精品解析：2025年山东省泰安市岱岳区九年级数学中考三模试题

九年级数学练习题 一、选择题 1. 手机移动支付给生活带来便捷．右图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（ ） A. 收入19.00元 B. 支出10元 C. 支出3.00元 D. 支出22.00元 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 年技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从初期的提升到，给我们的智慧生活“提速”.其中表示每秒传输 位()的数据. 将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出直线，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有张分别印有版《哪吒之魔童闹海》图案的卡片：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后不放回，再从中任意取出张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和谐数”．例如：因为，所以12是“和谐数”．下列各数为“和谐数”的是( ) A. 48 B. 50 C. 52 D. 54 8. 《九章算术》是中国传统数学最重要著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中方程术是其最高的代数成就．书中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”．设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，与正六边形的边分别交于点F、G，则对的圆周角的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 我们规定形如函数叫做“元宝型函数”．已知函数是一个“元宝型函数”，给出以下结论：①图象关于直线对称；②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有三个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数的值可以是__________．（写出一个即可） 12. 设，分别为方程的两个实数根，则______． 13. 如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，则的长度为_________． 14. 如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交和于点P、Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接CF，交于点G、若，则的值为______． 15. 阅读理解：在正方形网格中，格线与格线的交点称为“格点”，各顶点都在格点上的多边形称为“格点多边形”．设小正方形的边长均为1，则“格点多边形”的面积可用公式计算，其中是多边形内部的“格点”数，是多边形边界上的“格点”数，这个公式称为“皮克定理”．如图所示的的正方形网格，，，图中格点多边形的面积是21． 问题解决：已知一个格点多边形的面积为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） 17. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动， 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 36 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 20 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 n 0.0669 【问题解决】 （1）上述表格中，________，________； （2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是________（填序号） （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树?并给出你的理由． 18. 如图，在中，D为上一点，E为的中点，连接，过点A作，交的延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，请添加一个条件，使四边形为菱形． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8，1)，B(0，−3)，反比例函数(x>0)的图象经过点A，动直线x=t(0<t<8)与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N. (1)求k的值； (2)求△BMN面积最大值； (3)若MA⊥AB，求t的值. 20. 电脑是现在工作中的必备工具，与电脑相关的一些衍生产品也应运而生．某公司生产了一种可以在床上使用的电脑桌，下面图①至图④是该公司对这种电脑桌的介绍，图⑤是这种电脑桌调到五挡时的侧面示意图，通过图片信息介绍，小明得到电脑桌面可以调节的角度范围为，桌面宽，调节至0挡时，桌面距床面，连接杆与桌面的连接处点D到桌面点A的距离为，当调节到五挡时连接杆与水平面的夹角为，那么连接杆的长度为多少？ （结果精确到．参考数据：，，，，，） 21. 如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接． （1）求证：； （2）若的半径为6，，求的长． 22. 如图，抛物线对称轴为轴，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点坐标为，点坐标为，是第四象限内的抛物线上一点，直线，与轴分别交于点，点． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：的值为定值； （3）若一次函数（为常数，）的图象经过点，且当，该一次函数对应的函数值始终小于，求点的横坐标的取值范围． 23. 在中，，，． （1）问题发现：如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，交于点．请猜想：① ．②锐角的度数 ． （2）类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，若直线与直线相交于点，当锐角存在时，（1）中的两个结论是否还成立？若成立，请结合图2说明理由； （3）迁移应用：如图3是将绕点按顺时针方向旋转到一定角度得到，当点在直线上方，且时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习题 一、选择题 1. 手机移动支付给生活带来便捷．右图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（ ） A. 收入19.00元 B. 支出10元 C. 支出3.00元 D. 支出22.00元 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：（元），即表示支出3元， 故选：C． 【点睛】本题考查了正负数的意义，掌握有理数的加减运算是解题的关键． 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 年技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从初期的提升到，给我们的智慧生活“提速”.其中表示每秒传输 位()的数据. 将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法：，，n是整数，大于10的数的整数位数减去1即是n的值，据此解答． 【详解】， 故选：B． 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则以及积的乘方法则运算即可求出答案． 【详解】解：（A），故错误； （B），故错误； （C），故错误； （D） ，故D正确； 故选：． 【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则以及积的乘方法则的应用，熟练运用运算法则是解决本题的关键． 5. 如图，小明按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出直线，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角，先证明，得到，再根据三角形的外角的性质和对顶角相等，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：（同位角相等，两直线平行），由题意，得：， ∴， ∵， ∴； 故选D． 6. 如图，有张分别印有版《哪吒之魔童闹海》图案的卡片：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后不放回，再从中任意取出张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为，然后根据概率公式求解即可，熟练掌握概率公式为解题的关键． 【详解】解：画出树状图， 共有种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的结果数为， ∴两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为， 故选：． 7. 如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和谐数”．例如：因为，所以12是“和谐数”．下列各数为“和谐数”的是( ) A. 48 B. 50 C. 52 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解决本题的关键是求出两个偶数的平方差的代数式是多少．设连续两个偶数为、为整数，这两个数的平方差是，根据选项，可得、、、，求出选择符合题意的的值． 【详解】解：设连续两个偶数为、为整数， ， A，，，不符合题意； B，，，不符合题意； C，，，，，，符合题意； D，，，不符合题意． 故选：C． 8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中方程术是其最高的代数成就．书中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”．设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先令在相同时间t内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，再根据题意设未知数，列方程即可． 【详解】解：令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度， 设走路快的人要走步才能追上，根据题意可得， ∴根据题意可列出的方程是， 故选：B． 【点睛】本题考查应用一元一次方程解决数学史问题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． 9. 如图，与正六边形的边分别交于点F、G，则对的圆周角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形内角与外角．首先求得正六边形的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，即， ∴． 故选：C． 10. 我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．已知函数是一个“元宝型函数”，给出以下结论：①图象关于直线对称；②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有三个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程、不等式（组）关系、二次函数的图象性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由图象可知，图象关于直线对称，可判断①；关于x的不等式的解是且，可判断②；结合图象可得，当时，函数的图象与直线有四个交点，当时，函数的图象与直线有两个交点，当时，函数的图象与直线没有交点，即当时，关于x的方程|有四个实数解，可判断③；由图象可知：当时，函数的y值随x值的增大而减小，可判断④． 【详解】解：由图象可知，函数图象与x轴交于和两点， ∴图象关于直线对称， 故①正确； 由图象可知，关于x的不等式的解是且， 故②不正确； 将代入，得， ∴当时，函数的图象与直线有四个交点，当时，函数的图象与直线有两个交点，当时，函数的图象与直线没有交点， ∴当时，关于x的方程有四个实数解，当时，关于x的方程有两个实数解，当时，关于x的方程没有实数解， 故③不正确； 由图象可知，当时，函数的y值随x值的增大而减小； 当时，函数的y值随x值的增大而增大；当时，函数的y值随x值的增大而减小；当时，函数的y值随x值的增大而增大； 故④正确． ∴正确的有①④共2个． 故选：B． 二、填空题 11. 要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数的值可以是__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是关键．根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围，写出一个符合题意的即可． 【详解】解：有意义， 解得， 即的值可以是5（答案为不唯一）． 故答案为：（答案为不唯一）． 12. 设，分别为方程的两个实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系． 由一元二次方程的解得到，再由一元二次方程的根与系数的关系得到，根据即可得解． 【详解】解：依题得：，， ，分别为方程的两个实数根， ， ． 故答案为：． 13. 如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，则的长度为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，由矩形的性质得，由折叠得，因为垂直平分，所以，，可证明四边形是矩形，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， 由折叠得，点D与点A关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交和于点P、Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接CF，交于点G、若，则的值为______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的性质，相似三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．先根据作图得出平分，垂直平分，再根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图得：平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 阅读理解：在正方形网格中，格线与格线的交点称为“格点”，各顶点都在格点上的多边形称为“格点多边形”．设小正方形的边长均为1，则“格点多边形”的面积可用公式计算，其中是多边形内部的“格点”数，是多边形边界上的“格点”数，这个公式称为“皮克定理”．如图所示的的正方形网格，，，图中格点多边形的面积是21． 问题解决：已知一个格点多边形的面积为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 【答案】32 【解析】 【分析】根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 解得， ． 故答案为：32． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立方程组是解题的关键． 三、解答题 16 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，二次根式的混合计算，求特殊角三角函数值，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值和负整数指数幂，再根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动， 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 20 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 n 0.0669 【问题解决】 （1）上述表格中，________，________； （2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是________（填序号） （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树?并给出你的理由． 【答案】（1）3.75，2.0 （2）② （3）这片树叶更可能来自于荔枝，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差的定义，方差越小，形状差别越小，根据树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，即可判断荔枝树叶的长宽比； （3）计算该树叶的长宽比即可判断来自哪颗树． 【小问1详解】 芒果树叶的长宽比中数据从小到大排序处在第5、6位的两个数的平均数为，因此中位数m=3.75； 荔枝树叶的长宽比中数据出现次数最多的是2.0，因此众数n=2.0； 故答案为：3.75，2.0； 【小问2详解】 合理的是②，理由如下：从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的长宽比的方差较小，所以芒果叶形状差别更小；从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，荔枝树叶的长宽比为2，所以荔枝树叶的长约为宽的两倍； 故答案为：②； 【小问3详解】 这片树叶更可能来自荔枝，理由如下： 这片树叶长，宽 ，长宽比大约为2.0， 根据平均数这片树叶可能来自荔枝树． 【点睛】本题考查了统计图中中位数、众数、平均数、方差的意义，看懂统计图表，正确的计算是解决问题的关键． 18. 如图，在中，D为上一点，E为的中点，连接，过点A作，交的延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，请添加一个条件，使四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定及直角三角形斜边上的中线性质． （1）证明，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）添加，先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由菱形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：添加， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8，1)，B(0，−3)，反比例函数(x>0)的图象经过点A，动直线x=t(0<t<8)与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N. (1)求k的值； (2)求△BMN面积的最大值； (3)若MA⊥AB，求t的值. 【答案】（1）k=8；（2）△BMN面积最大值为；（3）. 【解析】 【分析】（1）把点A坐标代入y＝（x＞0），即可求出k的值； （2）先求出直线AB的解析式，设M（t，），N（t，t−3），则MN＝−t＋3，由三角形的面积公式得出△BMN的面积是t的二次函数，即可得出面积的最大值； （3）求出直线AM的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组求出M的坐标，即可得出结果． 【详解】（1）把点A（8，1）代入反比例函数y＝（x＞0）得：1＝， ∴k＝8； （2）设直线AB的解析式为：y＝kx＋b（k≠0）， 根据题意得：， 解得：k＝，b＝−3， ∴直线AB的解析式为：y＝x−3， 设M（t，），则N（t，t−3）， ∴MN＝−t＋3， ∴△BMN的面积S＝（−t＋3）·t＝−t2＋t＋4＝−（t−3）2＋， ∵−＜0， ∴S有最大值， 当t＝3时，△BMN的面积的最大值为； （3）∵MA⊥AB， ∴设直线MA的解析式为：y＝−2x＋c， 把点A（8，1）代入得：1＝−2×8＋c，解得：c＝17， ∴直线AM的解析式为：y＝−2x＋17， 联立，解得： 或 （舍去）， ∴M的坐标为（，16）， ∴t＝． 【点睛】本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、二次函数的最值问题、两条直线垂直的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要确定一次函数的解析式，然后由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组才能得出结果． 20. 电脑是现在工作中的必备工具，与电脑相关的一些衍生产品也应运而生．某公司生产了一种可以在床上使用的电脑桌，下面图①至图④是该公司对这种电脑桌的介绍，图⑤是这种电脑桌调到五挡时的侧面示意图，通过图片信息介绍，小明得到电脑桌面可以调节的角度范围为，桌面宽，调节至0挡时，桌面距床面，连接杆与桌面的连接处点D到桌面点A的距离为，当调节到五挡时连接杆与水平面的夹角为，那么连接杆的长度为多少？ （结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】连接杆的长度约为 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点D作于点H，则．在中，求出，在中，求出即可． 【详解】解：如图，过点D作于点H，则． 在中，，，． 在中，，，． 答：连接杆的长度约为． 21. 如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接． （1）求证：； （2）若的半径为6，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形及正方形与相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解决此题的关键， （1）连接，根据切线的性质得出，再由平行线的性质得出，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明； （2）设与交于点，根据平行线的性质得出，根据，求得，进而勾股定理求得，过点作于点．．，等面积法求得，进而根据为等腰直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 过点作于点F， ∴， 由（1）得， ∴为等腰直角三角形， 故． 22. 如图，抛物线对称轴为轴，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点坐标为，点坐标为，是第四象限内的抛物线上一点，直线，与轴分别交于点，点． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：的值为定值； （3）若一次函数（为常数，）图象经过点，且当，该一次函数对应的函数值始终小于，求点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，得到；得到抛物线的解析式为，把，分别代入解析式解答即可． （2）设点，过点P做轴，垂足为D，利用三角形相似的判定和性质，列比例式解答即可． （3）求出直线经过的定点，联立解析式构造方程组，利用一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：根据抛物线的对称轴为， 故； 故抛物线的解析式为， 把，分别代入解析式得， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 证明：设点， 过点P做轴，垂足为D ∵ P点在第四象限 根据题意，得， ∴， 即 又, ∴， 即 ，是定值． 【小问3详解】 解：， 则一次函数过定点， 设，如下图： 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得：； 当，该一次函数对应的函数值始终小于0，只需要当时， ， 则 当时，， 由图像可得，点的横坐标的取值范围为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，解方程组，一次函数的性质，数形结合思想，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质，一次函数的性质是解题的关键． 23. 在中，，，． （1）问题发现：如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，交于点．请猜想：① ．②锐角的度数 ． （2）类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，若直线与直线相交于点，当锐角存在时，（1）中的两个结论是否还成立？若成立，请结合图2说明理由； （3）迁移应用：如图3是将绕点按顺时针方向旋转到一定角度得到，当点在直线上方，且时，求线段的长． 【答案】（1）①；② （2）成立，见详解 （3） 【解析】 【分析】此题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）①根据旋转的性质和勾股定理即可解答； ②证明，并根据8字形即可解答； （2）同理可知：当锐角存在时，（1）中的两个结论还成立； （3）过点作于，过点作，交的延长线于，证明，则，设，，则，由勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：①由旋转得：，，， ，， ； 故答案为：； ②如图 1，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当锐角存在时，（1）中的两个结论仍成立，理由如下： 如图 2，由旋转得：， 由（1）同理得：， ，， ， ； 【小问3详解】 解： 如图 3，过点作于，过点作，交的延长线于 ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，则， ， ， ， ，， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $