精品解析：湖南邵阳市拔尖创新人才早期培养“九校联盟”2025-2026学年高一下学期第二次联考数学试题

2026年邵阳市拔尖创新人才早期培养“九校联盟”高一第二次联考 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，，，分别是角，，的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 3 7. 已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（ ） A. 的方程为 B. 在上存在点，使得到点的距离为3 C. 在上不存在点，使得 D. 上的点到直线的最小距离为1 8. 如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．假设篮球的半径为1，灯泡与桌面的距离为6，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为，则此时椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校为了普及防溺水安全知识，对本校1000名学生开展了一次防溺水安全知识竞赛答题活动，从中随机抽取100名学生的得分，按照分成六段，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. 根据直方图，该校竞赛得分落在的频率为0.3 B. 根据直方图，该校竞赛得分的第75百分位数估计大于130 C. 根据直方图，该校竞赛得分的众数约为135 D. 根据直方图，该校竞赛得分的平均分约为121 10. 如图，在正四棱柱中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 正四棱柱的外接球表面积为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当为中点时，直线不垂直于平面 D. 平面内的动点到直线与的距离相等，则点的轨迹是抛物线 11. 双曲线的左、右焦点分别为点，斜率为正的渐近线为，过点作直线的垂线，垂足为点，交双曲线于点，设点是双曲线上任意一点，若，，则（ ） A. 双曲线的共轭双曲线方程为 B. C. 当点位于双曲线右支时， D. 点到两渐近线的距离之积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则__________. 13. 已知点和抛物线，过C的焦点作直线与C交于两点，若，则弦长=_______. 14. 斜三棱柱中，，，，，动点在侧面上，且，则的轨迹长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为锐角三角形，且． （1）若，求； （2）已知点在边上，且，求的取值范围． 16. 设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切． （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程． 17. 如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且． （1）证明：平面； （2）若为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知右焦点为的椭圆过点. （1）求的方程； （2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值； （3）过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 给出如下定义：设函数的定义域为，函数的定义域为，若对于任意的，恰好存在n个不同的实数，，，…，，使得，，其中，则称为的“n重覆盖函数”. （1）已知函数，，判断是否为的“2重覆盖函数”，并说明理由； （2）已知函数，，若是的“3重覆盖函数”，求m的取值范围； （3）定义表示不超过x的最大整数，如，，，记函数，，，若为的“2026重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年邵阳市拔尖创新人才早期培养“九校联盟”高一第二次联考 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法、对数型函数的最值性质，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】由， 因此. 令，所以当时，， 所以， 所以. 2. 已知复数z满足，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵，∴，∴. 3. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘1法即得. 【详解】∵， ∴ ， 当且仅当,即，时，取等号. 故选：C. 4. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数和差角公式化简求解，同时注意根据三角函数值确定角的范围 【详解】因为，都是锐角，所以，又，则， 注意到，故，， 所以. 5. 已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，将不等式变成，利用函数单调性求解即可. 【详解】函数的图象关于点对称， 则函数的图象关于原点对称，即， 从而等价于，即 由函数在定义域上单调递减， 则，解得. 6. 已知中，，，分别是角，，的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果 【详解】，化简得， 再由正弦定理，得， 又， 代入得，整理得． 又，为的内角，则，即． 因为为的平分线，所以，， 在中，．① 又， ∴， 则， 化简得， 又，∴．② ①代入②，得，解得或（舍去）， ∴， 在中，由余弦定理得， ∴． 7. 已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（ ） A. 的方程为 B. 在上存在点，使得到点的距离为3 C. 在上不存在点，使得 D. 上的点到直线的最小距离为1 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据两点间距离公式代入整理化简即可；对于B，求出点到圆上点距离的范围，判断即可；对于C，设，利用两点间距离公式得到方程和联立，求得，，无实数解，判断即可；对于D，求出的圆心到直线的距离，即可求出上的点到直线的最小距离. 【详解】对于A，由题意可设点， 由，，，得， 整理得，即，故A正确； 对于B，点到圆心的距离为， 所以圆上的点到点的距离范围为，因为，故B正确； 对于C，设，由，得，即. 又，联立整理得，此时，无实数解， 故不存在点，使得，C正确； 对于D，的圆心到直线的距离为， 所以上的点到直线的最小距离为，故D错误. 8. 如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．假设篮球的半径为1，灯泡与桌面的距离为6，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为，则此时椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，根据直线与圆相切可构造方程求得点坐标和点坐标，确定，的值，由此可构造方程组求得，，进而得到离心率. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 由题意知：，，，， 则直线：，即， 设，则， 所以点到直线的距离，解得：， 所以，即. 设直线：，即， 点到直线的距离，整理得：， 解得：或， 又直线，所以，即直线：， 令，解得：，即， 所以，即； 由，得，所以椭圆离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校为了普及防溺水安全知识，对本校1000名学生开展了一次防溺水安全知识竞赛答题活动，从中随机抽取100名学生的得分，按照分成六段，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. 根据直方图，该校竞赛得分落在的频率为0.3 B. 根据直方图，该校竞赛得分的第75百分位数估计大于130 C. 根据直方图，该校竞赛得分的众数约为135 D. 根据直方图，该校竞赛得分的平均分约为121 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求众数、百分位数、平均分的定义即可得解. 【详解】对于A选项，分数在内的频率为，A正确； 对于B选项，注意到分数落在的频率为，从而第75百分为数超过，B正确； 对于C选项，因为的频率为0.3最大，故众数约为，C错误； 对于D选项，平均分：，故D正确. 故选：ABD. 10. 如图，在正四棱柱中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 正四棱柱的外接球表面积为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当为中点时，直线不垂直于平面 D. 平面内的动点到直线与的距离相等，则点的轨迹是抛物线 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算正四棱柱的外接球半径后计算外接球表面积判断A选项；采用等体积法判断B选项；通过建系计算与平面的法向量是否平行判断C选项；计算动点到直线与的距离结合抛物线的定义判断D选项. 【详解】正四棱柱的外接球的直径为体对角线，则体对角线长度， 故正四棱柱的外接球半径为，表面积，A选项错误； 由题可知三棱锥，的面积为定值，点为线段上动点， 平面，又为正四棱柱， 则平面到平面的距离恒为，即点到平面的距离恒为， 故三棱锥的体积为定值，B选项正确； 如图建系以为原点，方向建立空间坐标系， 则，，， 为中点，故， ，， 设平面的法向量为，则， 即，两式上下相加得：， 取，则，，平面的法向量为， ，则为中点时， 直线不垂直平面，C选项正确； 设平面内动点， 到的距离为， 在平面上，，则所在的直线斜率， 则所在的直线方程为，整理得：， 点到所在直线的距离， ，两边同时平方得：， 化简整理得：， 令， 则方程化为，满足抛物线定义，D选项正确. 故选：BCD 11. 双曲线的左、右焦点分别为点，斜率为正的渐近线为，过点作直线的垂线，垂足为点，交双曲线于点，设点是双曲线上任意一点，若，，则（ ） A. 双曲线的共轭双曲线方程为 B. C. 当点位于双曲线右支时， D. 点到两渐近线的距离之积为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角形面积公式得，再利用余弦定理得，解出双曲线方程，再利用共轭双曲线方程的含义即可判断AB；对C，计算得，再根据的范围即可判断；对D，，利用点到直线的距离公式并结合点在双曲线上化简即可. 【详解】对于选项B：设右焦点，直线的方程为，即， 则到的距离为，即，则， 因为，即，所以，则， 可得， 因为，则，故B正确； 对于选项A：易得点在的右支上，所以有，即， 在中，由余弦定理可得， 即，化简得， 所以，双曲线方程为， 双曲线的共轭双曲线方程为，故A错误； 对于选项C：因为位于双曲线右支，则有， 则， 且，则， 所以，故C错误； 对于选项D：因为双曲线的渐近线方程为，即和， 设，则，即， 则点到的距离为，到的距离为， 所以点到两渐近线的距离之积为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由其相邻对称轴之间的距离为，确定函数的周期，结合周期与的关系求，结合对称轴求. 【详解】由题意可知，，所以， 所以，所以， 又函数的图象关于对称， 又，且， 所以. 故答案为：. 13. 已知点和抛物线，过C的焦点作直线与C交于两点，若，则弦长=_______. 【答案】5 【解析】 【分析】由题意，设直线AB的斜率为k，点，首先利用抛物线的定义和性质求得直线的斜率为k=2，然后利用弦长公式确定弦长的值即可. 【详解】设直线AB的斜率为k，点，则， ， 设AB中点，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线的垂线，垂足为A'，B'， 则. 为AB中点， ∴M为A'B'的中点，平行于x轴， ∴y1+y2=2，k=2. 设直线AB的倾斜角为，则：，故， 由弦长公式可得：. 故答案为5． 【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用，抛物线的焦点弦的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14. 斜三棱柱中，，，，，动点在侧面上，且，则的轨迹长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】建系并标点，设，根据数量积和模长可得，求平面的法向量和点在平面的投影为，可得，，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，即可得结果. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 由题意可知：， 则，解得， 即，则，， 可得， 注意到，则，可知为矩形， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设点在平面的投影为， 则，，， 因为，则，解得， 即，则， 可得，， 又因为，， 则，且， 可得点到直线，，，的距离分别为，均大于1， 所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 所以的轨迹长度为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为锐角三角形，且． （1）若，求； （2）已知点在边上，且，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，再利用三角函数的性质结合条件即得； （2）利用正弦定理结合条件可得，然后根据条件及三角函数的性质即可求得其范围. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 又，， 所以， 所以，即，又，， 所以，即； 【小问2详解】 因为，所以，又， 可得， 在中，， 所以， 在中，， 因为为锐角三角形， 所以，得， 所以， 所以，即的取值范围为. 16. 设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切． （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求出圆的圆心和半径，然后分两圆外切和内切两种情况得，然后利用双曲线的定义求解轨迹方程即可． （2）利用点差法求得直线的斜率，进而求解直线的方程. 【小问1详解】 可化为，圆的圆心为，半径； 可化为，圆的圆心为，半径． 设动圆的半径为．若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 若动圆与圆内切，与圆外切，则，，可得． 故．可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，， 则，故动圆圆心的轨迹的方程为． 【小问2详解】 设，，易得，则 ， 两式作差得，整理得到， 因为线段的中点为，且在双曲线内部，所以， 则直线的斜率， 故所求直线方程为，即． 17. 如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且． （1）证明：平面； （2）若为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直判定定理去证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 等腰梯形中，，，， 则， 则，∴， 又由，可知， 又，平面，平面， 故平面. 【小问2详解】 过点作平面，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设面法向量为， 则，则， 令，则，，则， 又面一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知右焦点为的椭圆过点. （1）求的方程； （2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值； （3）过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在 【解析】 【分析】（1）由求解； （2）利用两点间距离公式将距离问题转化为函数求最值即可； （3）由题意得直线的斜率不为0，故设的方程为，将直线方程分别与椭圆方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得 解得，所以的方程为. 【小问2详解】 设，由题意知， 所以， 因为，所以当时，， 所以. 【小问3详解】 由题意得直线的斜率不为0， 故设的方程为 联立直线与的方程，得消去并整理，得， 所以. 所以. 联立直线与抛物线的方程， 得消去并整理， 得， 所以， 所以， 所以， 若为定值，则，即， 所以存在，使得为定值. 19. 给出如下定义：设函数的定义域为，函数的定义域为，若对于任意的，恰好存在n个不同的实数，，，…，，使得，，其中，则称为的“n重覆盖函数”. （1）已知函数，，判断是否为的“2重覆盖函数”，并说明理由； （2）已知函数，，若是的“3重覆盖函数”，求m的取值范围； （3）定义表示不超过x的最大整数，如，，，记函数，，，若为的“2026重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求值域，再分析的值域，根据 “恰好 2 解” 判断是否满足定义； （2）先求分段函数的值域，再分别分析两段的单调性与解的个数，根据 “恰好 3 解” 建立不等式，求解参数m的取值范围； （3）先求出，设，，则，令，，再做出函数的图象，数形结合解决问题. 【小问1详解】 因为在R上为增函数， 所以的值域为， 因为的值域为 当时，，而， 所以不是的“2重覆盖函数”. 【小问2详解】 当时，为增函数，所以， 当时，为减函数，所以， 所以，时，， 当时，，由二次函数性质得，， 所以，对于，， 使得， 因为当时，， 对于，不存在，使得， 所以要使为的“3重覆盖函数”， 只需，在上有唯一解， 因为，， 所以，即， 解得， 所以m的取值范围是. 【小问3详解】 因为， 因为，所以， 所以，， 所以， 设，，则，令，， 因为为的“2026重覆盖函数”， 所以为的“2026重覆盖函数”， 即，在有2026个根， 作出函数的大致图象（部分），如下图， 要使得在有2026个根， 则，解得 所以正实数a的取值范围是. 【点睛】本题难点在于对新概念的理解，只需根据定义将问题转化为对于定义域内任意实数，直线与函数的图象有个交点的问题，然后利用单调性或图象即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $