精品解析：2026年甘肃省天水市甘肃天水麦积区城区校中考考前测试数学试题

2026年中考模拟检测试卷（三） 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 据相关资料显示每年约有吨塑料垃圾进入海洋，保护海洋环境刻不容缓．将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（） A. B. C. D. 5. 如图，，是的平分线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为G，这个正六边形的边心距的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. -1或2 B. -1 C. 2 D. 0 8. 今年是《全民阅读促进条例》施行的第一年，也是国务院批复设立“全民阅读活动周”后的第一年．某校在全校学生中开展了“最美四‘阅’天⋅阅读真有趣”读书节活动，随机调查了部分学生最近一个星期的阅读总时长（单位：），其中阅读总时长为的学生有14名，并将调查结果绘制成如图所示的统计图，则下列说法错误的是（ ） A. 所调查学生中最近一个星期的阅读总时长为的学生人数最少 B. 所调查学生中最近一个星期的阅读总时长为和的学生人数相同 C. 所调查学生中最近一个星期的阅读总时长为的扇形圆心角度数为 D. 所调查学生中最近一个星期的阅读总时长为的学生有16人 9. 如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，、为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点与点关于该抛物线的对称轴对称），点在的延长线上，以所在直线为轴，抛物线所在平面内过点且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式，若点在抛物线上，且在对称轴的右侧，点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，正方形中，，相交于点，是的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 因式分解：_________． 12. 若反比例函数（k为常数，）的图象在第二、四象限内，则k的值可以是_________．（写出一个满足条件的值） 13. 如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，，则________． 14. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米． 15. 如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=2，MB=4，BC=6，则MN的长为____． 16. 下列用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2021个图共有___枚棋子． 三、解答题一（本大题共6小题，共计46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并求出整数解． 19. 先化简，再从，，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 20. 相传很久以前，为了显示谁的逻辑思维能力更强，古希腊人限制了几何作图的工具，结果一些普通的画图题，却让数学家们苦苦思索了两千年，可见，尺规作图有它特有的魅力，使无数人沉湎其中，在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规完成的作图，叫做尺规作图． 如图，已知线段和，利用尺规作图法作，使得，．作法如下： ①利用尺规作； ②以点为圆心，线段为半径画弧，分别交、于点、； ③连接，则是所求作的三角形．（不用写作法，保留作图痕迹） 21. 年月日，我国空军运运输机首次执行接运任务，将第十三批位在韩志愿军烈士遗骸及相关遗物接回中国．为传承红色基因，某校开展了“铭记英烈，致敬英雄”红色研学活动，为了增强活动内容的丰富性，计划从各班级名学习委员（其中有名是男同学，名是女同学）中随机选择名同学担任英烈事迹讲解员，再从剩下的名学习委员中随机选择名担任志愿引导员． （1）“担任英烈事迹讲解员的是男同学”是___________事件；（填“随机”或“必然”或“不可能”） （2）请用列表法或画树状图法，求担任英烈事迹讲解员和担任志愿引导员的都是女同学的概率． 22. 某校数学实践小组开展测量一座古塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表： 测量古塔的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 模型构建 测量步骤 （1）在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角； （2）沿着方向走到处，用皮尺测得米； （3）在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角为． 已知，，，测角仪的高度米，点、、在同一水平直线上．根据以上信息，求古塔的高度（参考数据：，，）． 四、解答题二（本大题共5小题，共计50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解）．整理得到如下信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 部分八、九年级被抽取学生的得分统计表、统计图（不完整）： 八年级被抽取学生的统计图 八、九年级被抽取学生的得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 79.8 b 82 九年级 79.8 79 c 根据以上信息，解答下列问题． （1）上述图表中，______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（答案不唯一，写出一条理由即可）． （3）若该校八年级有1500名学生，九年级有1600名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有多少名． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，与反比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数与直线的表达式； （2）将直线向上平移5个单位长度后分别与轴，轴交于点D，E，连接．请直接写出的面积． 25. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长． 26. 【课本再现】北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题： （1）如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．与之间有怎样的关系？请说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，点E在边上，连接，F为延长线上一点，连接，，且的延长线垂直于，垂足为点H． ①求的值； ②求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点H，交于点M，交于点N，连接，若，，请你求出的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点是轴下方抛物线上一点，连接、、，当的面积最大时，求点的坐标； （3）如图2，点是抛物线对称轴上的动点，点是轴上的动点，在（2）的条件下，连接、、，当的面积最大时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考模拟检测试卷（三） 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的倒数是． 2. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解． 【详解】解：选项A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项A错误； 选项B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B错误； 选项C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项C正确； 选项D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项D错误． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左边往右边看，熟练三视图的概念即可求解. 3. 据相关资料显示每年约有吨塑料垃圾进入海洋，保护海洋环境刻不容缓．将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：. 4. 下列运算中，正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类项概念，同底数幂乘法、同底数幂除法、幂的乘方的法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：与不是同类项，不能合并，不正确； 对于选项B：，正确； 对于选项C：，不正确； 对于选项D：，不正确． 5. 如图，，是的平分线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，结合角平分线求得，再根据平行线的性质即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 6. 如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为G，这个正六边形的边心距的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用正多边形的内角公式，求出，根据圆内接多边形的性质，可知平分，最后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：由正多边形的内角公式，得， 由圆内接多边形的性质，得， ∴． 7. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. -1或2 B. -1 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】首先把x=1代入，解方程可得m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得m的值 【详解】解：把x=1代入得： =0， ， 解得：m1=2，m2=﹣1 ∵是一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0． 8. 今年是《全民阅读促进条例》施行的第一年，也是国务院批复设立“全民阅读活动周”后的第一年．某校在全校学生中开展了“最美四‘阅’天⋅阅读真有趣”读书节活动，随机调查了部分学生最近一个星期的阅读总时长（单位：），其中阅读总时长为的学生有14名，并将调查结果绘制成如图所示的统计图，则下列说法错误的是（ ） A. 所调查学生中最近一个星期的阅读总时长为的学生人数最少 B. 所调查学生中最近一个星期的阅读总时长为和的学生人数相同 C. 所调查学生中最近一个星期的阅读总时长为的扇形圆心角度数为 D. 所调查学生中最近一个星期的阅读总时长为的学生有16人 【答案】C 【解析】 【详解】解：所调查学生中最近一个星期的阅读总时长为的学生人数占比为， ∵ ∴所调查学生中最近一个星期的阅读总时长为的学生人数最少，故A正确； ∵所调查学生中最近一个星期的阅读总时长为和的学生人数占比都是 ∴所调查学生中最近一个星期的阅读总时长为和的学生人数相同，故B正确； 所调查学生中最近一个星期的阅读总时长为的扇形圆心角度数为，故C错误； 调查的总人数为（人） ∴所调查学生中最近一个星期的阅读总时长为的学生人数为，故D正确． 9. 如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，、为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点与点关于该抛物线的对称轴对称），点在的延长线上，以所在直线为轴，抛物线所在平面内过点且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式，若点在抛物线上，且在对称轴的右侧，点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先推导出抛物线的对称轴为，得到点P在第一象限，且，，进而推导出，求出（舍去），，则点P到y轴的距离为6，即可解答． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，点在抛物线上，且在对称轴的右侧，点到轴的距离为， ∴点P在第一象限，且，， 当时，， 即， 解得（舍去），， ∴点P到y轴的距离为6． 10. 如图①，正方形中，，相交于点，是的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据函数图象可知，再设正方形的边长为，从而可得，然后根据线段中点的定义可得，最后在中，利用勾股定理可求出a的值，由此即可得出答案． 【详解】如图，连接AE 由函数图象可知， 设正方形ABCD的边长为，则 四边形ABCD是正方形 ， 是的中点 则在，由勾股定理得： 因此有 解得 则 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、函数图象等知识点，根据函数图象得出是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若反比例函数（k为常数，）的图象在第二、四象限内，则k的值可以是_________．（写出一个满足条件的值） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限内，则， ∴k的值可以是（答案不唯一）. 13. 如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 再利用锐角三角函数依次求解即可得到答案． 【详解】解： 是边的中点，， 矩形， 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键． 14. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米． 【答案】2.2 【解析】 【分析】利用勾股定理算出梯子的长度，再利用勾股定理算出，根据即可解题． 【详解】解：如图： 根据题意，可知， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=2，MB=4，BC=6，则MN的长为____． 【答案】2 【解析】 【分析】 【详解】分析：根据平行线得出△AMN∽△ABC，根据相似得出比例式，代入求出即可． 详解：∵AM=2，MB=4， ∴AB=AM+MB=6， ∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴， ∵AM=2，AB=6，BC=6， ∴=， ∴MN=2. 故答案为2. 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质. 16. 下列用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2021个图共有___枚棋子． 【答案】6064 【解析】 【分析】根据图形的变化规律，寻找第n个图的一般形式，然后代入数值计算即可． 【详解】解：观察图形可知： 第1个图形的棋子个数为1×3+1＝4， 第2个图形的棋子个数为2×3+1＝7， 第3个图形的棋子个数为3×3+1＝10， 第4个图形的棋子个数为4×3+1＝13， … 第n个图形的棋子个数为3n+1． 当n＝2021时，3×2021+1＝6064个， 故答案为：6064． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，解决本题的关键是通过观察图形的变化写出一般形式． 三、解答题一（本大题共6小题，共计46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解不等式组，并求出整数解． 【答案】，不等式组的整数解为，，0，1，2 【解析】 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为， 所以不等式组的整数解为，，0，1，2． 19. 先化简，再从，，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，分式无意义， 取， 当时，原式． 20. 相传很久以前，为了显示谁的逻辑思维能力更强，古希腊人限制了几何作图的工具，结果一些普通的画图题，却让数学家们苦苦思索了两千年，可见，尺规作图有它特有的魅力，使无数人沉湎其中，在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规完成的作图，叫做尺规作图． 如图，已知线段和，利用尺规作图法作，使得，．作法如下： ①利用尺规作； ②以点为圆心，线段为半径画弧，分别交、于点、； ③连接，则是所求作的三角形．（不用写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：作图如下： ， 则即为所求． 【解析】 【分析】根据尺规作图的基本步骤，规范求作即可； 【详解】解：略． 21. 年月日，我国空军运运输机首次执行接运任务，将第十三批位在韩志愿军烈士遗骸及相关遗物接回中国．为传承红色基因，某校开展了“铭记英烈，致敬英雄”红色研学活动，为了增强活动内容的丰富性，计划从各班级名学习委员（其中有名是男同学，名是女同学）中随机选择名同学担任英烈事迹讲解员，再从剩下的名学习委员中随机选择名担任志愿引导员． （1）“担任英烈事迹讲解员的是男同学”是___________事件；（填“随机”或“必然”或“不可能”） （2）请用列表法或画树状图法，求担任英烈事迹讲解员和担任志愿引导员的都是女同学的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（1）根据事件发生的可能性大小，判断 “担任英烈事迹讲解员的是男同学” 属于哪种事件； （2）通过画树状图列出所有等可能的结果，再找出 “担任英烈事迹讲解员和担任志愿引导员的都是女同学” 的结果数，利用概率公式计算所求概率． 【小问1详解】 解：由题意得，“担任英烈事迹讲解员的是男同学”是随机事件； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 英烈事迹讲解员：志愿引导员： 由图可知，共有种等可能的结果，其中担任英烈事迹讲解员和担任志愿引导员的都是女同学的结果有种， ． 22. 某校数学实践小组开展测量一座古塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表： 测量古塔的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 模型构建 测量步骤 （1）在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角； （2）沿着方向走到处，用皮尺测得米； （3）在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角为． 已知，，，测角仪的高度米，点、、在同一水平直线上．根据以上信息，求古塔的高度（参考数据：，，）． 【答案】古塔的高度为73米 【解析】 【分析】先作辅助线构造直角三角形，再利用角得到等腰直角三角形，接着根据列方程求解，最后求出古塔总高度． 【详解】解：延长交于点，如图所示： 由题知，四边形是矩形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， 解得， ∴， ∴古塔的高度为73米． 四、解答题二（本大题共5小题，共计50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解）．整理得到如下信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 部分八、九年级被抽取学生的得分统计表、统计图（不完整）： 八年级被抽取学生的统计图 八、九年级被抽取学生的得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 79.8 b 82 九年级 79.8 79 c 根据以上信息，解答下列问题． （1）上述图表中，______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（答案不唯一，写出一条理由即可）． （3）若该校八年级有1500名学生，九年级有1600名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有多少名． 【答案】（1）20；82；78 （2）八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由见解析 （3）620名 【解析】 【分析】（1）由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有人，可得的值；由八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值； （2）从中位数或众数的角度出发可得答案； （3）由九年级与八年级的总人数分别乘以“非常了解”的占比，再求和即可． 【小问1详解】 解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89， 而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有， 八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有， ∴八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数为， ∴， ∴； ∴第5个，第6个数据分别是：82，82， ∴中位数， 九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多， ， 【小问2详解】 解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高．（写出一条理由即可） 理由：①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79； ②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78． 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有620名． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，与反比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数与直线的表达式； （2）将直线向上平移5个单位长度后分别与轴，轴交于点D，E，连接．请直接写出的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式，进而得出点的坐标，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解： 反比例函数的图象经过点， ． ．反比例函数的表达式为 设直线的表达式为， 将，代入， 得， 解得． 直线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵直线向上平移5个单位长度后分别与轴，轴交于点D，E， ∴直线的解析式为： 当时， 解得： ∴ ∵点的坐标为，点的坐标为． ∴ ∴ 25. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长． 【答案】（1）见解析；（2）cm 【解析】 【分析】（1）连接OD，证明∠EDO＝90°即可得到DE是⊙O的切线； （2）根据线段中点的定义和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）证明：连接OD， ∵OA＝OB， ∴是的中点， ∵D是BC的中点， ∴OD∥AC． 又∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE． ∵是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）∵D是BC的中点，BC＝8cm， ∴BD＝CD＝BC＝4（cm）， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AC＝AB， ∵AD＝3cm， ∴AC＝＝＝5（cm）， ∵DE⊥AC， ∴DE＝（cm）， ∴AE＝（cm）． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，直角三角形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 26. 【课本再现】北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题： （1）如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．与之间有怎样的关系？请说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，点E在边上，连接，F为延长线上一点，连接，，且的延长线垂直于，垂足为点H． ①求的值； ②求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点H，交于点M，交于点N，连接，若，，请你求出的长． 【答案】（1），，理由见解析；（2）①；②；（3）8 【解析】 【分析】（1）只需要证明，即可得到结论，，然后利用直角三角形的性质可得，即可得出结论； （2）①只需要证明，即可得到； ②根据①中，求出，设，则，然后在，利用勾股定理求出，利用正弦定义求解即可； （3）由平移的性质可得，，结合，，可求出，再证明垂直平分，得到，根据，可设，利用勾股定理得到，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1），， 理由如下： 延长交于G， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴； （2）解：①∵， ∴． 在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②∵， ∴， 设，则， ∴， ∴； （3）由平移的性质可得，， ∵，， ∴， ∵点H为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴可设， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点是轴下方抛物线上一点，连接、、，当的面积最大时，求点的坐标； （3）如图2，点是抛物线对称轴上的动点，点是轴上的动点，在（2）的条件下，连接、、，当的面积最大时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）作轴交于点，求得所在直线的函数表达式，设点的坐标为，则点的坐标为，用含的二次函数表示出的面积，再利用二次函数的性质求解即可； （3）作轴交抛物线于点，则点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，作点关于轴的对称点，推出当、、、四点在一条直线上时，最小，最小值为的长，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将、代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：作轴交于点， 在中，令，得， 点的坐标为， 由、可得所在直线的函数表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ， ， 当时，最大，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）可知当的面积最大时，点的坐标为． 由、可得抛物线的对称轴为， 作轴交抛物线于点，则点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，作点关于轴的对称点，连接、、， 点的坐标为，，， ， ，， ， 当、、、四点在一条直线上时，最小，最小值为的长， 过点作轴于点， ，点与点关于轴对称， 点的坐标为， ，，轴， ，， ， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $