专题08正方形性质与判定期末复习讲义(18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题08正方形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解正方形的定义，理清正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的从属关系与联系区别。 2.熟练掌握正方形的全部性质，明确其兼具矩形、菱形的所有特征。 3.熟记正方形的多种判定方法，理清不同判定路径的逻辑顺序。 4.掌握正方形周长、面积计算公式，识记图形衍生结论，梳理整章特殊四边形知识体系。 1.能运用正方形性质开展线段、角度、周长、面积的计算与几何推理。 2.结合题干条件，灵活选择判定定理，规范完成正方形的证明书写。 3.能辨析各类特殊四边形的性质与判定，提升图形识别、对比分析能力。 4.综合运用平行四边形、矩形、菱形、正方形知识，解决复合型几何问题，强化逻辑推理与数形结合思维。 1.精准完成概念辨析、图形性质判断类选择、填空题，守住基础分值。 2.熟练解答正方形基础计算、简单证明题型，保证解题准确率与步骤规范。 3.攻克正方形与三角形全等、勾股定理结合的中档综合题，拿全步骤分。 4.掌握正方形折叠、动点、探究类压轴题型的解题思路，提升难题得分能力。 题型01.正方形性质理解 题型02.正方形性质求角度 题型03.正方形性质求线段长 题型04.正方形性质求面积 题型05.正方形中的折叠问题 题型06.正方形性质证明 题型07.正方形判定定理理解 题型08.添条件使四边形是正方形 题型09.证明四边形是正方形 题型10.正方形性质与判定求角度 题型11.正方形性质与判定求线段长 题型12.正方形性质与判定求面积 题型13.正方形性质与判定证明 题型14.正方形中的动点问题. 题型15.正方形中的最值问题 题型16.正方形与坐标系综合 题型17.正方形多结论判断题 题型18.正方形中的旋转问题 知识点01:正方形的定义 1.三种等价定义（课本核心） 定义 图示 从平行四边形出发：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 从矩形出发：一组邻边相等的矩形是正方形。 从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形。 2. 从属关系（重中之重） 正方形是最特殊的平行四边形 它同时是：特殊的矩形 + 特殊的菱形 + 特殊的平行四边形 层级关系： 四边形 → 平行四边形 → 矩形、菱形 → 正方形 一句话总结： 矩形中邻边相等就是正方形；菱形中有一个直角就是正方形。 知识点02:正方形的性质（最全、必考） 类别 性质描述 几何语言 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03:正方形周长与面积 周长：C=4a（a为边长） 面积两种公式 S=a2（边长平方） S=对角线 ²（对角线乘积一半） 知识点04:判定四种思路（考试实用） 知识点05:四种特殊四边形性质对比表 图形 边 角 对角线 对称轴数量 平行四边形 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 互相平分 0 条 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分、相等 2 条 菱形 四条边都相等 对角相等，邻角互补 互相平分、垂直，平分一组对角 2 条 正方形 四条边相等，对边平行 四个角都是直角 互相平分、相等、垂直，平分一组对角 4条 知识点06:期末必考几何模型（条件 + 结论 + 解题思路） 模型 1：对角线 45° 基础模型 模型条件：连接正方形任意一条对角线 核心结论：对角线与正方形边的夹角为45，原图形被分为两个全等的等腰直角三角形 解题思路：利用45角快速计算角度、证明等腰三角形、推导线段相等。 模型 2：双对角线分割模型 模型条件：画出正方形两条对角线，交于一点 核心结论：分成四个全等的等腰直角三角形，所有锐角均为\(45^\circ\)，对角线的一半长度全部相等 解题思路：直接证明三角形全等，转化线段长度，求解面积比例问题。 模型 3：一线三垂直全等模型（大题高频） 模型条件：过正方形一个顶点作一条直线，另外两个顶点向该直线作垂线 核心结论：构造出两组全等直角三角形（判定：AAS/ASA），存在固定线段和差关系 解题思路：利用同角的余角相等倒角，结合正方形边长相等证明全等，进而求解线段长度、证明线段关系。 模型 4：半角 45° 模型（压轴题核心） 模型条件：在正方形内部，从一个顶点引出夹角为45的两条线段，分别交对边于两点 核心结论：① 存在多组全等三角形；② 交点间线段长度等于两条拆分线段之和；③ 对应小三角形周长等于正方形边长的 2 倍 解题思路：主流解法为旋转法，将三角形绕正方形顶点旋转90，转化线段后证全等，多用于线段证明、周长计算、最值探究。 模型 5：折叠模型（填空 / 计算压轴） 模型条件：沿正方形内任意一条直线折叠图形 核心结论：① 折叠前后对应边、对应角完全相等；② 折叠后易形成等腰三角形、直角三角形 解题步骤：1. 设未知线段长为x；2. 根据折叠性质等量代换线段；3. 在直角三角形中利用勾股定理列方程求解；4. 计算边长、面积、角度。 知识点07:高频易错点汇总 1.对称轴区分：正方形 4 条对称轴，矩形、菱形仅 2 条，易计数出错； 2.判定逻辑：证明正方形不可跳步，优先根据已知图形（平行四边形 / 矩形 / 菱形）选择对应判定； 3.公式使用：正方形面积两个公式灵活选用，已知边长用a2，已知对角线用d2； 4.概念混淆：对角线平分一组对角是菱形、正方形独有性质，矩形、普通平行四边形不具备。 题型01.正方形性质理解 1．正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】C 【详解】解：平行四边形的性质为：对边相等，对角相等，对角线互相平分，正方形也是平行四边形，这些性质正方形都具备， 选项A，B，D都是正方形和平行四边形都具有的性质，不符合题意； 正方形的对角线互相垂直相等且平分，而一般平行四边形的对角线仅互相平分，不一定垂直， 选项C，是正方形具有，而平行四边形不一定具有的性质，符合题意． 2．如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据正方形性质得出，，根据等边三角形性质得出，，推出，，根据等腰三角形性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 3．如图，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格中的度数、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、角的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 如图：先判定可得，进而得到，由正方形的性质可得，然后求和即可解答． 【详解】解：如图： 根据题意和图形可知可看作两个全等矩形的对角线， ∴， 由图可知， ∴ ∴ ， ∴， ∵可以看作是正方形对角线和边构成的角， ∴ ∴． 故选B． 题型02.正方形性质求角度 4．如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 【答案】 【分析】根据题意利用证明即可． 【详解】解：在正方形中，，， ∴在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据正五边形的性质求出，然后由正方形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵正方形， ∴， ∴． 6．如图，正方形的对角线是菱形的一边，菱形的对角线交正方形的边于点P，求的度数． 【答案】 【分析】先根据正方形得到，，再由菱形得到，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线， ，，       四边形是菱形，是对角线， ，       ． 题型03.正方形性质求线段长 7．如图，正方形的边长是2，E是边上一点，连接，平分交于点，连接．若，则的长度是___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到，，设，则，过点F作交于G，证明，得到，，证明，得到，则，根据勾股定理求出x的值，即可求出的长度． 【详解】解：∵正方形的边长是2， ∴，， 设，则， 过点F作交于G， ∵平分交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 8．如图，在边长为6的正方形中，E，F分别为边，的中点，连接，，点G，H分别为，的中点，连接，则的长为（    ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】连接并延长交于M，连接，推出，由等量关系得出，即可得到解． 【详解】解：连接并延长交于M，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∵G为的中点， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴，， ∴ ∵点H为的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴． 9．如图，正方形中，点、分别是、边上一点，且，连接、相交于点． (1)求证：； (2)连接，延长交的延长线于点，若点是的中点，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）利用“”证明即可； （2）结合（1）证明，进而证明，再证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即可获得答案． 【详解】（1）略． （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ， ， ， 点是的中点， ， ，， ， ， ∴， 在中，， ． 题型04.正方形性质求面积 10．如图，正方形的面积是，E，F，G，H分别是正方形四条边上的点，，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】先确定正方形的边长，再确定，得到的面积，再用总面积减四个直角三角形的面积即可． 【详解】解：正方形的面积是， 正方形的边长为， ， ， 又， 所以， 又， ， 则四边形的面积为． 11．如图，在直线上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点分别是斜放正方形相邻两边的中点，正放的两个正方形面积分别为3和4．则斜放正方形的面积为（     ） A．5 B．20 C．28 D．7 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得出直角，利用全等三角形的判定和性质得出相等的边，然后利用勾股定理，结合已知求出斜放正方形的边长，即可求解． 【详解】解：如图所示，标记相关点， ∵正方形的四个角都是直角， ∴，， ∴， ∴， 又∵点分别是斜放正方形相邻两边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵正放的两个正方形面积分别为3和4， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得， ∴斜放的正方形边长为， ∴． 12．如图，是正方形的对角线上的两点，且． (1)求证：； (2)若，则四边形的面积是___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可证明，再证明，据此结合全等三角形的判定定理可证明结论； （2）连接交于点O，利用正方形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长，可证明，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴； 由（1）得， ∴， ∴， ∴ ． 题型05.正方形中的折叠问题 13．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【答案】 【分析】利用矩形和折叠的性质可得，，设，则，在中，根据勾股定理可得；连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：当与重合时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 如图，连接， 当四边形为正方形时，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 14．如图，将一张正方形纸片的顶点A折叠至边上的E点，折痕为，若折痕比边长长2，，则正方形的边长为（   ） A．20 B．22 C．24 D．25 【答案】C 【分析】先过点作于点，利用三角形全等的判定得到，从而求出，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由正方形的性质得，，， ，， 由折叠得到， ， 又， ， ∴，又， ， ∴． 在中，，， 由勾股定理得， 解得，即正方形的边长为24． 15．【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 【答案】（1）9；（2）见解析；（3）补全图形见解析， 【分析】（1）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． （2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质证出，由模型呈现知，，则可得出结论； （3）连接并延长使得，利用可证，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明，进而可证明，是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ，， 过点F作于P，连接， 则四边形是矩形， ，， 由翻折知，，则， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：9； （2）证明：如图，连接， 正方形是轴对称图形，F为对角线上一点， ，， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由模型呈现知，， ， ； （3）解：根据题意补全图形如图所示： 连接并延长使得， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ， ，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形的性质可知，， ， ，，， 则， 是等腰直角三角形， ∵， ∴，则也是等腰直角三角形，则， ． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型06.正方形性质证明 16．如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】由，可知，利用三角形外角和定理，得到，则，又由，即可求解． 【详解】解：如图， 连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．如图，在正方形中，为对角线上一点．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正方形的性质求出的度数，再利用三角形外角的性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴． 18．如图，在正方形中，连接，点是上一点，连接交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：取中点，连接， ∵正方形， ∴，， ∴根据直角三角形斜边中线性质可得， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴． 19．如图，在正方形中，E为边上一点，连接，作交的延长线于点F，作交于点G，过点G作交于点H，延长交的延长线于点M． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； (3)结论：． 证明：如图，过点A作的垂线，过点F作的垂线，两条垂线交于点P，连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 由可知，即 ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型07.正方形判定定理理解 20．能判定一个四边形是正方形的是（    ） A．对角线互相垂直且平分 B．对角线互相垂直且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．对角线相等且平分 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形． 根据正方形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：A．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，但菱形对角线不一定相等，无法确定是正方形； B．对角线互相垂直且相等的四边形，未强调“平分”，无法保证四边相等或四角为直角，不一定是正方形； C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； D．对角线相等且平分的四边形是矩形，但矩形不一定是正方形； 故选：C． 21．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别平行；b对角线互相平分；c对角线互相垂直；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：．你认为能得到正方形的是______．（填写你认为正确的序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了正方形的判定，根据对角线互相平分，垂直且相等的四边形正方形，判断即可． 【详解】∵两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形； ∵一个角是直角， ∴平行四边形变成矩形； ∴对角线相等且互相平分， ∵对角线互相垂直， ∴对角线互相平分，垂直且相等， 故四边形是正方形， 故①正确； ∵对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形； ∵一个角是直角， ∴平行四边形变成矩形； ∴对角线相等且互相平分， ∵对角线互相垂直， ∴对角线互相平分，垂直且相等， 故四边形是正方形， 故②正确； 组合③只能得到对角线互相平分，垂直，无法得证对角线相等，故错误， 故答案为：①②． 22．在四边形中，给出下列四个条件： ①四个内角都相等，且有一组邻边相等； ②四边都相等，且有一个内角是直角； ③对角线互相垂直平分且相等； ④对角线相等，且每一条对角线平分一组对角． 能判定这个四边形为正方形的条件的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据正方形的判定进行判断即可． 【详解】解：①四个内角都相等，且有一组邻边相等的四边形，符合题意， ②四边都相等，且有一个内角是直角的四边形是正方形，符合题意， ③对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，符合题意， ④对角线相等，且每一条对角线平分一组对角的四边形是正方形， 能判定这个四边形为正方形的条件是①②③④， 故选：D 【点睛】此题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 题型08.添条件使四边形是正方形 23．在四边形中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形的判定，根据矩形的判定性质得出四边形是矩形是解决问题的关键．一组邻边相等时矩形为正方形．对角线垂直的矩形是正方形． 根据四边形中，，得出四边形是矩形，进而利用正方形的判定定理得出需要添加的条件．一组邻边相等时矩形为正方形． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是矩形， 当一组邻边相等时，矩形为正方形，这个条件可以是：． 故选：A． 24．如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，．如果_____，那么四边形为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意可得四边形是矩形，所以添加，进而可得四边形为正方形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 所以添加条件：，则四边形是正方形． 25．在平行四边形中，．添加下列一个条件，使得四边形为正方形，则添加的条件可以是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】先根据已知条件得出平行四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵在平行四边形中， ∴四边形是菱形． A选项，菱形本身对角线互相垂直，因此添加不能判定四边形是正方形，不符合要求． B选项，对角线相等的菱形是正方形，因此添加可判定菱形是正方形，符合要求． C选项，平行四边形本身对角相等，因此添加不能判定四边形是正方形，不符合要求． D选项，菱形本身对角线平分内角，因此添加平分不能判定四边形是正方形，不符合要求． 26．如图，在四边形中，，对角线平分，是上一点，过点分别作交于点，交于点． (1)求证：； (2)连接．当与满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)时，四边形是正方形，理由见解析． 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）先证明四边形是菱形，再根据对角线相等的菱形是正方形，添加条件即可. 【详解】（1）解：证明：平分， ， ，， ， ； （2）解：时，四边形是正方形， 理由：，， 四边形是平行四边形，， ， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形． 题型09.证明四边形是正方形 27．如图，在平行四边形中，F是对角线的交点，E是边的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形； (3)若且，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形性质，菱形以及正方形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理是解题关键． （1）利用三角形中位线定理以及其性质判断得出即可； （2）利用菱形的判定方法得出即可； （3）利用正方形的判定方法得出即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴点为的中点， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴； （2）证明：根据解析（1）可知：为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形是菱形； （3）证明：∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴根据解析（2）可知，当时，四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 28．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，，垂足分别为．延长至点，使．连接． (1)求证：． (2)当和满足什么数量关系时四边形是正方形？并说明理由． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴； (2)当时，四边形是正方形；理由如下： 证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 则当时，， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，推出，进而利用即可证得结论； （2）易证四边形是矩形，根据全等三角形的性质和平行四边形的性质可得，于是可得当时四边形是正方形． 【详解】（1）略. （2）略. 29．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，，连接，，，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】由菱形的性质得，，，结合，得出，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，再根据对角线相等且垂直，可得四边形是正方形． 【详解】证明：四边形是菱形， ，，， ， ，即， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形． 题型10.正方形性质与判定求角度 30．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 31．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 32．在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）①由菱形性质得到，由等腰三角形性质得到．从而有．由等量代换得到，从而可证； ②由全等的性质得出，由菱形的性质得出，从而有，最后有等量代换即可得到； （2）由菱形的性质可求出，从而得到为等边三角形，得到，从而可证结论； （3）证明四边形是正方形，得到，同（1）可证，得到，进而得到为等腰直角三角形，从而得到结论． 【详解】（1）证明∶①如图， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，即． ∴； ②∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴．即． （2）解：． 理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 由（1）知：， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下： 如图， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． ∴， ∴． ∵， ∴在中，． ∵． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用相关性质定理和判定定理是解题的关键． 题型11.正方形性质与判定求线段长 33．如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为______． 【答案】 【分析】如图，过作于，于，则四边形是正方形，证明，则，，即，解得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即，解得，（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 34．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形为正方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连接，依据正方形的对称性可知， 则，由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长. 【详解】： 连接，      ∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边， ∴， ， ∴四边形为正方形， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴与关于对称， ∴， ∴， ∴有最小值为， 故选： B． 35．如图，在中，，是的中点，，分别是，上的点，且，． (1)求证：． (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，由推出，再结合是中点得到，又因、得到，依据判定定理即可证得． （2）先由、且，判定四边形为矩形，结合得到，进而判定四边形为正方形，即；再由、可知为等腰直角三角形，故，结合可判定为等腰直角三角形，即；已知，是中点得，在等腰中，由勾股定理求得，因此． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，， 由得：， ∴四边形是正方形， ，是的中点， ． ∵，， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ， ． 题型12.正方形性质与判定求面积 36．如图，若，平分，，则四边形的面积是_____ ． 【答案】8 【分析】作于点，作于点，证得，利用勾股定理求得正方形的边长，即可求得面积． 【详解】解：如图，作于点，作于点， ， ． ， ． ∵平分， ． ， ， ． ， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形． ， ， ∴四边形的面积等于正方形． 设正方形的边长为，， 由勾股定理可知：， ， ∴正方形的面积等于8， ∴四边形的面积等于8． 37．如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质．首先正方形的性质和全等三角形的判定与性质得出，即阴影部分为矩形，设正方形的边长为，利用勾股定理求出的值，即可得出的值，同理求得，则阴影部分为正方形，求出面积即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 又∵，， ∴， ∴， ， 同理可知：， ∴阴影部分是矩形， 在中，由勾股定理得， 由面积公式得，即， 得， 同理可得：， 在中，由勾股定理得， 则， 同理可得：， ∴阴影部分是正方形， 图中阴影部分的面积与正方形的面积之比． 故选：D． 38．综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 【答案】（1）正方形；（2）①仍然成立，理由见解析，②；（3） 【分析】（1）首先得到四边形是矩形，然后由即可证明； （2）①如图所示，过点P作交于点M，交于点N，首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的性质证明出，得到，即可证明四边形是正方形； ②首先求出，得到正方形面积然后根据当时，最短，当点P和点A或点C重合时，最长，进而求解即可； （3）由正方形得到，然后由得到，然后求出，即可得到． 【详解】（1）∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∵四边形是正方形，点在对角线的中点处 ∴ ∴四边形是正方形； （2）①仍然成立，理由如下： 如图所示，过点P作交于点M，交于点N ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴， ∴ ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是正方形； ②∵在边长为10的正方形中 ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴正方形面积 ∴当时，最短 ∴此时 ∴正方形面积的最小值为； 当点P和点A或点C重合时，最长 ∴此时 ∴正方形面积的最大值为； ∴四边形面积的取值范围为； （3）∵四边形是正方形，是对角线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 题型13.正方形性质与判定证明 39．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，证明是解题的关键． 根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到，，如图所示，过点作于点，于点，可证矩形是正方形，矩形是正方形，从而得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为： ． 40．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以、为邻边作矩形，连接．在下列结论中：矩形是正方形；；平分；．其中正确的结论有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，过作于点, 过作于点，根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故正确；根据正方形的性质得到，，推出，得到，求得，故错误；当时，点与点重合，所以不一定等于，故错误；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点, 过作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形，故正确； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴平分，故正确； ∴，故错误； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故错误； 综上可得：正确； 故选：． 41．如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据，，可以证明，从而得出，由此即可得出结论； （2）连接、，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，再根据正方形对角线相等和菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 菱形为正方形． （2）解：连接、，如图所示：   于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ， 四边形为正方形， ∴， 正方形的面积． 题型14.正方形中的动点问题. 42．如图，正方形的边长为，点在边上运动，点在边上运动，运动过程中的长度保持不变，且．若是的中点，是边上的动点，则的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】作点关于的对称点，连接、，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据轴对称的性质可得，，得出当点、、、在同一条直线上时，的值最小，此时取最小值，利用勾股定理求出，进而求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、， ∵正方形的边长为， ∴，， ∵是的中点，， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴当点、、、在同一条直线上时，的值最小，此时取最小值， ∵， ∴， ∴, ∴的最小值为． 43．如图，在正方形中，E是边的中点，F是边上的一个动点，连接．若，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】作点E关于的对称点Q，连接，则，可得当点B，F，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点Q，连接，则， ∴， ∴当点B，F，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在正方形中，∵， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 44．如图，正方形的边长为，点在边上，且，点是对角线上一动点，则线段的最小值为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【分析】连接、，根据对称性可得，当、、在一条直线上时，最小，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接、． 四边形是正方形， 、关于对称， ， ， 当、、在一条直线上时，最小． 在中，， ． 45．如图，点为正方形内或边上一动点，，为的中点，分别连接，，则下列结论错误的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的面积最大值为 【答案】B 【分析】取的中点，连接，，根据点的轨迹及两点之间线段最短判断A选项；利用三角形中位线定理及勾股定理求出的最小值，从而判断B选项；当与重合时，分别计算，的值判断C选项；根据三角形面积公式及点位置判断D选项． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， 四边形为正方形，， ，，， ， ， ， 点在以为圆心，半径为的圆弧上， ， 当，，在同一条直线上时，最小，此时， A选项结论正确，不符合题意； 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， ， 当，，在同一条直线上时，最小， 此时，即的最小值为， B选项结论错误，符合题意； 当与重合时，，， 此时和均取最大值，即和均取最大值， ，的最大值为， C选项结论正确，不符合题意； ， 当取得最大值时，取最大值， 当点到的距离最大时，取最大值，当与重合时，点到的距离最大时，最大值为， 的面积最大值为， D选项结论正确，不符合题意． 46．如图，正方形中，点E为线段边上一动点（，E不与D重合），其中，点B关于直线的对称点为F，连接，连接交直线于点G，连接． (1)补全图形，求的度数（用含α的式子表示） (2)猜想和的数量关系，并证明． (3)若直接写出的取值范围． 【答案】(1)补图如图 (2)， 证明：如图， 在正方形中，， 作于点M，交于N， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 根据（1）可得， 根据对称可得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 在中，，即，则， ∴； (3) 【分析】（1）先画出图形，再根据对称的性质得，然后根据得出答案； （2）在正方形中，，作于点M，交于N，证明，得出．根据（1）可得，根据对称可得，则，证明，则，得出，即可得，．在中，，即可得； （3）连接，取中点，连接，根据，得出，则，证明，得出，求出当点在点时，当点在中点时，的值即可解答． 【详解】（1）解：如图所示； ∵点B关于直线的对称点为F， ∴， ∴； （2）略 （3）解：连接，取中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 为中点， ∴， ∵，， ∴当点三点共线，即点在点时，最大，此时， ∵，为定值， ∴当最小时，最小，此时点在中点， 过点作，过点作， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ∴的取值范围为． 题型15.正方形中的最值问题. 47．如图，在正方形中，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，，在点，运动的过程中，面积的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】利用可证明出，得到，进而可得到是等腰直角三角形，由的最小值是到的距离，即可求得的最小值，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 当时，最小，此时， ∴面积的最小值是． 48．如图，正方形的边长为是边上的一动点，以为边向左作正方形，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到，使，连接，，证明，得，根据，，得是线段的垂直平分线，则，由此得，因此当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此得当点，，共线时，为最小，最小值为线的长，继而得的最小值为线段的长，然后在中，由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：延长到，使，连接，，如图所示: ∵四边形是正方形，且边长为3， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长， ∴的最小值为线段的长， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的最小值是， 49．如图，在正方形中，，点E为的中点，点F为边一动点，将沿翻折得到，连接，则线段的长度的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，可得，由可得当点在线段上时，线段的长度最小，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ， 点为的中点 由折叠的性质可知： ∵， 则 ∴当点在线段上时，线段的长度最小 在中，由勾股定理得： 线段的长度的最小值为． 50．如图，正方形的面积为49，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为_________． 【答案】7 【分析】根据正方形的性质可证得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：连接，与交于点F． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的和最小值为的长， ∵正方形的面积为49， ∴． 又∵是等边三角形， ∴． ∴所求最小值为7． 题型16.正方形与坐标系综合. 51．如图，在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，点O为坐标原点，已知B点横坐标为，则A点坐标为______ ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是证明 过点A，B，作轴，轴于点D，E，证明，根据勾股定理得，，进而可得A点坐标． 【详解】解：如图，过点A，B，作轴，轴于点D，E， ， 在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形， ，， ， ， ，， 点横坐标为， ， ， 点坐标为， 故答案为： 52．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，点，在第一象限内．若点的坐标为，正方形的面积为5，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，勾股定理，过点作轴于，根据题意可得，由正方形的性质得到，则由勾股定理可得，证明，得到，则，据此可得． 【详解】解：如图所示，过点作轴于， ∵点的坐标为， ， ∵正方形的面积为 5 ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 53．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且，点D的纵坐标为，则正方形的面积是(     ) A．4 B．9 C．13 D．5 【答案】D 【分析】作轴于点E，证明，推出，再利用勾股定理解即可． 【详解】解：如图，作轴于点E， ，点D的纵坐标为， ，， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， 又，， ， ， ， 即正方形的面积是5， 54．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标； ②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，求证：平分． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质求解即可； ②在上取点P，使得，证明即可； （2）过点N分别作轴于点H，于点Q，连接，先证明，得到，然后证明，得到，再计算的长即可； （3）延长到点A，使得，连接，先证明，再证明，得到，进一步推得，然后过点M作于点P，即可逐步证明． 【详解】（1）解：①， ， 四边形是正方形， 轴， 点C的坐标是； ②证明：在上取点P，使得， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点N分别作轴于点H，于点Q，连接， 由（1）知， 又 四边形是正方形 ， ，， 四边形是平行四边形， ， 点P的坐标为； （3）证明：如图，延长到点A，使得，连接， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过点M作于点P， ， ， ， ， 由（1）知， 又， ， 即平分． 题型17.正方形多结论判断题 55．如图，在正方形中，点M、P、Q分别在边、、上，连接、交于一点，且，是延长线上一点，连接，，，，下列结论： ①； ②若M为中点，则P一定是中点； ③； ④若平分，则平分． 其中正确的结论是__________（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【分析】该题为正方形中的十字模型问题，找到对应的全等三角形，根据条件求解即可， ①过点M作，构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明即可； ②根据图形，由于点M，P，Q均为动点，找到反例即可； ③根据平行线之间的距离处处相等，即可得到结果； ④根据图形，由于点M，P，Q均为动点，找到反例即可． 【详解】解：如图，过点M作，交于点E， 在正方形中，，，， 又， ∴四边形是矩形，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，①正确； 当M为中点时，∵， 显然，由于点Q的位置不确定，因此点P的位置也不确定， ∴②错误； ∵， ∴，③正确； 当平分时，点P的位置固定，即为定三角形，且， ∵在正方形中，， ∴， 又， ∴若想要平分，则， 则， ∴， 由于点M和点Q的位置不固定，显然不满足要求，④错误． 56．如图，在正方形中，，点O是对角线与的交点，过点O作射线，分别交 ， 于点E，F 且，有下列结论∶ ①；②；③若点K为线段上一点，则的最小值为2；④四边形的面积为1； 其中正确的是_____________(填序号) 【答案】 ①②④ 【分析】根据正方形的性质可得，，，结合利用同角的余角相等可得，依据“”可判定和全等，进而判断①；由全等三角形的性质可得，结合正方形边长相等可推导，进而判断②；利用割补法将四边形的面积转化为的面积，结合正方形面积公式计算可判断④；在和中利用勾股定理及全等性质推导与的数量关系，进而判断⑤；根据两点之间线段最短可知的最小值为的长，计算长度即可判断③ ． 【详解】解：①∵四边形为正方形，对角线相交于点， ， 即， ， ， ， ， 在和中， ， ，故结论①正确； ②由①的结论正确得：， ， ∵四边形为正方形， ， ， 即，故结论②正确； ④由①的结论正确得：， ， ， ∵四边形为正方形， ， ，故结论④正确； ⑤由①的结论正确得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 由②得， ， 即， ，故结论⑤不正确； ③∵为线段上一点， 当点三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 在中，， ， ， 的最小值为，故结论③不正确； 综上所述：正确的结论是①②④． 57．如图，已知正方形的边长为是对角线上一点，于点于点，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为；③的最小值为；④．其中正确结论的序号为（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①证明是等腰直角三角形，则，即可判断； ②先证明是等腰直角三角形，再根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，则四边形的周长，即可判断； ③证明，则，根据矩形对角线相等得，当时，垂线段最短，即可判断； ④证明，得到，进而求解． 【详解】解：连接，如图所示： ①∵正方形的边长为是对角线上一点， ， 又， ， 为等腰直角三角形， ∴，故①正确； ②由①证明过程，同理得是等腰直角三角形， ， ， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长，故②正确； ③∵四边形为矩形， ， ∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ， ， ，即当最小时，最小， ∴当时，垂线段最短，即时，的最小值等于，故③错误； ④延长交于，延长交于，如图所示： ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，①②④正确． 题型18.正方形中的旋转问题 58．如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，的周长为6，则正方形的边长为______． 【答案】3 【分析】将绕点A顺时针旋转90度到位置，证明，可得，即可求解． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转90度到位置，如图， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴，即点C，B，三点共线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵的周长为6， ∴， ∴， ∴． 59．如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求得，然后根据图形旋转的性质证明四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ， 绕点C按顺时针方向旋转，得到， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ． 60．四边形是正方形，将线段绕点旋转至，旋转角为，连接，，与交于点，过点作，垂足为点，连接． (1)【问题发现】如图1，当时，且点在直线右侧时，的度数为____________； (2)【拓展探究】如图2，当时，且点在直线右侧时，猜想，，的数量关系，并证明； (3)【发散思维】若正方形的边长为2，且，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)， 理由如下：如图，过点作交于点， 是等腰直角三角形， ． ． 在和中， $ ， ． (3)的长为 【分析】（1）先推导出，，得到由旋转，得继而推导出得到则，即可解答； （2）过点作交于点，推导出是等腰直角三角形，得到，继而推导出得到，则，即可解答； （3）分类讨论：①当在的左侧时，②当在的右侧时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解∶∵四边形是正方形， ， ， ， 由旋转，得 ； （2）略 （3）解：①当在的左侧时，如图 有 过点E作于点F， ， ②当在的右侧时，如图 过点E作的延长线于点H， ， 由(1)，同理可得 综上所述，的长为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08正方形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解正方形的定义，理清正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的从属关系与联系区别。 2.熟练掌握正方形的全部性质，明确其兼具矩形、菱形的所有特征。 3.熟记正方形的多种判定方法，理清不同判定路径的逻辑顺序。 4.掌握正方形周长、面积计算公式，识记图形衍生结论，梳理整章特殊四边形知识体系。 1.能运用正方形性质开展线段、角度、周长、面积的计算与几何推理。 2.结合题干条件，灵活选择判定定理，规范完成正方形的证明书写。 3.能辨析各类特殊四边形的性质与判定，提升图形识别、对比分析能力。 4.综合运用平行四边形、矩形、菱形、正方形知识，解决复合型几何问题，强化逻辑推理与数形结合思维。 1.精准完成概念辨析、图形性质判断类选择、填空题，守住基础分值。 2.熟练解答正方形基础计算、简单证明题型，保证解题准确率与步骤规范。 3.攻克正方形与三角形全等、勾股定理结合的中档综合题，拿全步骤分。 4.掌握正方形折叠、动点、探究类压轴题型的解题思路，提升难题得分能力。 题型01.正方形性质理解 题型02.正方形性质求角度 题型03.正方形性质求线段长 题型04.正方形性质求面积 题型05.正方形中的折叠问题 题型06.正方形性质证明 题型07.正方形判定定理理解 题型08.添条件使四边形是正方形 题型09.证明四边形是正方形 题型10.正方形性质与判定求角度 题型11.正方形性质与判定求线段长 题型12.正方形性质与判定求面积 题型13.正方形性质与判定证明 题型14.正方形中的动点问题. 题型15.正方形中的最值问题 题型16.正方形与坐标系综合 题型17.正方形多结论判断题 题型18.正方形中的旋转问题 知识点01:正方形的定义 1.三种等价定义（课本核心） 定义 图示 从平行四边形出发：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 从矩形出发：一组邻边相等的矩形是正方形。 从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形。 2. 从属关系（重中之重） 正方形是最特殊的平行四边形 它同时是：特殊的矩形 + 特殊的菱形 + 特殊的平行四边形 层级关系： 四边形 → 平行四边形 → 矩形、菱形 → 正方形 一句话总结： 矩形中邻边相等就是正方形；菱形中有一个直角就是正方形。 知识点02:正方形的性质（最全、必考） 类别 性质描述 几何语言 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03:正方形周长与面积 周长：C=4a（a为边长） 面积两种公式 S=a2（边长平方） S=对角线 ²（对角线乘积一半） 知识点04:判定四种思路（考试实用） 知识点05:四种特殊四边形性质对比表 图形 边 角 对角线 对称轴数量 平行四边形 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 互相平分 0 条 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分、相等 2 条 菱形 四条边都相等 对角相等，邻角互补 互相平分、垂直，平分一组对角 2 条 正方形 四条边相等，对边平行 四个角都是直角 互相平分、相等、垂直，平分一组对角 4条 知识点06:期末必考几何模型（条件 + 结论 + 解题思路） 模型 1：对角线 45° 基础模型 模型条件：连接正方形任意一条对角线 核心结论：对角线与正方形边的夹角为45，原图形被分为两个全等的等腰直角三角形 解题思路：利用45角快速计算角度、证明等腰三角形、推导线段相等。 模型 2：双对角线分割模型 模型条件：画出正方形两条对角线，交于一点 核心结论：分成四个全等的等腰直角三角形，所有锐角均为\(45^\circ\)，对角线的一半长度全部相等 解题思路：直接证明三角形全等，转化线段长度，求解面积比例问题。 模型 3：一线三垂直全等模型（大题高频） 模型条件：过正方形一个顶点作一条直线，另外两个顶点向该直线作垂线 核心结论：构造出两组全等直角三角形（判定：AAS/ASA），存在固定线段和差关系 解题思路：利用同角的余角相等倒角，结合正方形边长相等证明全等，进而求解线段长度、证明线段关系。 模型 4：半角 45° 模型（压轴题核心） 模型条件：在正方形内部，从一个顶点引出夹角为45的两条线段，分别交对边于两点 核心结论：① 存在多组全等三角形；② 交点间线段长度等于两条拆分线段之和；③ 对应小三角形周长等于正方形边长的 2 倍 解题思路：主流解法为旋转法，将三角形绕正方形顶点旋转90，转化线段后证全等，多用于线段证明、周长计算、最值探究。 模型 5：折叠模型（填空 / 计算压轴） 模型条件：沿正方形内任意一条直线折叠图形 核心结论：① 折叠前后对应边、对应角完全相等；② 折叠后易形成等腰三角形、直角三角形 解题步骤：1. 设未知线段长为x；2. 根据折叠性质等量代换线段；3. 在直角三角形中利用勾股定理列方程求解；4. 计算边长、面积、角度。 知识点07:高频易错点汇总 1.对称轴区分：正方形 4 条对称轴，矩形、菱形仅 2 条，易计数出错； 2.判定逻辑：证明正方形不可跳步，优先根据已知图形（平行四边形 / 矩形 / 菱形）选择对应判定； 3.公式使用：正方形面积两个公式灵活选用，已知边长用a2，已知对角线用d2； 4.概念混淆：对角线平分一组对角是菱形、正方形独有性质，矩形、普通平行四边形不具备。 题型01.正方形性质理解 1．正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 2．如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为______． 3．如图，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型02.正方形性质求角度 4．如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 5．为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．如图，正方形的对角线是菱形的一边，菱形的对角线交正方形的边于点P，求的度数． 题型03.正方形性质求线段长 7．如图，正方形的边长是2，E是边上一点，连接，平分交于点，连接．若，则的长度是___________． 8．如图，在边长为6的正方形中，E，F分别为边，的中点，连接，，点G，H分别为，的中点，连接，则的长为（    ）． A． B． C． D．3 9．如图，正方形中，点、分别是、边上一点，且，连接、相交于点． (1)求证：； (2)连接，延长交的延长线于点，若点是的中点，，求的长． 题型04.正方形性质求面积 10．如图，正方形的面积是，E，F，G，H分别是正方形四条边上的点，，则四边形的面积为_______． 11．如图，在直线上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点分别是斜放正方形相邻两边的中点，正放的两个正方形面积分别为3和4．则斜放正方形的面积为（     ） A．5 B．20 C．28 D．7 12．如图，是正方形的对角线上的两点，且． (1)求证：； (2)若，则四边形的面积是___________． 题型05.正方形中的折叠问题 13．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 14．如图，将一张正方形纸片的顶点A折叠至边上的E点，折痕为，若折痕比边长长2，，则正方形的边长为（   ） A．20 B．22 C．24 D．25 15．【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 题型06.正方形性质证明 16．如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 17．如图，在正方形中，为对角线上一点．若，则（   ） A． B． C． D． 18．如图，在正方形中，连接，点是上一点，连接交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 19．如图，在正方形中，E为边上一点，连接，作交的延长线于点F，作交于点G，过点G作交于点H，延长交的延长线于点M． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 题型07.正方形判定定理理解 20．能判定一个四边形是正方形的是（    ） A．对角线互相垂直且平分 B．对角线互相垂直且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．对角线相等且平分 21．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别平行；b对角线互相平分；c对角线互相垂直；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：．你认为能得到正方形的是______．（填写你认为正确的序号） 22．在四边形中，给出下列四个条件： ①四个内角都相等，且有一组邻边相等； ②四边都相等，且有一个内角是直角； ③对角线互相垂直平分且相等； ④对角线相等，且每一条对角线平分一组对角． 能判定这个四边形为正方形的条件的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型08.添条件使四边形是正方形 23．在四边形中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 24．如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，．如果_____，那么四边形为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）． 25．在平行四边形中，．添加下列一个条件，使得四边形为正方形，则添加的条件可以是（    ） A． B． C． D．平分 26．如图，在四边形中，，对角线平分，是上一点，过点分别作交于点，交于点． (1)求证：； (2)连接．当与满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 题型09.证明四边形是正方形 27．如图，在平行四边形中，F是对角线的交点，E是边的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形； (3)若且，求证：四边形是正方形． 28．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，，垂足分别为．延长至点，使．连接． (1)求证：． (2)当和满足什么数量关系时四边形是正方形？并说明理由． 29．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，，连接，，，．求证：四边形是正方形． 题型10.正方形性质与判定求角度 30．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 31．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 32．在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 题型11.正方形性质与判定求线段长 33．如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为______． 34．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 35．如图，在中，，是的中点，，分别是，上的点，且，． (1)求证：． (2)若，，求的长度． 题型12.正方形性质与判定求面积 36．如图，若，平分，，则四边形的面积是_____ ． 37．如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（    ） A． B． C． D． 38．综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 题型13.正方形性质与判定证明 39．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 40．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以、为邻边作矩形，连接．在下列结论中：矩形是正方形；；平分；．其中正确的结论有（   ） A． B． C． D． 41．如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 题型14.正方形中的动点问题. 42．如图，正方形的边长为，点在边上运动，点在边上运动，运动过程中的长度保持不变，且．若是的中点，是边上的动点，则的最小值为_______． 43．如图，在正方形中，E是边的中点，F是边上的一个动点，连接．若，则的最小值为_____． 44．如图，正方形的边长为，点在边上，且，点是对角线上一动点，则线段的最小值为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 45．如图，点为正方形内或边上一动点，，为的中点，分别连接，，则下列结论错误的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的面积最大值为 46．如图，正方形中，点E为线段边上一动点（，E不与D重合），其中，点B关于直线的对称点为F，连接，连接交直线于点G，连接． (1)补全图形，求的度数（用含α的式子表示） (2)猜想和的数量关系，并证明． (3)若直接写出的取值范围． 题型15.正方形中的最值问题. 47．如图，在正方形中，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，，在点，运动的过程中，面积的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D． 48．如图，正方形的边长为是边上的一动点，以为边向左作正方形，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 49．如图，在正方形中，，点E为的中点，点F为边一动点，将沿翻折得到，连接，则线段的长度的最小值为______． 50．如图，正方形的面积为49，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为_________． 题型16.正方形与坐标系综合. 51．如图，在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，点O为坐标原点，已知B点横坐标为，则A点坐标为______ ． 52．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，点，在第一象限内．若点的坐标为，正方形的面积为5，则点的坐标是______． 53．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且，点D的纵坐标为，则正方形的面积是(     ) A．4 B．9 C．13 D．5 54．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标； ②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，求证：平分． 题型17.正方形多结论判断题 55．如图，在正方形中，点M、P、Q分别在边、、上，连接、交于一点，且，是延长线上一点，连接，，，，下列结论： ①； ②若M为中点，则P一定是中点； ③； ④若平分，则平分． 其中正确的结论是__________（填写所有正确结论的序号）． 56．如图，在正方形中，，点O是对角线与的交点，过点O作射线，分别交 ， 于点E，F 且，有下列结论∶ ①；②；③若点K为线段上一点，则的最小值为2；④四边形的面积为1； 其中正确的是_____________(填序号) 57．如图，已知正方形的边长为是对角线上一点，于点于点，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为；③的最小值为；④．其中正确结论的序号为（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 题型18.正方形中的旋转问题 58．如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，的周长为6，则正方形的边长为______． 59．如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 60．四边形是正方形，将线段绕点旋转至，旋转角为，连接，，与交于点，过点作，垂足为点，连接． (1)【问题发现】如图1，当时，且点在直线右侧时，的度数为____________； (2)【拓展探究】如图2，当时，且点在直线右侧时，猜想，，的数量关系，并证明； (3)【发散思维】若正方形的边长为2，且，请直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $