2025-2026学年人教版数学八年级下册期末综合复习卷（二）

**基本信息** 八年级数学下册期末综合复习卷，通过选择、填空、解答题（10/6/9题，30/18/72分）全面考查勾股定理、函数、几何综合等知识，融合文化传承与现实情境，注重数学眼光、思维与语言的综合培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|勾股定理、二次根式、多边形内角、箱线图|以刘徽“青朱出入图”考查勾股定理，渗透数学文化；箱线图题培养数据意识| |填空题|6/18|函数自变量范围、方差比较、矩形性质|折叠问题结合坐标运算，考查空间观念；正方形综合题强化推理能力| |解答题|9/72|统计分析、动态几何、赵爽弦图探究|行程问题函数图像培养应用意识；旋转探究题（等边三角形、正方形）发展创新思维|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 期末综合复习卷 (二) 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上，选择题请用2B铅笔填涂。 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题3分 ，共计30分 ）   1.在由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（       ） A.2，3，4 B.5，12，13 C.6，8，11 D.，， 【答案】 B 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：A、最长边为4，不能构成直角三角形。 B、最长边为13，,满足勾股定理的逆定理，能构成直角三角形。 C、最长边为11，不能构成直角三角形。 D、最长边为不能构成直角三角形。 2.下列计算正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则分别求出对应选项中式子的结果即可得到答案. 【解答】 解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、2和不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：A. 3.如图，将正五边形与正方形按如图所示摆放，公共顶点为O．若点A，B，C，D在同一条直线上，则的度数为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据正五边形的内角和求出 ，根据正方形的一个内角为 求出 ，根据三角形外角求出 . 【解答】 解：正五边形一个内角的度数为： ， , 正方形的一个内角为 ， 点 ， ， ， 在同一条直线上， ， ，故B正确. 故选：B. 4.如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（        ） A.地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B.地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C.地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D.地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 【答案】 C 【解析】 箱线图中，箱体的上下四分位数、中间的线是中位数，两端是最大值和最小值，数据越分散，方差越大. 【解答】 解：A、A地的最大值接近20，B地的最大值在15左右，所以A地最大值大于B地，正确； B、A地的中位数比B地的中位数低，正确； C、A地的数据分布比B地更分散，所以A地的方差大于B地的方差，该选项说法错误； D、B地的最小值约为5，A地的下四分位数在5以下，说明有25%以上的数据低于5，即低于B地的最小值，正确； 所以不正确的是C. 5.如图①，在长方形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（       ） A. B.长方形的周长是 C.当时， D.当时， 【答案】 D 【解析】 本题通过右侧的图象可以判断出长方形的边长，然后选项计算，选项A、B、C都可证正确，选项D，面积为8时，对应x值不为10，所以错误. 【解答】 解：由图2可知，长方形MNPQ的边长，MN=9-4=5，NP=4，故选项A正确； 选项B，长方形周长为，正确； 选项C，x=6时，点R在QP上，的面积，正确； 选项D，y=8时，即，解得， 或，解得， 所以，当y=8时，x=3.2或9.8，故选项D错误； 故选：D. 6.如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（        ） A.方程的解是 B.方程的解是 C.关于x，y的方程组的解是 D.不等式的解集是 【答案】 D 【解析】 先根据一次函数图象与x轴的交点解答A，再根据两直线的交点解答B，C，然后根据直线 在直线 y=x+1下方的部分的自变量取值解答D. 【解答】 解： 一次函数 的图象经过点(2,0)， 当 x=2时， y=0， 所以方程 的解是 x=2，则A正确； 一次函数 的图象和一次函数 的图象交于点(1,2)， 当 x=1时，两个函数值相等， 即方程 的解是 x=1，则B正确； 方程组 的解是 ，则C正确； 不等式 的解集是 x>1，则D错误. 7.已知，当分别取，，，，2026时，所对应值的总和是（     ） A.4052 B.4054 C.4056 D.2026 【答案】 A 【解析】 根据二次根式的性质 可得 ，再根据与2的大小关系化简，再分别计算不同范围对应的值总和，最后相加即可解答. 【解答】 解： 分情况化简： 当时 将代入得，将代入得 时，值总和为； 当时 从3到2026，共有个取值，值总和为. 所有值的总和为，即选项B符合题意.  8.“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形均为正方形．若，，则（ ） A.2 B.3 C.4 D. 【答案】 C 【解析】 本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据正方形的面积求出AG，GI的长，勾股定理求出BG的长，再利用勾股定理求出FG的长，然后根据面积公式进行计算即可. 【解答】 解：， ， 正方形ABCD， ， ， ， 正方形EFGB， ， ， ， ； 故选C 9.如图，在菱形中，是边的中点，分别是上的动点，连接，若，则下列结论错误的是（        ） A.的最小值为 B.的最小值为 C.当是的中点时，的最小值为4 D.当是的中点时，的最小值为 【答案】 C 【解析】 根据垂线段最短判断A选项；根据“将军饮马模型”判断B选项；根据两点之间线段最短判断C选项；根据垂线段最短判断D选项. 【解答】 解：A选项， 四边形ABCD是菱形，且 是等边三角形. ∵ M是BC上的动点, ∴ ⊥ BC BM=AB=2, AM== 故A选项不符合题意； B选项， 四边形ABCD是菱形， 点B，D关于AC对称， 立 于点N' 当点N与点N'重合时 ND+NE=BE 如图1，连接 交 于点 ，当点 与点 重合时， 图1 此时， 的值最小，过点E作EF BC交BC的延长线于点F. ，故B选项不符合题意； 如图2，当M是BC的中点时，连接AE，当M,N,E三点共线时，MN+NE的值最 图2 E是CD的中点， 是等边三角形， ，故C选项符合题意； D选项，如图2，当MN AC时，MN的值最小，此时 ，故D选项不符合题意 解题时，首先要分析清楚该问题属于哪一种最值题型，再去运用相关类型题目的解题方法求解. 10.如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及点坐标规律探索，首先根据点的变化规律分别求出点、、、的坐标，根据它们的横坐标变化规律，得到点的横坐标，再根据点在直线上求出纵坐标． 【解答】 点的坐标为，点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在上， 解方程， 解得：， 点的坐标是， 轴， 点的横坐标是， 又点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在直线上， 可得方程， 解得：， 点的坐标是， 根据规律可得：的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， ， 的横坐标为， ， 的横坐标为， 又点在上， 可得：， 点的坐标为 故答案选： ． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计6小题 ，每题3分 ，共计18分 ）   11.函数中，自变量的取值范围是___且 _____． 【答案】 且 【解析】 根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案. 【解答】 解：二次根式的被开方数必须是非负数，因此 ，解得： ，分式的分母不能为0，因此 ，解得： ，综上，自变量 的取值范围是 且 .   12.已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的值为________． 【答案】 【解析】 先估算 的取值范围，得到 的整数部分 和小数部分 的值．再将 代入所求代数式进行化简计算即可． 【解答】 解： 的整数部分 ，小数部分 将 代入得 13.图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地年月日至日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为，，则____________．（填“”，“”，“”） 【答案】 【解析】 本题考查了折线统计图和方差，根据折线统计图和方差的意义进行求解即可，掌握方差的意义是解题的关键． 【解答】 解：由图象可知，甲地的气温波动小，比较稳定，乙地的气温波动大，更不稳定， ， 故答案为：． 14.在矩形中，对角线，相交于点，点是的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为____6____． 【答案】 6 【解析】 本题主要考查矩形的性质和三角形中位线定理，容易求得 ， ，得到点 为的中点，可得 . 【解答】 解：四边形为矩形， ，且，互相平分. ，. , . 点为的中点. 又点是的中点， . 15.如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 根据矩形的性质和点的坐标得出和的长，利用折叠性质得到的长，在中利用勾股定理求出的长，进而求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令即可求出点的坐标. 【解答】 解： 四边形是矩形，点， ， 由折叠可得，， 在中，， ，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得，， 解得 ， 直线解析式为， 是直线与轴的交点， 令，得， 的坐标为 .  16.如图，E、F在正方形边、的延长线上，且，连接、交于点O，点为中点，在结论：①；②；③；④若，则的最小值为中，正确的有________． 【答案】 【解析】 先证明 (SAS)，得出AF=DE， ，即可判断 ①正确；证明出DO AF，再结合直角三角形的性质即可判断 ②正确；连接BF，证明 (SAS)，得出 ，再求出 ，即可判断 ③错误；取AD的中点M，连接OM、BM，则 ，由勾股定理可得 ，再结合OB≥BM-OM，即可判断 ④正确. 【解答】 解： 四边形ABCD为正方形， ， 在 和 中， (SAS), ， ，故 ①正确； ，即DO AF， 点P为DF中点， ，故 ②正确； 如图，连接BF， 在 和 中， （SAS） ，故 ③错误； 取AD的中点M，连接OM，BM. , DO AF, 的最小值为 ，故 ④正确； 综上所述，正确的有 3、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 计算： （1）； （2）． 【答案】 【解析】 （1）利用二次根式的乘法和除法、二次根式的性质进行计算后再计算加减法即可; （2）利用二次根式的性质、绝对值、零指数幂、负整数指数幂计算后再计算加减法即可. 【解答】 （1）解： ; （2）解： 18.（5分）如图，已知四边形是正方形，O是对角线的中点，以为边作一个正五边形，求α的度数． 【答案】 【解析】 根据正方形的性质可得 ，根据多边形的内角和定理可得 ，再根据四边形的内角和可得答案. 【解答】 解： 四边形ABCD是正方形， ， 以OD为边作一个正五边形， ， ， 19.(6分) 某校为了解七、八年级学生对垃圾分类知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试，发现成绩都在60分以上（满分100分），把成绩（x）分成A，B，C，D四个等级：A：，B：，C：，D： 。 通过对成绩进行整理，绘制了如下统计图： 已知八年级B等级测试成绩的数据为：81，82，83，84，85，88，88，89． 根据上述信息，解答下列问题： （1）八年级成绩的中位数是____82.5_______； （2）若把每个等级中各个数据用该组的中间值代替（如C等级的中间值为），计算七年级测试成绩的平均数； （3）小明的测试成绩为82分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，请判断小明是____七_______年级的学生，并说明理由． 【答案】 82.5 七年级测试成绩的平均数为78.5分； 七，理由见解析 【解析】 （1）根据中位数的定义解答即可; （2）根据加权平均数公式计算即可; （3）利用中位数的意义解答即可. 【解答】 （1）解：八年级A等级人数为： （人）， 把八年级20名学生成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是82，83， 故中位数为 故答案为：82.5； （2）解: (分), 答：七年级测试成绩的平均数为78.5分； （3）解: 七年级成绩的中位数位于C组, 即低于80分, 而小明的测试成绩为82分, 高于七年级成绩的中位数, 低于八年级成绩的中位数, 小明的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平, 所以小明是七年级学生. 故答案为：七. 20.（6分）已知，，求下列各式的值： （1）①   ② （2）若，，当时，求的值 【答案】 ①3；②31；（2）3 【解析】 本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）①利用平方差公式进行计算，即可解答； ②利用完全平方公式进行计算，即可解答； （二）利用平方差公式进行计算，即可解答． 【解答】 解： ； ； （2）, ．  21.(8分) 如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的面积． 【答案】 详见解析 【解析】 （1）根据平行四边形的性质，得，，根据平行线的性质，得，则，根据SAS可以证明 ，得，，从而证明，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AECF是平行四边形； （2）根据勾股定理得到，连接AC交EF于O，进而可以得到EF的长，然后利用三角形面积公式即可得解； 熟练掌握其性质并能正确得到是解决此题的关键. 【解答】 （1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， 在 和 中， （SAS）， ，， 四边形AECF是平行四边形； （2）解：，，， ， ， ， . 22.(8分) 小颖放学步行从学校回家，当她走了一段路后，想起要去买彩笔做画报，于是原路返回到刚经过的文具用品店，买到彩笔后继续往家走，如图所示为小颖离家的距离（）与所用时间（）的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）自变量是_____时间___，因变量是____距离____； （2）小颖家与学校的距离是_____2600___； （3）小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是多少米？ （4）买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的平均速度是多少？ 【答案】 时间，距离 2600 3400米 90米/分 【解析】 （1）根据自变量和因变量的定义进行判定即可解答； （2）根据图象可知，当时间为0时，距离为2600米，即可解答； （3）根据图象，分别求出小颖想起要去买彩笔时已经走的路程，返回到文具店走的路程，从文具店回到家走的路程，求和即可解答； （4）根据图象，求出小颖从文具店回到家的路程和时间，根据“速度=路程÷时间”即可解答. 【解答】 （1）解：根据题意可得，自变量是时间，因变量是距离. （2）解：根据题意可得，小颖家与学校的距离是2600米. （3）解：由图可得，小颖想起要去买彩笔时，已经走了（米）， 返回到文具店走了（米）， 从文具店回到家走了1800米， 所以小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是（米）. （4）解：由图象可得，小颖从文具店回到家走了1800米，用了分钟， 所以小颖从文具用品店回到家步行的速度是（米/分）.  23.(10分) 【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． （1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ （3）【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 【答案】 见解析 新路CH比原路CA少1米 米 【解析】 （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证. （2）设CA=x千米，则AH=(x-18)千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果. （3）AH为y米，在RtACH和RtBCH中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果. 【解答】 （1）解：， 又， 是同一图形的面积，面积相等， ， . （2）解：设CA为x米，则AB=AC=x米，AH=(x-18)米， ， ， 在RtCHA中，，CH=24米， ， 即， 解得：x=25， （米）， （米）， 新路CH比原路CA少1米. （3）解：由题意设：AH为y米， 又米，BC=18米，AB=21米， 米， ， ， 在RtCHA中，， ， 在RtCHB中，， ， ， 解得：， 的长度为米.  24.(11分) 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线垂直轴于点，直线与直线交于点． （1）直线的解析式为        ，点的坐标为        ； （2）若点在直线上，且与点、构成的三角形的面积是8，求点的坐标； （3）若点是直线上一个动点，当点N与点A、点构成的三角形是等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】 (3,1) 或 (3,7), (3,4) 【解析】 （1）待定系数法求出表达式, 再根据一次函数性质求出点 的坐标; （2）设点 的坐标为 , 分两种情况: 当点 在直线 左侧或当点 在直线 右侧时, 分别求出即可; （3）设 的坐标为 ，先求出 ，再分类讨论求出即可. 【解答】 （1）解：设直线 的解析式为 ，则由题意得： 直线/的解析式为 直线 垂直 轴于点 , 直线 与直线 交于点 . 点 的坐标为 （2）解: 连接 , 如下图, 点 在直线l上， ∴ 设点P的坐标为 当点P在直线n左侧且 时， 解得： 当点 在直线 右侧且 时， 解得： 综上所述，点 的坐标为 或 ； （3）解：∵ 点 是直线 上一个动点， ∴ 设N的坐标为 当点 与点 、点 构成的三角形是等腰三角形时， 当 时， 解得： 或 （不合题意舍去）或 当 时， 解得： 当 时， 解得： 或 或 综上所述，点 的坐标为 ， (3,4).  25.(12分) 探究解题 （1）问题解决：如图1，P是等边内一点，且，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为  6    ，    150   度． （2）类比探究：如图2，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程． （3）迁移运用：如图3，若点P是正方形外一点，，，则         ．（直接写出答案） 【答案】 6， 能，过程见解析 【解析】 （1）利用旋转性质证明 是等边三角形，利用勾股定理证明 是直角三角形即可求解； （2）将 绕点B顺时针旋转 ，使AB与BC重合，连接PP'，利用旋转性质证明 是等腰直角三角形，利用勾股定理证明 是直角三角形，即可求解； （3）将 绕点B顺时针旋转 ，使AB与BC重合，连接PP'，利用旋转性质证明 是等腰直角三角形，推出P在线段AP上，证明 是直角三角形，利用勾股定理即可求出PC的长度. 【解答】 （1）解：如图1，连接 图1 是等边三角形， 是等边三角形， 为 绕点A逆时针旋转所得， 又 旋转后AC与AB重合，PA与 重合， 是等边三角形， 是直角三角形， （2）解：如图2 (2) 解：如图2， 四边形ABCD是正方形， 将 绕点B顺时针旋转 ，使AB与BC重合，连接PP'， 则 是等腰直角三角形， 由勾股定理得： 是直角三角形， （3）解：如图3 图3 四边形ABCD是正方形， 将 绕点B顺时针旋转 ，使AB与BC重合，连接PP' 则 是等腰直角三角形， 在线段AP上， 是直角三角形， 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 期末综合复习卷 (二) 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上，选择题请用2B铅笔填涂。 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题3分 ，共计30分 ）   1.在由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（       ） A.2，3，4 B.5，12，13 C.6，8，11 D.，， 2.下列计算正确的是（       ） A. B. C. D. 3.如图，将正五边形与正方形按如图所示摆放，公共顶点为O．若点A，B，C，D在同一条直线上，则的度数为（       ） A. B. C. D. 4.如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（        ） A.地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B.地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C.地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D.地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 5.如图①，在长方形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（       ） A. B.长方形的周长是 C.当时， D.当时， 6.如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（        ） A.方程的解是 B.方程的解是 C.关于x，y的方程组的解是 D.不等式的解集是 7.已知，当分别取，，，，2026时，所对应值的总和是（     ） A.4052 B.4054 C.4056 D.2026 8.“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形均为正方形．若，，则（ ） A.2 B.3 C.4 D. 9.如图，在菱形中，是边的中点，分别是上的动点，连接，若，则下列结论错误的是（        ） A.的最小值为 B.的最小值为 C.当是的中点时，的最小值为4 D.当是的中点时，的最小值为 10.如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为（       ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计6小题 ，每题3分 ，共计18分 ）   11.函数中，自变量的取值范围是________． 12.已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的值为_______． 13.图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地年月日至日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为，，则________．（填“”，“”，“”） 14.在矩形中，对角线，相交于点，点是的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为_______． 15.如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为________． 16.如图，E、F在正方形边、的延长线上，且，连接、交于点O，点为中点，在结论：①；②；③；④若，则的最小值为中，正确的有________． 3、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 计算： （1）； （2）． 18.（5分）如图，已知四边形是正方形，O是对角线的中点，以为边作一个正五边形，求α的度数． 19.(6分) 某校为了解七、八年级学生对垃圾分类知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试，发现成绩都在60分以上（满分100分），把成绩（x）分成A，B，C，D四个等级：A：，B：，C：，D： 。 通过对成绩进行整理，绘制了如下统计图： 已知八年级B等级测试成绩的数据为：81，82，83，84，85，88，88，89． 根据上述信息，解答下列问题： （1）八年级成绩的中位数是__________； （2）若把每个等级中各个数据用该组的中间值代替（如C等级的中间值为），计算七年级测试成绩的平均数； （3）小明的测试成绩为82分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，请判断小明是__________年级的学生，并说明理由． 20.（6分）已知，，求下列各式的值： （1）①   ② （2）若，，当时，求的值 21.(8分) 如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的面积． 22.(8分) 小颖放学步行从学校回家，当她走了一段路后，想起要去买彩笔做画报，于是原路返回到刚经过的文具用品店，买到彩笔后继续往家走，如图所示为小颖离家的距离（）与所用时间（）的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）自变量是________，因变量是________； （2）小颖家与学校的距离是________； （3）小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是多少米？ （4）买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的平均速度是多少？ 23.(10分) 【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． （1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ （3）【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？  24.(11分) 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线垂直轴于点，直线与直线交于点． （1）直线的解析式为        ，点的坐标为        ； （2）若点在直线上，且与点、构成的三角形的面积是8，求点的坐标； （3）若点是直线上一个动点，当点N与点A、点构成的三角形是等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】 (3,1) 或 (3,7), (3,4) 【解析】 （1）待定系数法求出表达式, 再根据一次函数性质求出点 的坐标; （2）设点 的坐标为 , 分两种情况: 当点 在直线 左侧或当点 在直线 右侧时, 分别求出即可; （3）设 的坐标为 ，先求出 ，再分类讨论求出即可. 【解答】 （1）解：设直线 的解析式为 ，则由题意得： 直线/的解析式为 直线 垂直 轴于点 , 直线 与直线 交于点 . 点 的坐标为 （2）解: 连接 , 如下图, 25.(12分) 探究解题 （1）问题解决：如图1，P是等边内一点，且，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为      ，       度． （2）类比探究：如图2，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程． （3）迁移运用：如图3，若点P是正方形外一点，，，则         ．（直接写出答案） 学科网（北京）股份有限公司 $