精品解析：2026年福建泉州市永春县初中毕业班数学模拟考试

永春县2026年初中毕业班模拟考试 数学试题 （本卷共25题，满分150分，考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 2026年春节假期，泉州文旅交出一份亮眼成绩单，全市累计接待游客超过一千六百万人次，游客旅游总花费达到元．数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球为一个黑球一个白球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 元朝朱世杰所著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马所需时间为天，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 将一副三角尺按如图所示摆放，其中点、、在同一条直线上，，，，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A. B. C. D. 10. 作二次函数（）的图象关于原点的中心对称图形，所得图象的解析式为，当时，二次函数最大值与最小值的差是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若零上8℃记作＋8℃，则零下6℃记作________℃.. 12. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 13. 如图，为直角斜边上的中线，过作，交于．若，，则_________． 14. 已知等腰三角形有两边长分别为2和4，则第三边的长度为___． 15. 学校举行舞蹈比赛，从服装、动作技巧、感染力三个方面打分，并按服装、动作技巧、感染力权重比为计算最终成绩，九年级（1）班和（2）班的成绩如下表，若（2）班的最终成绩超过（1）班，则（2）班的感染力得分至少应超过_________． 参赛班级 服装 动作技巧 感染力 九（1）班 75分 85分 80分 九（2）班 80分 75分 x分 16. 灯光透过柔光板后照明，有保护视力的作用．小明利用家里的圆形柔光板对房间的灯具进行改造，已知小明房间为长4米、宽3米的矩形，灯在房间的正中央，距离地面超过3米，圆形柔光板直径米，装上后距离地面3米，且灯具光线通过柔光板后正好可以覆盖整个房间地面，则柔光板距离吸顶灯至多_________米． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，点是线段的中点，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科学实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解决下列问题： （1）①此次调查一共抽取了_________名学生； ②请将条形统计图补充完整； ③扇形统计图中“计算思维”课程对应的扇形圆心角为_________度． （2）若该校共有名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢数字艺术课程的学生人数． 21. 如图，四边形为平行四边形． （1）在上求作一点，使得； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，，求（1）中的面积． 22. 如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其中点坐标为． （1）求的值； （2）点是抛物线上第四象限的一动点，当时，求线段的长． 23. 如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，利用面积关系证明直角三角形三边之间的数量关系，即在直角三角形中，（为斜边）． （1）证明：若、、均为整数，则它们不可能都是奇数； （2）如图，若，，直线交边于点，求的值． 24. 请阅读素材，探索解决下列问题： 素材1：小红家的冰箱放厨房的位置如图1所示，两面靠墙，其中墙足够长，承重墙长度为． 素材2：该冰箱俯视图是一个边长为的正方形，如图2所示，点是开、关冰箱门的转轴，，，点、都在直线上，，点到、、的距离分别为、、． （1）请直接写出的长； （2）完全打开冰箱门时点恰好落在线段上，局部示意图如图3所示，过点作，求的度数（精确到）； （3）冰箱按素材1位置放置时，它的后侧、右侧正好距离墙壁作为散热空间，此时冰箱门是否能够完全打开？如果能，请说明理由；如果不能，则冰箱至少需要向左移动多少厘米？ （参考数据：，，，） 25. 如图1，为的直径，是的中点，与交于点． （1）若，求的度数； （2）点是上的动点（不与点、重合），交于点，沿折叠后得到线段． ①如图2，当点落在上时，求证：； ②如图3，当于时，连结、，若，，用含、的式子表示的长，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永春县2026年初中毕业班模拟考试 数学试题 （本卷共25题，满分150分，考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 2026年春节假期，泉州文旅交出一份亮眼成绩单，全市累计接待游客超过一千六百万人次，游客旅游总花费达到元．数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，只需根据科学记数法的定义确定和的值即可，科学记数法要求，等于原数的整数位数减． 【详解】解：∵ 原数共有位整数， ∴ ，， ∴ ． 3. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：这个“堑堵”的左视图如下： 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对选项A，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ， A运算错误； 对选项B，根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘， ， B运算正确； 对选项C，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减， ， C运算错误； 对选项D，与次数不同，不是同类项，不能合并， D运算错误. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可得到解集． 【详解】解： ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 不等式两边同时除以，得 ． 6. 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球为一个黑球一个白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用列表法列举所有等可能的结果，再利用概率公式计算所求概率即可. 【详解】解：列表如下： 黑 白 白 黑 (黑，黑) (黑，白) (黑，白) 白 (白，黑) (白，白) (白，白) 白 (白，黑) (白，白) (白，白) 共有种等可能的结果，两次摸出的球一个黑球一个白球的情况有种， 所求概率为. 7. 元朝朱世杰所著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马所需时间为天，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找准等量关系：快马追上慢马时，两马行驶的总路程相等，再根据所设未知数表示出对应路程即可. 【详解】设快马所需时间为天 ∵慢马先行天， ∴慢马一共行驶的时间为天， ∵快马追上慢马时，两马行驶总路程相等， ∴快马总路程为，慢马总路程为， 可得方程. 8. 将一副三角尺按如图所示摆放，其中点、、在同一条直线上，，，，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形中，，求出，根据即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先作于，作于，利用“等弦对等弦心距”得出  ，进而判定  平分  并求出  的度数，随后在四边形  中利用内角和算出  ，最后通过证明  实现角度转化，从而求得  的度数． 【详解】如图，作于，作于， 平分 在与中 10. 作二次函数（）的图象关于原点的中心对称图形，所得图象的解析式为，当时，二次函数最大值与最小值的差是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用关于原点中心对称的坐标变换求出原二次函数的解析式，再根据开口向上的二次函数性质，在给定范围内找出最大值和最小值，计算二者的差即可. 【详解】解：设对称后图象上任意一点为，则其关于原点的对称点在原二次函数上 将代入原函数得 ， 整理得对称后函数解析式为， ∵对称后解析式为，展开得， ∴， ∴原函数整理为， ， 二次函数开口向上，对称轴为， ∵ ∴当时，值最小，即 到对称轴距离为，到对称轴距离为，， 最大值在处，代入得； 最大值与最小值的差为. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若零上8℃记作＋8℃，则零下6℃记作________℃.. 【答案】-6 【解析】 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答即可. 【详解】零上8℃记作＋8℃，则零下6℃记作-6℃， 故答案为-6. 【点睛】本题考查了正数与负数，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 12. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点的横坐标代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解： 点在反比例函数的图象上， ． 13. 如图，为直角斜边上的中线，过作，交于．若，，则_________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据平行线分线段成比例得，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵为直角斜边上的中线， ∴，． ∵， ， ， ∴， ． 14. 已知等腰三角形有两边长分别为2和4，则第三边的长度为___． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，第三边可能是2或4，但需满足三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，据此进行求解即可． 【详解】解：当第三边为2时，三边分别为2、2、4，但2+2=4，不符合三角形两边之和大于第三边，故不成立； 当第三边为4时，三边分别为2、4、4，满足2+4>4、4+4>2、2+4>4，符合三角形三边关系，则第三边长度为4． 故答案为：4． 15. 学校举行舞蹈比赛，从服装、动作技巧、感染力三个方面打分，并按服装、动作技巧、感染力权重比为计算最终成绩，九年级（1）班和（2）班的成绩如下表，若（2）班的最终成绩超过（1）班，则（2）班的感染力得分至少应超过_________． 参赛班级 服装 动作技巧 感染力 九（1）班 75分 85分 80分 九（2）班 80分 75分 x分 【答案】87 【解析】 【分析】根据权重比得到加权平均数的计算方法，结合“2班最终成绩超过1班”的条件列出一元一次不等式求解即可. 【详解】解：由服装、动作技巧、感染力权重比为，可得总权重为， 计算九（1）班的最终成绩为： ， 九（2）班的最终成绩为： ， 由题意得九（2）班最终成绩超过九（1）班，列不等式： ， 不等式两边同乘得： ， 移项得： 合并同类项得： 系数化为得： 故（2）班的感染力得分至少应超过. 16. 灯光透过柔光板后照明，有保护视力的作用．小明利用家里的圆形柔光板对房间的灯具进行改造，已知小明房间为长4米、宽3米的矩形，灯在房间的正中央，距离地面超过3米，圆形柔光板直径米，装上后距离地面3米，且灯具光线通过柔光板后正好可以覆盖整个房间地面，则柔光板距离吸顶灯至多_________米． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形原理，灯、柔光板边缘、房间地面最远角落三点共线，通过比例关系求解灯到柔光板的最大距离． 【详解】解：确定地面最远点距离：房间为长4米、宽3米矩形，中心到角落的距离为半对角线，即 （米）， 设柔光板距离吸顶灯米，柔光板半径米，灯到地面距离为米，光线从灯经柔光板边缘到地面角落，形成相似三角形，比例关系为 即， 解得， ∴柔光板距离吸顶灯至多米． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，点是线段的中点，，．求证：． 【答案】证明：∵，∴． ∵是的中点，∴， 在和中，， ∴． ∴． 【解析】 【分析】利用证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 20. 为落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科学实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解决下列问题： （1）①此次调查一共抽取了_________名学生； ②请将条形统计图补充完整； ③扇形统计图中“计算思维”课程对应的扇形圆心角为_________度． （2）若该校共有名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢数字艺术课程的学生人数． 【答案】（1）①；②；③ （2）人 【解析】 【分析】（1）①根据“科学实践”课程的人数及其所占百分比，用“部分量÷对应百分比”求出参与调查的总人数；②用总人数减去“计算思维”和“科学实践”的人数，得到“数字艺术”课程的人数，再据此补充条形统计图；③用“计算思维”课程的人数除以总人数，得到其占比，再乘以，算出对应的扇形圆心角度数； （2）先算出样本中“数字艺术”课程的人数占比，再用全校总人数乘以该占比，估计出全校喜欢数字艺术课程的学生人数． 【小问1详解】 解：①据图可知，选择“科学实践”的人数为，占比为， 可得（人）， 故此次调查共抽取了名学生； ②据图可知，选择“数字艺术”的学生人数为； ③据图可知，“计算思维”课程对应的扇形圆心角为：． 【小问2详解】 解：根据题意可知，（人）， 故估计该校喜欢数字艺术课程的学生人数为人． 21. 如图，四边形为平行四边形． （1）在上求作一点，使得； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，，求（1）中的面积． 【答案】（1）点的位置如图所示； （2） 【解析】 【分析】（1）分别以点，点为圆心，大于为半径画圆，连接交点，与交于点，根据三角形的面积，等底半高，点即为所求； （2）过点作垂足为，根据，求出，根据，求出，再根据，求出，根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作垂足为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点是中点， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题解直角三角形，尺规作图，解题的关键是掌握尺规作图，解直角三角形，进行解答，即可． 22. 如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其中点坐标为． （1）求的值； （2）点是抛物线上第四象限的一动点，当时，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入中，进一步可得答案． （2）如图，记点关于轴对称点为，作直线交二次函数于点，此时，求解点坐标为，直线解析式为，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：将代入中， 得 ． 解得； 【小问2详解】 解：将代入中，得 ∴， 解得，， ∴点坐标为， 将代入中，得 解得， ∴点坐标为． 如图，记点关于轴对称点为，作直线交二次函数于点， 此时， ∵关于轴对称点为． ∴点坐标为． 设直线解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴直线解析式为． 联立方程， 解得，， ∴点坐标为． ∴． ∴的长为． 23. 如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，利用面积关系证明直角三角形三边之间的数量关系，即在直角三角形中，（为斜边）． （1）证明：若、、均为整数，则它们不可能都是奇数； （2）如图，若，，直线交边于点，求的值． 【答案】（1）证明：假设、、均为奇数， 则、、均为奇数 ∴为偶数， 由勾股定理得，∴为偶数， 与为奇数相矛盾，假设不成立 ∴、、不可能都是奇数． （2） 【解析】 【分析】（1）假设、、均为奇数，推出为偶数，即可得证； （2）过作，交的延长线于点，证明，进而得到，求出的长即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解:过作，交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形中，，， ， ∴（负值舍去）， 在正方形中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 24. 请阅读素材，探索解决下列问题： 素材1：小红家的冰箱放厨房的位置如图1所示，两面靠墙，其中墙足够长，承重墙长度为． 素材2：该冰箱俯视图是一个边长为的正方形，如图2所示，点是开、关冰箱门的转轴，，，点、都在直线上，，点到、、的距离分别为、、． （1）请直接写出的长； （2）完全打开冰箱门时点恰好落在线段上，局部示意图如图3所示，过点作，求的度数（精确到）； （3）冰箱按素材1位置放置时，它的后侧、右侧正好距离墙壁作为散热空间，此时冰箱门是否能够完全打开？如果能，请说明理由；如果不能，则冰箱至少需要向左移动多少厘米？ （参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） （3）能，将冰箱放置在距离墙、距离均为处，过点作于点，延长交于点，延长交于点， 由题意得：， 由（2）得， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴ ， ，， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， 即 解得 ∴ ， ∴ ， ∴此时冰箱正好能按素材1位置放置，且保证足够的距离散热． 【解析】 【分析】（1）过点O作交的延长线于点，确定，求解即可； （2）过点作交延长线于点，过点作 ，垂足为，过点作，垂足为；得到，结合勾股定理，三角函数求解即可； （3）过点作于点，延长交于点，延长交于点，根据三角函数求解即可 【小问1详解】 解：如图，过点O作交的延长线于点，得， ， 根据题意，得， ， 根据勾股定理，得； 【小问2详解】 解：如图，过点作交延长线于点，过点作 ，垂足为， 过点作，垂足为； 由题意得， 设，则 ∵， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴， ∴， 即 解得： 在中，由勾股定理得 即 解得，（舍去） ∴，， 在 中， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ． 【小问3详解】 略 25. 如图1，为的直径，是的中点，与交于点． （1）若，求的度数； （2）点是上的动点（不与点、重合），交于点，沿折叠后得到线段． ①如图2，当点落在上时，求证：； ②如图3，当于时，连结、，若，，用含、的式子表示的长，并说明理由． 【答案】（1） （2）①如图，连接 ， 由折叠性质得 ∵， ∴， ∵ ∴ ， ∴ ， ∵为的直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即 ∴． ②，理由： 如图，连接交于点， 由折叠性质得 ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵为半径， 由垂径定理的推论得：， 又∵， ∴、、三点共线 ∴ ∴ ∴ 在中，由勾股定理得： 即 在中，由勾股定理得： ∴ ∴ 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理以及直角三角形两锐角互余即可求解； （2）①如图，连接，通过证明解决问题；②连接交于点，先由垂径定理以及折叠的性质证明、、三点共线，然后用的代数式表示，再对和运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $