2025-2026学年人教版数学八年级下册期末综合复习卷（一）

**基本信息** 以代数、几何、统计三大模块整合八年级下册核心知识，通过基础概念辨析、性质综合应用及动态几何问题，培养抽象能力、推理意识与数据观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|10题（含一次函数与不等式综合）|概念辨析、性质应用、实际建模|从二次根式定义到一次函数图像性质，构建“概念-性质-应用”逻辑链| |几何|15题（含矩形折叠、菱形动点问题）|性质证明、动态计算、图形变换|从三角形到特殊四边形，结合中点、旋转等变换，形成“基本图形-综合应用”脉络| |统计|3题（箱线图分析、统计量应用）|图表解读、数据推断|从数据描述（中位数、方差）到统计推断，体现数据分析完整过程|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 期末综合复习卷 (一) 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上，选择题请用2B铅笔填涂。 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题3分 ，共计30分 ）   1.下列二次根式中，最简二次根式是（       ） A. B. C. D. 2.以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（       ） A.1，2，3 B.2，， C.6，8，14 D.2，1.5，2.5 3.如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，若，，则的长为（       ） A.3 B. C.4 D. 4.如图，矩形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（       ） A. B. C. D. 5.对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A.图象经过第二、三、四象限 B.图象与轴交于负半轴 C.当时， D.图象过点，，若，则 6.一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则的度数是（     ） A. B. C. D. 7.如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（        ） A.地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B.地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C.地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D.地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 8.如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（        ） A. B. C. D. 9.如图，，，，是菱形四边的中点，顺次连接点，，，，且，则下列结论正确的是（       ） A. B. C. D. 10.如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上点处，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③，重合时，； ④点、、三点共线． 其中正确的结论有（     ） A.个 B.个 C.个 D.个 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计6小题 ，每题3分 ，共计18分 ）   11.要使代数式有意义，则x的取值范围是__ ______． 12.一家鞋店在一段时间内销售了某款运动鞋30双，该款的各种尺码鞋销售量如图所示．鞋店决定在下一次进货时增加一些尺码为_______的该款运动鞋，影响鞋店这一决策的统计量是________．     13.如图，把直线往下平移后得到直线，点的坐标为，则直线的函数表达式为________． 14.已知：，则代数式的值是_______． 15.如图1，四边形是菱形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则菱形的面积为_______．  16.如图，在平行四边形中，，O为对角线、的交点，，，M，N分别为边和上的动点，且，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接、，则周长的最小值为________． 3、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 计算： （1） （2） 18.(6分) 多边形的内角和与外角和的有关计算： （1）一个多边形的每一个内角都等于，求它的边数； （2）一个多边形的内角和是外角和的一半，求它的边数． 19.(6分) 某区举办科普知识竞赛，从甲、乙两校学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩为整数，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 乙校20名学生的竞赛成绩：63，63，65，71；72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98；99． 甲、乙两校20名学生成绩统计表 学校 甲校 乙校 平均数 82 82 中位数 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： （1）如果要从中选一个成绩稳定的学校去市里参加团体赛，请问选______校更合适（填“甲”或“乙”）； （2）上述图表中：中位数_____，下四分位数______； （3）该区甲校有学生1120人，请估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？  20.(8分) 如图，已知，，E为的中点，与交点为F， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 21.(8分) 已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： （1）选用合适的公式计算下列三角形的面积． I．三角形的三边长分别为7，8，9． II．三角形的三边长分别为． （2）如图，在四边形中，，求四边形的面积．  22.(8分) 某公交公司计划购买型纯电动公交车与型氢能源公交车共10辆．已知购买1辆型公交车和1辆型公交车共需85万元；购买2辆型公交车和3辆型公交车共需215万元． （1）求购买1辆型纯电动公交车、1辆型氢能源公交车各需要多少万元？ （2）若购买这批公交车的总费用不超过420万元，且两种车型都要购买，设购买型公交车辆，总费用为万元． ①求总费用关于的函数关系式； ②请你求出最省钱的购买方案及最低总费用． 23.(8分) 如图，已知点分别是的边上的中点，且， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 24.(10分) 如图，直线与轴、轴分别相交于点，．直线与轴相交于点．两条直线相交于点． （1）的值为_____．点的坐标为_____． （2）如图，是直线在第一象限内的点，连接、，且的面积为． ①求与之间的关系式，并写出的取值范围． ②点关于轴的对称点为点，连接，．若直线恰好将四边形分为两部分，且满足，求此时的值． 25.(12分) 已知，在中，，，点为直线上一动点（点D不与点B，C重合）．以为边作正方形，连接． （1）如图1，当点D在线段上时，求证：． （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出三条线段之间的关系． （3）在（2）的条件中，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图2证明你发现的结果． 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 期末综合复习卷 (一) 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上，选择题请用2B铅笔填涂。 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题3分 ，共计30分 ）   1.下列二次根式中，最简二次根式是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据最简二次根式的定义判断即可. 【解答】 解：A. ，故 不是最简二次根式，不符合题意； B. ，故 不是最简二次根式，不符合题意； C. ，故 不是最简二次根式，不符合题意； D. 是最简二次根式，符合题意. 故选：D. 2.以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（       ） A.1，2，3 B.2，， C.6，8，14 D.2，1.5，2.5 【答案】 D 【解析】 根据勾股定理的逆定理判断即可. 【解答】 A选项： ，所以不能构成直角三角形，不符合题意； B选项： ，所以不能构成直角三角形，不符合题意； C选项： ，所以不能构成直角三角形，不符合题意； D选项： ，能构成直角三角形，符合题意． 故选：D. 3.如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，若，，则的长为（       ） A.3 B. C.4 D. 【答案】 A 【解析】 本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线的性质，先证明 为等边三角形，再根据中位线性质，得出结果即可. 【解答】 解： 四边形ABCD为菱形， ， ， 为等边三角形， ， ，F分别是AB，AC的中点， 故选：A. 4.如图，矩形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可. 【解答】 解：由勾股定理可知， 这个点表示的实数是 故选：D. 5.对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A.图象经过第二、三、四象限 B.图象与轴交于负半轴 C.当时， D.图象过点，，若，则 【答案】 C 【解析】 根据一次函数的图像与性质判断象限、交点位置和增减性，再通过解不等式判断选项C的正误，即可得到错误结论. 【解答】 解：对于一次函数，可得，. ，, 函数图象经过第二、三、四象限，A结论正确. 一次函数与y轴交点为，即交点为，纵坐标为负, 图象与y轴交于负半轴，B结论正确. 若，可得不等式，移项得，解得，即当时，因此C结论错误. ，y随x的增大而减小，若，则，D结论正确. 6.一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则的度数是（     ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题主要考查正多边形内角的计算及三角形内角和定理，正确理解正多边形的内角计算公式是解题的关键.根据正多边形的内角计算公式和多边形的外角知识，推出 ，再利用三角形内角和定理求解即可. 【解答】如图所示： 正五边形的每一个内角都等于 正六边形的每一个内角都等于 故选：D. 7.如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（        ） A.地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B.地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C.地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D.地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 【答案】 C 【解析】 箱线图中，箱体的上下四分位数、中间的线是中位数，两端是最大值和最小值，数据越分散，方差越大. 【解答】 解：A、A地的最大值接近20，B地的最大值在15左右，所以A地最大值大于B地，正确； B、A地的中位数比B地的中位数低，正确； C、A地的数据分布比B地更分散，所以A地的方差大于B地的方差，该选项说法错误； D、B地的最小值约为5，A地的下四分位数在5以下，说明有25%以上的数据低于5，即低于B地的最小值，正确； 所以不正确的是C.  8.如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 首先将点 代入直线 ，求解即可确定点A坐标，结合图像确定x的取值范围，即可获得答案. 【解答】 解：将点 代入直线 可得 ，解得 即交点 结合图像可知，关于 的不等式 的解集为 在数轴上表示为 -2 -1 0 1 9.如图，，，，是菱形四边的中点，顺次连接点，，，，且，则下列结论正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 连接AC、BD，设AC与BD交于点O，根据菱形的性质得出AC BD， ，BO=DO ，根据三角形中位线定理得出 ，MN ，设MQ=BO=x，则MN=AO=2x，根据勾股定理求出AB ，即可得出答案. 【解答】 解：连接AC、BD，设AC与BD交于点O，如图所示； 四边形ABCD为菱形， , AO=CO , BO=DO ，N，P，Q是菱形ABCD四边的中点， 设 ，则 在Rt 中，根据勾股定理得： 10.如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上点处，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③，重合时，； ④点、、三点共线． 其中正确的结论有（     ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 C 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解： 矩形ABCD中PM CN， 由翻折可知： 四边形CMPN是平行四边形， 四边形CMPN是菱形，故 ②正确； 在Rt 和Rt 中， 若 ，则Rt ， ，这个不一定成立，故 ①错误； 点P与点A重合时，如图2， 图2 设 ，则 设 ，则 在Rt 中， 即 解得 四边形CMPN是菱形，故 ②正确； 故 ③正确； 由折叠可知：GM 四边形CMPN是菱形， 三点一定在同一直线上，故 ④正确. 综上所述：正确的结论有 ②③④共3个. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计6小题 ，每题3分 ，共计18分 ）   11.要使代数式有意义，则x的取值范围是__ 且 ______． 【答案】 且 【解析】 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围. 【解答】 解：由代数式 有意义，得 解得 且 故答案为 且 12.一家鞋店在一段时间内销售了某款运动鞋30双，该款的各种尺码鞋销售量如图所示．鞋店决定在下一次进货时增加一些尺码为___23.5_____的该款运动鞋，影响鞋店这一决策的统计量是____众数____．     【答案】 23.5,众数 【解析】 根据销售量统计图知, 尺码为 的该款运动鞋销量最多, 因而应多进些, 这是众数的影响, 因而可作出判断. 【解答】 解：由于尺码为 的该款运动鞋销量最多，因而下一次进货时增加一些尺码为 的该款运动鞋，影响鞋店这一决策的统计量是众数。 故答案为：23.5，众数. 13.如图，把直线往下平移后得到直线，点的坐标为，则直线的函数表达式为________． 【答案】 【解析】 本题考查了一次函数的平移、求一次函数解析式，根据一次函数平移的性质，设直线 的函数表达式为 ，代入 到函数表达式求出 的值，即可求解. 【解答】 解： 把直线 往下平移后得到直线 ， 设直线 的函数表达式为 ， 代入点 得， ， 解得 直线 的函数表达式为 故答案为： 14.已知：，则代数式的值是____6____． 【答案】 6 【解析】 先把已知分母有理化，将含a分一组因式分解，再将括号内多项式配方整理，把a，a+2代入化简即可. 【解答】 ∵ a, 由 原式 故答案为：6.  15.如图1，四边形是菱形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 题目主要考查动点函数图象，菱形的性质，勾股定理，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键作 AE BD，垂足为 E，结合运动轨迹及运动图象得出 AD=AB=4，当 x=6时，y有最小值，此时点P和点E重合，得到 DE=6-4=2，勾股定理求出 AE ，然后利用菱形面积公式求解即可. 【解答】 解：如图所示，作 ，垂足为E， 四边形ABCD是菱形， 由图象可得，AD=AB=4， 当x=6时，y有最小值，此时点P和点E重合， ， 菱形ABCD的面积 故答案为：  16.如图，在平行四边形中，，O为对角线、的交点，，，M，N分别为边和上的动点，且，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接、，则周长的最小值为________． 【答案】 【解析】 在AB上取点Q，使得 ，连接BP，作BE BD，且BE=BD=10，连接OE，PE，证明四边形ABCD是菱形，得到 CD//AB，求出 ，证明 ，得出PQ=AM，MQ=AN，求出 ，P在与AB夹角 的线段上，然后证明 ，得到PE=PD，当点P在线段OE上时， 周长取得最小值，即OE+5的值，最后根据勾股定理求解即可. 【解答】 解：在AB上取点Q，使得 ，连接BP，作BE ，且 ，连接OE，PE，如图： 在平行四边形ABCD中， 在平行四边形ABCD中， ， 四边形ABCD是菱形， 由旋转的性质可知， 在 和 中， 四边形ABCD为菱形， 在与AB夹角 的线段上， 又 是菱形ABCD对角线的交点， 周长 当点P在线段OE上时， 周长取得最小值，即 的值 周长的最小值为 周长的最小值为 5+5 3、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 计算： （1） （2） 【答案】 5 【解析】 （1）先分别化简绝对值、立方根、负指数幂，再将计算结果进行加减运算； （2）先分别用完全平方公式和乘法分配律展开两部分，然后去括号合并同类项，消去含根号的部分得到结果. 【解答】 （1）解：原式 （2）解：原式 18.(6分) 多边形的内角和与外角和的有关计算： （1）一个多边形的每一个内角都等于，求它的边数； （2）一个多边形的内角和是外角和的一半，求它的边数． 【答案】 它的边数是6 它的边数是3 【解析】 （1）先求出每一个外角的度数，再根据外角和定理求解； （2）设它的边数为 n，根据内角和公式和外角和定理列方程求解即可. 【解答】 （1）解： 一个多边形的每一个内角都等于120°， 每一个外角都等于 这个多边形是六边形. （2）解：设它的边数为n，则有 解得n=3. 它的边数为3. 19.(6分) 某区举办科普知识竞赛，从甲、乙两校学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩为整数，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 乙校20名学生的竞赛成绩：63，63，65，71；72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98；99． 甲、乙两校20名学生成绩统计表 学校 甲校 乙校 平均数 82 82 中位数 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： （1）如果要从中选一个成绩稳定的学校去市里参加团体赛，请问选___乙___校更合适（填“甲”或“乙”）； （2）上述图表中：中位数__83____，下四分位数__72____； （3）该区甲校有学生1120人，请估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 【答案】 乙 83；72 336人 【解析】 （1）方差越小，成绩越稳定，据此可得答案； （2）根据中位数和下四分位数的定义可得答案； （3）用1120乘以甲校样本中参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数占比即可得到答案. 【解答】 （1）解： 甲校的方差大于乙校的方差， 乙的成绩更加稳定， 选乙校更合适； （2）解：由题意得，， （3）解：人， 答：估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有336人.  20.(8分) 如图，已知，，E为的中点，与交点为F， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 【答案】 见解析 【解析】 （1）由直角三角形的性质可得 ， ，从而得出CE=DE，即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得 DE AB，由勾股定理可得 DF=5，作 EG CD于G，则 CD=2DG，由等面积法得出 EG ，由勾股定理可得 DG ，即可得出结果. 【解答】 （1）证明： 为AB的中点， 是等腰三角形； （2）解： 为AB的中点， DE=4, 如图，作 于G， 由（1）可得 21.(8分) 已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： （1）选用合适的公式计算下列三角形的面积． I．三角形的三边长分别为7，8，9． II．三角形的三边长分别为． （2）如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 1. ；Ⅱ. 【解析】 （1）I. 直接代入海伦公式计算即可； II. 直接代入秦九韶公式计算即可； （2）连接AC，先利用勾股定理求出AC的长度，进而求出 的面积，再利用秦九韶公式算出 的面积，两者相加即可. 【解答】 （1）1. 三角形的三边长分别为7，8，9， 假设 ，根据海伦公式，得 所以该三角形的面积 11. 三角形的三边长分别为 假设 根据秦九韶公式，得 所以该三角形的面积 （2）如图，连接 在Rt 中， 所以 在 中，假设 a = AC = 5,b = AD = 5 c = CD = , 根据秦九韶公式，得 所以 所以  22.(8分) 某公交公司计划购买型纯电动公交车与型氢能源公交车共10辆．已知购买1辆型公交车和1辆型公交车共需85万元；购买2辆型公交车和3辆型公交车共需215万元． （1）求购买1辆型纯电动公交车、1辆型氢能源公交车各需要多少万元？ （2）若购买这批公交车的总费用不超过420万元，且两种车型都要购买，设购买型公交车辆，总费用为万元． ①求总费用关于的函数关系式； ②请你求出最省钱的购买方案及最低总费用． 【答案】 购买1辆A型纯电动公交车需要40万元，1辆B型氢能源公交车需要45万元 ①W=-5a+450；②购买A型纯电动公交车9辆，B型氢能源公交车1辆时最省钱，最低总费用为405万元 【解析】 （1）设购买1辆A型纯电动公交车需要x万元，1辆B型氢能源公交车需要y万元，根据“购买1辆A型公交车和1辆B型公交车共需85万元；购买2辆A型公交车和3辆B型公交车共需215万元”列方程组求解即可； （2）①购买A型公交车a辆，则购买B型公交车(10-a)辆，进而根据价格列函数关系式即可； ②根据“计划购买A型纯电动公交车与B型氢能源公交车共10辆”“购买这批公交车的总费用不超过420万元，且两种车型都要购买”求出a的取值范围，进而根据一次函数的性质作答即可. 【解答】 （1）解：设购买1辆A型纯电动公交车需要x万元，1辆B型氢能源公交车需要y万元， 根据题意，得 解得： 答：购买1辆A型纯电动公交车需要40万元，1辆B型氢能源公交车需要45万元； （2）解：①由题意，购买A型公交车a辆，则购买B型公交车(10-a)辆， 则：W=40a+45(10-a)$, 即：W=-5a+450; ②由题意可得-5a+450≤420 解得：a≥6， 两种车型都要购买， , ，且a为整数， 在W=-5a+450中， 随a的增大而减小. 当a取最大值9时，W最小，W最小=-5×9+450=405（万元）. 答：购买A型纯电动公交车9辆，B型氢能源公交车1辆时最省钱，最低总费用为405万元. 23.(8分) 如图，已知点分别是的边上的中点，且， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】 详见解析 【解析】 （1）根据平行四边形的性质可得 AD=BC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 AE=CE=AF=CF，再根据菱形的判定方法即可求解； （2）如图所示，连接EF交AC于点O，在Rt 中，根据勾股定理可得 ，根据点O，E是中点可得OE是 的中位线，可算出EF= ，再根据菱形的面积的计算公式即可求解. 【解答】 （1）证明： 四边形ABCD是平行四边形， 在Rt 中， ，点E是BC边的中点 同理 四边形AECE是菱形； 四边形AECF是菱形； （2）解：如图所示，连接EF交AC于点O， 在Rt 中， ， 四边形 AECF是菱形， 是 的中位线， 菱形AECF的面积为   24.(10分) 如图，直线与轴、轴分别相交于点，．直线与轴相交于点．两条直线相交于点． （1）的值为__1___．点的坐标为___ __． （2）如图，是直线在第一象限内的点，连接、，且的面积为． ①求与之间的关系式，并写出的取值范围． ②点关于轴的对称点为点，连接，．若直线恰好将四边形分为两部分，且满足，求此时的值． 【答案】 1; 【解析】 （1）将点 代入 求出k，再联立两个函数的解析式，求出交点坐标； （2）①由一次函数的解析式可得 n=- ，结合OC=1，则 ②延长BQ交x轴于点E，由对称性可得，点 ，利用割补法计算出 结合 构造方程，求解出m的值. 结合 构造方程，求解出m的值. 【解答】(1) 解：将点C(-1,0)代入 得， 解得 k=1, 直线 联立直线 与直线 得， 解得 点D的坐标为 (2) 解： ①将y=0代入 得x=4， 点A的坐标为（4，0）， 是直线 在第一象限内上的点， ②如图，延长BQ交x轴于点E， 点P 与点Q关于y轴对称， 点P(m， )与点Q关于y轴对称， 点Q的坐标为 又 点B在y轴上， 直线BQ与直线BP关于y轴对称， 点E与点A关于y轴对称， 点E的坐标为 将x=0代入 得y=2, 点B的坐标为(0,2)，OB=2， 在四边形CPBQ内部， 解得 . 25.(12分) 已知，在中，，，点为直线上一动点（点D不与点B，C重合）．以为边作正方形，连接． （1）如图1，当点D在线段上时，求证：． （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出三条线段之间的关系． （3）在（2）的条件中，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图2证明你发现的结果． 【答案】 见解析 CF-CD=BC ，见解析 (3) ，见解析 【解析】 （1）是等腰直角三角形，利用SAS即可证明 ，从而证得 ，据此即可证得； （2）同（1）相同，利用SAS即可证得 ，从而证得 ，即可得到 ； （3）可得 ， 均为等腰直角三角形，则 ，设 ，然后对Rt 运用勾股定理列式证明即可. 【解答】 （1）证明： 四边形ADEF是正方形， 则在 和 中， (SAS) (2) 解： 理由： 四边形ADEF是正方形， 在 和 中， (SAS) (3) 解： 证明：过点A作AH BC于点H， 由上可得， ， 均为等腰直角三角形， ，设 则在Rt 中，由勾股定理得 即 而 学科网（北京）股份有限公司 $