第2节 用一次函数解决问题-2025-2026学年初中数学计算能力强化训练八年级全册

初中数学计算能力强化训练八年级 第2节用一次函数解决问题 ⊙练习1 难度：容易☐中等☑难■ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.某公交车每天的支出费用为135元，票价为2元/人，设每月有x人乘坐该公交车，每月 收入与支出的差额为y元. (1)若一个月按30天计算，求y与x之间的函数表达式 (2)请直接写出当每月乘客量最少达到多少人时，该公交车才不会亏损. 2.某型号汽车的油箱容量为50L,每行驶100km耗油10L,设一辆加满油的该型号汽车 行驶里程为xkm,行驶过程中油箱内剩余油量为yL. (1)求y与x之间的函数表达式. (2)为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量 的子按此建议，求该辆汽车最多行驶的里程。 3.如图是将4个规格都相同的碗整齐叠放成一摞的示意图.小华结合学习函数的经验，探 究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位：cm)随着碗的数量x(单位：个)的 变化规律，发现y与x满足一次函数关系.如表是小华经过测量得到的y与x之间的对 应数据： x/个 2 3 y/cm 6 8.4 10.8 13.2 (1)求y与x之间的函数表达式 (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm,则此时碗的数量最多 为多少个？ 20 第四部分 一次函数 ○练习2 难度：容易√中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.甲汽车出租公司按每行驶100km收取租车费150元；乙汽车出租公司按每行驶100km 收取租车费50元，另加管理费800元，设甲公司收取的租车费为y1元，乙公司收取的租 车费为y2元. (1)分别求出y(单位：元)、y2(单位：元)与行驶的里程x(单位：km)之间的函数表达式 (2)判断x在什么范围内，乙公司收取的租车费比甲公司少 2.某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地，现有汽车和火车两种运输方式可供选择. 方式一：使用汽车运输，装卸收费400元，另外每千米再加收4元. 方式二：使用火车运输，装卸收费720元，另外每千米再加收2元. (1)请分别写出用汽车、火车运输的总费用y1(单位：元)、y2(单位：元)与运输路程x(单 位：km)之间的函数表达式. (2)你认为选用哪种运输方式较好？为什么？ 3.某校师生去外地参加夏令营活动，车票价格为每人100元，车站提出两种车票价格的优 惠方案供学校选择.第一种方案是教师按原价付款，学生按原价的78%付款；第二种方 案是师生都按原价的80%付款.该校参加这项活动的教师有5名，学生有x名. (1)设购票付款为y元，请写出两种方案中y关于x的函数表达式. (2)请根据夏令营的学生人数，选择购票付款的最佳方案. 21 初中数学计算能力强化训练八年级 ○练习3 难度：容易☐中等☑难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3~10km的出行市场，现有A、B两 种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式 对应y1,B品牌收费方式对应y2: (1)求骑行B品牌共享电动车超过10min后的函数表达式. (2)请求出A、B两种品牌共享电动车收费相差1元时x的值， 以元 8 6 0 1020 x/min 2.甲、乙两人参加从M地到N地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y(单位：)与时间 x(单位：min)之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题： (1)甲的速度是 m/min,乙比甲提前 min先到达终点. (2)求乙所跑路程y与时间x之间的函数表达式， (3)请直接写出甲、乙两人相距750m时乙所跑的时间. y/m 甲 10000 4000 20 32 40 x/min 22 第四部分 一次函数 ○练习4 难度：容易☐中等☑难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.暑假期间，小刚一家乘车去离家380km的某景区旅游，他们离家的距离y(单位：km)与 汽车行驶时间x(单位：h)之间的函数图象如图所示. (1)求线段AB对应的函数表达式， (2)小刚一家出发2.5h时离目的地多远？ y/km 380 320 B 80H 234x/h 2.如图是某市轻轨列车两站之间行驶速度v(单位：m/s)与行驶时间t(单位：s)之间的函数 图象，已知点A(90,40),B(230,40),C(270,0). (1)求线段BC对应的函数表达式. (2)求这两站之间列车速度不低于30m/s的行驶时间. v/(m/s) 01 40- 30 20 10 D 0306090120150180210240270300i/s 3.小宇同学从家里出发20min到达公园，他所走的路程（单位：m)随步行时间（单位：min) 变化的情况如图所示，回答下列问题. (1)在前10min,小宇的速度是多少？ (2)小宇途中休息了多长时间？ (3)请求出小宇在15~20min这一时间段路程与时间的函数表达式，并直接指出 l8min时，小宇共走了多远的路程. 路程/m1 2000----- 1000 101520步行时间/min 23 、初中数学计算能力强化训练八年级 ○练习5 难度：容易☐中等☑难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D的方向运 动至点D,再以1cm/s的速度从点D运动到点A处停止，设点P运动的时间为xs, △ABP的面积为ycm2,y关于x的图象如图2所示. (1)观察图象可知：BC= cm,CD= cm,a= ,b= (2)当0<x≤5时，直接写出y关于x的函数表达式. y/cm2 13 X/s 图1 图2 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4,CD=3.若动点P以每秒2个单位长 度的速度从点C出发，沿着C→B→A匀速运动到点A时停止运动（点P不与点A、C重 合)，设点P运动的时间为xs,△CDP的面积为y.求y关于x的函数表达式，并注明自 变量x的取值范围. D 3.如图，在长方形ABCD中，AD=BC=3,AB=CD=6.延长AB至点E,使BE=4,连接 CE.动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB→BC→CD向终点D运动 (点P不与点D重合)，设点P运动的时间为ts(t>0). (1)CE (2)请用含t的代数式表示△ADP的面积S. 24 第四部分 一次函数 ○练习6 难度：容易☐中等☑难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.端午节放假期间，某校计划租用6辆客车送240名师生参加研学活动，现有甲、乙两种客 车，它们的载客量（单位：人/辆）和租金（单位：元/辆）如下表，设租用甲种客车x辆，租车 总费用为y元. 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 45 30 租金/（元/辆） 280 200 (1)求y(单位：元)与x(单位：辆)之间的函数表达式. (2)求自变量的取值范围. (3)选择怎样的租车方案所需的费用最低？最低费用是多少元？ 2.某厨具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价（单位：元/台）与售价（单位： 元/台)如下表. 进价/（元/台） 售价/（元/台） 电饭煲 200 250 电压锅 160 200 (1)第一季度厨具店购进两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，那么厨具店 在该买卖中赚了多少钱？ (2)为了满足市场需求，第二季度厨具店决定采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数 量不大于电压锅的，请你通过计算判断，如何采购才能使该厨具店盈利最多？最大 利润是多少？ 25初中数学计算能力强化训练八年级 2.(1)把x=1,y=7代入y=kx-3,得7=k-3,解得k= 10,∴.y=10x-3.(2)把x=2代人y=10x-3,得y= 10×2-3=17≠15，∴.点P(2,15)不在一次函数y= 10x一3的图象上. 3.(1).y是x的一次函数，.设y=kx十b.把x=3,y=1 和x=一2，y=一4代入，得3+6-1，，解得=1， -2k+b=-4,1 1b=-2. .一次函数的表达式为y=x一2.(2)当x=一3时，y -3-2=-5.(3)当y=2时，x-2=2,∴x=4. (4)当y>1时，x-2>1,.x>3. 练习4 1.(1)设直线1对应的函数表达式为y=kx十b,直线1经 过点A(0,1)、B(-2,0),b=1, {-2+6=0,解得 '“直线1对应的函数表达式为y=合x+1. (k= b=1, (2):点M3,m)在直线1上∴m=合×3+1=号 2.(1)设一次函数的表达式为y=kx+b,由题意得 -4=2k+b 解得=一3， 12=b, {6=2,”一次函数的表达式为y -3x+2.(2)令y=0,则-3x+2=0,x=名， 点C 的坐标为（号0） 3.把x=2代入y=2x十1，得y=2×2+1=5,.M(2,5).把 y=1代人y=-x+2,得-x+2=1,.x=1,N(1,1). 设一次函数的表达式为y=kx+b,把M(2,5)、N(1,1)代 人，得牛新得信仁这个一女两数的表达式 为y=4x-3. 4.(1)当x=0时，y=3,当y=0时，x=4,.A(4,0),B(0,3), ∴OA=4,OB=3,AB=5,∴.坐标三角形三边长分别为3、 4、5.(2)由于k值不确定，故有2种可能.当k>0时，如 图，：B(0,-3),S60=6,20A·3=6,0A=4, .A(4,0),把A(4,0)代人y=kx一3，得4k一3=0，解得 3 ∴直线为y=子x-3:当k<0时，如图，可得 OA'=4,.A'(-4,0),把A'(-4,0)代入y=x-3,得 一4-3=0，解得及=一子，小直线为y=-子。-8.综 上，该函数的表达式为y=子2一3或)=一红 4x-3. 74 练习5 1.(1)轿车行驶的路程油箱中的剩余油量(2)由表格可 知，该轿车油箱的容量是50L.每行驶100km,油量减少 8L,据此可得y关于x的函数表达式为y=50一0.08x, 当x=150时，y=50-0.08×150=38,.油箱中剩余油 量为38L. 2.(1)弹簧不挂物体时的长度是12cm.(2)由表格可得，y 随x的增大而增大.设y=kx十b,将点(0,12)、(2,13)代 人，得2十6-18，解得=0,5，：函数表达式为y 1b=12, 1b=12, 0.5x+12. 3.(1)由表格数据可知，鞋子的长度每增加1cm,鞋子的码 数就增加2，∴.当鞋长为28cm时，鞋子的码数是42+2× (28-26)=46(码).(2)设y=kx+b,把(22,34)、 (23,36)代人，得2十6-34解得=2，。 .y与x 123k+b=36, 1b=-10, 之间的函数表达式为y=2x一10. 练习6 1.(1)把点(1,6)代入y=x十2k,得k十2k=6,解得=2， .直线l的表达式为y=2x十4.(2)，将直线l向左平 移1个单位长度，∴.平移后直线的表达式为y=2(x十 1)+4=2x+6. 2.对于函数y=-号x+8,当x=0时，=8：当y=0时， x=6,∴.A(6,0),B(0,8),.OA=6,OB=8,AB=10.设 OM=a,.BM=8-a.由翻折知，BM=BM=8-a, AB=AB=10,.OB'=10-6=4.在Rt△OMB中， B'M2=OB2+OM,即(8-a)2=42+a2,解得a=3, M(0,3).设直线AM的表达式为y=kx十b,把A(6,0)、 M0,3)代人，得66+6=0·解得=一立'六直线AM b=3, b=3, 的表达式为y=一2x十3. 3.(1)把A4,0)和B(0,-3)代入y=x+6,得+6=0， 1b=一3， 3 解得=’这个一次函数的表达式为y=子x一3. 3 (b=-3, (2)将直线y=kx十b向上平移a个单位长度后，所得直 线的表达式为y=x-3十a,把M1,5)代人，得5= 子-3十a,解得a=婴：把N1,2)代入，得2=是-3+a, 解得a-呈a的取值范围是≤a≤望 第2节用一次函数解决问题 练习1 1.(1)y=2x-135×30=2x-4050,.y与x之间的函数表 达式为y=2x-4050.(2)根据题意，得y≥0，即2x一 4050≥0，解得x≥2025.答：每月乘客量最少达到 2025人时，该公交车才不会亏损. 2.(1)根据题意，得)=50-品=一02十50，即y与x的 函数表达式是y=一0十50。(2)根据题意，得一0x+ 50>50×},解得x≤375.答：该辆汽车最多行驶的里程 是375km. 3.(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx十b(k、b为常数， 且k≠0).将x=1,y=6和x=2,y=8.4代人y=kx十b, 得十6-6；，解得=2.4：y与工之间的函数表达 12k+b=8.4, b=3.6, 式为y=2.4x十3.6.（2)根据题意，得2.4x十 3.6≤28.8，解得x≤10.5.∴.此时碗的数量最多为10个 练习2 1.(1)y1=1.5x,y2=0.5x十800.(2)乙公司收取的租 车费比甲公司少，∴.y2<y,即0.5x十800<1.5x,解得 x>800.答：当汽车行驶路程大于800km时，乙公司收取 的租车费比甲公司少. 2.(1)y1=4x十400，y2=2x+720.(2)①当y1>y2时， 4x十400>2x+720,解得x>160;②当y1<y2时，4x+ 400<2x+720,解得x<160;③当y1=y2时，4x+400= 2x+720,解得x=160.答：当运输路程x小于160km时， 使用汽车运输，较节省费用；当运输路程x大于160km时， 使用火车运输，较节省费用；当运输路程x等于160km 时，使用汽车运输或火车运输，费用相同. 3.(1)第一种方案：y=5×100+100x×78%=78x+500,第 二种方案：y=100(x十5)×80%=80x+400.(2)令 78x+500=80x十400，解得x=50,.当学生人数小于 50时，按方案二购买；当学生人数为50时，两种方案一 样；当学生人数大于50时，按方案一购买. 练习3 1.(1)设骑行B品牌共享电动车超过10min后的函数表达 式为y2=kx十b,点(10,6)、(20,8)在该函数图象上， 八10十b二，解得一0.2，即骑行B品牌共享电动车 b=4, 超过10min后的函数表达式为y2=0.2x十4.(2)设骑 行A品牌共享电动车的函数表达式为y=ax,,点(20,8) 在该函数图象上，∴.8=20a,解得a=0.4,∴.骑行A品牌 共享电动车的函数表达式为y1=0.4x.根据题意，得 (0.2x十4)-0.4x=1或0.4x-(0.2x十4)=1，解得x 15或x=25.答：A、B两种品牌共享电动车收费相差1元 时x的值为15或25. 2.(1)2508(2)设当0≤x≤20时，乙所跑路程y与时间 x之间的函数表达式为y=kx,把(20,4000)代人y=kx, 得20k=4000,解得=200，∴.此时乙所跑路程y与时间 x之间的函数表达式为y=200x;设当20<x≤32时，乙 所跑路程y与时间x之间的函数表达式为y=mx十n,把 (20,4000)、(32,10000)代入y=mx+n,得 20m+n=4000:解得m=500,n=-600,此时乙所 32m+n=10000, 跑路程y与时间x之间的函数表达式为y=500x一6000. 综上所述，乙所跑路程y与时间x之间的函数表达式为 参考答案 y=200x(0≤x≤20)， (3)由题图函数图象可 500x-6000(20<x32). 知，前20min乙的速度为4000÷20=200(m/min),20min 到32min乙的速度为(10000-4000)÷(32-20)= 500(m/min),而甲的速度是250m/min.设乙所跑的时间 为tmin.①若前20min甲、乙两人相距750m,根据题意， 得250t-200t=750,解得t=15;②若20min以后到相遇 前，甲、乙两人相距750m,根据题意，得250t一[4000十 (t一20)×500]=750，解得t=21;③若甲、乙两人相遇后， 乙到达终点之前两人相距750m,根据题意，得[4000十 (t一20)×500]一250t=750,解得t=27.答：甲、乙两人相 距750m时乙所跑的时间为15min或21min或27min. 练习4 1.(1)设AB段图象的函数表达式为y=x十b.·A(1,80), B03,320,+0-80,n解得-120，线段AB对 3k+b=320, 0{b=-40, 应的函数表达式为y=120x-40(1≤x≤3).(2)当x= 2.5时，y=120×2.5-40=260,.380-260=120(km). 故小刚一家出发2.5h时离目的地120km. 2.(1)设线段BC对应的函数表达式为v=kt+b(230≤t≤ 270,0230+6解得=线段BC对应的 10=270k+b, 1b=270, 函数表达式为v=一t十270(230≤t≤270).(2)设线段 OA的函数表达式为v=mt(0≤t≤90)，又，A(90,40), 40=90m,解得m=号，∴线段0A的函数表达式为口 音(0≤≤90)，令0=30，t=67.5.对于BC段，令0= 30,∴.30=一t十270，.t=240..这两站之间列车速度不 低于30m/s的行驶时间为240-67.5=172.5(s). 3.(1)前10min,小宇的速度为1000÷10=100(m/min). (2)15-10=5(min).答：小字途中休息了5min.(3)当 15≤x≤20时，设路程y与步行时间x之间的函数表达式 为y=x+b,将点(15,1000)、(20,2000)代入，得 100=15k十解得=200，÷路程与时间的函数 2000=20k+b, 1b=-2000, 表达式为y=200x一2000.当x=18时，y=200×18- 2000=1600.答：18min时，小字共走了1600m. 练习5 1.(1)10162380(2)当0<x≤5时，y=合×16× 2x=16x,.当0<x≤5时，y关于x的表达式为y=16x (0<x≤5). 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4,.AB= 2BC=8.设点P运动的时间为xs,当点P在BC上，即 0<x≤2时，CP=2,△CDP的面积为y=2CD· CP=号×3×2z=3x;当点P在AB上，即2<x<6时， 过点P作PE⊥AC于点E,如图，此时BC+PB=2x, .PB=2x-4,∴.AP=AB-PB=8-(2x-4)=12-2x. 75 初中数学计算能力强化训练八年级 :PELAC,∠A=30,∴PE=2AP=6-x,△CDP 的面积为y= 2CD·PE=号×3X(6-)=9-是x综 3x(0<x≤2)， 上所述，y= {9-2<<6. 3.1D5(2)当点P在AB上，即0<≤9=3时，SADP 2 号AD·AP=号×3×24=3：当点P在BC上，即3<≤ 63=4.5时，Saue=合AD·AB=9:当点P在CD上， 即4.5<<6+3+6=7.5时，5wP=2AD·DP= 2 号×3×(15-2)=25-综上所述，s ,3t,0<3, 9,3<t4.5, 22.5-3t,4.5<t7.5. 练习6 1.(1)由题意，得y=280x+200(6-x)=80x+1200. 45.x+30(6-x)≥240， (2)解不等式组x≥0， 得4x6. 6-x≥0， (3)由(2)知4≤x≤6.x取整数，x取4或5或6.，y= 80x十1200，k=80>0,∴y随x的增大而增大，.当x=4 时，y的值最小，最小值为4×80+1200=1520.答：租用 甲种客车4辆，乙种客车2辆，所需的费用最低，最低费用 为1520元. 2.(1)每台电饭煲的利润为250一200=50（元），每台电压锅 的利润为200一160=40（元）.设购进电饭煲x台，则购进 电压锅(30一x)台.由题意，得200x十160(30一x)= 5600,解得x=20,则30一x=30一20=10，则总利润为 50×20+40×10=1400(元).答：厨具店在该买卖中赚了 1400元.(2)设采购的电饭煲有n台，则采购的电压锅 有(50-n)台.由题意，得总利润为50n+40(50-n) 200+10m“a≤(50-，m≤18是.当n=18时， 总利润最大，最大值为2000+10×18=2180（元）.答：采 购18台电饭煲，32台电压锅时，厨具店盈利最多，最大利 润是2180元. 第3节一次函数与二元一次方程 练习1 1..直线y=2x与y=一x十b的交点坐标为（1，a), ∴a=2,直线y=2x与y=-x十b的交点坐标为(1,2). 76 将方程组2一)一0整理得二2x,·该方程组 x+y-b=0 1y=-x+b, 的解为x=1, (y=2. 2.(1)设直线AB的函数表达式为y=kx十b.点A、B的坐 标分别为(1,0)、(0,2)，+6=0， 解得®-2直线 b=2, 八b=2, AB的函数表达式为y=一2x十2.(2)联立 (y=-2x+2, 解得工=2，点P的坐标为(2，-2. y=2x-6, y=-2, 3.(1)将点P(-1,m)代入直线y=2x十6，得-2+6=m, .m=4. (2=-1,(3)直线y=-b虹一k也经过 (y=4 点P.理由如下：，点P(一1,4)在直线y=x十b上， .一k十b=4.对于直线y=一bx一k,当x=一1时，y= b-k=一k十b=4,.直线y=一bx-k也经过点P. 练习2 L①将A03》BC3.0代人y红十6,0{日c+a,解得 k=-1,(2)由(1)知一次函数的表达式为y=一x+3, 1b=3. 与正比例函数表达式联立，得。x十3”解得 y=2.x, x=1点P的坐标为12). y=2, 2.（1)由题意，得k+60解得二-1：直线AB的函 k+b=4, 1b=5, 数表达式是)=一x十5.(2)由题意，得一x+5'解 1y=2x-4, 得2=3：点C的坐标为(3,2). (y=2, 3.(1在y=3z-2中，令y=0,即3x-2=0,解得=号， :点D的坐标为（号，0）：点C(m,3)在直线y=3z-2 上，3m-2=3,m= 号点c的坐标为（号3） (2)设直线l2的函数表达式为y=kx十b(k≠0)，由题意， 得停+63 =6 解得 7’ ∴.直线2的函数表达式 (4k+b=1, 31 b=7 6 为y=一 x+31 71 (3)由题图可知，二元一次方程组 5 为二豆 (y=3. 第4节一次函数、一元一次方程和 一元一次不等式 练习1 1.(1)当k=-2时，y1=-2x十2.由题意，得-2x十2>x-