专题03 勾股定理的实际应用（期末复习专项训练）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以13类生活情境为载体，通过题型建模系统训练勾股定理实际应用，注重从实际问题中抽象直角三角形模型，培养几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A题型建模|13类情境（梯子、旗杆等），每类3-8题|聚焦单一情境，从基础计算到动态变式，强调模型识别|以勾股定理为核心，通过“情境→直角三角形构造→方程/计算”逻辑链解决问题| |B综合攻坚|19道综合题|多情境融合，涉及跨知识点（如最短路径、航海问题），注重思维迁移|整合各类模型，强化实际问题数学化的转化能力，体现数学思维的严谨性|

专题03 勾股定理的实际应用目 录 A题型建模・专项突破 题型一、梯子滑落问题 1 题型二、旗杆问题 9 题型三、风筝问题 13 题型四、小鸟飞行问题 19 题型五、大树折断问题 23 题型六、水杯中筷子问题 27 题型七、航海问题 31 题型八、河宽问题 38 题型九、台阶地毯问题 42 题型十、汽车超速问题 44 题型十一、台风影响问题 46 题型十二、选址问题 53 题型十三、最短路径问题 58 B综合攻坚・能力跃升 71 题型建模·专项突破 A 题型一、梯子滑落问题 1．把5长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4，则梯子顶端到地面的距离（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理． 根据勾股定理，将梯子、地面和墙面构成的直角三角形中的已知边长代入公式求解． 【详解】解：梯子斜靠于墙时，与地面和墙面形成直角三角形．梯子长度5米为斜边，底端离墙4米为一条直角边． 设梯子顶端到地面的垂直距离为米， 由勾股定理得： （米） 因此，梯子顶端到地面的距离为3米， 故选：B． 2．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子底端也恰好外移1米，则梯子的长度为（   ） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，则：，巧用梯子的长不变，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴． 故选A． 3．如图，将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上，木板底端点B到墙的距离，木板长，宽． （1）若木板的底端B向里滑行，则木板的顶端A沿墙上滑________m； （2）在木板滑动的过程中，木板的顶端D到O点的最大距离是________m． 【答案】 1 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）在中根据勾股定理求出，再在中根据勾股定理求出的长即可推出结果； （2）取的中点E，连接，根据直角三角形上的中线的性质得出，再根据勾股定理求出，最后根据当O，E，D共线时，长最大，求解即可． 【详解】解：（1）如图， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即木板的顶端A沿墙上滑， 故答案为：1； （2）如图，取的中点E，连接， 由题意可知，是直角三角形的斜边上的中线，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 由勾股定理得，， 当O，E，D共线时，长最大，最大值为， 故答案为：. 4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为______米．    【答案】2.7 【分析】在中，根据勾股定理求出的长，再在中，求出的长，最后由进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，   ， 根据题意得：， 在中，米，米， 米， 在中，米，米， 米， 米， 小巷的宽度为2.7米， 故答案为：2.7． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． 5．如图，某钓鱼者和鱼线的水平距离的长是，露在水面上的鱼线长是，钓者想看看鱼钩上的情况，就把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，此时钓鱼者和鱼线的水平距离是多少？鱼线移动的水平距离是多少? 【答案】钓鱼者和鱼线的水平距离是，鱼线移动的水平距离是 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先在中利用勾股定理求出，即为，再在中利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 答：钓鱼者和鱼线的水平距离是，鱼线移动的水平距离是． 6．如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． (1)当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度 米． (2)当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽； (3)当他在丙房间时，测得米，且，，求丙房间的宽． 【答案】(1) (2)米 (3)丙房间的宽是米 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论; （2）证明△△，从而得到米，，即可求出结果； （3）根据以及的度数可得到为等边三角形，表示出的长，可得结果； 此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，等边三角形的判定，根据以及的度数可得到为等边三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：在 中，，米，米， ， ， 甲房间的宽度米， 故答案为：3.2； （2）， ， ， ． 在△与△中， ， △△， 米， ， ； （3）过点作垂线，垂足点，连接． 设，且． 梯子的倾斜角为， △为等腰直角三角形，△为等边三角形，梯子长度相同），． ， ． ， △为等边三角形， ． △△， ， 米， 即丙房间的宽是3.3米． 7．消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． （）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，∵米，米， ∴（米）， ∴（米， 答：处与地面的距离是米； （2）解：在中， ∵米，（米）， ∴米， ∴（米）， 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 8．在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变． (1)根据题意可知：______（填“”、“”、“”）． (2)若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)小男孩需向右移动的距离为米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出的长，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ， 故答案为：； （2）连接， ∵点B在直线上， ∴点A、B、F三点共线， ，米，米，米， 在中，米， （米）， 在中，米， ， 米， ∴小男孩需向右移动的距离为米． 题型二、旗杆问题 9．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m．如果设旗杆的高度为x m，那么根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可直接进行求解 【详解】解：由题意可得方程为； 故选D 10．如图，要从电线杆离地面15米处向地面拉一条17米长的电缆，则地面固定点A到电线杆底部B的距离为（　　） A．8米 B．15米 C．17米 D．25米 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．根据电线杆与地面垂直得，由题意得、，利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：由题意得，、，， 故地面电缆固定点到电杆底部的距离为：． 答：地面电缆固定点到电线杆底部的距离为． 故选：A. 11．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 __________． 【答案】2.6米 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．过点作于点，可得，，，再根据勾股定理求解即可 【详解】解：如图，过点作于点， 则米，米， 米， （米． 所以此时牵狗绳的长为2.6米． 故答案为：2.6米． 12．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 绳子、皮尺等 测量示意图        说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 5米 根据以上测量结果，请求出学校旗杆的高度． 【答案】米 【分析】此题考查勾股定理的应用，能够用一个未知数表示出未知的两条边，再根据勾股定理列方程求解． 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米， 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米 由图2可得，在中，， 解得，， 答：旗杆的高度为12米． 13．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． ()设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； ()过作，垂足为，证明四边形为长方形，得出，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度． （2）过作，垂足为， 则， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：小明需后退． 14．如图所示，已知旗杆垂直地面，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面比旗杆还多1米，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距5米后，发现下端刚好接触地面（米），请你求出旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 根据勾股定理可得：， 解得． 答：旗杆的高度为米． 题型三、风筝问题 15．小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．则风筝距离地面的高度为（  ） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 如图，设风筝距离地面的高度，则，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度． 【详解】解：如图， 设风筝距离地面的高度，则， 由图可得，，， ∴中，由勾股定理，得， 解得， 答：风筝距离地面的高度为12米． 故选：D． 16．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．风云岭的大草坪上，视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 则如图，风筝的垂直高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由勾股定理得，， ∴（米）， 故选：B． 17．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1)9.5m (2)能成功． 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升12m，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点， 则，，， 在中， ， ． （2）解：能成功，理由如下： 假设能上升12m，如图所示，延长至点，连接， 则， ． 在中， ． ，余线仅剩9m， ∴， ∴能上升12m，即能成功． 18．长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)8米 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 19．综合与实践：根据背景素材，探索解决问题． 测量风筝离地面的垂直高度 背景素材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”． 操作步骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为15米． ②测得牵线放风筝的手到地面的距离为米 备注：点A，B，C，D在同一平面内 问题解决 （1） 根据手中余线长度，计算出的长度为17米，求风筝离地面的垂直高度． （2） 若以的速度放手中余线，风筝沿射线方向上升，求后风筝离地面的垂直高度． 【答案】（1）米；（2）米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）过A作交于E，结合题意可得：，，再利用勾股定理求解，进一步可得答案； （2）先求解，再利用勾股定理求解，进一步求解即可； 【详解】解：（1）如图，过A作交于E，结合题意可得：，， ∵， 在中， ， ， 故风筝离地面的垂直高度为米； （2）由题意可得，，而，， 在中， ， ， 故风筝离地面的垂直高度为米． 题型四、小鸟飞行问题 20．公园内有两棵树，相距，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另 一棵树的顶端，小鸟至少要飞（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，两点之间线段最短，解题的关键是从实际问题中抽象出几何图形．画出图形，表示高的树，表示高的树，两棵树间距离，根据两点间线段最短可知，小鸟至少要飞的距离等于的长，过作于点，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意画图如下：其中，，， 两点间线段最短， 题目所求即为的长， 过作于点， 则， 由勾股定理得：， 故选：C． 21．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点作于点，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ， 四边形是长方形， 米，米， 米， （米， （米． 故选：B． 22．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行_____________米． 【答案】25 【分析】本题考查正确运用勾股定理．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可． 【详解】解：如图，设大树高为米，小树高为米， 连接，平移到，则米，，两树相距米， ∴（米）， 在中，（米）， 故小鸟至少飞行米． 故答案为：25． 23．如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于，连接，由题意得：，，，求出，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，连接， 由题意得：，，， ， ． 即：无人机飞行的最短距离为． 24．如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】(1)米 (2)小鸟下降的距离为米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 题型五、大树折断问题 25．如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和矩形性质的应用，通过构造直角三角形并利用勾股定理求解斜边长度，进而计算大树折断前的高度，解题的关键在于准确识别和应用几何图形的性质，特别是利用矩形对边相等及勾股定理进行线段长度的计算．通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的长度得到大树折断前的高度。 【详解】解：过点B作于点E，则， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， 大树折断前的高度为． 故选：D． 26．如图，一棵大树的一段被风吹断，顶端着地与地面成，顶端着地处与大树底端相距米，则原来大树（   ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，设，得，根据勾股定理列出方程即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， 设米，则米， 根据勾股定理得，， 解得， ∴米，米， ∴米， ∴原来大树是米， 故选：． 27．《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去木四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，则的长为（   ） A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺 【答案】A 【分析】此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键． 设尺，则尺，利用勾股定理解答． 【详解】解：设尺，则尺， 在中，，， ∴， 解得：， 故选：A． 28．如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处，已知旗杆原长，则旗杆在离底部_______米的位置断裂． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理实际应用．根据题意设，则，利用勾股定理列式计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处， ∴， ∵旗杆原长， ∴， ∴设，则， ∴，解得：， ∴旗杆在离底部的位置断裂， 故答案为：． 29．2024年第13号台风“贝碧嘉”于9月16日17时前后经过常州，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面并且高9米的银杏树被台风折断，树顶A落在离树底部C的6米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【答案】这棵树在离地面米高处被折断 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据图示知大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，标注相应点后，则有，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设离地面高度x米处折断，则，， ∵ ∴， ∴    ． ∴ 答：这棵树在离地面2.5米高处被折断． 30．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度． 【答案】甲树原来的高度为米 【分析】问题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可． 【详解】解： ， ， 米，米， （米）， （米）， （米）， 甲树原来的高度为（米）， 答：甲树原来的高度为米. 31．如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝砸不到小车 【分析】本题考查勾股定理．大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】如下图所示， ， 为直角三角形， 在中，，， ， ，， 树枝砸不到小车． 题型六、水杯中筷子问题 32．将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，分类讨论思想的应用．利用勾股定理求出杯子内筷子的最大长度，再根据杯子内筷子的长度范围得出杯子外面长度的取值范围即可得出答案， 【详解】解：当筷子如图1放置时， 在中，由勾股定理，得， 此时，筷子在杯子外面的长度最短， 最短值为：； 当筷子如图2放置时， 此时，筷子在杯子外面的长度最长， 最长值为：． 综上，． 故选：D． 33．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是（    ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 【答案】C 【分析】本题考查正确勾股定理的应用．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长13尺． 故选：C． 34．如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒内部的底面直径为，内壁高为，则这支铅笔的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．在中运用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得，， 由勾股定理得：， ∴， 则这支铅笔长度可能为； 故选：D． 35．如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是_____． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出收纳盒里面筷子的最大长度是解题的关键．求出筷子露在收纳盒外的最长长度和最短长度，即可得出结论． 【详解】解：当筷子放进收纳盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长； 当筷子放进收纳盒里露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线长，高为， 由勾股定理得：收纳盒里面筷子长度， 筷子露在收纳盒外的长度最短； 筷子露在盒外的部分的取值范围是， 故答案为：． 36．一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，求这支铅笔的长度是多少？ 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在中：由勾股定理计算出的长度即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， 在中：由勾股定理得， ∵这支铅笔在笔筒外面部分长度是， ∴这支铅笔的长度是． 37．如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为，杯高，点，点在内部底面圆上，线段经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点处，并让吸管经过点（按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出长的吸管，问至少需要制作多长的吸管？ 【答案】至少需要制作长的吸管 【分析】此题主要考查的是勾股定理的应用．在吸管(杯内部分)、杯底直径、杯高构成的直角三角形中，由勾股定理可求出杯内吸管部分的长度，再加上外露部分的长度即可求出吸管的总长． 【详解】解：由题意可知是直角三角形，，，线段为内部底面圆直径， 内部底面圆半径为， ， 在中， ， 解得：或（舍去，不符合题意） 答：至少需要制作长的吸管． 题型七、航海问题 38．如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，则（    ） A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，三角形内角和定理，过点B作交于D，则，由题意得，，则可证明，进而得到；再求出，进而得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作交于D，则， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴海里， ∴海里， 故选；C． 39．如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 【答案】C 【分析】本题考查了方向角、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），先根据方向角可得，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 离开港口3小时后，（海里），（海里）， ∴海里， 即甲、乙两轮船相距60海里， 故选：C． 40．一艘轮船以3海里/时的速度从港口出发向北航行，另一艘轮船以4海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时，两船相距（    ） A．3海里 B．4海里 C．5海里 D．10海里 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的运用，熟练运用勾股定理是解题的关键；根据两艘轮船出发的方向，可以得到，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，如图所示， 可知，，海里，海里， 在中，（海里）， 故两船相距海里 故选：C． 41．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为_________海里． 【答案】25 【分析】本题考查勾股定理的应用，先判断为直角三角形，再利用勾股定理求斜边的长度． 【详解】解：由题意知，， 为直角三角形， （海里），（海里）， （海里）， 即“远航”号与“海天”号的距离为25海里， 故答案为：25． 42．一帆船从某处出发时受风向影响，先向正西航行8千米，然后向正南航行15千米，这时它离出发点有______千米． 【答案】 【分析】根题考查了勾股定理的应用，能够运用数学知识解决生活中的问题，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形． 【详解】解：根据题意得： ，， 构成直角三角形， 根据勾股定理， ， ， 千米． ∴这时它离出发点有17千米． 故答案为：17． 43．如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行．3小时后，甲船到达A岛，乙船到达B岛．若A、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 【答案】12 海里/小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在图形中找出直角三角形是解题的关键． 计算得出，从而说明是直角三角形，再利用勾股定理求出的长，再求乙船的航速． 【详解】由题知，， 海里， 海里， 由勾股定理得， 海里， 乙船的航速是 海里/小时． 44．如图，甲、乙两船同时从港出发，甲船的速度是15海里/时，航向是东北方向（射线方向），乙船比它每小时快5海里，航向是东南方向（射线方向），多少小时后两船相距100海里？ 【答案】4小时后两船相距100海里 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设小时后两船相距100海里，根据勾股定理得，解方程即可． 【详解】解：由题意，得，． 设小时后两船相距100海里， 根据题意得：， 解得：（舍去）或． 答：4小时后两船相距100海里． 45．现有一艘快艇即将靠岸，当快艇到达点的位置后，关闭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子一直处于绷直状态，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳，后快艇移动到点D的位置，问此时快艇距离岸边还有多少？ (2)若快艇关闭发动机后，保持的速度匀速靠岸，后快艇由点移动到点的位置，工作人员手中的绳子被收上来多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据勾股定理可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：因为工作人员以的速度收绳，后船移动到点的位置， 所以， 在中，， 所以快艇距离岸边还有； （2）解：因为在中，， 所以， 所以， ， 所以绳子被收上来． 46．如图所示，缉毒警方在基地B处获知有贩毒分子分别在P岛和M岛进行毒品交易后，缉毒艇立即出发，已知甲艇沿北偏东方向以每小时36海里的速度前进，乙艇沿南偏东方向以每小时32海里的速度前进，15分钟后甲到M岛，乙到P岛，则M岛与P岛之间的距离是多少？（结果保留根号） 【答案】M岛与P岛之间的距离是海里． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据条件可以证得是直角三角形，求得与的长，根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：由题意得：， ∴为直角三角形， （海里），（海里）， 在中，由勾股定理得： （海里）， 答：M岛与P岛之间的距离是海里． 47．上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】(1)海岛B到海岛C的距离为30海里 (2)上午11时，小船与灯塔C的距离最短 (3)救援队先到 【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定： （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可； （2）过C作于H，先求出，根据含的直角三角形的性质求出，进而即可解答； （3）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； （2）解：过C作于点H， 又， ∴， ∴（海里）， ∴从B处到H处需要小时， ∴答：小船与灯塔C的距离最短时，此时为上午时； （3）解∶ 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为（小时）， 救援队所用时间为（小时）， ∵， ∴救援队先到． 题型八、河宽问题 48．如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一点，再在河一侧岸边选定点和点，使，测得米，，根据测量数据可计算小河宽度为（    ） A．米 B．20米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据垂直定义可得，然后在中，利用30度角的性质得，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得米（负值舍去）， 故选：A． 49．山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理求出，因此，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴从A村到B村比原来减少的路程为． 故选：B． 50．为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形（），如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 【答案】8m 【分析】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的形式． 在中，利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】在中，，， ∴ 答：图中、两点之间的距离是8m． 51．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“测量隧道长度”的项目式学习活动． 项目主题 测量隧道的长度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量示意图    数据说明 ，米，米 特别说明 测量过程中注意保障人身安全！ 请你根据以上测量结果，计算隧道的长度． 【答案】720米 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意． 根据题意证明为直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ， 为直角三角形． 米，米， （米）． 即隧道的长度为720米． 52．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线上取点C（于点A），用测距仪测得、的长．    测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【答案】水潭的宽度为米． 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，米， ∴， ∴水潭的宽度为米． 题型九、台阶地毯问题 53．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选：C． 54．淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要_____米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—求台阶上地毯长度，利用平移解决实际问题等知识点，利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算是解题的关键． 根据题意，结合图形，先把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个矩形，再求矩形的长，则可求出地毯的长度至少需要多少米． 【详解】解：如图，利用平移线段，把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个矩形， 则矩形的长为：（米）， 地毯的长度为：（米）， 故答案为：． 55．如图，在高，斜坡长，宽为的楼梯表面铺地毯，则地毯的面积至少需要_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理求得直角三角形的另一条边长，求得地毯的长，即可求出地毯的面积，正确理解地毯的长度等于直角三角形的两条直角边的长是解题的关键． 【详解】由勾股定理得，， ∴地毯的长， ∴地毯的面积， 故答案为：． 56．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 题型十、汽车超速问题 57．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得： ， 故小汽车的速度为 s． 故答案为：． 58．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米． (1)求的长； (2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)超速了，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长即可； （2）求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：在中，， ， 答：的长为米； （2）解：小汽车的速度为：， ， 故小汽车超速了． 59．如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【答案】(1)共用时4秒 (2)该车超速，理由见详解 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可 【详解】（1）解：依题意可得，， ∴，为直角三角形 ∵米，米， ∴米， ， ∴ 答∶共用时4秒； （2）解：超速，理由如下∶ ， ∵， ∴该车超速． 60．某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 【答案】这辆轿车违章，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出的长，进而求出汽车的速度，再与70比较即可得到结论． 【详解】解：这辆轿车违章，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴汽车的速度为， ∵， ∴这辆轿车违章． 题型十一、台风影响问题 61．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得，在中，， ， ， 市受到台风影响的时间持续． 62．由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日市气象局测得沙尘中心在市正西方向千米的处，以千米/时的速度向东偏南的方向移动，距离沙尘中心千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域． (1)问市会不会受到沙尘暴的严重影响？请通过计算说明理由； (2)若受影响请计算市受影响的时间． 【答案】(1)市会受到沙尘暴的严重影响，见解析； (2)小时． 【分析】本题主要考查勾股定理，理解题意，掌握勾股定理的计算方法是关键． （1）过点作于，根据含角的直角三角形的性质得到，由此即可求解； （2）设沙尘中心距点千米处，刚好处在上的两点，由勾股定理得到千米，则千米，由行程问题的数量关系即可求解． 【详解】（1）解：过点作于，由题意得千米，， ∴（千米）, ∵， ∴市会受到沙尘暴的严重影响； （2）解：设沙尘中心距点千米处，刚好处在上的两点， 在中，千米，千米， ∴千米， ∴千米， ∴市受影响的时间为（小时）， 故市受影响的时间为小时． 63．如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为．一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ (2)若汽车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？（，，，） 【答案】(1)货车开过学校会受噪音影响，理由见解析 (2)学校受噪音影响秒钟 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）根据即可求解； （2）在上取点和点，使，则是受学校噪音影响的路段，利用勾股定理求出，结合等腰三角形“三线合一”的性质求出，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：货车开过学校会受噪音影响，理由如下： ， 货车开过学校会受噪音影响． （2）解：如图，在上取点和点，使， ， ， ，， 在中，， ，， ， ， 影响时间（秒）， 答：学校受噪音影响秒钟． 64．如图，，，是我国南部的三个岛屿，已知，两岛的距离为，，两岛的距离为，，两岛的距离为．2024年9月，超强台风“摩羯”登陆岛屿，台风中心由向移动，风力影响半径为． (1)请判断岛屿C是否会受到台风的影响？并说明理由． (2)若台风影响岛屿C的时长是1.6小时，求台风中心的移动速度． 【答案】(1)岛屿会受到台风的影响；理由见解析 (2)台风中心的移动速度为． 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作于点D，利用勾股定理得可求出和，由，可知会受影响； （2）以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F，利用勾股定理求出，进而得到的长，再除以台风影响岛屿的时长，即可求出台风移动的速度． 【详解】（1）解：岛屿会受到台风的影响；理由如下， 过点C作于点D， 由勾股定理得：， ∴， 解得，∴，， ∵， ∴岛屿会受到台风的影响； （2）解：以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F， 则， 在中， 由勾股定理，得， ， ， 答：台风中心的移动速度为． 65．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问： (1)A城市是否会受到台风影响？请说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【答案】(1)A城市会受到这次台风的影响，理由见解析 (2)12小时 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握勾股定理成为解题的关键． （1）过点作于点，利用角所对边是斜边一半，求得，然后与200比较即可解答； （2）以为圆心，200千米为半径作交于、，则千米，再运用勾股定理计算弦长，然后根据行程问题解答即可． 【详解】（1）解：城市会受到这次台风的影响，理由如下： 如图1，过点作于点， 在中，千米， ∴千米， ∵城市受到的风力超过5级，则称受台风影响， ∴受台风影响范围的半径为：千米， ∵千米千米， ∴城市会受到这次台风的影响． （2）解：如图2，以为圆心，200千米为半径作交于、， 则千米， ∴台风影响该市持续的路程为：千米， ∴台风影响该市的持续时间小时． 66．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入． (1)山地C距离公路的垂直距离为多少米? (2)在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 【答案】(1)山地C距离公路的垂直距离为米 (2)需要封锁的公路长为400米 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，过点C作于点D，再由三角形面积求出的长即可； （2）过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，，根据480米米可以判断有危险，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【详解】（1）解：由题意可知，米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，且， 如图1，过点C作于点D， （米） 答：山地C距离公路的垂直距离为米． （2）公路有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图2，过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，， 则米，， 由（1）可知，米， ∵480米米， ∴有危险需要暂时封锁， 在中，由勾股定理得： （米） ∴（米）， 即需要封锁的公路长为400米． 题型十二、选址问题 67．如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（　　）． A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据C、D两村庄到E站的距离相等，可得到，则由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵C、D两村庄到E站的距离相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 68．如图，公路上A，B 两站相距8千米，C，D为两村庄， 垂足分别为点A，B．已知长3 千米， 长5千米，现要在公路 上建一个日用品大卖场E，使得C，D两村到大卖场E 的距离相等，那么大卖场E应建在距A站多远处? 【答案】大卖场E应建在离A站千米处 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是关键．设千米，则千米，在和中，利用勾股定理可用x表示出和；接下来根据列方程求出x的值即可． 【详解】解：设千米，则千米， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 因为，所以，解得， 所以大卖场E应建在离A站千米处． 69．2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【答案】(1)小明所在的E站应在离A站处 (2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． （2）作点D关于的对称点，连接交于点，即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F，证明，由勾股定理得出，的最小值即为，再得出，根据等角对等边得出． 【详解】（1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 则小明所在的E站应在离A站处． （2）作点D关于的对称点，连接交于点， 即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F， 则，，， ∴， ∴． ∴的最小值即为，即 此时， ∴， ∴， ∴， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 70．某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【答案】， 【分析】通过设未知数，利用勾股定理分别表示出和，再根据建立方程求解．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据距离相等建立方程是解题的关键． 【详解】解：设，则． 根据题意，得． ∴， 解得． ∴． ∴，． 71．如图所示，铁路上有A，B两点（看作直线上两点）相距，C，D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A，B，，，现在要在铁路旁修建一个检修点E，使得C，D两村到检修点E的距离相等（点A，B，C，D，E在同一平面）． (1)请用尺规作图，在图中作出检修点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求检修点E应建在距A点多少千米处？ 【答案】(1)见解析 (2)16千米 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求． （2）连接，设，则，结合题意以及勾股定理可列方程为，求出的值即可． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点， 则点即为所求． （2）解：连接， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∵两村到检修点的距离相等， ， 解得：． ， 答：检修点应建在距点16千米处． 题型十三、最短路径问题 72．如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为： 米． 故选：B．    73．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选：A． 74．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（   ）（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） A．17 B． C． D．25 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理，将该U型池的侧面展开，再根据“两点之间，线段最短”，并结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图是其侧面展开图： 则，， 在中，由勾股定理可得：， 故他滑行的最短距离为， 故选：B． 75．如图是一个棱长为的正方体木箱，点在上底面的棱上，，一只蚂蚁从点出发沿木箱表面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】此题考查的是勾股定理之最短路径问题，掌握两点之间线段最短和利用勾股定理求边长是解决此题的关键．将正方体上表面如图展开，根据两点之间，线段最短，即可得到：展开图有三种形式，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：依题意，展开图有三种形式： 或 ∵ 蚂蚁爬行的最短路程． 故选：C． 76．如图，圆柱形容器高为，在其外壁距离下底面的处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面的B处的一滴蜂蜜，其中圆柱的底面周长为，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，由勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过点的一条母线剪开，得到长方形连接, 则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离， 故. 故选：B. 77．如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长． 【详解】解：如图，在中，， ∴． 故答案为： 78．如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是________米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为米，因为长方形的宽为1米，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长， ∴长方形的长为米， ∵长方形的宽为1米， ∴一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线， ∴米， 故答案为：． 79．运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为80cm，宽均为60cm，1，2，3号台的高度分别是40cm，30cm，20cm．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为________cm．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了平面展开图，最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题．根据题意将立体图形展开，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意知，展开图如下： ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离为， 故答案为：． 80．在一个长6米，宽为6米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的正三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是_____米． 【答案】10 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短，用勾股定理计算解答即可． 【详解】解：设正三角形的边长为x， ∵正三角形的高是， ∴由三线合一和勾股定理，得：， ∴， ∴正三角形的边长为2， 如图，将木块展开，得到如图的长方形， 如图长方形的相当于是米，宽米． 在中， 米， ∴昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 10米． 故答案为：10． 81．某单位大门口有个圆形柱子，已知柱子的直径为，高为，为庆祝国庆节，单位想在柱子上挂一根彩带．（以下计算规定）当彩带从点开始绕柱子1圈后，挂在点的正上方的点处，求彩带最短需要多少米？ 【答案】彩带最短需要米 【分析】本题考查圆柱展开图，勾股定理等．根据题意可知圆柱展开图为长方形，彩带最短为长方形对角线长度，再利用勾股定理即可求出本题答案． 【详解】解：如图，在直角中，， ∵柱子的直径为，高为 ∴ ，   ∴．     答：彩带最短需要米． 82．如图，一个密封的圆柱形油罐底面的周长是，高是，一只壁虎在距底面的点处，油罐上底面与点相对的点处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到点处捕食，它爬行的最短路程为多少米？ 【答案】它爬行的最短路线长为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，把圆柱进行展开，得和的值，根据勾股定理进行列式，即可作答． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：，， 则 答：它爬行的最短路线长为． 83．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？画出侧面展开图，并解答． 【答案】图见解析，蚂蚁爬行的最短路径长为． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 84．如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少? 【答案】蚂蚁爬行的最短距离是 【分析】本题考查了勾股定理的应用；计算出三种情况下线段的长度，比较即可得到蚂蚁爬行的最短距离； 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图； ∵长方体的宽为，高为，点B离点C的距离是， ； 要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： ； ； ， ∴蚂蚁爬行的最短距离是． 85．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 【答案】(1)A (2) (3)最短为，方案见解析 【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键． （1）结合图形即可得出结果； （2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解； （3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意， 故选：A； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：， ∴最短长度是； （3）①把展开，如图此时总路程为， ②把展开，如图 此时的总路程为； ③如图所示，把展开， 此时的总路程为， 由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 86．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 综合攻坚·能力跃升 B 1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，水深为尺，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设芦苇的长度是尺，则水深为尺， 根据题意，得． 2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 3．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，则它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C． D．9 【答案】A 【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴它需要爬行的最短路程为10． 4．（25-26八年级下·湖北·月考）如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，甲船从B处行至小岛C的速度是（    ） A．海里/小时 B．15海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【答案】C 【分析】过点B作，垂足为M，根据题意知，可推知，，分别在与中依据已知的特殊角、已知边，可逐一求出的长，于是的长度可求出．先依据的距离与乙船航行的速度可求得乙船航行的时间，然后求出甲船从B处行至小岛C的时间，最后求得甲船此段航行的速度． 【详解】（1）解：如图，过点B作，垂足为M， 由题意得，，°， 设指示南北方向，点N在线段上，则， ∴． 由题意知，， ∴ 在中，海里， ∴海里，海里， 在中，， ∴海里， ∴海里， 在中，海里， ∴ （海里）， ∴乙船行驶的时间为小时， ∴甲船从B处行至小岛C的时间为（小时）． ∴甲船从B处行至小岛C的速度为（海里/时）． 5．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，一圆柱形油罐的底面圆的周长为，高为，要以点为底端环绕油罐做一梯子，正好顶端在点的正上方点处，那么梯子最短需___________． 【答案】13 【分析】先把圆柱的侧面展开得到一个长方形，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将圆柱形油罐的侧面展开，在中，， 则， 即梯子最短需． 6．（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为____尺． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设这根芦苇的长度为尺，在中，由勾股定理得出方程求解即可得出结果． 【详解】解：设这根芦苇的长度为尺， 由题意知，尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 这根芦苇的长度为尺， 7．（25-26八年级下·湖北·期中）如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为．现有一长为的吸管插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】解：当吸管插到包装盒底部，且垂直于底面时，吸管露在盒外部分的长度最长，为； 当吸管露在盒外部分的长度最短时，包装盒内部的吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线的长，高为， 由勾股定理得：包装盒内部的吸管的长度， 的最小值为． 8．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，某公园内有一条“型”景观水道，，水道的宽度为米，水道分为东西方向和南北方向两段．两个凉亭分别位于，两点，其中位于南北方向水道的西侧，位于东西方向水道的南侧，已知，两点在东西方向上的水平距离为米，在南北方向上的竖直距离为米．现要建造两座与水道垂直的景观桥和（桥长均为米），使得从处到处的游览路径最短，则最短路径的长为______米． 【答案】 【分析】将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点．则，从而将的长度转化成求的长度，进而得出当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点． 则， 由平移作图易得，，， 当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为． 由题意得，米，米， 米，米， 米， 的最短距离为米． 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12海里，“海天”号每小时航行9海里．它们离开港口两个小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿北偏东方向航行． (1)说明“海天”号沿哪个方向航行？ (2)求出此时“海天”号到海岸线的距离． 【答案】(1)“海天”号沿北偏西方向航行； (2)此时“海天”号到海岸线的距离为海里． 【分析】（1）根据题意可得海里，，海里，海里，由勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，，可得，即可得“海天”号的航行方向； （2）过点作海岸线的垂线，垂足记为，则，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理即可得此时“海天”号到海岸线的距离． 【详解】（1）解：根据题意可得，海里，， （海里）， （海里）， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴“海天”号沿北偏西方向航行． （2）解：过点作海岸线的垂线，垂足记为，则， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴此时“海天”号到海岸线的距离为海里． 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端与墙角的距离为． (1)求梯子底端与墙角的距离； (2)如果梯子的顶端沿墙下滑至墙体处，当沿墙下滑距离为，那么梯子底端外移多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，已知梯子长和墙高，利用勾股定理直接计算梯子底端到墙角的距离； （2）先根据下滑距离求出的长度，再在中利用勾股定理求出的长度，最后用减去得到梯子底端外移的距离． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得 ， 所以． （2）解： 在中，根据勾股定理得 ， 所以， 所以． 所以梯子底端外移． 11．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方12米的处，过了0.5秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120千米/小时，问该小汽车是否超速，说明理由． 【答案】小汽车速度为32米/秒，该小汽车不超速，理由见解析 【分析】根据勾股定理求出的值，根据速度公式求出小汽车在段的速度，与限速比较即可． 【详解】解：由题意可知米，米，， ∴米， ∴小汽车速度为米/秒， ∵32米/秒千米/小时千米/小时， ∴不超速． 12．（25-26八年级下·江西上饶·期中）【问题情境】如图，某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】该数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量绳子比旗杆多出部分的长度，测得绳子多出部分的长度是米； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量点C与旗杆底部点B 之间的距离，测得距离为米． 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． (1)依题意知 米，用含有x的式子表示的长为 米； (2)请你求出旗杆的高度． 【答案】(1)， (2)米 【分析】（1）直接根据题意即可解答； （2）利用勾股定理列关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：米，的长为米． （2）解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意可得：，即， 解得：米． 答：旗杆的高度为米． 13．（25-26八年级下·福建厦门·期中）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块，分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动，滑块大小忽略不计，零件图的集成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点厘米，滑块距点厘米， (1)求的长； (2)当滑块向下滑厘米至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）先求出，根据勾股定理求出，最后利用，即可求解． 【详解】（1）解： ，，， ； （2） ，， ， ，， ， ． 14．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，一圆柱的底面半径为是底面直径，高为，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点（点与点正对）的最短路线，小明设计了两条路线． 路线1：侧面展开图中的线段，如图2所示． 设路线1的长度为，则． 路线2：高线底面直径． 设路线2的长度为，则． 为比较的大小，采用“作差法”： 因为，所以，所以，所以小明认为路线2较短． (1)小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为，高为”．请你用上述方法帮小亮比较出与的大小． (2)请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为，高为．蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点，当满足什么条件时，路线2较短？请说明理由． 【答案】(1)路线1较短， (2)当时，路线2较短 【分析】(1) 分别求出两种路线的长度的平方，利用作差法比较大小． (2) 用表示两种路线的长度的平方，通过作差法建立不等式，求解的范围． 【详解】（1）解：由题意，圆柱底面半径，高， 路线1：侧面展开图中，水平距离为半圆弧长，垂直距离为， ， 路线2：， ， ， 又， ， ， 路线1较短． （2）解：圆柱底面半径为，高为， 路线1：， 路线2：， ， ， ， ， 当路线2较短时，， 即， ， ， ， 又， ， ． 15．（25-26八年级下·北京·期中）如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 【答案】该车没有超速．理由见解析 【分析】过点作交于点，根据三线合一可求出的长，然后在中，利用勾股定理可求出的长，再在中，根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，从而可得的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】解：该车没有超速．理由如下： 如图，过点作交于点， 由题意可得，米，米， 米， 在中，（米）， 在中，， （米）， （米）， 米， 汽车经过区间用时秒， 该车的速度为（米/秒）， ， 该车没有超速． 16．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线从左向右移动，已知点为某海港，点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)当地气象部门在通知中说海港会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由； (3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港的时间有多长？ 【答案】(1)见解析 (2)海港C会受到台风影响，理由见解析 (3)台风持续影响该海港 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴； （2）解：海港C会受到台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D点， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； （3）解：由（2）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 17．（25-26八年级下·安徽池州·期中）为测量学校旗杆的高度，某学习小组设计了多种方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题： 测量工具 含角的直角三角板、足够长的皮尺 方案一 方案二 方案三 测量方案示意图 设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得 小明站在距离旗杆的点D处，眼睛距离地面，视线沿着三角板的一直角边落在旗杆顶部A处，小亮沿着直线垂直移动一高为的竹竿，直到小明视线沿着三角板的另一直角边恰好落在竹竿顶部E处，此时测得竹竿距离旗杆． 如图，旗杆顶端的绳子垂落地面后还多出，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． (1)在方案一中，由于是________三角形，所以要确定旗杆的高度，只需测量线段________的长度． (2)请根据方案二的测量数据，并利用八年级上册的知识，求旗杆的高度． (3)请根据方案三提供的数据，计算旗杆的高度． 【答案】(1)等腰直角， (2)旗杆的高度为12米 (3)旗杆的高度为12米 【分析】（1）根据题意及等腰直角三角形的性质解答； （2）作，根据直角三角形的性质得，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案； （3）设米，则米，根据勾股定理列出方程，求出解即可. 【详解】（1）解：要确定旗杆的高度应测量的长度； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴. ∴要确定旗杆的高度，只需测量线段的长度； （2）解：过点C作分别交于点M，交于点N， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 由题可知，米，米，米，米， ∴米，米 ∵，， ∴， ∴米， ∴米． 故旗杆的高度为12米． （3）解：由题可知，，，， 设米，则米， 在中，， 即， 解得：， 故旗杆的高度为12米． 18．（25-26八年级上·江西赣州·月考）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3） 【分析】（1）通过表示四边形的面积（两种方法：梯形面积、三个三角形面积和），建立等式推导勾股定理． （2）设长度为未知数，利用结合勾股定理列方程求解． （3）将代数式转化为几何线段长度，通过轴对称找最短路径，利用勾股定理求最小值． 【详解】解：（1）∵四边形是梯形，， ∴． 又∵， ∴， 展开得， 化简得． （2）设千米，则千米． ∵，，， ∴， 即， 展开得， 化简得， ∴，即千米． （3）构造几何模型：设，点在上，，，作且，且，则代数式． 作点关于的对称点，连接交于点，过作于，则， ∴， ∴的长为的最小值． 在中，，， ∴， ∴代数式的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明与应用、轴对称最短路径问题，熟练掌握勾股定理的推导方法、利用几何模型转化代数问题是解题的关键． 19．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【答案】（1），（2）26（3）（4） 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长度，进而构建直角三角形求解． 【详解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和． 根据勾股定理，最短路径为： （2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为， 根据勾股定理，， 绕两周彩条最短长度为：； （3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为； 根据勾股定理，金属丝最短长度为： （4）底面是半圆长加一个半径，，高为6， 根据勾股定理，爬行最短长度为． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理的实际应用 目 录 A题型建模・专项突破 题型一、梯子滑落问题 1 题型二、旗杆问题 4 题型三、风筝问题 7 题型四、小鸟飞行问题 9 题型五、大树折断问题 11 题型六、水杯中筷子问题 13 题型七、航海问题 14 题型八、河宽问题 17 题型九、台阶地毯问题 20 题型十、汽车超速问题 21 题型十一、台风影响问题 22 题型十二、选址问题 25 题型十三、最短路径问题 26 B综合攻坚・能力跃升 32 题型建模·专项突破 A 题型一、梯子滑落问题 1．把5长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4，则梯子顶端到地面的距离（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子底端也恰好外移1米，则梯子的长度为（   ） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 3．如图，将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上，木板底端点B到墙的距离，木板长，宽． （1）若木板的底端B向里滑行，则木板的顶端A沿墙上滑________m； （2）在木板滑动的过程中，木板的顶端D到O点的最大距离是________m． 4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为______米．    5．如图，某钓鱼者和鱼线的水平距离的长是，露在水面上的鱼线长是，钓者想看看鱼钩上的情况，就把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，此时钓鱼者和鱼线的水平距离是多少？鱼线移动的水平距离是多少? 6．如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． (1)当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度 米． (2)当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽； (3)当他在丙房间时，测得米，且，，求丙房间的宽． 7．消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 8．在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变． (1)根据题意可知：______（填“”、“”、“”）． (2)若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号） 题型二、旗杆问题 9．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m．如果设旗杆的高度为x m，那么根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 10．如图，要从电线杆离地面15米处向地面拉一条17米长的电缆，则地面固定点A到电线杆底部B的距离为（　　） A．8米 B．15米 C．17米 D．25米 11．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 __________． 12．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 绳子、皮尺等 测量示意图        说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 5米 根据以上测量结果，请求出学校旗杆的高度． 13．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 14．如图所示，已知旗杆垂直地面，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面比旗杆还多1米，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距5米后，发现下端刚好接触地面（米），请你求出旗杆的高度． 题型三、风筝问题 15．小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．则风筝距离地面的高度为（  ） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 16．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．风云岭的大草坪上，视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 则如图，风筝的垂直高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 17．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 18．长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 19．综合与实践：根据背景素材，探索解决问题． 测量风筝离地面的垂直高度 背景素材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”． 操作步骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为15米． ②测得牵线放风筝的手到地面的距离为米 备注：点A，B，C，D在同一平面内 问题解决 （1） 根据手中余线长度，计算出的长度为17米，求风筝离地面的垂直高度． （2） 若以的速度放手中余线，风筝沿射线方向上升，求后风筝离地面的垂直高度． 题型四、小鸟飞行问题 20．公园内有两棵树，相距，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另 一棵树的顶端，小鸟至少要飞（      ） A． B． C． D． 21．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 22．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行_____________米． 23．如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 24．如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 题型五、大树折断问题 25．如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 26．如图，一棵大树的一段被风吹断，顶端着地与地面成，顶端着地处与大树底端相距米，则原来大树（   ）米． A． B． C． D． 27．《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去木四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，则的长为（   ） A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺 28．如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处，已知旗杆原长，则旗杆在离底部_______米的位置断裂． 29．2024年第13号台风“贝碧嘉”于9月16日17时前后经过常州，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面并且高9米的银杏树被台风折断，树顶A落在离树底部C的6米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 30．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度． 31．如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 题型六、水杯中筷子问题 32．将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是（    ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 34．如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒内部的底面直径为，内壁高为，则这支铅笔的长度可能是（   ） A． B． C． D． 35．如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是_____． 36．一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，求这支铅笔的长度是多少？ 37．如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为，杯高，点，点在内部底面圆上，线段经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点处，并让吸管经过点（按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出长的吸管，问至少需要制作多长的吸管？ 题型七、航海问题 38．如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，则（    ） A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里 39．如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 40．一艘轮船以3海里/时的速度从港口出发向北航行，另一艘轮船以4海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时，两船相距（    ） A．3海里 B．4海里 C．5海里 D．10海里 41．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为_________海里． 42．一帆船从某处出发时受风向影响，先向正西航行8千米，然后向正南航行15千米，这时它离出发点有______千米． 43．如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行．3小时后，甲船到达A岛，乙船到达B岛．若A、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 44．如图，甲、乙两船同时从港出发，甲船的速度是15海里/时，航向是东北方向（射线方向），乙船比它每小时快5海里，航向是东南方向（射线方向），多少小时后两船相距100海里？ 45．现有一艘快艇即将靠岸，当快艇到达点的位置后，关闭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子一直处于绷直状态，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳，后快艇移动到点D的位置，问此时快艇距离岸边还有多少？ (2)若快艇关闭发动机后，保持的速度匀速靠岸，后快艇由点移动到点的位置，工作人员手中的绳子被收上来多少？ 46．如图所示，缉毒警方在基地B处获知有贩毒分子分别在P岛和M岛进行毒品交易后，缉毒艇立即出发，已知甲艇沿北偏东方向以每小时36海里的速度前进，乙艇沿南偏东方向以每小时32海里的速度前进，15分钟后甲到M岛，乙到P岛，则M岛与P岛之间的距离是多少？（结果保留根号） 47．上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 题型八、河宽问题 48．如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一点，再在河一侧岸边选定点和点，使，测得米，，根据测量数据可计算小河宽度为（    ） A．米 B．20米 C．米 D．米 49．山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 50．为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形（），如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 51．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“测量隧道长度”的项目式学习活动． 项目主题 测量隧道的长度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量示意图    数据说明 ，米，米 特别说明 测量过程中注意保障人身安全！ 请你根据以上测量结果，计算隧道的长度． 52．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线上取点C（于点A），用测距仪测得、的长．    测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 题型九、台阶地毯问题 53．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 54．淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要_____米． 55．如图，在高，斜坡长，宽为的楼梯表面铺地毯，则地毯的面积至少需要_____． 56．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 题型十、汽车超速问题 57．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    58．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米． (1)求的长； (2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：） 59．如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 60．某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 题型十一、台风影响问题 61．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 62．由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日市气象局测得沙尘中心在市正西方向千米的处，以千米/时的速度向东偏南的方向移动，距离沙尘中心千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域． (1)问市会不会受到沙尘暴的严重影响？请通过计算说明理由； (2)若受影响请计算市受影响的时间． 63．如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为．一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ (2)若汽车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？（，，，） 64．如图，，，是我国南部的三个岛屿，已知，两岛的距离为，，两岛的距离为，，两岛的距离为．2024年9月，超强台风“摩羯”登陆岛屿，台风中心由向移动，风力影响半径为． (1)请判断岛屿C是否会受到台风的影响？并说明理由． (2)若台风影响岛屿C的时长是1.6小时，求台风中心的移动速度． 65．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问： (1)A城市是否会受到台风影响？请说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 66．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入． (1)山地C距离公路的垂直距离为多少米? (2)在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 题型十二、选址问题 67．如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（　　）． A．4 B．5 C．6 D． 68．如图，公路上A，B 两站相距8千米，C，D为两村庄， 垂足分别为点A，B．已知长3 千米， 长5千米，现要在公路 上建一个日用品大卖场E，使得C，D两村到大卖场E 的距离相等，那么大卖场E应建在距A站多远处? 69．2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 70．某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 71．如图所示，铁路上有A，B两点（看作直线上两点）相距，C，D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A，B，，，现在要在铁路旁修建一个检修点E，使得C，D两村到检修点E的距离相等（点A，B，C，D，E在同一平面）． (1)请用尺规作图，在图中作出检修点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求检修点E应建在距A点多少千米处？ 题型十三、最短路径问题 72．如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 73．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 74．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（   ）（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） A．17 B． C． D．25 75．如图是一个棱长为的正方体木箱，点在上底面的棱上，，一只蚂蚁从点出发沿木箱表面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 76．如图，圆柱形容器高为，在其外壁距离下底面的处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面的B处的一滴蜂蜜，其中圆柱的底面周长为，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 77．如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为____________． 78．如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是________米． 79．运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为80cm，宽均为60cm，1，2，3号台的高度分别是40cm，30cm，20cm．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为________cm．（结果保留根号） 80．在一个长6米，宽为6米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的正三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是_____米． 81．某单位大门口有个圆形柱子，已知柱子的直径为，高为，为庆祝国庆节，单位想在柱子上挂一根彩带．（以下计算规定）当彩带从点开始绕柱子1圈后，挂在点的正上方的点处，求彩带最短需要多少米？ 82．如图，一个密封的圆柱形油罐底面的周长是，高是，一只壁虎在距底面的点处，油罐上底面与点相对的点处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到点处捕食，它爬行的最短路程为多少米？ 83．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？画出侧面展开图，并解答． 84．如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少? 85．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 86．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 综合攻坚·能力跃升 B 1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，则它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C． D．9 4．（25-26八年级下·湖北·月考）如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，甲船从B处行至小岛C的速度是（    ） A．海里/小时 B．15海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 5．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，一圆柱形油罐的底面圆的周长为，高为，要以点为底端环绕油罐做一梯子，正好顶端在点的正上方点处，那么梯子最短需___________． 6．（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为____尺． 7．（25-26八年级下·湖北·期中）如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为．现有一长为的吸管插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为，则的最小值为_______． 8．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，某公园内有一条“型”景观水道，，水道的宽度为米，水道分为东西方向和南北方向两段．两个凉亭分别位于，两点，其中位于南北方向水道的西侧，位于东西方向水道的南侧，已知，两点在东西方向上的水平距离为米，在南北方向上的竖直距离为米．现要建造两座与水道垂直的景观桥和（桥长均为米），使得从处到处的游览路径最短，则最短路径的长为______米． 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12海里，“海天”号每小时航行9海里．它们离开港口两个小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿北偏东方向航行． (1)说明“海天”号沿哪个方向航行？ (2)求出此时“海天”号到海岸线的距离． 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端与墙角的距离为． (1)求梯子底端与墙角的距离； (2)如果梯子的顶端沿墙下滑至墙体处，当沿墙下滑距离为，那么梯子底端外移多少？ 11．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方12米的处，过了0.5秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120千米/小时，问该小汽车是否超速，说明理由． 12．（25-26八年级下·江西上饶·期中）【问题情境】如图，某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】该数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量绳子比旗杆多出部分的长度，测得绳子多出部分的长度是米； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量点C与旗杆底部点B 之间的距离，测得距离为米． 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． (1)依题意知 米，用含有x的式子表示的长为 米； (2)请你求出旗杆的高度． 13．（25-26八年级下·福建厦门·期中）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块，分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动，滑块大小忽略不计，零件图的集成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点厘米，滑块距点厘米， (1)求的长； (2)当滑块向下滑厘米至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 14．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，一圆柱的底面半径为是底面直径，高为，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点（点与点正对）的最短路线，小明设计了两条路线． 路线1：侧面展开图中的线段，如图2所示． 设路线1的长度为，则． 路线2：高线底面直径． 设路线2的长度为，则． 为比较的大小，采用“作差法”： 因为，所以，所以，所以小明认为路线2较短． (1)小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为，高为”．请你用上述方法帮小亮比较出与的大小． (2)请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为，高为．蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点，当满足什么条件时，路线2较短？请说明理由． 15．（25-26八年级下·北京·期中）如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 16．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线从左向右移动，已知点为某海港，点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)当地气象部门在通知中说海港会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由； (3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港的时间有多长？ 17．（25-26八年级下·安徽池州·期中）为测量学校旗杆的高度，某学习小组设计了多种方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题： 测量工具 含角的直角三角板、足够长的皮尺 方案一 方案二 方案三 测量方案示意图 设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得 小明站在距离旗杆的点D处，眼睛距离地面，视线沿着三角板的一直角边落在旗杆顶部A处，小亮沿着直线垂直移动一高为的竹竿，直到小明视线沿着三角板的另一直角边恰好落在竹竿顶部E处，此时测得竹竿距离旗杆． 如图，旗杆顶端的绳子垂落地面后还多出，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． (1)在方案一中，由于是________三角形，所以要确定旗杆的高度，只需测量线段________的长度． (2)请根据方案二的测量数据，并利用八年级上册的知识，求旗杆的高度． (3)请根据方案三提供的数据，计算旗杆的高度． 18．（25-26八年级上·江西赣州·月考）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 19．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $