精品解析：甘肃省天水市育生中学2024-2025学年九年级下学期第三阶段质量检测数学试卷

育生中学2024-2025学年度第二学期第三阶段质量检测卷 九年级数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 4的算术平方根是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 2025年蛇年春晚主题是“巳巳如意，生生不息”，并据此设计了“巳巳如意纹”．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶．下列纹样中（仅图形部分），既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为纳米，即米，将化成科学记数法为（       ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. 2ab﹣ab＝ab B. 2ab+ab＝2a2b2 C. 4a3b2﹣2a＝2a2b D. ﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2 5. 如图，街道与平行，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 下列四点中，在函数的图象上的点是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 某特产食品销售店今年1—4月的销售总额如图1，其中甘肃奶油杏肉的销售额占当月食品销售总额的百分比如图2．根据图中信息作如下推断，其中不合理的是（ ） A. 这4个月，食品销售总额为290万元 B. 甘肃奶油杏肉4月份的销售额比3月份有所上升 C. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最低的是2月份 D. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最高是19.55万元 9. 古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急：道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼，意思是：元钱共买了斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在等腰中，，于点D．动点P从点A出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，过点P作于点E，作于点F．在此过程中四边形的面积y与运动时间x的函数关系图象如图2所示，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：______． 12. 象棋在中国有着悠久的历史，在春秋战国时代的文化名著《楚辞·招魂》中就有“蔽象棋，有六博兮”的词句，说明在当时已经有了“象棋”这个名词．如图，这是象棋的对弈图（部分），若棋子“帅”表示点，棋子“仕”表示点，则棋子“马”所在点的坐标是_______． 13. 现定义某种运算 ，对给定的两个有理数，有，则的值为______． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O．已知，，则的长为_______． 15. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是________ 16. 物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A转过的度数为时，重物上升了________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 解不等式组： 20. 有趣的倍圆问题：根据圆的面积公式，圆面积扩大的倍数是半径扩大倍数的平方，也就是半径扩大2倍，面积会扩大4倍． 应用：如图，校园里有个圆形花坛，记为，为美化校园，准备春季改造，想把该花坛的面积扩大成原来面积的8倍，但原来花坛在新花坛的内部，请你根据他们的设计的步骤，完成下面的作图题：（按如下步骤完成，保留作图痕迹） ①在中作直径，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在直径上方交于点C，作射线； ②延长直径，在延长线上截取，同样在射线上截取，连接； ③以点O为圆心，的长为半径画圆，大为所求作的花坛． 21. 月日是国际博物馆日，为了解甘肃省博物馆的藏品及其承载的历史，弘扬传统文化，小英和小丽准备从博物馆的三个展厅中随机选择一个展厅报名当志愿者，三个展厅如下，分别用，，表示三张形状相同的卡片，其中“．甘肃佛教艺术展”“ ．甘肃古生物化石展”“ ．甘肃彩陶展”．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好，小英从中随机抽取一张，记下卡片，放回并洗匀后，小丽再从中随机抽取一张． （1）小英抽到“．甘肃佛教艺术展”展厅的概率为________； （2）用列表法或画树状图法求出两人恰好抽到“．甘肃古生物化石展”和“．甘肃彩陶展”两个展厅的概率． 22. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端与两楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶的仰角为，楼顶的仰角为； 【步骤三】利用皮尺测出米，米． 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶，之间的距离． 参考数据 根据以上信息计算两幢楼楼顶，之间的距离．（结果精确到） 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：，，，．下面给出了部分信息：的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是______分； （3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 25. 如图，是的直径，点C、E在上，，点F在线段的延长线上且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 26. 【模型建立】如图1，四边形是正方形，点M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接． （1）试判断之间的数量关系，并写出证明过程； 【模型应用】 （2）如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，请直接写出线段之间的数量关系． 27. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C． （1）求直线的函数表达式及点C的坐标； （2）点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 育生中学2024-2025学年度第二学期第三阶段质量检测卷 九年级数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 4的算术平方根是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】4的算术平方根是2． 故选B． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题关键． 2. 2025年蛇年春晚主题是“巳巳如意，生生不息”，并据此设计了“巳巳如意纹”．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶．下列纹样中（仅图形部分），既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意； B. 是轴对称图形，也是中心对称图形，则B符合题意； C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，则C不符合题意； D. 不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D不符合题意； 故选：B． 3. 目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为纳米，即米，将化成科学记数法为（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，解题关键是熟悉科学记数法一般形式． 根据科学记数法一般形式求解．科学记数法一般形式为，，是正整数． 【详解】解：， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（　　） A. 2ab﹣ab＝ab B. 2ab+ab＝2a2b2 C. 4a3b2﹣2a＝2a2b D. ﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2 【答案】A 【解析】 【详解】A、2ab﹣ab＝（2﹣1）ab＝ab，选项正确，符合题意； B、2ab+ab＝（2+1）ab＝3ab，选项不正确，不符合题意； C、4a3b2与﹣2a不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意； D、﹣2ab2与﹣a2b不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查整式的加减．在计算的过程中，把同类项进行合并，不能合并的直接写在结果中即可． 5. 如图，街道与平行，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得答案． 【详解】解：街道与平行，， ∴， 故选：B． 6. 下列四点中，在函数的图象上的点是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据点的坐标判断是否在函数的图象上是解此题的关键． 只要把点的坐标代入一次函数的解析式，若左边右边，则点在函数的图象上，反之就不在函数的图象上，代入检验即可． 【详解】解：A、把代入得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； B、把代入得：左边，右边，左边右边，故此选项符合题意； C、把代入得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； D、把代入得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意． 故选：B． 7. 如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关性质、圆的内接四边形性质，根据弧中点的定义可得进而得到，然后根据三角形内角和定理可得，最后根据圆的内接四边形对角互补即可解答． 【详解】解：∵点A是中优弧的中点， ∴ ∴， ∴， 又∵C为劣弧上一点， ∴， 故选：D． 8. 某特产食品销售店今年1—4月的销售总额如图1，其中甘肃奶油杏肉的销售额占当月食品销售总额的百分比如图2．根据图中信息作如下推断，其中不合理的是（ ） A. 这4个月，食品销售总额为290万元 B. 甘肃奶油杏肉4月份的销售额比3月份有所上升 C. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最低的是2月份 D. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最高是19.55万元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、折线统计图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否合理，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 从1月到4月，食品销售总额为：（万元）， 故选项A不符合题意； 甘肃奶油杏肉4月份的销售额为：（万元）， 3月份的销售额为：（万元）， 甘肃奶油杏肉4月份的销售额比3月份有所上升，故选项B不符合题意； 这4个月中，甘肃奶油杏肉：1月份是（万元）， 2月份是（万元）， 3月份是万元， 4月份是万元， 故这4个月中，甘肃奶油杏肉售额最低的是3月，甘肃奶油杏肉的销售额最高是19.55万元，故选项C符合题意；故选项D不符合题意； 故选：C． 9. 古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急：道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼，意思是：元钱共买了斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据“元钱共买了斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱”列方程即可． 【详解】解：由题意可得： 故选： A． 10. 如图1，在等腰中，，于点D．动点P从点A出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，过点P作于点E，作于点F．在此过程中四边形的面积y与运动时间x的函数关系图象如图2所示，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图中拐点的纵坐标4，得到四边形的面积，此时点运动到点，可证明四边形是正方形，面积为4，那么正方形的边长为2，得为等腰直角三角形，即得到，进而求出长度为，解题的关键理解拐点的纵坐标表示的意义及动点此时所在的位置． 【详解】解：∵动点从点出发，沿着的路径运动， ∴第一个拐点的位置在点处，此时点运动到点， ∵图中拐点的纵坐标4， ∴四边形的面积为4， ∵，， ∴， ∵， ∴ 四边形是矩形， ∵是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴四边形是正方形，， ∴是等腰直角三角形， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 象棋在中国有着悠久的历史，在春秋战国时代的文化名著《楚辞·招魂》中就有“蔽象棋，有六博兮”的词句，说明在当时已经有了“象棋”这个名词．如图，这是象棋的对弈图（部分），若棋子“帅”表示点，棋子“仕”表示点，则棋子“马”所在点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用坐标表示位置，先根据已知点的坐标，确定原点的位置，建立直角坐标系，进而得到棋子“马”所在点的坐标即可． 【详解】解：由题意，建立如图所示坐标系： ∴棋子“马”所在点的坐标是． 故答案为：． 13. 现定义某种运算 ，对给定的两个有理数，有，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．根据，可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：2． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O．已知，，则的长为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形性质是解决本题的关键． 由菱形性质得，，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，， ∴． 故答案为：10． 15. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是关键；把二次函数解析式配方即可求得小球到达最高点时的时间． 【详解】解：， ∵二次项系数为负， ∴当时，小球运动到最高点． 故答案为：3． 16. 物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A转过的度数为时，重物上升了________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据题意用弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了． 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，直接利用绝对值的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质及特殊角的三角函数值分别化简，进而计算得出答案． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则化简，再代入字母的值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为． 20. 有趣的倍圆问题：根据圆的面积公式，圆面积扩大的倍数是半径扩大倍数的平方，也就是半径扩大2倍，面积会扩大4倍． 应用：如图，校园里有个圆形花坛，记为，为美化校园，准备春季改造，想把该花坛的面积扩大成原来面积的8倍，但原来花坛在新花坛的内部，请你根据他们的设计的步骤，完成下面的作图题：（按如下步骤完成，保留作图痕迹） ①在中作直径，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在直径上方交于点C，作射线； ②延长直径，在延长线上截取，同样在射线上截取，连接； ③以点O为圆心，的长为半径画圆，大为所求作的花坛． 【答案】 如图所示，大为所求作的花坛． 【解析】 【分析】此题考查了尺规作垂线，尺规作圆，根据题目中的作图方法求解即可． 【详解】略 21. 月日是国际博物馆日，为了解甘肃省博物馆的藏品及其承载的历史，弘扬传统文化，小英和小丽准备从博物馆的三个展厅中随机选择一个展厅报名当志愿者，三个展厅如下，分别用，，表示三张形状相同的卡片，其中“．甘肃佛教艺术展”“ ．甘肃古生物化石展”“ ．甘肃彩陶展”．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好，小英从中随机抽取一张，记下卡片，放回并洗匀后，小丽再从中随机抽取一张． （1）小英抽到“．甘肃佛教艺术展”展厅的概率为________； （2）用列表法或画树状图法求出两人恰好抽到“．甘肃古生物化石展”和“．甘肃彩陶展”两个展厅的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图以及概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）先列表得到所有结果，找出符合条件的结果利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵共有“．甘肃佛教艺术展”“ ．甘肃古生物化石展”“ ．甘肃彩陶展”三种等可能的情况， 小英从中随机抽取一张，小英抽到“．甘肃佛教艺术展”展厅的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： ∴所有的等可能的结果数有个，两人恰好抽到“．甘肃古生物化石展”和“．甘肃彩陶展”两个展厅的结果数有个， ∴两人恰好抽到“．甘肃古生物化石展”和“．甘肃彩陶展”两个展厅的概率为． 22. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端与两楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶的仰角为，楼顶的仰角为； 【步骤三】利用皮尺测出米，米． 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶，之间的距离． 参考数据 根据以上信息计算两幢楼楼顶，之间的距离．（结果精确到） 【答案】两幢楼楼顶，之间的距离约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定与性质，过作，交于点，交于点，过作于点，根据题意得四边形是矩形，由测量步骤可得：四边形是矩形，则米，米，米，在中，，，则米，从而求出米，最后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交于点，交于点，过作于点， ∴，， ∴四边形是矩形， 由测量步骤可得：四边形是矩形， ∵米，米， ∴米，米， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∴米， 在中，，， ∴（米）， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， 答：两幢楼楼顶，之间的距离约为米． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：，，，．下面给出了部分信息：的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是______分； （3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数． 【答案】（1） 补全图形如下： （2）83 （3）600人 【解析】 【分析】（1）先求解总人数，再求解和的人数，再补全图形即可； （2）根据中位数的含义确定第25个，第26个数据的平均数即可得到中位数； （3）由总人数乘以80分含80以上的人数百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：，而有20人， 有：（人）； 【小问2详解】 解：，而的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89， 个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：83，83； 中位数为：， 故答案为：83； 【小问3详解】 解：依据题意得：（人）， 答：估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数约600人． 【点睛】本题考查的是频数分布直方图，中位数的含义，利用样本估计总体，熟练掌握基础的统计知识是解本题的关键． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数的解析式为； （2）的面积为8． 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数几何综合． （1）将代入反比例函数中，即可求得，再将代入反比例函数解析式求得，最后将点、代入一次函数中求解，即可解题． （2）根据一次函数解析式得出点C，再利用，即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数经过点， ， 反比例函数解析式为， 点在上，则， ， 把、代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， ， ， ． 25. 如图，是的直径，点C、E在上，，点F在线段的延长线上且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）4． 【解析】 【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的判定、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，因为是的直径，所以，由，，得，而，则，所以，即可证明是的切线； （2）由，，得，由，得，求得，所以的半径长为4． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ∴， ， 解得， 的半径长为4． 26. 【模型建立】如图1，四边形是正方形，点M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接． （1）试判断之间的数量关系，并写出证明过程； 【模型应用】 （2）如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）解：．证明如下： 由旋转的性质，得，，，， ∴， ∴点E，B，C共线． ∵， ∴． 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：，证明如下： 如图1，在上取，连接． ∵，， ∴， ∴，． ∴， ∵， ∴． 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据旋转得到，，，，可得，进一步证明可得到答案； （2）在上取，连接．首先由，得，，再证明，得，即可得到答案； （3）利用旋转的性质即可得到，，，可得，得，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图2，将绕点A逆时针旋转得， ∴，，， ∵， ∴， ∴点E，D，C共线． ，， ， ，， ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了“半角模型”．正方形的性质，熟练掌握旋转的性质，补角性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键． 27. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C． （1）求直线的函数表达式及点C的坐标； （2）点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值． 【答案】（1），点的坐标为 （2）①2或3或；②，S的最大值为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点C的坐标即可； （2）①分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可； ②证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由得，当时，． 解得． ∵点A在轴正半轴上． ∴点A的坐标为． 设直线的函数表达式为． 将两点的坐标分别代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将代入，得． ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 ①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为． ∴点的坐标分别为． ∴． ∵点的坐标为， ∴． ∵， ∴． 如图，当点在直线上方时，． ∵， ∴． 解得． 如图2，当点在直线下方时，． ∵， ∴． 解得， ∵， ∴． 综上所述，的值为2或3或； ②解：如图3，由（1）得，． ∵轴于点，交于点，点B的坐标为， ∴． ∵点在直线上方， ∴． ∵轴于点， ∴． ∴，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵轴， ∴四边形为矩形． ∴． 即． ∵， ∴当时，S的最大值为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出是解题的关键． 第1页/共1页 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