐一判断即可． 【详解】解：A：刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，正确，不符合题意； B：由表格数据，随的增大而增大，正确，不符合题意； C：从（对应）开始，每增加，增加，，对应个间隔，刹车距离增加，总刹车距离为，选项C为，错误，符合题意； D：同理计算：，对应个间隔，刹车距离增加，总刹车距离为，正确，不符合题意； 故选：C． 3．已知一个等腰三角形的周长为40，那么它的底边与腰长之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列关系式，等腰三角形的两腰相等，两腰与底边长度之和为周长，由此列式即可． 【详解】解：由题意知， 所以它的底边与腰长之间的关系式为：， 故选D． 4．晓晓经常购买汉中热米皮；热米皮的单价是8元/份，晓晓购买热米皮的总钱数随着热米皮的份数变化而变化，在这个过程中，自变量是（） A．热米皮的单价 B．购买的热米皮的份数 C．购买热米皮的总钱数 D．热米皮的单价和购买的份数 【答案】B 【分析】本题考查了自变量的知识点，解题的关键是理解自变量的定义，即主动变化的量． 根据自变量的定义，判断在总钱数随份数变化过程中哪个量是主动变化的． 【详解】在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量．如果一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么是自变量，是因变量．已知热米皮单价是8元/份，为固定值，总钱数=单价份数，总钱数随着购买热米皮的份数变化而变化，份数是主动变化的量，所以购买的热米皮的份数是自变量，购买热米皮的总钱数是因变量． 故答案选：B． 5．清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”在儿童从学校回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数图象表示实际问题，根据题中描述，结合选项即可得到答案，读懂题意是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，儿童从学校放学回到家的过程中，离家的距离越来越小；儿童从家再到田野的过程中，离家的距离逐渐增大，则能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是 故选：C． 6．如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与注水时间t（s）的大致图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象．根据刚开始向小烧杯中匀速注水时，大烧杯的液面高度为零，且不会随时间增加，即可得出答案． 【详解】解：开始时向小烧杯中匀速注水，大烧杯的液面高度为零， 当小烧杯满了后继续匀速注水，大烧杯的液面高度随时间t的增加而增大， 当大烧杯的液面高度超过小烧杯后速度应该变慢，选项D符合题意． 故选：D． 7．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入自变量x的值为3，则最后输出因变量y的值为______． 【答案】30 【分析】本题考查了求代数式的值，正确理解程序计算的流程是解题的关键．先将代入，求得的值为6，小于20，根据程序流程，将再次代入，求得的值为30，大于20，即可输出结果． 【详解】当时，， 当时，， 所以． 故答案为：30． 题型二、函数的概念 8．下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（   ） A．圆的面积公式中，S是r的函数 B．在匀速运动公式中，s是t的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数 D．表达式中，y是x的函数 【答案】D 【分析】本题的解题思路是逐一分析每个选项，看是否满足对于自变量的每一个确定的值，函数都有唯一确定的值与之对应； 本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、在圆的面积公式中，对于r的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是r的函数，表述正确，不符合题意； B、在匀速运动公式中，对于t的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与之对应，所以s是t的函数，表述正确，不符合题意； C、根据光的反射定律，反射角等于入射角，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值（等于）与之对应，所以是的函数，表述正确，不符合题意； D、在表达式中，当时，对于的每一个确定的值，都有两个值，不满足函数定义中“唯一确定”的条件，所以不是的函数，表述不正确，符合题意． 故选：D． 9．下列关系式：（1），（2），（3），（4），（5），y不是x的函数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据函数的定义，对于每个自变量x的值，因变量y有且只有一个值与之对应．依次对每个关系式进行分析，判断其是否满足函数的定义．本题主要考查了函数的定义，熟练掌握函数的定义（对于每个自变量的值，因变量有且只有一个值与之对应）是解题的关键． 【详解】解：对于 ∵对于任意非零的，有唯一确定的值 ∴是函数． 对于 ∵每个对应唯一的值 ∴是函数． 对于 ∵当时，可取，即一个对应两个值 ∴不是函数． 对于 ∵变形为，每个对应唯一的值 ∴是函数． 对于 ∵当时，可取，即一个对应两个值 ∴不是函数． 综上，不是的函数的关系式有个， 故选：B． 10．下列曲线中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义解答即可，在一个变化过程中，给出一个x的值，y有唯一的值与之相对应，此时y叫做x的函数． 【详解】解：由B，C，D中的曲线可知，存在当x取一个值时，对应的y有不唯一的值，所以不符合题意，而A中满足对于x的每一个取值，y都有确定的值与之对应，所以A符合题意． 11．下列图象中，表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义：有两个变量x、y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，据此判断即可． 【详解】解：A、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意； B、y是x的函数，该选项符合题意； C、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意； D、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意． 故选：B． 12．老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如图所示的4个x，其中y一定是x的函数的是_____________ （填写所有正确的序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了函数的概念．根据函数的定义判断即可． 【详解】解：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，x是自变量，y是x的函数， ∴①②③不符合定义，④符合定义， 故答案为：④． 13．下列关于两个变量之间的关系的四种表述中，是的函数的有___________（填写编号） ①：三角形的面积，：这个三角形一边的长； ② ③ 6 1 2 3 4 ④ 【答案】①②/②① 【分析】根据函数的定义：一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一值与之对应，称y是x的函数，判断即可，本题考查了函数的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】根据定义判断三角形面积公式为，对于每一个x，y都有唯一一个值与之对应，符合函数的定义， 故①是函数， 对于每一个x，y都有唯一一个值与之对应，符合函数的定义， 故②是函数， 后面两个都是对于x的每一个值，y都有两个函数值对应，不符合题意， 故答案为：①②． 题型三、求自变量的取值范围 14．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质和分式的意义，求函数自变量的取值范围需满足两个条件：分母不为零，且根号下的表达式非负，据此进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：． 故选：A． 15．函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查求函数自变量的取值范围，涉及分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟悉分式有意义的条件、二次根式有意义的条件是解决问题的关键．由分式有意义的条件、二次根式有意义的条件得到，且，解不等式即可得到答案． 【详解】解：要使函数有意义，则，且， 解得，且， 故选：C． 16．函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式要求被开方数非负，分式要求分母不为0，列不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵该函数分母含有二次根式，要使式子有意义，需同时满足二次根式被开方数非负，分母不为0， ， 解不等式得：． 17．函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的自变量的取值问题，根据分式有意义的条件，分母不能为零，因此只需解分母不等于零的方程即可确定自变量的取值范围． 【详解】解：函数的分母为，当分母为零时，分式无意义． 令，解得． 因此，自变量的取值范围是， 故选：C． 18．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量有意义的条件，根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数解题即可． 【详解】解：由题可得：，， 解得：且， 故选：D． 19．函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零得出，解一元一次不等式即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：要使函数有意义，需满足， 解得， 故答案为：． 20．函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式与分式有意义的条件．从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取两个条件都满足的公共部分． 【详解】解：根据题意得到：， 解得． 故答案为：． 21．在函数中，自变量x的取值范围是_________ 【答案】且 【分析】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，求自变量的取值范围．熟练地掌握相关结论是解题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：且． 故答案为：且． 22．函数的定义域是_______． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式的被开方数是非负数，分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：且， 故答案为：且． 题型四、求自变量的值与函数值（常考点） 23．若函数，则当函数值时，自变量x的值是（   ） A．或1.5 B． C．1.5或 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查已知函数值求自变量的值，根据自变量对应的函数表达式分别求解即可． 【详解】解：当时，由得， 解得； 当时，由得，不合题意，舍去， 综上，当函数值时，自变量x的值是， 故选：B． 24．下列函数中，其图象不经过点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象上点的特征，分别计算时的四个函数值，然后判断是否为1即可． 【详解】解：A、当时，，则点在函数上，所以A选项不符合题意； B、当时，，则点在函数上，所以B选项不符合题意； C、当时，，则点不在函数上，所以C选项符合题意； D、当时，，则点在函数上，所以D选项不符合题意． 故选：C． 25．弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度（）与所挂的物体的质量（）之间有下面的关系： 下列说法不正确的是（    ）． A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．所挂物体质量为时，弹簧长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度增加 D．弹簧不挂重物时的长度为 【答案】D 【分析】本题考查了表格法表示两个变量的关系，根据表格数据逐项判断即可． 【详解】解：A、由表得：x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，故该选项正确，不符合题意； B、所挂物体质量为时，弹簧长度为，故该选项正确，不符合题意； C、由表得：当时，，则，同理：，以此类推，得出物体质量每增加，弹簧长度y增加，故该选项正确，不符合题意； D、由表得：当时，，则弹簧不挂重物时的长度为，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 26．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和时，输出的值相等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数值，根据程序图分别求出值是和时的值，再列出方程即可求解，看懂程序图是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵输入的值是和时，输出的值相等， ∴， ∴， 故选：． 27．已知函数 ，则 ___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求函数值，实数的运算，直接把代入中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 28．在函数中，当函数值为时，自变量的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出的值是解题的关键．代入，求出的值即可． 【详解】解：当时，， 解得：． 故答案为：． 29．自由落体运动是由于引力的作用而造成的，月球上物体自由下落的时间和下落的距离 的关系大约是， 物体下落时，在月球上下落的距离是__________米． 【答案】 【分析】此题考查了函数求值，把的值代入公式，求解即可． 【详解】解：把代入公式得：， 则物体下落时，在月球上下落的距离是米． 故答案为：． 30．一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度也不同，实验数据如表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？关系式为？ (3)如果弹簧最大挂重为，你能预测当挂重为时，弹簧的长度是多少？ 【答案】(1)上表反映了所挂物体的质量与弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量 (2)不挂物体时的长度是，由表可知，随着x增大，y逐渐增大，y与x的关系式为 (3) 【分析】本题主要考查函数的实际应用问题，学会从表格数据中观察出函数关系是解决本题的关键． （1）由表格可以直接判断； （2）根据表格可以得到：物体的质量每增加1千克，弹簧的长度就增加，由此可以直接写出y与x的关系式； （3）把代入（2）中所求的函数关系中求解． 【详解】（1）解：上表反映了所挂物体的质量与弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）∵时，， ∴弹簧不挂物体时的长度是， 由表可知，随着x增大，y逐渐增大，且x每增大，y增大 ∴y与x的关系式为； （3）∵弹簧最大挂重为， 当时，， ∴弹簧的长度为． 31．声音在空气中的传播速度随着气温的变化而有规律的变化．某校科技小组查阅资料发现，当气温为时，声音在空气中的传播速度为，随着气温每上升，声音在空气中的传播速度就增加． (1)根据上述变化过程，请写出声音在空气中的传播速度与气温的关系表达式； (2)当声音在空气中的传播速度为时，求对应的气温； (3)某地在进行爆破作业，当天气温为，小远同学在爆破进行后听到声音，若爆破产生的烟尘会对周围1800米内的动植物造成影响，小远同学是否会受到该次爆破的影响？ 【答案】(1) (2) (3)小远同学不会受到该次爆破的影响 【分析】本题考查列函数关系式，求自变量的值，函数值，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据随着气温每上升，声音在空气中的传播速度就增加，列出函数关系式即可； （2）求出时的的值即可； （3）先求出时的值，根据路程等于速度乘以时间，求出小远同学与爆破作业地的距离，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，； （2）当时，解得； 故此时的气温为； （3）当时，， ∵， 故小远同学不会受到该次爆破的影响． 32．6月4日7时许，嫦娥六号将五星红旗在月球背面成功展开．该国旗是科研人员通过一年多时间攻关，利用玄武岩熔融拉丝技术制作而成的，具有更强的耐腐蚀性，耐高温，耐低温等优异性能．现科研人员将一块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，当圆柱的底面积由大到小变化时，圆柱的高也随之发生了变化，数据记录如下表所示： 圆柱的底面积 … 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 … 圆柱的高 … 24 30 40 60 120 240 … (1)在这个变化过程中，自变量是_____，因变量是_____； (2)当圆柱的底面积为时，圆柱的高是_____； (3)根据上表反映的规律写出锻造过程中圆柱的高与底面积之间的关系式，并标注自变量取值范围：_____； (4)科研人员将这块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，拉丝后的圆柱体底面直径是头发丝直径的三分之一，然后把它纺成线，织成布，从而制作成五星红旗．已知头发丝的直径是，请你计算说明这块圆柱体玄武岩材料能纺线多少cm?（结果保留π） 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查函数的概念与实际应用，求函数的表示式，以及根据表达式求函数值，正确的求出函数的表示式是解题的关键． （1）根据当圆柱的底面积由大到小变化时，圆柱的高也随之发生了变化，可得自变量是圆柱的底面积，因变量是圆柱的高； （2）根据表格数据可知，与的乘积始终为，即可求出答案； （3）根据表格数据可知，与的乘积始终为，即可求出圆柱的高与底面积之间的关系式为：； （4）先求出圆柱体底面半径，再根据体积不变计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中，自变量是圆柱的底面积，因变量是圆柱的高． 故答案为：， ． （2）解：根据表格数据可知，与的乘积始终为， 所以当圆柱的底面积为时，圆柱的高是． 故答案为：． （3）解：根据表格数据可知，与的乘积始终为， 所以圆柱的高与底面积之间的关系式为：． 故答案为：． （4）解：由题意得，拉丝后的圆柱体底面半径， 体积， ． 答：这块圆柱体玄武岩材料能纺线． 题型五、函数图像的识别 33．若等腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长与底边长的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象的识别，等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识；已知等腰三角形的腰长为，底边长为，根据三角形的周长可得； 然后根据三角形的三边关系可得且； 接下来根据可确定x的取值范围，根据此范围及函数式即可确定图象． 【详解】解：根据题意，， 所以， 根据三角形的三边关系，， 所以，解得， 所以y与x的函数关系式为， 只有D选项符合． 故选D． 34．长方体水槽里面放有一酒瓶，示意图如图所示，现向水槽内匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．根据水槽的横断面示意图，可知注水速率不变时，水面上升的快慢取决于当时水面所“拥有”的横截面积大小，瓶底较窄，水初淹没瓶底时，周围可盛水的面积较大，水面上升较慢；随着瓶身最鼓处被淹没，瓶子占去的空间最大，水可盛放的面积减小，水面上升加快；继续往上到瓶颈较细处时，瓶子占用的面积又变小，水面上升又转慢，故水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可． 【详解】解：由水槽的横断面示意图可得，水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变， 故选：B． 35．如图，一只水桶底部有一小孔，在装满水的情况下，能简单刻画水位高度h随漏水时间t变化情况的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，根据水桶上粗下细、确定桶内水面高度h随时间t变化规律是解题的关键． 由于水桶上粗下细，则桶内水面高度h的下降随时间t变化越来越快，据此即可解答． 【详解】解∶∵一只水桶底部有一出水孔， ∴单位时间出水量一定， ∵水桶上粗下细， ∴桶内水面高度h的下降随时间t变化越来越快，即B选项符合题意． 故选：B． 36．春节过后，某服装店店主小明购进一批春装销售，小明以每件元的利润销售一部分后，发现销售情况很好，于是提高售价继续销售，由于天气转热，为了清空库存购进夏装，小明只好以进价处理了余下的衣服．在销售的过程中，小明获得的利润（元）与销售的数量（件）的函数关系大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象，熟练根据实际情境分段得出大致的函数图象是解题的关键．分为三部分：①以每件元的利润销售一部分春装时；②提高售价后；③以进价处理余下的衣服时，依次分析即可． 【详解】解：以每件元的利润销售一部分春装时，利润y随销售数量x的增加而匀速增长，是一条线段； 提高售价后，每件服装的利润增大，利润y随销售数量x的增加继续增长，且增长速度加快，即图象变陡； 以进价处理余下的衣服时，没有利润，y不再增长，在图象中反映为一段平行于x轴的线段． 符合题意的只有选项B， 故选：B． 37．如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序． a.运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）； b.小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地（小车行驶路程与时间的关系）； c.一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）； d.小明从地到地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回（小明离地的距离与时间的关系）． 正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，应首先看清横轴和纵轴表示的意义，以及图象的变化趋势，然后根据实际情况作出选择即可． 【详解】解：a：运动员推出去的铅球的高度与时间的关系，因为铅球的高度是在运动员的身高的基础上变化的，且变化趋势为先变大在变小，故为第一个图象； b：小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地，因此小车的路程应从零开始，且小车行驶的路程会随时间的变化越来越大，故为第四个图象； c：一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加，弹簧的长度会随着所挂重物的质量的增加而变长，因为弹簧伸长的长度是在原有弹簧长度的基础上变化的，故是第二个图象； d：小明从A地到B地这一过程，小明离A地的距离会随着时间的增长而增加；在“停留一段时间”这个过程中，小明离A地的距离不会变化；在“原速度原路返回”的过程中，小明离A地的距离会随着时间的增长而减小，一直到回到原地，故是第三个图象． 综上，正确的顺序是， 故选：D． 38．如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查长度和时间之间的图象描述，根据题意可知货车进入隧道的长度和时间的关系具体可描述为：货车前期进入、完全进入和驶离隧道三个阶段，第一阶段随时间的增加长度逐渐增加，第二间阶段随时间增加但是长度不变，第三阶段随时间的增加长度逐渐减小，由题意知货车匀速通过一条隧道，则增加或减小的长度随时间均匀变化． 【详解】解：当货车开始进入时c长度逐渐变长，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时长度达到最大，当货车开始出来时长度逐渐变小．另外是匀速运动，长度随时间的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型． 故选：C． 题型六、从函数图像获取信息（重点） 39．郧阳中学举办运动会，在1500米的项目中，参赛选手在400米的环形跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程（甲跑完了全程），其中表示甲的跑步时间，表示甲乙之间的距离，现有以下4种说法，正确的有（   ） ①甲到达终点时，乙还有80米未跑；②甲用时； ③甲到达终点时，途中甲乙相遇了两次；④出发后甲乙第一次相遇比第二次相遇的用时长. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据函数图象的意义，相遇的意义，逐一判定求解即可． 【详解】解：由图象可得，甲到达终点时，途中甲乙相遇了两次， 故③正确， 根据图象，可知，由此判定出发后甲乙第一次相遇比第二次相遇的用时短， 故④错误， 根据题意，得甲到达终点时，乙还有米未跑， 故选项①错误， 根据题意，得甲用时， 故选项②正确， 综上，正确的有2个． 40．已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离y与时间x之间的关系如图所示．下列结论错误的是（   ） A．小丽家到便利店距离500米 B．小丽在便利店停留了5分钟 C．小丽步行的速度是 D．小丽骑共享单车的速度是步行速度的1.5倍 【答案】D 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图是解题的关键．根据图象逐项分析即可． 【详解】解：由图象可得， A．小丽家到便利店距离，正确； B． ∴小丽在便利店停留了5分钟，正确； C． ∴小丽步行的速度是，正确； D．小丽骑自行车的速度为 ∴ ∴小丽骑自行车的速度是步行速度的2倍，故选项错误． 故选：D． 41．物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据得，结合图象解答即可． 本题考查了跨学科综合，正确读取图象信息是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得， 又， 故． 故选：C． 42．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，则： （1）慢车的速度为______； （2）图中点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用函数图象解决实际问题，利用图象得出正确信息是解题的关键． （1）由图象可知，甲乙两地之间的距离为，慢车用了走完全程，即可求解； （2）根据题意求出两车的速度和，再求出快车的速度，由点的含义表示快车到达乙地时两车间的距离，求出快车到达乙地的时间和慢车在相同时间内走的路程即可得出答案． 【详解】解：（1）由图象可知，甲乙两地之间的距离为，慢车用了走完全程， ∴慢车的速度为：， 故答案为：； （2）由题意可知，当两车行驶时，两车相遇，两车距离为， ∴两车的速度和为， ∴快车的速度为， ∵点的含义表示快车到达乙地时两车间的距离， ∴， ∴慢车行驶走的路程为， ∴点， 故答案为：． 43．笔直的海岸线上依次有、、三个港口，甲船从港口出发，沿海岸线匀速驶向港口，1小时后乙船从港口出发，沿海岸线匀速驶向港口，两船同时到达目的地，甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与港口的距离与甲船行驶时间之间的函数关系如图所示，给出下列说法： ①、港口相距；②、港口相距；③甲船的速度为100km/h；④乙船出发时，两船相距．其中正确的是______． 【答案】①③ 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确解读函数图象是解题关键．结合函数图象可直接判断①③说法；根据图象求出甲、乙两船的速度，再根据距离速度时间，判断②说法；由题意可知，甲、乙两船先相向而行，再相背而行，求出甲、乙两船相遇的时间，进而可判断④说法． 【详解】解：由函数图象可知，、港口相距，①说法正确； 由函数图象可知，甲船的速度为，③说法正确； 甲船的速度是乙船的1.25倍， 乙船的速度为， 乙船行驶的时间为， 两船同时到达目的地，且乙船晚出发1小时， 甲船行驶的时间为， 甲船从港口驶向港口用时， 甲船从港口驶向港口用时， 、港口相距，②说法错误； 由题意可知，甲、乙两船先相向而行，再相背而行， ，即甲、乙两船相遇的时间为乙船出发， 乙船出发时，两船相距，④说法错误； 故答案为：①③ 44．在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度（米）与操控无人机的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)无人机在米高的上空停留的时间是______分钟； (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟； (3)图中表示的数是______；表示的数是______； (4)求第分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【分析】（）根据图像找到无人机在米高空的起止时间，用结束时间减去开始时间，算出停留时长； （）利用分钟的高度变化，根据速度公式求出无人机上升/下降的速度即可； （）分别计算上升到米的时间，以及从米下降到地面的时间，即可得出答案； （）先算出第12分钟到第分钟的下降高度，用米减去下降高度，得到此时的飞行高度． 【详解】（1）解：由图像可知，无人机在米高空时，对应时间从分钟到分钟， 停留时间为（分钟）； （2）解：分钟内，无人机分钟上升了（米）， 因此上升/下降速度为（米/分钟）； （3）解：求：无人机从原点上升到米，速度为米/分钟， 时间； 求：无人机分钟开始从米高度下降， 下降总时间为（分钟）， 因此； （4）解：第分钟时，无人机已经下降了（分钟）， 下降高度为（米）， 因此此时飞行高度为（米）． 45．小明和小红住在同一小区，他们相约周末去距离小区4500米的公园游玩，由于小红临时有事，小明先骑自行车一段时间，小红才从小区乘坐出租车出发，两车均是匀速行驶，且小明和小红的行驶路线相同，半路上出租车遭遇堵车，便停在原地不动，而自行车道畅通无阻，当小明追上小红后，小红下车并坐上小明的自行车一起去公园（小红上下车的时间忽略不计），自行车的速度仍然不变，如图是小明、小红两人距小区的距离与小明出发的时间的函数图象，请观察图象，回答下列问题． (1)小明骑自行车的速度为______，______； (2)求从小红开始遇到堵车到被小明追上所经过的时间； (3)直接写出小红出发多长时间时，两人恰好相距510米． 【答案】(1)5，3000 (2)从小红开始遇到堵车到被小明追上所经过的时间为 (3)当小红出发时间分别为或或时，两人相距 【分析】（1）根据路程、速度和时间的关系式也可以算得小明的骑车速度，再由小明骑车的路程可得a的值； （2）首先求出小明的路程，然后得到小明骑车后小红才出发，求出小红乘坐出租车的速度，小红开始堵车的时间，最后根据时，小明追上了小红，进而可以判断得解； （3）依据题意，设小红出发经过，两人相距，再分三种情形进行计算可以得解． 【详解】（1）解：小明骑车速度是， ∴小明骑车的路程； （2）解：由题意，∵小明骑车速度是， ∴小明骑车的路程为， 又， ∴小明骑车后小红才出发， ∴小红乘坐出租车的速度为：， ∴小红开始堵车的时间是：， 又∵时，小明追上了小红， ∴从小红开始遇到堵车到被小明追上所经过的时间为； （3）解：由题意，①当小红出发后追上小明前，小红出发，两人相距， ∴ ∴； ②小红超过小明后，堵车前，小红出发，两人相距， ∴ ∴； ③堵车后，小明追上小红前，经过，两人相距， ∴ ∴． 综上，当小红出发时间分别为或或时，两人相距． 46．小实和小外都是跑步爱好者，他们相约在江安河旁边的一段直道上跑步，如图，该直道上依次有甲、乙、丙三个点位，小实从甲点位出发匀速跑向丙点位，小外从丙点位出发匀速跑向乙点位，小外到达乙点位后休息片刻，再以原来的速度迅速跑回丙点位，两人同时出发，如图，是两人距甲点位的路程（米）与跑步（分钟）之间的图象关系，请你结合图象信息解决下列问题： (1)直接写出：甲、乙两点位相距______米，图象中的值为______，的值为______； (2)求小外从乙点位往回跑多长时间与小实相遇？ (3)在小外停止运动前，小实出发多长时间两人相距米？请直接写出答案． 【答案】(1)，， (2)分钟 (3)分钟或分钟或分钟或分钟 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象求出小外的速度，设小外从乙点位往回跑分钟与小实相遇，再根据题意列出方程即可求解； （）设小实出发分钟两人相距米，分①小外与小实第一次相遇前两人相距米；②小外从乙点位返回丙点位，但未到达丙点位时两人相距米；③小外到达丙点位，小实未到达丙点位时两人相距米，根据题意分别列出方程解答即可求解； 本题考查了函数图象的应用，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由图象可知，甲、乙两点位相距米， ∵小外从丙点位出发到达乙点位用时分钟，返回的速度不变， ∴小外从乙点位返回丙点位用时分钟， ∴， 由图象可知，小实的速度为(米分)， 小实到达丙点位用时分钟， ∴甲点位与丙点位之间的距离为(米)， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由（）知，小外的速度为(米分)， 设小外从乙点位往回跑分钟与小实相遇， 根据题意得，， 解得， ∴小外从乙点位往回跑分钟与小实相遇； （3）解：设小实出发分钟两人相距米， ①小外与小实第一次相遇前两人相距米， 由题意得，， 解得； ②小外从乙点位返回丙点位，但未到达丙点位时两人相距米， 由题意得，， 解得或； ③小外到达丙点位，小时未到达丙点位时两人相距米， 由题意得，， 解得； 综上所述，小实出发分钟或分钟或分钟或分钟时，两人相距米． 47．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)根据图象信息，当 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟； (2)图中点A的坐标为 ； (3)在整个过程中，何时两人相距1500米？ 【答案】(1)，， (2) (3)在整个过程中，第分钟和分钟两人相距1500米 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，有理数的混合运算的应用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由图象可得，当分钟时甲乙两人相遇，根据速度路程时间即可得出甲的速度，再求出甲、乙两人的速度和，即可得出乙的速度； （2）先求出乙从图书馆回到学校的时间，再求出此时甲走的路程即可得解； （3）分两种情况，分别列式计算即可得解． 【详解】（1）解：由图象可得，当分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为（米/分钟）， ∵甲、乙两人的速度和为（米/分钟）， 故乙的速度为（米/分钟）； （2）解：乙从图书馆回到学校的时间为（分钟）， （米）， 故点的坐标为； （3）解：当两人在相遇之前相距1500米时，（分钟）， 当两人在相遇之后相距1500米时，（分钟）； ∴在整个过程中，第分钟和分钟两人相距1500米． 48．汽车在山区行驶过程中，要经过上坡、下坡、平路等路段，在自身动力不变的情况下，上坡时速度越来越慢，下坡时速度越来越快，平路上保持匀速行驶，如图表示了一辆汽车在山区行驶过程中，速度随时间变化的情况． (1)在这个变化过程中，自变量是_____，因变量是_____； (2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？ (3)汽车遇到了几个上坡路段？几个下坡路段？在哪个下坡路段上所花时间最长？ 【答案】(1)时间，速度 (2)汽车在，，三个时间段保持匀速行驶，速度分别是，和 (3)汽车遇到两个上坡路段，三个下坡路段，在下坡路段上所花时间最长 【分析】本题考查从函数图象获取信息，理解题意是解题的关键． （1）由图可得速度随时间变化而变化，由此可解自变量与因变量； （2）匀速行驶时速度不变，观察函数图象可得答案； （3）速度增加时是下坡，速度减小时是上坡，观察函数图象可得答案． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是速度， 故答案为：时间，速度； （2）解：由图可得：汽车在，，三个时间段保持匀速行驶，速度分别是，和； （3）解：由图可得：汽车遇到两个上坡路段，三个下坡路段，在下坡路段上所花时间最长． 题型七、函数图像的动点问题（难点） 49．如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（　　） A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 根据图象求出和，再分析当点P在上运动时，当点P在上运动时的的高为4，据此求出x的值即可． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 当点P在上运动时，， ∴， ∴， 当点P在上运动时，， ∴， ∴， 综上，x的值为4或12． 故选：B． 50．如图1，在矩形中分别为边上的动点，点沿折线 以每秒2个单位长度的速度运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点沿着运动，当点到达点时，点随之停止运动．连接，若的面积与运动时间之间的函数图象如图2所示．下列结论中：①边的长度为4；②四边形的面积为20；③当时，点与点的距离为4；④当 时，．正确的序号为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查动点问题及函数图象，平行四边形的判定与性质，根据图象得出是解题关键． 根据函数图象得时，面积最大为10，确定，再结合题意依次计算判断即可． 【详解】由函数图象可知，当时，点与点重合， ∵点的运动速度为每秒1个单位长度， 四边形为矩形， ， 当时，， 解得， ，故结论①正确； 点的运动速度为每秒2个单位长度， 当时， ， ， ，故结论②错误； 当时，点的运动路径长为6， 点在边上， ， ，故结论③正确； 当时，点的运动路径长为， 点在边上， 四边形为平行四边形， ，故结论④正确． 故选C． 51．如图，中，，点为的中点，动点从点出发沿 运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图所示，则的长为________．    【答案】10 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理．由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12，此时，所以，再结合勾股定理，利用完全平方公式变形求得即可． 【详解】解：由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12． 点是的中点， 当点运动到点时，， ， ， ， 故答案为：10． 52．如图，在梯形中（图），，，，动点 以每秒 的速度沿着方向运动，相应的 的面积与时间之间的函数关系如图 所示，则梯形 的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查动点的图象问题，由题可得当时，面积最大，这时点与重合，求出梯形的高为，再观察图象得，最后由面积公式即可求解，能从图象中提取相关信息计算是解题的关键． 【详解】解：由题可得当时，面积最大，这时点与重合， ∴梯形的高为，从第到第时，面积不变， ∴， ∴梯形的面积， 故答案为：． 53．如图①，在直角梯形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位的速度沿运动到点D停止．设运动时间为a秒，的面积为S，S与a的变化情况如图②所示． (1)求出、的长． (2)如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点A停止．设运动时间为t秒，当P、Q点运动到边上时，连接，当的面积为8时，时间t是多少？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题是四边形综合题，考查的是四边形动点问题与三角形的面积，熟悉掌握四边形动点问题的解决办法和图象的相关性质，运用数形结合的思想是解题的关键． （1）由图象可知，点从出发，从点到耗时16秒，即，再由，即可求解； （2）由题意得，当运动到停止的时间为，而点运动到的时间为6，故只能有点、都在边上，此时有以为底边，为高的三角形，再分点在上方、点在点下方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，点M从A出发，从点C到D耗时16秒，即， 此时， 即， 解得：， ∴； （2）解：由题意得，当运动到停止的时间为，而点运动到的时间为， 当点、都在边上，此时有以为底边，为高的三角形， 则，，而， 当点在上方时，则， 的面积， 解得：（满足条件）； 当点在点下方时，， 的面积， 解得：（满足条件）； 综上分析可知，或． 54．如图①，在中，，点以的速度从点出发，沿运动一周，连接的面积与点的运动时间之间的关系如图②所示，请解答下列问题： (1)的面积为____________； (2)在中，求边上的高； (3)当为何值时，？ 【答案】(1)24 (2) (3)秒或秒 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、待定系数法求一次函数的关系式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）当点运动到点时，的面积最大且等于的面积，再根据图②可求解； （2）利用三角形面积公式求出的长，再利用三角形面积公式求出边上的高即可； （3）分类讨论当点在上时和当点在上时，列出对应方程并求解即可． 【详解】（1）解：当点运动到点时，的面积最大且等于的面积，由图②可知，的面积为； 故答案为：24； （2）解：设边上的高为， 由（1）知， ∵， ∴， 即， ∴， 由图②可知：， ， ， 解得：， ∴边上的高为； （3）解：∵，， ∴， ①当点在上时，， ， 即， 解得：； ②当点在上时，， 由（2）可知边上的高， ∴， 即， 解得：， 综上所述，当秒或秒时，． 55．如图1，在长方形中，，点P从点A出发以秒的速度沿的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示． (1)点P 从点A 出发，经过多少秒后到达点 D？ (2)点P从点A 出发，经过多少秒后三角形的面积恰好是 ？ 【答案】(1)10秒 (2)秒或秒 【分析】本题主要考查动点运动的函数图象问题，根据图2得出的长进而求出是解题的关键． （1）由图2可知，点P运动3秒到达点B，再由点P的运动速度和进行求解即可； （2）由（1）中求得的数据，可知长方形的面积，进而可得出点P在上运动时，的面积为定值24，再对点P的位置在和上进行分类即可． 【详解】（1）解：由图2知，点P运动3秒时到达B点， 又∵点P的运动速度是秒， ∴． 又∵， ∴， 又∵四边形是长方形， ∴． ∴， ∴（秒）． ∴点P从点A出发，经过10秒后到达点D． （2）解：由（1）知，， 当点P在上运动时，的面积恒为：， 又，故不符合题意； 当点P在边上时， ， （秒）； 当点P在边上时， ， （秒）． 综上所述，经过秒或秒后三角形的面积恰好是． 56．如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ (3)若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 【答案】(1) (2)图象见解析，性质：当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可） (3)或 【分析】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，还考查了平行四边形的性质，勾股定理； （1）直接确定三角形的底和高求解即可，注意分类讨论； （2）先确定，，然后连接即可画出图象，再观察函数图象，可以从最值写出函数的一条性质； （3）通过平移直线，与相交，找到只有一个交点时的临界点，根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵在平行四边形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止， ∴当点到达点时秒，当点到达点时秒， ∴当时，点在线段上，此时，； 当时，点在线段上， 此时，； ∴； （2）解：函数图象如图： 由函数图象可得，当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可）； （3）解：平移直线，与相交，函数图象如图： 把代入可得； 把代入可得，解得； 把代入可得，解得； 由函数图象可得，直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是或． 综合攻坚·能力跃升 B 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）小明在数学课上看到老师用画板生成了丰富的函数图象，课后自己也尝试利用网络画板研究函数的图象．请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构判断小明得到的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据时，；时，得出函数的图象分别在第一、第三象限，再根据时，即可判断出对应的函数图象． 【详解】解：函数中， 当时，； 当时，； ∴函数的图象分别在第一、第三象限， 又∵当时，， ∴只有选项C的图象符合题意． 2．（2026·河南周口·一模）如图，正方形的边长为4，点P从点A出发，沿匀速运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t秒， 的面积为S，则S与t的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点P在段运动，点P在段运动，点P在段，点P在段运动计算三角形的面积从而判断函数图象即可． 【详解】解：当点P在段运动，此时， 不存在，即此时无图象， 当点P在段运动，此时， 则有， ∴， 函数图象为点（空心）与的连线； 当点P在段运动，此时， ∴； 点P在段运动时，此时， 则有，， ∴， 函数图象为点与（空心）的连线； 则S与t的函数图象大致是： 3．（25-26八年级下·北京房山·期中）房山区某中学举办班级比赛，在初二男子组米的项目中，参赛选手在米的环形跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程（甲跑完了全程），其中表示甲的跑步时间，表示甲、乙两位选手之间的距离，给出下面四个结论： ①甲到达终点时，乙还有米未跑； ②甲跑完全程用时； ③起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手共相遇两次； ④出发后甲、乙两位选手第一次相遇比第二次相遇所用的时间长． 上述结论中，所有正确结论的个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意和函数图像可以判断每个结论是否正确． 【详解】解：由图可知， 甲到达终点时，甲、乙两位选手之间的距离为，所以乙还有米未跑，故①正确； 由可知甲跑完全程用时，故②正确； 起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手在点A和点B共相遇两次，故③正确； 出发后甲、乙两位选手第一次相遇所用的时间长为，第二次相遇所用的时间长为，所以第一次相遇比第二次相遇所用的时间短，故④错误， 综上，共有3个正确结论． 4．（2026·河南开封·一模）如图①，菱形中，点为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于，两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图②，若，则的值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线经过点，即，，结合当运动时间为秒时，，即可求得答案． 【详解】解：如图所示，过点作的垂线，交于点，过点作的垂线，交于点． 根据图象可知，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线与直线重合，当运动时间为秒时，直线经过点，即，． ∵四边形为菱形， ∴，． 又． ∴． ∴． ∴． ∵当运动时间为秒时， ， ∴． ∴． 5．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知一个等腰三角形的周长为20，写出底边长关于腰长的函数解析式：______，该解析式中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据等腰三角形周长公式建立等式，整理得到底边长关于腰长的函数解析式，再利用三角形三边关系列不等式组，求解得到自变量的取值范围. 【详解】解：由等腰三角形周长等于两腰长与底边长的和，可得， 移项整理得 ， 根据三角形三边关系，边长为正数，且两边之和大于第三边，可得不等式组， 将代入不等式组，得， 解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 因此自变量的取值范围是. 6．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 【答案】15 【分析】根据表格数据，时间与水的高度成正比例关系，时间每增加，水的高度增加，即可求解． 【详解】解：观察表格可知当时间为时，水的高度为，时间每增加，水的高度增加， ∴水的高度与时间成正比例关系， ∴当时间为10分钟时，容器中水的高度为． 故答案为：15． 7．（25-26八年级下·广东惠州·期中）按照如图所示的运算程序计算函数的值，若输出的值是5．则输入的值是___________． 【答案】 【详解】解：当不是偶数时，，解得是偶数，不合题意， 当是偶数时，，解得是偶数，符合题意， ∴若输出的值是5．则输入的值是． 8．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 … y … 0 0 0 6 … 下列五个结论： ①点在该函数图象上； ②该函数图象关于原点对称； ③当时，y随x的增大而增大； ④点、是函数图象的两点，若，则； ⑤若关于x的方程有三个不等实数根，则t的取值范围是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】② 【分析】把代入计算可判断①，由表格数据可判断②，根据函数图象可判断③，把和代入，再根据得出关于m的取值范围即可判断④，结合表格和数据结合函数图象即可判断⑤． 【详解】解：把代入得，故点不在该函数图象上，①错误． 根据表格可知，当时，，当x互为相反数时，y也互为相反数，函数大致图象如下： 即该函数图象关于原点对称，故②正确； 根据函数图象可知，当时，y先随x的增大而减小，然后y又随着x的增大而增大；故③错误， 当时，则， 当时，则， 若，即， 展开整理得：， 当时，，解得，不成立， 当时，，恒成立， 当时，，解得， ，即，故④错误， 方程有三个不等实数根，等于函数和直线有3个交点， 结合函数性质和表格， 当时，， t的取值可以比小，不是，故⑤错误． 9．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）公路上有A，B，C，D四个路口．之间的距离为，为，为．已知这四个路口（假设没有黄灯）的绿灯持续，红灯持续，路口A的绿灯亮起后路口C，D的绿灯亮起；亮起后路口B的绿灯亮起，其他因素忽略不计．当路口A的绿灯亮起，一辆汽车从路口A以的速度匀速向路口D行驶．若汽车可以一路绿灯通过这四个路口，则v的范围是______． 【答案】 【分析】本题考查函数图象的应用，根据题意表示出各路口绿灯时间段，找出临界点，画出图形，结合图形即可求解． 【详解】解：由题意知，路口B的绿灯时间段为， ……，路口C，D的绿灯时间段为，，，……， 当汽车刚好在通过D路口时，，此时， 当汽车刚好在通过D路口时，，此时， 所以汽车速度v的取值范围：． 如图阴影部分所示： ． 故答案为：． 10．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，正方形边长，点在边上，且 ，点从点出发，以的速度在、之间往返匀速运动，同时，点从点出发，以的速度沿路径匀速运动，当点运动到点时，两点都停止运动，设运动时间为（单位：s）．在运动过程中的面积（单位：）随运动时间的变化而变化． (1)当点第一次运动到点时，则_____________，_____________； (2)在整个运动过程中，求与的关系式； (3)当时，若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）点第一次运动到点时，路程为，即可得到时间；再根据三角形面积公式进行计算即可． （2）由题意可知，点运动的总时间为，点在、之间往返一次的时间为，点在上运动的时间为，分为当时，当时，当时，当时，当时几种情况进行分类讨论即可； （3）根据（2）得出的取值范围进行计算即可． 【详解】（1）解：； 点走的距离为， ， ； （2）解：由题意可知，点运动的总时间为， 点在、之间往返一次的时间为， 点在上运动的时间为， ①当时，， ； ②当时，， ； ③当时，， 点到的距离为， ； ④当时，， 点到的距离为， ； ⑤当时，， 点到的距离为， ； 综上所述，； （3）解：当时，点到的距离为， 若，则， 解得，不符合题意； 若，则， 解得，符合题意； 若，则， 解得，符合题意； 故当时，的值为或． 11．（2026·北京石景山·一模）为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取A，B两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：）下的百公里能耗（单位：）数据，部分数据如下： 行驶速度 20 40 60 80 100 120 A款车百公里能耗 10.2 8.6 8.7 10.4 13.6 18.5 B款车百公里能耗 10.7 9.5 9.4 10.3 12.2 15.2 对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，补充完成以下内容． (1)在平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，在同一坐标系中画出与的函数图象； (2)当A款车的行驶速度约为______（精确到个位）时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为______（结果保留小数点后一位）； (3)小石和小京分别驾驶A，B两款车从甲地前往乙地，两地相距．两车都先以的速度行驶，随后立即切换至的速度继续行驶，直至到达乙地，则______（填“A”或“B”）款车行驶这的能耗更低． 【答案】(1)见解析 (2)50，9.7 (3)B 【分析】（1）根据描点、连线即可作图； （2）根据函数图象即可求解； （3）根据函数图象分别计算两款车的总能耗，再进行比较即可． 【详解】（1）解：如图，与的函数图象即为所求； （2）解：由函数图象可得，当A款车的行驶速度约为时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为； （3）解：由图象可得，A款车前百公里能耗约为，后百公里能耗约为， 则总能耗为； 由图象可得，B款车前百公里能耗约为，后百公里能耗约为， 则总能耗为； 因为 所以B款车行驶这的能耗更低． 12．（25-26八年级下·北京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 … … … 写出表中的值：__________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①当__________时，函数有最大值是__________； ②对于图象上两点，若，则__________（填“”，“”或“”）； ③对于函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)0 (2)见解析 (3)0，0； ； 【分析】（1）把代入即可求得； （2）先描点，再连线即可； （3）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，， ∴． （2）解：函数图象如图所示． （3）解：观察该函数图象： 当时，函数有最大值是0． 对于图象上两点，若，则． 对于函数，当时，的取值范围是． 13．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）湘绣是中国的四大名绣之一，以其浓郁的湘楚地方文化特色和高超的刺绣艺术而闻名天下．湘绣是以画稿为蓝本，“以针代笔，以线润色”，通过刺绣工艺进行艺术再创造，不但保存了画稿原有的笔墨神韵，更是增添了物象的真实性和立体感，从而使绣品更加生动逼真、栩栩如生．春假期间，小山和他爸爸两人从家出发，骑自行车沿同一条路到长沙市湘绣研究所参观学习．从小山家到长沙市湘绣研究所的路程是．他们离家的路程（单位：）与骑行时间（单位：）之间的关系如图所示，小山先出发，在途中休息了一段时间，休息后骑行的速度是原来的一半．小山爸爸始终保持匀速骑行． (1)求小山爸爸骑行的速度； (2)小山在途中休息了多长时间？ (3)小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有多远？ 【答案】(1) (2)小山在途中休息了0.5小时 (3)小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有 【分析】（1）结合图象，根据速度路程时间，即可求出小山爸爸骑行的速度； （2）先结合图象求出小山原来的速度，根据休息后骑行的速度是原来的一半，可得小山后来的速度，再用剩余的路程除以后来的速度，可得小山休息后骑行的时间，用总时间减去休息前骑行的时间和休息后骑行的时间，即可得小山在途中休息的时间； （3）当小山爸爸追上小山时，他俩骑行的路程相等，据此列方程求解． 【详解】（1）解：根据图象可得，， 答：小山爸爸骑行的速度为； （2）解：小山原来的速度为：， 小山后来的速度为：， 小山休息后骑行的时间为：， ． 答：小山在途中休息了0.5小时； （3）解：根据题意列方程，得， 解得，， ， 答：小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有． 14．（2026·北京顺义·一模）某技术员借助人工智能软件模拟篮球运动员罚篮，当出手位置不变时，研究出手仰角与出手速度对篮球空心入网的影响．当篮球出手仰角为（单位：度）时，分别记录了篮球空心入网的最小出手速度（单位：）和最大出手速度（单位：），部分数据如下： 47.5 50.0 52.5 55.0 57.5 60.0 62.5 65.0 7.70 7.65 7.65 7.76 7.90 8.08 8.31 7.72 7.70 7.72 7.78 7.87 8.02 8.22 8.47 当出手仰角为55度时，篮球空心入网的最大出手速度与最小出手速度的差约为．    (1)写出表中m的值（结果保留小数点后两位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．如图，在给定的平面直角坐标系中，曲线是函数的图像，画出函数的图像．结合数据，利用函数图像可以推断，当篮球空心入网的出手速度最小时，出手仰角约为______度（结果保留整数）； (3)根据以上数据与函数图像，解决下列问题： ①若篮球空心入网的出手仰角为，最大出手速度与最小出手速度的差不小于，则的最小值约为____度（结果保留整数）； ②若出手速度一定，，分别为篮球空心入网的出手仰角的最大值和最小值，对于中的每一个值，篮球都能空心入网，则与差的最大值约为____度（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2)见详解；51度 (3)①57度；② 【分析】（1）根据题意，当出手仰角为55度时，篮球空心入网的最大出手速度与最小出手速度的差约为，即，结合求解即可； （2）结合表中数据，画出函数的图像，结合数据，利用函数图像可以推断，当篮球空心入网的出手速度最小时，出手仰角； （3）①根据题意，若篮球空心入网的出手仰角为，最大出手速度与最小出手速度的差不小于，即，据此分析即可；②若出手速度一定，，分别为篮球空心入网的出手仰角的最大值和最小值，要使最大，对应图像的水平间距最大位置，结合数据和图像可知，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，当出手仰角为55度时，篮球空心入网的最大出手速度与最小出手速度的差约为，即， ∵， ∴，即； （2）结合表中数据，画出函数的图像，如下图所示， 结合数据，利用函数图像可以推断， 当篮球空心入网的出手速度最小时，出手仰角约为51度； （3）①根据题意，若篮球空心入网的出手仰角为，最大出手速度与最小出手速度的差不小于，即， 当时，， 当时，， 所以，的最小值约为57度； ②若出手速度一定，，分别为篮球空心入网的出手仰角的最大值和最小值， 要使最大，对应图像的水平间距最大位置， 由数据和图像可知，与差的最大值约为度． 15．（25-26八年级下·福建厦门·期中）探究：某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)自变量x的取值范围是______． (2)下表是y与x的几组对应数值： x … 0 n 2 3 4 … y … m 0 5 2 … ①表格中的______；______； ②在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质； 【答案】(1) (2)①，②答案见解析 (3)当时，y随x的增大而减小 【分析】（1）由分式的分母不为0可得出答案； （2）①将，代入解析式即可求值；②连点成线，画出函数图像； （3）观察图像可得． 【详解】（1）解：由分式的分母不为0得：， 自变量x的取值范围是：； （2）①当时，， ； 当时，，解得：， ； ②图像如下： （3）当时，y随x的增大而减小． 16．（25-26八年级下·河北衡水·期中）石家庄市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)由图象可得，________，________，________． (2)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为y元，请写出y与x之间的关系式． (3)小明乘坐出租车行驶了21千米，那么他应付多少乘车费？ 【答案】(1)8；3； (2) (3)35元 【分析】（1）根据函数图象可知a和b的值，进而可求出c的值； （2）用起步价加上超过3千米部分的费用可得答案； （3）根据（2）所求求出时y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：由（1）得； （3）解：在中，当时，， 答：他应付乘车费35元． 17．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图像研究其性质——应用函数解决问题”的学习过程，并会通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图像．结合经历的学习过程，我们来研究函数并完成下列填空： … 1 2 3 … … 2 2 … (1)函数的定义域是______； (2)用“描点法”画出函数的图像； ①列表：如上表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如上图． (3)结合函数图像，写出函数中y随x的变化特征：__________； (4)请结合图像直接写出不等式的解集：__________． 【答案】(1) (2)①5 (3)当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 (4)或 【分析】（1）根据分式有意义的条件确定定义域； （2）代数求值； （3）根据图象确定变化特征； （4）根据图象求出不等式解集． 【详解】（1）解：函数的定义域是； （2）解：①； （3）解：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （4）解：不等式的解集为或． 18．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在长方形电子屏中，，．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点A出发沿边以的速度向点C运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)求展开的画面面积S（单位：）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续5s，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，展开的画面面积就是的面积；当时，矩形的面积的面积； （2）先根据展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，计算展开的画面面积，再分别代入（1）中的关系式可得的值，计算总时间，即可解答． 【详解】（1）解：如图，当时，， 如图，当时，； 综上，（单位：关于点的运动时间（单位：的函数表达式为：； （2）解：， 当时，，， ∴， 当时，，（不符合题意）， 答：播放结束时展开的画面面积是． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $