精品解析：湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年 高一下学期5月阶段检测数学试题 一、单选题（共40分） 1. 若，则z的虚部是（ ） A. i B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出即可得解. 【详解】依题意，， 所以z的虚部是1. 故选：D 2. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线，线面，面面的位置关系，逐项分析判断其正误即可. 【详解】对于A，若，，，则或异面或相交，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，因为，记，，则， 又，则，又，所以，故C正确； 对于D，如图所示，，，，但，故D错误. 故选：C. 3. 已知圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长列方程求出，进而求出高，利用圆锥体积公式即可求解. 【详解】设圆锥底面圆的半径为， 因为圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为， 所以，解得， 所以圆锥的高为， 所以此圆锥的体积为. 4. 若直线被圆截得的弦长为4，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知，利用点到直线距离公式及圆的弦长公式列方程求参数即可. 【详解】由题设，圆心，半径为，则到的距离， 由直线与圆相交所得弦长为4，则，即，所以. 故选：D 5. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】讨论直线是否过原点，再设直线的斜截式求解即可. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为0，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为，因为点在直线上， 所以，解得，所以直线方程为， 故所求直线方程为或. 故选：D. 6. 在平面直角坐标系中，已知点，若动点P满足，则点P的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 圆 C. 射线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算建立等式，然后通过配方法即可. 【详解】设动点，则，， 因为，所以， 则，即， 所以点的轨迹就是以圆心为，半径为2的圆. 故选：B 7. 若是两个不同的平面，则“存在两条异面直线m，n，满足”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分，必要条件的定义，结合几何关系，数形结合，即可判断. 【详解】必要性：如图，，平面与平面交于，平面交平面交于，，，平面是相交平面，所以与，与是相交直线， 所以与是异面直线， 且，，所以，同理， 所以满足必要性， 充分性，如图，两条异面直线m，n，满足，但是相交，即充分性不成立； 由以上可知，“存在两条异面直线m，n，满足”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 若函数有两个零点，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的零点即方程的解，化简得， 解得或， 由于函数在R上单调递增，值域为， 函数有两个零点，则方程和各有一个不同的解， 所以，解得，即实数b的取值范围为. 二、多选题（共18分） 9. 已知双曲线的左右焦点分别为，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于两点，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则或9 B. 左焦点到渐近线距离为 C. 若两点分别位于的两支，则 D. 点可能是线段的中点 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，根据双曲线的定义判断；对于选项B，根据点到直线距离公式判断；对于选项C，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，两横坐标的一正一负可求得的范围；对于选项D，设，假设点是线段AB的中点，结合C选项可得，求解可得，检验可得结论. 【详解】对于选项A，根据双曲线定义，又， 则，解得或， 但，所以，选项A错误. 对于选项B，由双曲线，得渐近线方程为，即.， 左焦点，左焦点到渐近线距离，选项B正确. 对于选项C，直线的方程为， 联立，消去得， 展开并整理得， 若，两点分别位于的两支，则方程有一正根与一负根， 所以，解得，选项C正确； 对于选项D，设，由C选项可得， 若点是线段AB的中点，则，则， 解得，代入，矛盾， 所以点不可能是线段的中点，选项D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，值域为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的图像关于直线对称 C. 的最大值为1 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项：把代入函数变形，利用范围求值域判断.  B选项：根据函数对称轴性质，验证与是否相等，借助诱导公式判断.  C选项：依据和取值范围，确定最大值.  D选项：将代入函数变形，由范围求值域判断对错. 【详解】当时，，将其变形可得：  因为，所以，即，故选项正确. 若的图像关于直线对称，则. ，. 可得，，所以，即的图像关于直线对称，故选项正确. 因为，，当时，；当时，，所以，即的最大值为，故选项正确. 当时，，将其变形可得： 因为，所以，即，故选项错误. 故选：ABC. 11. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.记，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，以作为基底，按照向量的线性运算和数量积公式，逐项计算即可得解. 【详解】由，故A正确； 由为中点， 所以， 故B错误； 对C，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是， 即模长为，夹角为， ，所以，故C正确； ，， 又， 所以， 故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（共15分） 12. 已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线过定点，当直线与过定点的半径垂直时，弦长最短，由此计算可得． 【详解】由可得，令，解得， 故直线过定点，又，故点在圆内， 由圆可知圆心为，半径为， 则，则当直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 即有，解得，即直线， 整理得. 故答案为：. 13. 如图，已知菱形所在的平面与所在的平面互相垂直，且．则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点联立空间直角坐标系，利用平面与平面的法向量求解两个平面所成锐二面角的余弦值. 【详解】取中点，连接，在菱形中，所以是正三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面. 如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取， 设面的法向量是，，， 则由，即，则令，得， 所以， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值是. 故答案为: ． 14. 已知甲，乙两个投篮命中率分别是，并且他们投篮互不影响，每人投篮1次，则恰好有一个人命中的概率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】恰好有一个人命中包含以下两种情况①甲投中，乙没投中②甲没投中，乙投中，由此能求出恰好有一个人命中的概率． 【详解】甲、乙两人投篮命中率分别为和,并且他们投篮互不影响. 现每人分别投篮1次，恰好有一个人命中包含以下两种情况： 甲投中，乙没投中，概率为：, 甲没投中，乙投中，概率为： , 所以恰好有一个人命中的概率 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围； （3）若，，等边的顶点D，E，F分别在边，，上（不含端点），求的面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据的具体表达式，结合正弦定理边化角化简已知等式，建立关于角A的方程，进而求解角； （2）先利用正弦定理将边a、c用角B、C表示，结合锐角三角形的条件确定B的取值范围；将三角形周长转化为关于B的三角函数，再根据三角函数的性质求取值范围； （3）可设，利用三角形内角和与正弦定理，将用含的三角函数形式表示，并确定相关参数的取值范围，继而写出面积表达式，即可求最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理得， 而， 所以， 因为，所以，解得（舍去）， 因为，所以，即. 【小问2详解】 由（1）知，由正弦定理得，所以，， 又， 所以的周长 ， 因为是锐角三角形，所以，所以，所以， 又，所以， 所以. 即的周长的取值范围是. 【小问3详解】 设，，则，，， 在中，，所以， 在中，，所以， 因为，所以， 所以. 在中，，，所以， 所以，， 所以， 因为， 其中，， 当，即时，等号成立， 所以， 所以，即的面积的最小值为. 16. 在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，且角的终边与单位圆交于点，角的终边经过点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求得和的值，即可求解. （2）根据三角函数的定义求得，进而利用诱导公式化简，代入三角函数值计算即可求解. 【小问1详解】 因为角的终边与单位圆交于点． 所以． 因为角的终边经过点， 所以． 所以． 【小问2详解】 由题可知， 所以 ． 17. 一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异. （1）若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率； （2）若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用表示，白球的标号用表示.求满足条件的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由相互独立事件的概率计算公式，代入计算即可得到结果； （2）根据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算即可得到结果. 【小问1详解】 记摸一次得到黑球的事件为A，得到白球的事件为B，则 ，， 又事件A与B相互独立，所以，. 【小问2详解】 从中摸两个球，所得样本空间为 ，包含10个样本点， 满足条件的样本点有共3个，满足条件的事件的概率为. 18. 如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，可通过证明线线平行即可证明线面平行，即证明. （2）（i）先根据已知条件确定球的球心位置，然后根据球的表面积求出球的半径，最后可求出三棱锥的体积.（ii）先建立空间直角坐标系，然后利用向量的坐标、向量夹角的余弦公式即可求出线面角的正弦值的最大值. 【小问1详解】 证明：因为，分别是，的中点，所以． 因为平面平面，所以平面． 【小问2详解】 （ⅰ）如图，连接． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以点是外接圆的圆心． 因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上． 又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心． 因为球的表面积，所以球的半径， 所以，，， 所以三棱锥的体积． （ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则． 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为， 则. 令，则， 当时，， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 19. 已知圆.若直线与圆交于两点， （1）求的取值范围； （2）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）联立直线与圆得，结合求参数范围； （2）设，，应用韦达定理及斜率两点式整理化简，即可证. 【小问1详解】 将直线代入圆的方程，得， 整理得，且直线与圆有两个交点， 所以，解得，即的取值范围是； 【小问2详解】 设，，由（1）及根与系数的关系得， 所以， 即直线的斜率之和为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年 高一下学期5月阶段检测数学试题 一、单选题（共40分） 1. 若，则z的虚部是（ ） A. i B. C. D. 1 2. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 3. 已知圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线被圆截得的弦长为4，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 在平面直角坐标系中，已知点，若动点P满足，则点P的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 圆 C. 射线 D. 直线 7. 若是两个不同的平面，则“存在两条异面直线m，n，满足”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若函数有两个零点，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知双曲线的左右焦点分别为，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于两点，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则或9 B. 左焦点到渐近线距离为 C. 若两点分别位于的两支，则 D. 点可能是线段的中点 10. 已知函数，值域为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的图像关于直线对称 C. 的最大值为1 D. 11. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.记，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共15分） 12. 已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为__________. 13. 如图，已知菱形所在的平面与所在的平面互相垂直，且．则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_________． 14. 已知甲，乙两个投篮命中率分别是，并且他们投篮互不影响，每人投篮1次，则恰好有一个人命中的概率为___________． 四、解答题（共77分） 15. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围； （3）若，，等边的顶点D，E，F分别在边，，上（不含端点），求的面积的最小值. 16. 在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，且角的终边与单位圆交于点，角的终边经过点． （1）求的值； （2）求的值． 17. 一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异. （1）若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率； （2）若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用表示，白球的标号用表示.求满足条件的概率. 18. 如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19. 已知圆.若直线与圆交于两点， （1）求的取值范围； （2）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $