专题01二次根式期末复习讲义 (20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题01二次根式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件，区分最简二次根式、同类二次根式的概念。 2.熟记二次根式的性质，能运用性质对式子进行化简与变形。 3.熟练掌握二次根式的乘、除、加、减运算法则，明确运算公式与运算要求。 4.掌握二次根式混合运算顺序，了解分母有理化的方法及应用。 1.能准确判断代数式是否为二次根式，根据字母取值范围求解自变量取值。 2.提升根式化简能力，规范完成二次根式化简、同类二次根式合并。 3.熟练进行二次根式四则运算、混合运算及分母有理化，提高运算准确率。 4.掌握二次根式化简求值题型的解题思路，学会运用整体思想简化计算。 1.基础题：快速判断二次根式有意义的条件、识别同类二次根式，基础化简零失误。 2.中档题：规范完成二次根式加减乘除运算、分母有理化、常规化简求值，步骤书写完整 3.拓展题：解决含参数取值、根式综合运算、比较根式大小等题型，灵活运用性质解题。 4.规避符号错误、化简不彻底、运算顺序混乱、漏考虑取值范围等易错点，保障得分率。 题型01.二次根式的识别 题型02.求二次根式中的值 题型03.求二次根式中的参数 题型04.二次根式有意义的条件 题型05.利用二次根式的性质化简 题型06.二次根式的乘法 题型07.二次根式的除法 题型08.二次根式的乘除混合运算 题型09.最简二次根式的判断 题型10.化为最简二次根式 题型11.由最简二次根式求参数 题型12.同类二次根式 题型13.二次根式的加减运算 题型14.二次根式的混合运算 题型15.分母有理化 题型16.由字母的值,化简求值 题型17.已知条件式.化简求值 题型18.二次根式的大小比较 题型19.二次根式的应用 题型20.复合二次根式的化简 知识点01:二次根式相关概念 1. 二次根式定义 一般地，形如(a≥0) 的式子叫做二次根式。 形式要求：必须带有二次根号； 取值要求：被开方数 a 是非负数，这是二次根式的核心前提。 2. 根式取值情况（必考表格） 根式形式 成立条件 核心考点说明 有意义 a 0 基础选择题高频 无意义 a 0 负数不能开算术平方根 有意义 a 0 既要非负，又要分母不为 0 有意义 a+10 整体被开方数≥0 拓展：若式子同时包含二次根式、分式、零次幂，需同时满足所有限制条件，取取值范围的公共部分。 3. 代数式的双重非负性（重难点、必考） 且 a（被开方数、根式结果均为非负数）。 典型考法：几个非负数的和为 0，则每一项都为 0。 4. 最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式，称为最简二次根式： (1)被开方数不含分母（分母中不含根号）； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 答题要求：根式运算最终结果必须化为最简二次根式。 5. 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 判定步骤：先化简，再看被开方数是否一致； 应用：只有同类二次根式才能像合并同类项一样进行合并。 知识点02:核心性质｜必背清单 易错提醒：以上性质成立都有取值范围限制，忽略范围直接变形会出错。 易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 知识点03:二次根式的运算 —— 玩转根式四则运算 运算类型 运算法则 标准步骤 踩分提醒 乘法 =（a≥0，b≥0） 相乘合并→整体开方→化为最简 被开方数不能为负 除法 （a≥0,b>0） 根式相除→分母有理化→化简 结果分母严禁带根号 加减法 无固定公式 一化（全最简）二找（同类根式）三并（合并同类） 非同类根式，不能强行合并 知识点04:二次根式的混合运算 1. 运算顺序 与整式运算顺序完全一致： 先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号内。 2. 运算依据 整式的运算法则、运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在二次根式运算中同样适用； 乘法公式（平方差公式、完全平方公式）可直接套用，简化计算。 3. 答题规范 (1)运算过程中及时化简根式； (2)含有分母的式子必须完成分母有理化； (3)最终结果统一化为最简二次根式或整式。 知识点05:分母有理化(重点技能) 分母有理化：是指通过适当的变形，将分母中的根号化去，使分母变为有理数（或整式）的过程。 .知识点06:化简二次根式一般方法 题型01.二次根式的识别 1．下列各式属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 题型02.求二次根式中的值 4．当a＝2时，二次根式的值是________． 5．已知，则________． 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．若求的值． 题型03.求二次根式中的参数 8．已知二次根式是整数，则自然数a的所有可能结果为________． 9．若是整数，则正整数n的最小值为_______． 10．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 题型04.二次根式有意义的条件 11．若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 12．要使式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 13．若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A．3 B．5 C．0 D． 14．在实数范围内，下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型05.利用二次根式的性质化简 15．计算：＝______． 16．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 17．已知 ，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．15 18．按要求求值 (1)已知实数a、b满足，求的值． (2)已知，且，求的值． 题型06.二次根式的乘法 19．若为正整数，且满足，则_____． 20．下列运算：①；②；③；④．（其中），正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 题型07.二次根式的除法 22．计算：__________． 23．如果，那么下面各式正确的是（   ） A． B． C． D． 24．计算： 25．计算： (1)； (2)． 题型08.二次根式的乘除混合运算 26．计算： (1)； (2)． 27．计算： (1) (2)； (3)． 28．化简：． 题型09.最简二次根式的判断 29．下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 30．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 31．下列二次根式：，，，，中，是最简二次根式的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 32．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型10.化为最简二次根式 33．下列根式化简后，被开方数与的被开方数相同的是（    ）． A． B． C． D． 34．若与最简二次根式是同类二次根式，则m的值是（    ） A．14 B．5 C．2 D． 35．已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（     ） A．2 B．3 C．5 D．7 36．计算与化简求值 (1)计算：； (2)先化简再求值：，其中，． 题型11.由最简二次根式求参数 37．若二次根式是最简二次根式，则正整数x的值可以为______．（写出一个即可） 38．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 39．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 40．已知最简二次根式和最简二次根式可以合并，求的值． 题型12.同类二次根式 41．若与最简二次根式能合并，则的值为__________． 42．与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 43．下列各组根式，化简后可以合并的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 44．下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型13.二次根式的加减运算 45．对于实数，，规定一种新运算：，例如，则______． 46．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 47．先化简后计算：，其中． 48．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型14.二次根式的混合运算 49．对于任意实数、，定义新运算“※”：．则的值为______． 50．已知整数n满足，则________． 51．计算：． 52．计算： (1)； (2)； (3)． 53．化简：． 题型15.分母有理化 54．当时，代数式的值是______． 55．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 56．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 57．先化简，再求值：，其中． 58．我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母利用平方差公式就变成了4．请仿照这种方法化简： (1)； (2)利用上面的规律，计算：． 题型16.由字母的值,化简求值 59．若，则的值为_____． 60．当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 61．先化简，再求值： 其中 . 62．已知，，求代数式的值． 题型17.已知条件式.化简求值 63．如果，，那么______． 64．若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 65．计算或化简求值 (1)计算： (2)化简求值：已知，，求代数式的值． 66．先化简、再求值：，其中． 题型18.二次根式的大小比较 67．比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 68．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 69．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 70．观察下列一组等式，解答后面的问题： ， ． (1)化简：________，________（为正整数）； (2)比较大小：________（填“”、“”或“”）； (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：________． 题型19.二次根式的应用 71．已知某物体的质量，体积，则它的密度等于________（参考公式：）． 72．社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（正方形）和健身区（正方形）的面积分别为、，则的长为（   ） A． B． C． D． 73．如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． (1)求原长方形纸片的周长． (2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． (3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 题型20.复合二次根式的化简 74．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 75．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 76．计算：． 77．阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如：． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件，区分最简二次根式、同类二次根式的概念。 2.熟记二次根式的性质，能运用性质对式子进行化简与变形。 3.熟练掌握二次根式的乘、除、加、减运算法则，明确运算公式与运算要求。 4.掌握二次根式混合运算顺序，了解分母有理化的方法及应用。 1.能准确判断代数式是否为二次根式，根据字母取值范围求解自变量取值。 2.提升根式化简能力，规范完成二次根式化简、同类二次根式合并。 3.熟练进行二次根式四则运算、混合运算及分母有理化，提高运算准确率。 4.掌握二次根式化简求值题型的解题思路，学会运用整体思想简化计算。 1.基础题：快速判断二次根式有意义的条件、识别同类二次根式，基础化简零失误。 2.中档题：规范完成二次根式加减乘除运算、分母有理化、常规化简求值，步骤书写完整 3.拓展题：解决含参数取值、根式综合运算、比较根式大小等题型，灵活运用性质解题。 4.规避符号错误、化简不彻底、运算顺序混乱、漏考虑取值范围等易错点，保障得分率。 题型01.二次根式的识别 题型02.求二次根式中的值 题型03.求二次根式中的参数 题型04.二次根式有意义的条件 题型05.利用二次根式的性质化简 题型06.二次根式的乘法 题型07.二次根式的除法 题型08.二次根式的乘除混合运算 题型09.最简二次根式的判断 题型10.化为最简二次根式 题型11.由最简二次根式求参数 题型12.同类二次根式 题型13.二次根式的加减运算 题型14.二次根式的混合运算 题型15.分母有理化 题型16.由字母的值,化简求值 题型17.已知条件式.化简求值 题型18.二次根式的大小比较 题型19.二次根式的应用 题型20.复合二次根式的化简 知识点01:二次根式相关概念 1. 二次根式定义 一般地，形如(a≥0) 的式子叫做二次根式。 形式要求：必须带有二次根号； 取值要求：被开方数 a 是非负数，这是二次根式的核心前提。 2. 根式取值情况（必考表格） 根式形式 成立条件 核心考点说明 有意义 a 0 基础选择题高频 无意义 a 0 负数不能开算术平方根 有意义 a 0 既要非负，又要分母不为 0 有意义 a+10 整体被开方数≥0 拓展：若式子同时包含二次根式、分式、零次幂，需同时满足所有限制条件，取取值范围的公共部分。 3. 代数式的双重非负性（重难点、必考） 且 a（被开方数、根式结果均为非负数）。 典型考法：几个非负数的和为 0，则每一项都为 0。 4. 最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式，称为最简二次根式： (1)被开方数不含分母（分母中不含根号）； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 答题要求：根式运算最终结果必须化为最简二次根式。 5. 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 判定步骤：先化简，再看被开方数是否一致； 应用：只有同类二次根式才能像合并同类项一样进行合并。 知识点02:核心性质｜必背清单 易错提醒：以上性质成立都有取值范围限制，忽略范围直接变形会出错。 易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 知识点03:二次根式的运算 —— 玩转根式四则运算 运算类型 运算法则 标准步骤 踩分提醒 乘法 =（a≥0，b≥0） 相乘合并→整体开方→化为最简 被开方数不能为负 除法 （a≥0,b>0） 根式相除→分母有理化→化简 结果分母严禁带根号 加减法 无固定公式 一化（全最简）二找（同类根式）三并（合并同类） 非同类根式，不能强行合并 知识点04:二次根式的混合运算 1. 运算顺序 与整式运算顺序完全一致： 先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号内。 2. 运算依据 整式的运算法则、运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在二次根式运算中同样适用； 乘法公式（平方差公式、完全平方公式）可直接套用，简化计算。 3. 答题规范 (1)运算过程中及时化简根式； (2)含有分母的式子必须完成分母有理化； (3)最终结果统一化为最简二次根式或整式。 知识点05:分母有理化(重点技能) 分母有理化：是指通过适当的变形，将分母中的根号化去，使分母变为有理数（或整式）的过程。 .知识点06:化简二次根式一般方法 题型01.二次根式的识别 1．下列各式属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，根据定义判断即可．二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数． 【详解】解：A、的被开方数，无意义，不是二次根式； B、的根指数为2，被开方数，满足二次根式的定义； C、的被开方数的符号不确定，不能保证，因此不完全满足二次根式的定义； D、的根指数为3，不是二次根式； 故选：B． 2．下列各式中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A．是非负数，因此是二次根式； 选项B．，因此不是二次根式； 选项C．对任意实数，都有，∴，因此是二次根式； 选项D．，因此是二次根式． 3．在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，，，…， ∴第n 个单项式是， 故选：A． 题型02.求二次根式中的值 4．当a＝2时，二次根式的值是________． 【答案】 【分析】把a的值代入计算即可． 【详解】解：当a＝2时， ． 5．已知，则________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 题型03.求二次根式中的参数 8．已知二次根式是整数，则自然数a的所有可能结果为________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合是整数，得到为不超过的非负完全平方数，计算即可得到自然数的所有可能结果． 【详解】解：二次根式有意义， ， 即， 是自然数，是整数， 为不大于的非负完全平方数， ∵不大于的非负完全平方数为 ∴当时，，符合要求； ∴当 时，，符合要求； ∴当 时，，符合要求； 若 ，则，不是自然数，舍去； ∴自然数a的所有可能结果为． 9．若是整数，则正整数n的最小值为_______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键． 根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的值即可． 【详解】解：∵是整数， ∴一定是一个完全平方数，最小是， 此时的值为． 故答案为：． 10．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 题型04.二次根式有意义的条件 11．若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 12．要使式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：根据题意，得， 解得且， ∴的取值范围是且． 13．若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A．3 B．5 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ∴被开方数满足 解得， 故选项B正确． 14．在实数范围内，下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、在实数范围内，二次根式中被开方数须是非负数，无意义，错误，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 题型05.利用二次根式的性质化简 15．计算：＝______． 【答案】11 【详解】解：． 16．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 【答案】 【分析】由数轴可知：，得到，进而化简代数式即可. 【详解】解：由数轴可知：， ∴ ∴原式 . 17．已知 ，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．15 【答案】B 【分析】设，得，通过平方差公式展开化简，再代入即可求出结果； 【详解】解：设， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， ∴ 解得， 故 18．按要求求值 (1)已知实数a、b满足，求的值． (2)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将方程变形，得到，再根据非负性求出，，即可得到答案； （2）根据题意，得，，即可得到答案． 【详解】（1）解：方程变形，， 即， ， 即， 得． ， ， ， ，， ； （2）解：根据题意，得，． ， ． 题型06.二次根式的乘法 19．若为正整数，且满足，则_____． 【答案】 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简原式，再估算化简后结果的范围，即可得到正整数的值． 【详解】解：. ， ， 不等式两边同时加得 ，即． 为正整数，且满足 ， ， 故答案为． 20．下列运算：①；②；③；④．（其中），正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除法．根据二次根式的乘法法则和除法法则进行计算，然后选择正确选项． 【详解】解：①，原计算错误； ②，原计算正确； ③，原计算错误； ④，原计算错误． 正确的只有②． 故选：B． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型07.二次根式的除法 22．计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 23．如果，那么下面各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的性质和乘除运算，熟练掌握运算法则是关键． 由条件且可知，a和b均为负数．根据平方根的性质，需确保被开方数为非负数，且运算结果符号正确。．逐一分析选项即可． 【详解】解：∵说明a和b同号．进一步说明a和b均为负数． A、 中，和无意义（实数范围内），故选项错误； B、 ，故选项错误； C、 ，故选项正确；     D、 ，故选项错误； 故选：C 24．计算： 【答案】5 【详解】解：原式 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式运用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）原式分别化简各部分，然后再合并即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型08.二次根式的乘除混合运算 26．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．先将非最简二次根式化为最简形式，再根据二次根式的混合运算法则进行运算即可解答． 【详解】（1）解： （2） 27．计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）利用二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可； （2）利用二次根式的乘除法进行运算即可； （3）然后利用平方差公式、二次根式的性质进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 28．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算与分母有理化，解题关键是通过完全平方公式、分母有理化简化式子，逐步计算得出结果． 先将除法转化为乘法，再通过分母有理化化简式子，逐步计算得出结果． 【详解】解：原式 ． 题型09.最简二次根式的判断 29．下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式. 30．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判定，最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式； B、 满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； C、 ，被开方数含分母，不是最简二次根式； D、 ，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式． 31．下列二次根式：，，，，中，是最简二次根式的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，进行判断，即可求解． 【详解】解：是最简二次根式； 的被开方数含有分母，不是最简二次根式； 的被开方数含有小数，不是最简二次根式； 的被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 是最简二次根式， 故最简二次根式为，，一共有2个最简二次根式． 32．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需满足：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D．∵满足最简二次根式的两个条件， ∴是最简二次根式，故此选项符合题意． 题型10.化为最简二次根式 33．下列根式化简后，被开方数与的被开方数相同的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．已经是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不符合要求； B．已经是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不符合要求； C．，化简后被开方数为，与的被开方数相同，符合要求； D．，化简后被开方数为，与的被开方数不同，不符合要求． 34．若与最简二次根式是同类二次根式，则m的值是（    ） A．14 B．5 C．2 D． 【答案】C 【分析】先化简已知二次根式，再根据同类二次根式定义列方程求解即可． 【详解】解：， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 35．已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（     ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】先将化为最简二次根式，再结合同类二次根式“化为最简二次根式后被开方数相同”的定义，将各选项代入中计算化简，判断其被开方数是否与的被开方数一致即可． 【详解】解：，根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，其最简形式的被开方数为， 选项A：当时，，被开方数为，该选项符合题意； 选项B：当时，，被开方数为，该选项不符合题意； 选项C：当时，，被开方数为，该选项不符合题意； 选项D：当时，，被开方数为，该选项不符合题意． 36．计算与化简求值 (1)计算：； (2)先化简再求值：，其中，． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）利用二次根式乘法运算法则化简即可； （2）利用二次根式乘法运算法则化简，进而将已知数据代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 当，时， 原式． 题型11.由最简二次根式求参数 37．若二次根式是最简二次根式，则正整数x的值可以为______．（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义，结合二次根式有意义的条件，可得，且不含能开得尽方的因数，为正整数，选取符合条件的即可． 【详解】解：根据题意，二次根式有意义，则，即． 又是最简二次根式，因此不含能开得尽方的因数，且为正整数． 当时，，是最简二次根式，符合题意． 38．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 39．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义． 两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同．先将化为最简形式，从而确定被开方数为2，即，求解后代入计算即可． 【详解】解：∵，且最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 40．已知最简二次根式和最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】4 【分析】根据题意，两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，则它们的根指数都为2，且被开方数相等，据此列出关于的方程组求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，， 解得，， ∴． 题型12.同类二次根式 41．若与最简二次根式能合并，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念和合并同类二次根式，已是最简二次根式，能合并的最简二次根式为同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：是最简二次根式，且与最简二次根式能合并， 与是同类二次根式，可得， 解得． 42．与最简二次根式是同类二次根式，则为____________． 【答案】6 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，得到根指数与被开方数的关系，求出，的值，最后计算即可. 【详解】解：， ∵是最简二次根式，且与是同类二次根式， ∴，， 解得，， ∴. 43．下列各组根式，化简后可以合并的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，同类二次根式，准确化简二次根式是解题的关键．根据二次根式性质对各组根式化简，然后判断是否为同类二次根式即可得到答案． 【详解】解：A、，，被开方数不同，不是同类二次根式，不可合并，不符合题意，选项错误； B、，，被开方数不同，不是同类二次根式，不可合并，不符合题意，选项错误； C、，，被开方数相同，是同类二次根式，可以合并，符合题意，选项正确； D、，，被开方数不同，不是同类二次根式，不可合并，不符合题意，选项错误． 故选：C． 44．下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，化简各组二次根式后，根据同类二次根式的定义判断． 【详解】解：A、，，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意； B、，所以与不是同类二次根式，故此选不项符合题意； C、，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A 题型13.二次根式的加减运算 45．对于实数，，规定一种新运算：，例如，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二次根式的运算，二次根式的性质，根据新定义把转化为二次根式的运算计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 46．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加减法，根据以上知识逐一分析判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 47．先化简后计算：，其中． 【答案】； 【详解】解： 当时，原式． 48．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可； （3）根据二次根式的混合计算法则求解即可； （4）根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型14.二次根式的混合运算 49．对于任意实数、，定义新运算“※”：．则的值为______． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴ ． 50．已知整数n满足，则________． 【答案】4 【分析】先计算二次根式的乘法，再估算的大小，进而可得的范围，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， 又∵整数n满足， ∴． 51．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 52．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 53．化简：． 【答案】 【分析】先将分子拆分为与的和，再把原分式拆成两个分式的和，最后对每个分式进行分母有理化，合并同类二次根式得到结果． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握拆分分子、分式拆分及分母有理化是解题的关键． 题型15.分母有理化 54．当时，代数式的值是______． 【答案】 【详解】解： 当时，原式 55．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对进行分母有理化化简，再对比化简后与的关系即可. 【详解】解：. 56．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质以及分母有理化规则逐项判断即可． 【详解】解： A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C．该选项化简时仅给分母乘2，分子未同乘2，改变了原分数大小，变形错误，不符合题意； D．该式隐含，初中此类题型默认，则，故选项D正确，符合题意． 57．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先通分计算括号内的分式的减法，然后把除法转化为乘法，分子、分母因式分解后约分化成最简分式后，把x的值代入再分母有理化即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 58．我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母利用平方差公式就变成了4．请仿照这种方法化简： (1)； (2)利用上面的规律，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化； （1）分子、分母乘以，将分母有理化，然后再化简即可； （2）仿照例题分别把加数分母有理化，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解：                   （2）解：          题型16.由字母的值,化简求值 59．若，则的值为_____． 【答案】 【分析】先对进行分母有理化，再整理得到关于的降次关系式，将所求多项式分组变形，利用降次关系式代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 60．当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对进行分母有理化，确定的具体值与正负性．然后对代数式中的二次根式里的多项式和分母的多项式分别进行因式分解，再根据的正负性去掉二次根式的符号，再对化简后的代数式进行约分，最后代入的值计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 61．先化简，再求值： 其中 . 【答案】， 【详解】解 ：原式 ， 将代入得， 原式 62．已知，，求代数式的值． 【答案】15 【分析】先计算，，再把变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 题型17.已知条件式.化简求值 63．如果，，那么______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后将式子的值代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 64．若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题先根据已知等式变形得到，再对所求多项式降次变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 两边平方得 展开得 整理得，等式两边同除以得 ∴ = 65．计算或化简求值 (1)计算： (2)化简求值：已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵，， ∴， ∴． 66．先化简、再求值：，其中． 【答案】； 【分析】原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 题型18.二次根式的大小比较 67．比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】利用平方法以及作差法比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 68．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 69．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 70．观察下列一组等式，解答后面的问题： ， ． (1)化简：________，________（为正整数）； (2)比较大小：________（填“”、“”或“”）； (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，分子分母分别乘以，即可求解； （2）利用分子有理化，再比较大小，即可求解； （3）根据题意，原式可变形为，即可求解． 【详解】（1）解：； ； （2）解：； ； ∵， ∴， ∴； （3）解：原式 . 题型19.二次根式的应用 71．已知某物体的质量，体积，则它的密度等于________（参考公式：）． 【答案】 【分析】先根据已知公式推导出密度的表达式，再代入和的值，利用二次根式的除法法则化简计算即可得到结果． 【详解】解：由公式 可得 ，将，代入得： ． 72．社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（正方形）和健身区（正方形）的面积分别为、，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用算术平方根求出正方形，正方形的边长，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为，正方形的面积为 ∴正方形，正方形的边长分别为，， ∴． 73．如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． (1)求原长方形纸片的周长． (2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． (3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)阴影部分的长为，宽为，面积为6 (3)不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片．理由见解析 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方，结合正方形的面积即可计算正方形纸片A的边长，正方形纸片B的边长，再得出原长方形纸片的长，宽，即可作答； （2）先找出图①中阴影部分的长和宽，再结合面积公式列式计算，即可作答． （3）先计算，则，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，裁出的正方形纸片A的边长为； 裁出的正方形纸片B的边长为， 则原长方形纸片的长为，宽为， ∴周长为. （2）解：阴影部分的长正方形纸片A的边长， 即阴影部分的长为， 宽为 ∴阴影部分的宽为， ∴阴影部分的面积． （3）解：不能裁出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 题型20.复合二次根式的化简 74．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 【答案】 【分析】将被开方数变形凑成完全平方公式的形式，再利用二次根式的性质化简即可. 【详解】解： . 75．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 76．计算：． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行简便运算. 【详解】设原式， 则． ， ∴原式． 【点睛】本题考查了复合二次根式的化简，解题的关键熟练掌握二次根式的运算法则和完全平方公式． 77．阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如：． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查利用完全平方公式与二次根式的性质化简复合二次根式，解题关键是将被开方数凑成完全平方式，最后根据根式结果的非负性去掉绝对值符号． （1）将被开方数凑成的形式，再开方化简； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，开方后合并同类二次根式计算结果． 【详解】（1）解：； （2）原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $