第5节 分式方程-2025-2026学年初中数学计算能力强化训练八年级全册

、初中数学计算能力强化训练 难度：容易☑中等☐难☐ 解下列方程. - (3)23 x2x-1 6是-2-号 )2+8-2 x2 4x (9)2x-11-2x 5; 50 八年级 第5节 分式方程 ○练习1 建议时间：20分钟 完成时间： (2)2=3 xx十1 13 (4)2x-+5 (6)2x=1 x-1x7+3; x-2 10)321-2-13z 1 难度：容易☐中等☑难☐ 解下列方程， (1)x+51 x-66-x =5; (3)x-1=x+1 x+4x+5 (5)x+32 x-3x+3=1; 、《7)3。+1=4 xx2十2x9 (9)1。-2=3 x-2x-32x-49 第六部分分式 ○练习2 建议时间：20分钟 完成时间： (2)+1+1。 t21: e-41 (6321-6232 3 (8)x2 -2x24=1; a02++-22 51 初中数学计算能力强化训练 难度：容易☐中等☑难☐ 解下列方程 12=2+ x-4 8)22+3= 2 (7)1,-24 x-1x+1x2-1 ”1+2=3 52 八年级 ○练习3 建议时间：20分钟 完成时间： (2)-4-3= x-5 x-5 (40乙1-1-(x-D+2 3 (6)22-1 8 x2-4 (8) 1221 x2-9x-3x+3 (10)x-2_x+216 x+2x-2x2-4 ○练习4 难度：容易☐中等☑难☐ 建议时间：20分钟 1.已知分式方程2x十a=1的解为非负数，求a的取值范围. x-1 2.若分式方程二”有塔根，求m的值 品1十5云有增根，求m的值 3.若分式方程2， 4.已知关于x的方程x十1-，2十1，若这个方程无解且a x-11-z 5,已知关于x的分式方程名1十x-W十2十2 (1)若方程的增根为x=1,求m的值. (2)若方程有增根，求m的值. （3)若方程无解，求m的值. 第六部分 分式 完成时间： ±1，求a的值. 53 初中数学计算能力强化训练八年级 ○练习5 难度：容易☑中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.某企业的产品对部分地区实行优惠，决定在原定价基础上每件降价40元，这样按原定价 需花费5000元购买的产品，现在只花费了4000元.每件产品的实际定价是多少元？ 2.已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩的数量与 用12万元购买乙型充电桩的数量相等.甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ 3.已知每个足球的进价是每个篮球进价的0.75倍，用1200元购进篮球的数量比用2100 元购进足球的数量少20个.求每个篮球、足球的进价分别为多少元. 4.某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2600元，购买 B品牌足球花费了1700元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已 知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花20元.求购买一个A品牌、一个B 品牌的足球各需多少元 54 第六部分 分式 ○练习6 难度：容易√中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时 间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件？ 2.一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成.如果甲、乙两公司单独完成此项工程，那么 乙公司所用时间是甲公司的1.5倍.甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？ 3.甲、乙两个工程队承担河道整治任务.甲、乙两个工程队每天共整治河道1500，且甲工 程队整治3600m河道用的时间与乙工程队整治2400m所用的时间相等.甲工程队每 天整治河道多少米？ 4.乡村振兴，交通先行.某村准备修一条5400m长的道路，在修建600m后，由于采用新 的修建技术，这样每天修建道路长度是原来的2倍，共用15天就完成了全部任务，求原 来每天修建道路多少米 557 初中数学计算能力强化训练八年级 ○练习7 难度：容易√中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.某学校组织学生去离学校60km的红色基地开展研学活动，先遣队和大队同时出发，先 遣队的速度是大队速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.2h.先遣队和大队的速度各 是多少？ 2.某班级学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km.一部分学生乘慢车先出 发，出发15min后，剩余学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区.已知快车速度是慢 车速度的1.2倍，求慢车的速度. 3.小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球.他们两家到体育公园的距离分别是 1800m、4500m,小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小 明需提前6min出发，求小明和小刚两人的速度. 4.为响应低碳号召，肖老师上班的交通方式由自驾车改为骑自行车，肖老师家距学校 15k,因为自驾车的速度是骑自行车速度的4倍，所以肖老师每天比原来早出发 45min,才能按原时间到校，求肖老师骑自行车每小时行驶多少千米. 56 第六部分 分式 ○练习8 难度：容易☐中等☑难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.今年某中学到鹅鼻嘴公园植树，已知该中学离公园约15km,部分学生骑自行车出发 40mi后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的3倍，全体学生同时到达，设 自行车的速度为vkm/h. (1)求v的值. (2)植树活动完成后，由于学生比较劳累，骑自行车的学生的速度变为原来的号，汽车速 度不变，为了使两批学生同时到达学校，那么骑自行车的学生应提前多长时间出发？ 2.一辆货车从北京开往乌鲁木齐，路线总长是3780km,为了实施西部大开发，京乌线决定 全线提速，提速后的平均速度是原来的8倍，提速后比提速前可提前7h到达. (1)提速前的平均速度是多少？ (2)如果全程运行时间控制在40h内，那么提速后的平均速度至少为多少？ 3.李老师家距学校1900m,某天他步行去学校，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离 上班时间还有23min,于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车去学校.已知李老师骑 电瓶车到学校比他步行到学校少用20min,且骑电瓶车的平均速度是步行的平均速度的 5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4min. (1)求李老师步行的平均速度 (2)请你判断李老师能否按时到校，并说明理由 577 初中数学计算能力强化训练八年级 ○练习9 难度：容易☐中等√难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.某商场销售A、B两种自行车，A种自行车售价为2100元/辆，B种自行车售价为 1750元/辆，每辆A种自行车的进价比每辆B种自行车的进价多400元，商城用80000元 购进A种自行车的数量与用64000元购进B种自行车的数量相等. (1)求每辆A、B两种自行车的进价. (2)求这批自行车的销售总利润. 2.为了提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍.其中购买A种图 书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的 1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本. (1)求A和B两种图书的单价. (2)书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按八折销售.学校当天购买了 A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？ 3.某公司购买了一批A、B两种型号的芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元， 已知该公司用3120元购买A型芯片的个数与用4200元购买B型芯片的个数相等. (1)该公司购买的A、B两种型号芯片的单价各是多少元？ (2)若两种芯片共购买了200个，且购买的总费用为6280元，则购买了多少个A型 芯片？ 58练习3 4)原式=1-a。3·a9t”=1- a a+3 a+3-(a十1)=a+3-a-1=2 a十3 a+3 a+3" (2)原式=之1」 x=(x十1)(x-1).x=x十1 x- x-1 I (3)原式=+1-2 x x+1 x+1_x-1. x十1=1 (x-1)-c+i·(x-1)-1 (4)原式=a+2b a+b 易·a碧=8-为-”。6)咏 a-b」 (a-2b)2 式-+品·红山-欲+D· 2x2 一-2红《6原式-。出±品品· a2 a+1a-)=a2-a.(7原式=r-1D÷2-2x-1 a x+1 x+1 ·品=吾《8)原式= x+1 ÷ x-2 t2-2x+2x-1=(x-1)2 x-2 x-2 是D= (9)原式= 4a(a-2b)-a(a+2b.(a+2b)(a-2b) (a+2b)(a-2b) a a(4a-86-a-2b).(a+2b)(a-2b)=3a-10b.(10)原 (a+2b)(a-2b) 式。+品号+20少-安 2a 21 练习4 1.原式=(m-2)2. m-1 (2-m)2 2一m.当 m-·3m2+1(2+m(2-m-2+m m=6时，原式-名得-日 2原式=片7·a2”9=马当a=5时， (a-1)2 原式=5 4· 3原式-，2g-2a-2》.当a=-1时，原式 -6. 4原式-月，-号根据题盒得10 x-1 (x-2)2 且x2-4x十4≠0，.x≠-1且x≠1且x≠2，.取x=3. 当x=3时，原式=4. (x-1)2 5原式=”D÷(号-)-异 待-帚是+-10 且x(x一1)≠0，.x≠士1且x≠0，.取x=一2.当x= -2时，原式=号 第5节分式方程 练习1 1x=号(2)x=2(3)x=2(4)x=1(6)z=24 (6)x=2()z=1(8)x=1(9)z=110z=号 参考答案 练习2 1x=9(2)x=1(3)z=-g4x=}(6)x=-6 (0x=7(8z=-1(9z=号10)=2 (6)x=2 练习3 (1)去分母，得x一3=2(x一4)+1，解得x=4,检验：当x=4 时，x一4=0，∴x=4是增根，∴原方程无解. (2)去分母，得x一4一3x十15=1，解得x=5,检验：当x=5 时，x一5=0，∴x=5是增根，∴原方程无解. (3)去分母，得1+3(x-2)=x一1，解得x=2,检验：当x=2 时，x一2=0，∴.x=2是增根，∴原方程无解。 (4)去分母，得x(x十2)一（x-1)(x十2)=3，解得x=1,检 验：当x=1时，(x一1)(x十2)=0，∴x=1是增根，.原方程 无解. (5)去分母，得x2+x-2=x2一1，解得x=1,检验：当x=1 时，(x一1)(x+1)=0,.x=1是增根，.原方程无解. (6)去分母，得x2+2x一x2+4=8,解得x=2,检验：当x=2 时，x2-4=0,x=2是增根，原方程无解。 (7)去分母，得x+1一2(x一1)=4，解得x=一1，检验：当 x=一1时，x2一1=0，∴.x=一1是增根，.原方程无解. (8)去分母，得12一2(x十3)=x一3，解得x=3,检验：当x= 3时，x2一9=0，∴.x=3是增根，.原方程无解. (9)去分母，得10一2x-2=3x十3，解得x=1,检验：当x=1 时，x2-1=0,.x=1是增根，∴.原方程无解. (10)去分母，得(x一2)2-(x十2)2=16，解得x=一2，检验： 当x=一2时，x2一4=0，∴x=一2是增根，∴原方程无解. 练习4 1.将分式方程=1化为整式方程，得2x十a=x-1,解 x-1 得x=-1-a.:方程的解为非负数，∴.-1一a≥0，解得 a≤-1..x≠1，.-1-a≠1，即a≠-2，.a的取值范 围为a一1且a≠一2. 2.去分母，整理得x=m十3.，方程有增根，.m十3=1，解 得m=-2. 3.去分母，得2(x-1)-5(x十1)=m,解得x=-m十7 3 方程有增根，…-m十7=士1，解得m=一4或m=一10. 3 4.去分母，得ax十1=x一1一2，又a≠1，.解得x= 2气：方程有增根一。二1，解得a=一3 5.方程两边同时乘(x十2)(x一1)，去分母并整理，得(m十1)· x=-5.(1):x=1是分式方程的增根，∴1十m=-5,解 得m=一6.(2).原分式方程有增根，.(x十2)(x-1)= 0,解得x=-2或x=1.当x=-2时，m=1.5;当x=1 时，m=一6.综上所述，m的值为1.5或一6.(3)当m+ 1=0时，该方程无解，此时m=一1；当m十1≠0时，要使 原方程无解，由(2)得，m=一6或m=1.5.综上所述，m 的值为-1或-6或1.5. 练习5 1.设每件产品的实际定价是x元，则原定价为(x十40)元.由 817 初中数学计算能力强化训练八年级 题意，得5000=4000，解得x=160,经检验，z=160是原 x十40x 方程的解.答：每件产品的实际定价是160元. 2.设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是 (x十0.2)万元.根据题意，得，16，=1，解得x=0.6, x+0.2-x 经检验，x=0.6是原方程的解，且符合题意，∴.x十0.2 0.6十0.2=0.8.答：甲型充电桩的单价是0.8万元，乙型 充电桩的单价是0.6万元 3.设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为0.75x元 根据题意，得2100-1200=20，解得x=80,经检验，x 0.75xx 80是原方程的解，且符合实际，.0.75x=0.75×80=60. 答：每个篮球的进价为80元，每个足球的进价为60元. 4.设购买一个A品牌的足球需x元，则购买一个B品牌的 足球需(x+20)元根据题意，得260-平0×2，解得 x x=65,经检验，x=65是原方程的解，且符合题意，∴.x十 20=85.答：购买一个A品牌的足球需65元，购买一个 B品牌的足球需85元. 练习6 1,设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(30一x)个零件， 根据题意，得180-20，解得工-18，经检验=18是原 方程的解，∴.30一x=30一18=12.答：甲每小时做18个零 件，乙每小时做12个零件. 2.设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成 此项工程需1.5x天，根据题意，得上十z之解得 x=20,经检验，x=20是方程的解且符合题意，∴.1.5x 30.答：甲、乙两公司单独完成此工程分别需要20天、 30天. 3.设甲工程队每天整治河道xm,则乙工程队每天整治河道 1500m根据题意，得30-0”。，解得x 900,经检验，x=900是原方程的解.答：甲工程队每天整 治河道900m. 4.设原来每天修建道路xm,则采用新的修建技术后每天修 建道路2xm.根据题意，得600+5400二600=15，解得 x=200,经检验，x=200是原方程的解，且符合题意.答： 原来每天修建道路200m. 练习7 1.设大队的速度是xkm/h,则先遣队的速度是1.2xkm/h. 根据题意，862-92=0,2，解得x=50,经检验，=50 是原方程的解，且符合题意，∴.1.2x=1.2×50=60.答： 先遣队的速度是60km/h,大队的速度是50km/h. 2.设慢车的速度为xkm/h,则快车的速度为1.2xkm/h.根 据题意，得20-12-品，解得-80，经拉验，一0是 原方程的解，且符合题意.答：慢车的速度为80km/h. 3.设小明步行的速度是xm/min,则小刚骑自行车的速度是 82 3zm/min.根据题意，得1800_4500=6，解得x=50,经 3.℃ 检验，x=50是原方程的解，且符合题意，∴.3x=3×50= 150.答：小明步行的速度是50m/min,小刚骑自行车的速 度是150m/min. 4.设肖老师骑自行车每小时行驶xkm根据题意，得15-15 x Ax =铝解得x=15,经检验，z=15是原方程的解，并符合 实际意义.答：肖老师骑自行车每小时行驶15km. 练习8 1.(1)设自行车的速度为vkm/h,则汽车的速度为3okm/h. 根据题意，得日-35+9解得=15.经检验，。=15是 方程的解，(2)自行车的速度变为子×15=10(km/h), 丸车的速度为3X15=45（kmb,吕-号-名，则骑 自行车的学生应提前行h出发。 2.(1)设提速前的平均速度是xkm/h,则提速后的平均速度 是号xkm/h.根据题意，得3780-3g80-7,解得x 9 60,经检验，x=60是原方程的解，且符合题意.答：提速前 的平均速度是60km/h.(2)设提速后的平均速度为 ykm/h.根据题意，得40y≥3780，解得y≥94.5.答：提速 后的平均速度至少应为94.5km/h. 3.(1)设李老师步行的平均速度为xm/min,则骑电瓶车的 平均速度为5zm/min.由题意，得1900_1900=20，解 5x 得x=76,经检验，x=76是原分式方程的解，且符合题意， 则5x=76×5=380.答：李老师步行的平均速度为76m/min. (2)由(1)，得李老师步行回家需要的时间为)900 2×76 12.5(min）,骑车到学校的时间为'38C0=5(min,则李老 师到学校所用的时间为12.5+5+4=21.5(min),21.5< 23,故李老师能按时到校. 练习9 1.设每辆B种自行车的进价为x元，则每辆A种自行车的进价 为x+0元由题意，得00-640，解得x=160, x 经检验，x=1600是原方程的解，∴.x十400=2000.答：每 辆B种自行车的进价为1600元，每辆A种自行车的进 80000 价为2000元. (2)1600十400=40（辆），(2100- 2000)×40+(1750-1600)×40=10000(元).答：这批 自行车的销售总利润为10000元. 2.(1)设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为 1.5x元.由题意，得3000-1600-20，解得x=20,经检 1.5xx 验，x=20是原分式方程的解，且符合题意，∴.1.5x=30. 答：A种图书的单价为30元，B种图书的单价为20元. (2)30×0.8×20+20×0.8X25=880(元).答：共花费 880元. 3.(1)设B型芯片的单价为x元，则A型芯片的单价为 (x-9)元.由题意，得120-4200，解得x=35,经检验， x-9x x=35是原方程的解，x一9=26.答：A型芯片的单价为 26元，B型芯片的单价为35元.(2)设购买a个A型芯 片，则购买(200一a)个B型芯片.由题意，得26a十 35(200一a)=6280,解得a=80.答：购买了80个A型 芯片. 第七部分二次根式 第1节二次根式的乘除 练习1 1.(1)原式=7×11=77.(2)原式=√4×6×6=2×6= 12.(3)原式=√4×5×5×7=10W7.(4)原式=√4· =25.6原式-√唇×√-号×号- (6)原式=√(57-43)×(57+43)=10√14.(7)原 式=√36×4=6×2=12.(8)原式=√16×√× veX√ac=4bc√ac. 2.(1)原式=2√6X√3=6√2.(2)原式=2√2×3√2=6× 2=12.(3)原式=2√6×分=23.(4)原式= √4x号=2， 练习2 (1)54√2(2)305(3)-36(4)W2(5)12(6)30 (7)4√6(8)3√2(9)原式=a√2a·2√2a=4a2. (10)原式=3√/6ry-32r=6yv. a原式=号-2华.12)原式=言×06× 3 √厚×层=日×号x层×品=号x√原-品 练习3 1.)号(2)最(3)号4)号 2.(1)原式=√45÷5=厅=3.(2)原式=二54= √2 √受--3.(3)原式-√需-√- ▣。④原式=√停×5=.(6)原式=号×3×- 是×2=3(6)原式=9×有=2.(7)原式=-7× √3 22×E=-28.(8)原式=√27×号×2=6巨. 练习4 1厘-2，v团-3-2侵-号園- 参考答案 ：厄V√是被开方数相同的二次根式w、 3 √侣是被开方数相同的二次根式。 2.(1)原式=x2·义=. (2)原式=√6b·9b= 3b√6b. 3.(1)W5(2)4(3)W2 (4)20(5)66 4.1原式=5-(2源式-25=-是 6X62· 2X2√5 练习5 ①原式=22×32=6×2=2。(2)原式=号÷2有× 35=9原。(3)原式-26×4×号÷45=8w5÷45=2 (原式=22×(-号)×35=2×(-3)=-6巨. 5)原式=√层××号-√= ,(6)原式=√2÷ =2.(7)原式=x·V6列÷3列=反x(8)原式= 2 -√品-品9)原式=-(3×)× √9a2b (W会·台·后)=-是×√号=-3.(10)原 26 式=8a+(画)·-器2 ab b ab2 第2节二次根式的加减 练习 (1)原式=5√2.(2)原式=33-23=√5.(3)原式= 62+82-52=9厄.(4)原式=35-25+5-= 3 45.6)原式=6而---28 5 10 5 .(6)原 式=(3W5+3W2)-(25-52)=3√5+3√2-2W5+5√2= 5+8反.(7)原式=43+3-2×号+22=4月+ 5-2+22=5v5+。《8)原式=2g-号-9+ 32=5y3+5y2 3 2 第3节二次根式的混合运算 练习1 (1)原式=45+33=75.(2)原式=25-25=85 5 5 (3)原式=√写×3+27X8-1+9=10.(原式- √6×3-√3×3=3V2-3.(5)原式=√2×2-5√2+ 3√2-15=2-5√2+3√2-15=-13-2√2.(6)原式= 83