专题03 用一次函数解决问题重难点题型专训（2个知识点+11大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题03 用一次函数解决问题重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 一次函数应用之分配方案问题 题型二 一次函数应用之最大利润问题 题型三 一次函数应用之行程问题 题型四 一次函数应用之工程问题 题型五 一次函数应用之分段函数问题 题型六 一次函数应用之几何问题 题型七 一次函数应用之体积问题 题型八 一次函数应用之面积问题 题型九 一次函数应用之交点问题 题型十 一次函数与距离公式的应用 拓展训练一 一次函数应用之新定义问题 拓展训练二 一次函数应用之存在性问题 拓展训练三 一次函数应用之动点问题 拓展训练四 一次函数应用之最值问题 拓展训练五 一次函数应用之旋转问题 知识点一：一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．体重的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉天后的体重为，则与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的应用，理解数量关系并正确列式是关键． 根据体重减少的规律，初始体重减去每天减少的重量乘以天数，即可得到x天后的体重． 【详解】解：∵ 初始体重为，每天减重， ∴ x天后减重， ∴ 剩余体重， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图所示的趋势图描述了一家公司某种产品销售收入随着广告支出增加的变化趋势，根据这个趋势图预测当广告支出为10万元时，该产品的销售收入约为 万元（结果保留整数）． 【答案】49（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数的应用，将图象延长坐标值是解题的关键．将图象向增大的方向延长，根据图象估计即可． 【详解】解：将图象延长，如图所示： 根据这个趋势图预测当广告支出为10万元时，该产品的销售收入约为49万元． 故答案为：49（答案不唯一）． 知识点二：一次函数图像的应用 1.在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 2.分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏常州·开学考试）某市规定每户每月用水量不超过吨，每吨价格元；用水量超过吨时，超过部分每吨水价为元．下图中能表示每月水费与用水量关系的示意图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像，根据选项依次判断即可． 【详解】A、图像表示每吨的价格不变，不符合题意； B、图像表示用水到一定量后，每吨的价格下降，不符合题意； C、图像表示用水到一定量后，每吨的价格上升，符合题意； D、图像表示用水量在一定量以前，总价不变，用水到一定量后，每吨的价格上升，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，梯形上底的长是x，下底的长是9，高是4，梯形面积y与底长x之间的关系式是 ． 【答案】 【分析】根据梯形的面积公式：（上底+下底）高进行计算即可． 【详解】解：由梯形的面积公式可得． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了函数关系式，关键是掌握梯形的面积公式． 【经典例题一 一次函数应用之分配方案问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏南京·期末）中国书法是中华优秀传统文化的重要组成部分，书法教育对培养学生的书写能力、审美能力和文化品质具有重要作用．张叔叔计划为母校捐赠一批毛笔和宣纸，打算从甲、乙两家物流公司中选择一家进行运输，甲物流公司的收费标准是12元/千克；乙物流公司的收费标准是：5千克以内（无论几千克）共收费80元，超过5千克的部分，每增加1千克，收费增加10元．设张叔叔要运输的这批毛笔和宣纸共千克，甲物流公司的总运输费用为元，乙物流公司的总运输费用为元． (1)分别求出与之间的函数关系式； (2)张叔叔选择哪家物流公司比较划算？（不计其他费用） 【答案】(1)， (2)当时，张叔叔选择乙物流公司比较划算；当时，张叔叔选择两家物流公司的费用相同；当时，张叔叔选择甲物流公司比较划算 【分析】本题考查了一次函数的方案问题，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别理解甲、乙物流公司的收费标准，再分别列式化简，即可作答． （2）依题意，进行分类讨论，然后列式算出所对应的的值或者的范围，即可作答． 【详解】（1）解：∵设张叔叔要运输的这批毛笔和宣纸共千克，甲物流公司的收费标准是12元/千克 ∴， ∵乙物流公司的收费标准是：5千克以内（无论几千克）共收费80元，超过5千克的部分，每增加1千克，收费增加10元． ∴ （2）解：当时，， 解得， 当时，， 解得， 当时，， 解得． 当时，张叔叔选择乙物流公司比较划算； 当时，张叔叔选择两家物流公司的费用相同； 当时，张叔叔选择甲物流公司比较划算． 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（   ） A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍 C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设购买A型球拍x副，则B型球拍为副，根据题意，A型数量不少于B型的2倍，即，解得，设总费用为，求出关于的函数解析式，再由一次函数的性质求解． 【详解】解：设购买A型球拍x副，B型球拍为副， 根据题意，， 解得， 设总费用为，则。 ∵，总费用随x增大而增加，因此当x取最小值20时费用最低， ∴当时，B型球拍为10副， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等组的应用，根据题意分别列出李明分别在甲乙两超市购买所需费用的解析式，再根据“在乙超市购买更划算”建立关于的一元一次不等式组，求解即可．根据题意列出一次函数关系式和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：设他购买了盒坚果礼盒，为正整数， 则在甲超市购买礼盒所需费用为：， 在乙超市购买礼盒所需费用为： 当购买盒数不超过盒时，， 当购买盒数超过盒时，， ∵李明通过计算后发现在乙超市购买更划算， ∴， 解得：， ∴他至少购买了盒． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)选方案二更优惠，理由见解析． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式： （1）根据两种优惠方案，列出关系式即可； （2）求出时的值，比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意，； ； ；； （2）选方案二更优惠，理由如下： 当时，；； ， 选方案二更优惠． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式； (2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择方案二更优惠，见解析 【分析】本题考查了函数的表达式，函数值的计算与比较，熟练掌握函数的表达式，求函数值是解题的关键 （1）方案一每人打九折，直接计算总费用；方案二前10人原价，超过部分打八折，分段计算后合并． （2）代入计算两种方案的总费用，比较大小后得出结论． 【详解】（1）解：票价为150元/张，方案一：每人票价打九折，此时单价为元， 故； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，此时费用为元，超过10人的部分的费用为， 总费用为：． （2）解：当时，， ． ， 选择方案二更优惠． 【经典例题二 一次函数应用之最大利润问题】 【例2】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）为筹备校园科技节，某学校计划采购机器人模型和电子元件套装用于学生实践活动，需购买两种物品共60件，其中：机器人模型单价120元/件，电子元件套装单价40元/件．为保障活动质量，要求机器人模型数量不少于电子元件套装的1.5倍，且电子元件套装至少购买10件．设购买机器人模型的数量为x件，总费用为y元．请回答以下问题： (1)写出总费用y与x的函数关系式； (2)在满足题中条件的情况下，如何购买能使总费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1) (2)购买机器人模型的数量为36件，电子元件套装24件，总费用最低，最低费用5280元 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）求出购买电子元件套装的数量为件，根据单价计算即可； （2）先根据题意求出，再根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵购买机器人模型的数量为件，购买两种物品共60件， ∴购买电子元件套装的数量为件， ∵机器人模型单价120元/件，电子元件套装单价40元/件， ∴； （2）解：∵机器人模型数量不少于电子元件套装的倍，且电子元件套装至少购买10件， ∴，解得 ，， 总费用随的增大而增大， 当时，（件）， 此时（元）． 购买机器人模型的数量为36件，电子元件套装24件，总费用最低，最低费用5280元． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）某商场销售一种儿童滑板车，经市场调查，售价x（单位：元）、每星期销量y（单位：件）、单件利润w（单位：元）之间的关系如图1、图2所示．若某星期该滑板车单件利润为20元，则本星期该滑板车的销量为（　　） A．94 B．96 C．1600 D．1800 【答案】D 【分析】先由图1求出y与x的函数解析式，再由图2求出x与w的函数解析式，然后把w＝20代入即可． 【详解】解：由图1可设y与x的函数解析式为y＝kx+b， 把（92，1400）和（98，2000）代入得， 解得：， ∴y与x的函数解析式为：y＝100x﹣7800； 由图2可设x与w的函数解析式为x＝mw+n， 把（18，98）和（24，92）代入得： 解得： ∴x与w的函数解析式为：x＝﹣w+116， 当w＝20时，x＝﹣20+116＝96， y＝100×96﹣7800＝9600﹣7800＝1800（件）， ∴本星期该滑板车的销量为1800件， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是根据图象求出函数解析式． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为 ．(其中) 【答案】9 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设商场获得的利润为，根据总利润等于两种服装的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，结合商场获利最大利润为4950元，进行求解即可． 【详解】解：设商场获得的利润为，由题意，得： ， 整理，得：， ∵， 当，即：时，随的增大而减小， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：（舍去）； 当时，即：时，随的增大而增大， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：； 故答案为：9． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）第十五届全运会将于年在粤港澳三地联合举办，口号为“激情全运会，活力大湾区（，）”全运会吉祥物是名为“喜洋洋”和“乐融融”的中华白海豚，寓意“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．全运会特许商品零售店预售吉祥物“乐融融”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价，现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天销售量将增加个，设每个吉祥物降价元（为整数），每天销售量为y个． (1)写出关于的函数表达式，并写出的取值范围； (2)设每天销售吉祥物“乐融融”的利润为元，零售店如何定价，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)，且为整数； (2)当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大，最大利润为2112元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用、二次函数的最值问题，熟练掌握根据实际问题列函数表达式并利用函数性质求解是解题的关键． （1）解题思路：根据“销售量原销售量降价增加的数量”列出函数表达式，结合“定价不低于进价”确定的范围； （2）根据“利润=（售价进价降价）销售量”列出利润函数，结合二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵ 定价不低于进价，即， ∴ ， 又∵ 为非负整数， ∴ 且为整数； （2）解：； ， ∵，且x为整数， ∴当时，最大值为2112，此时定价为． ∴当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大，最大利润为2112元 4．（25-26八年级上·江苏南京·月考）某无人机配件销售公司有A和B两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价（元件） a 80 售价（元件） 300 100 已知用12800元可购进A配件40件和B配件30件． (1)求的值； (2)若该无人机配件销售公司某次购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，且本次销售获得的总利润为y元，购进的A种配件为x件． （）请写出y与x之间的函数表达式；（利润售价－进价） （）根据市场销售分析，B种配件购进件数不低于A种配件的2倍，问怎样购进配件才能使本次销售获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】(1)a的值为260 (2)（）；（）购进A种配件100件、B种配件200件才能使本次销售获得的总利润最大，最大总利润是8000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，正确理解题意，运用函数模型解题是关键． （1）根据题意列一元一次方程求解即可； （2）（）根据题意列出函数关系式即可； （）根据题意列不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 答：a的值为260． （2）解：（）根据题意，得， 所以y与x之间的函数表达式为； （）根据题意，得， 解得， 由（）知， 因为， 所以y随x的增大而增大， 因为， 所以当时，值最大，，（件）， 答：购进A种配件100件、B种配件200件才能使本次销售获得的总利润最大，最大总利润是8000元． 【经典例题三 一次函数应用之行程问题】 【例3】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，甲、乙两地相距，现有一辆货车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．设（时）表示货车行驶的时间，表示货车与甲地的距离． (1)写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； (2)当货车行驶2.5小时的时候，货车离甲地的距离是多少？ 【答案】(1)，y是x的一次函数 (2)货车离甲地的距离是 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键理解题意； （1）根据路程=速度×时间可进行求解函数关系式，然后根据函数关系式可判断是否是一次函数； （2）根据（1）中函数关系式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： 与之间的关系式是， ∴y是x的一次函数； （2）解：由（1）得：把代入，则有： ； 答：货车离甲地的距离是． 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．乙用6分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D．甲乙两人之间的最远距离是960米 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键，根据图象信息，结合速度、时间和路程的关系对各项逐一分析即可． 【详解】解：由图知，(分)， 乙用6分钟追上甲， 正确，不符合题意； 甲的速度为(米/分)， 乙追上甲时，二人离终点的距离为(米)， 乙追上甲后，再走米才到达， 正确，不符合题意； 乙的速度为(米/分)， 乙到达终点所用的时间为（分）， 当乙到达终点时甲走的路程为(米)， 当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为(米)， 正确，不符合题意； 当乙到达终点时甲走的路程为2040米， 甲还需要(分)到达终点， 甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟， 错误，符合题意 故选：． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）某社团新型小车直道竞速（匀速）稳定性测试时，甲、乙均从地出发至地，甲先出发3秒后乙才出发，最终甲先到达地．如图，轴代表甲出发的时间，轴代表两人之间的距离，则甲到达地时，乙距离地还有 米． 【答案】620 【分析】本题考查一次函数的实际应用，由甲3秒行驶180米，可得甲的速度；由甲出发13秒后两人相距380米，可得乙的速度；首先求出两地的距离，再根据乙的速度和运动时间可得乙距离地的距离． 【详解】解：∵甲3秒行驶180米， ∴甲的速度为（米／秒）； （米／秒） ∴乙的速度为（米／秒）； （米），（米）， （米） 即甲到达地时，乙距离地还有620米， 故答案为：620． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）甲乙两人同时从学校出发，沿相同的路线前往书店．甲骑自行车，乙步行．甲到书店购书后按原路返回到学校时，乙恰好到达书店．图中折线和线段分别表示甲乙两人离学校的距离y（单位：）与时间x（单位：）的函数图象（假设甲骑自行车，乙步行的速度均不变）． (1)求甲离学校的距离y与时间x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在两人相遇前，甲离开学校多长时间与乙相距？ 【答案】(1) (2)在两人相遇前，甲离开学校、时与乙相距 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用． （1）结合函数图象，利用待定系数法求解函数解析式即可． （2）设直线的解析式为，可得，再结合（1）的结论进一步求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 则， 解得：， 即， 设直线的解析式为，则 ， 解得：， ∴． ∴所求解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 则， 解得：， 即， ①当时，， 解得， ②当时，， 解得：． 由题意知，甲离开学校后，到与乙相遇时，两人相距等于． ∴在两人相遇前，甲离开学校，时与乙相距． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图①，一条直的公路上依次有A，B，C三个汽车站，，，一辆汽车上午8：00 从距离A站的P地出发，匀速向C站行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午12：00前到达C站．设汽车出发 后离A站，图②中折线表示接到通知前y与x之间的函数关系． (1)根据图象可知，接到通知前汽车行驶的速度为 ； (2)求线段 对应的函数表达式（不写自变量的取值范围）； (3)接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶，则能否按时到达？如果不能按时到达，那么速度至少提高到多少可按时到达？请说明理由． 【答案】(1)80 (2) (3)不能，速度至少提高到，理由见解析 【分析】本题考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用，从图象中获取正确的信息是解题的关键 （1）由图象可知，休息前汽车行驶的路程为千米，时间为小时，根据速度路程时间解题． （2）先求出点G的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可； （3）由题意知，接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程总时间为小时，由，判断并求出速度即可． 【详解】（1）解：由图象可知，休息前汽车行驶的速度为：（千米/小时）． （2）解：休息后按原速度继续前进行驶的时间为：， 点的坐标为， 设线段所表示的与之间的函数关系式为， 则：，解得， 线段所表示的与的函数关系式为：． （3）解：若汽车按原速行驶，则不能按时到达，速度至少提高到 ． 理由如下：由（1），得接到通知前汽车行驶的速度为． 接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶， 则行完全程所需时间为 ． 因为，且， 所以若汽车仍按照原来的速度行驶，则不能按时到达． 若要使其能按时到达，则速度至少提高到 ． 【经典例题四 一次函数应用之工程问题】 【例4】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）某地计划修建一条长48千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天． (1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米? (2)已知甲工程队修路费用为20万元/千米，乙工程队修路费用为15万元/千米．甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用低于820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案?哪种方案最省钱? 【答案】(1)甲工程队每天修路千米，乙工程队每天修路千米 (2)共有8种修路方案，甲工程队修路12千米，乙工程队修路36千米最省钱 【分析】（1）设乙工程队每天修路千米，则甲工程队每天修路千米，利用工作时间工作总量工作效率，结合乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天，可得出关于的分式方程，解之经检验后可得出乙工程队每天修路的长度，再将其代入中，即可求出甲工程队每天修路的长度； （2）设甲工程队修路千米，则乙工程队修路千米，根据“要使修路总时间不超过55天，且总费用低于820万元”，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，可得出共有8种修路方案，设修路的总费用为万元，利用修路的总费用甲工程队修每千米路的费用甲工程队修路的长度乙工程队修每千米路的费用乙工程队修路的长度，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出最省钱的修路方案． 【详解】（1）解：设乙工程队每天修路千米，则甲工程队每天修路千米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲工程队每天修路千米，乙工程队每天修路千米； （2）设甲工程队修路千米，则乙工程队修路千米， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 共有（种）修路方案． 设修路的总费用为万元，则， 即， ， 随的增大而增大， 又，且为整数， 当时，取得最小值，此时． 答：共有8种修路方案，最省钱的修路方案为：甲工程队修路12千米，乙工程队修路36千米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）为加快修建速度，工程负责人将工程队分为甲、乙两组，从路的两端同时开工，两个组修建道路的长度（千米）与施工天数（天）的函数关系如图所示，则开工多少天时，两个组修建道路的长度相同（    ） A．12 B．13 C．15 D．16 【答案】D 【分析】根据待定系数法，将甲和乙的函数解析式求出，然后联立求解，可将两个组修建道路长度相同时的开工时间求出． 【详解】解：设甲组修建10天后对应函数解析式为， 则解得 设乙组对应的函数解析式为，则， 由得 开工16天后两个组修建道路的长度相同， 故选：D． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，解题的关键是利用数形结合的思想求解及具备在直角坐标系中的读图能力． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）某工程队接受一段道路施工的任务，计划从2023年10月初至2024年9月底（12个月）完成．施工3个月后，实行倒计时，提高工作效率，剩余工程量与施工时间的关系如图所示，那么按提高工作效率后的速度做完全部工程，则工期可缩短 个月. 【答案】1.5 【详解】分析：要求出完成全部工程可比预期提前几个月,需求出完成剩余工程所需时间,故此时的关键是求出引进先进设备之后的工作效率;根据图形信息可知4、5、6三个月的工作量为,据此即可求出每个月的工作效率. 详解:由题可知工作总量为1,根据图形可知4、5、6三个月的工作量为 ,故加快进度后每个月的工作效率为 ,故剩余的工作量所需时间为=4.5,即还需4.5个月才能完成任务,可知6-4.5=1.5 故完成全部工程可比预期提前1.5个月. 点睛：此类题目重要的一点是找到工作总量是什么:如果题目中有提到,则直接使用即可;如果题目中没有告诉工作总量,一般情况下用1表示工作总量.最基本的公式为“工作总量÷工作效率=工作时间”.本题从图形中即可观察到工作总量为1. 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天）之间的关系如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费． 【答案】(1)y关于x的函数关系式为 (2)现计划平均每天的修建费为万元． 【分析】本题考查的是一次函数的应用，分式方程的应用； （1）设y关于x的函数关系式为，再把，代入计算即可； （2）设现计划修建的时间为m天，则原计划修建的时间为天．根据题意，得，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：设y关于x的函数关系式为， 根据题意，得， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为； （2）解： 设现计划修建的时间为m天，则原计划修建的时间为天． 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， ∴， ∴， 答：现计划平均每天的修建费为万元． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘南深高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间天之间的关系如图所示． (1)甲组比乙组多挖掘了______天． (2)求乙组停工后关于的函数解析式． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数． 【答案】(1) (2) (3)天 【分析】本题考查一次函数的应用，从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，分别求出两组的挖掘速度是解题的关键． （1）观察图象即可； （2）求出甲组的挖掘速度，从而求出乙组停工后关于的函数解析式即可； （3）设当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，甲组挖掘了天，根据甲组挖掘的速度甲组挖掘的天数乙组挖掘的速度列方程列关于的方程并求解即可． 【详解】（1）解：甲组比乙组多挖掘了（天）． 故答案为：． （2）解：甲组的挖掘速度为（/天）， 则当时，， 乙组停工后关于的函数解析式为． （3）解：甲、乙两组合作的挖掘速度为（/天）， 则乙组的挖掘速度为（/天）， 设当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，甲组挖掘了天， 根据题意，得， 解得， （天）． 答：甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，乙组已停工天． 【经典例题五 一次函数应用之分段函数问题】 【例5】（24-25八年级上·江苏南京·期末）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过210度时，按元/度计费；月用电量超过210度时，其中的210度仍按元/度计费，超过部分按元/度计费．设每户家庭月用电量为x度时，应交电费y元． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)小李家12月份交电费元，则小李家这个月用电多少度? 【答案】(1)当时，；时， (2)小明家12月份用电260度 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，关键是根据题意得到函数关系式，然后代值计算即可． （1）根据题意可直接列出函数关系式； （2）由（1）可直接代值计算求解． 【详解】（1）解：当时，y与x的函数解析式是； 当时，y与x的函数解析式：， 即； （2）因为小明家5月份的电费超过元， 所以把代入中， 解得． 答：小明家12月份用电260度． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）自来水公司采用分段收费标准收水费，每月收取水费元与用水量之间的函数关系如图所示，琪琪家月份用水，应收水费(    ) A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】设当时，关于的函数关系式为，根据函数图象上点的坐标特征利用待定系数法即可求出关于的函数关系式，再将代入其内求出的值，此题得解． 【详解】解：设当时，关于的函数关系式为， 将、代入中， 则， 解得 ， 当时，关于的函数关系式为， 当时，， 琪琪家月份应交水费元， 故选：C． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．若按照分段收费标准，小颖家三、四月份分别交水费29元和19.8元，则四月份比三月份节约用水 吨． 【答案】3 【分析】先设函数解析式，然后看图将对应值代入其中求出常数项，即可得到函数解析式，根据函数解析式求出四月份的水量，三月份水量可直接求，那么四月份比三月份节约用水多少可求出． 【详解】解：当x＜10时，设y=mx， 将点（10，22）代入可得：22=10k， 解得：k=2.2， 即可得：y=2.2x， 当x≥10时，设y与x的函数关系式为：y=kx+b（k≠0）， 当x=10时，y=22，当x=20时，y=57， 将它们分别代入y=kx+b中得：， 解得：， 那么y与x的函数关系式为：y=3.5x-13， 综上可得：y=， 当y=29时，知道x＞10，将y=29代入得29=3.5x-13， 解得x=12， 当y=19.8时，知道x＜10，将y=19.8代入得19.8=2.2x， 解得：x=9， 即可得四月份比三月份节约用水：12-9=3（吨）， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息，再分析10吨水以内和超过10吨水价格的不同分别求出解析式． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）为了鼓励公民节约用电，合肥市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．每户家庭每月电费（元）与用电量（kW·h）之间的函数图象如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若小明家8月需缴电费176元，求小明家8月的用电量． 【答案】(1) (2)小明家某月需缴电费176元，小明家该月的用电量是295度 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是利用数形结合的数学思想，将图象与实际问题联系在一起，然后找出所求问题需要的条件． （1）根据图象可以分别设出，时的函数解析式，从而可以解答本题； （2）根据图象可以判断电费176元在的函数图象上，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：根据图象可得，时，设， 把代入得，， 解得，． ∴当时，； 当时，设， 把，代入得， 解得． ∴时，． 由上可得，y与x之间的函数关系式是． （2）解：将代入得，， 解：． 即小明家某月需缴电费176元，小明家该月的用电量是295度． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为元，用水量为立方米 用水量立方米 收费元 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)该户居民用水12立方米 【分析】（1）根据分段收费标准计算即可； （2）判断该户居民用水的范围，再根据对应函数关系式计算即可． 本题考查一次函数的应用，根据分段收费标准写出y与x的函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）当时，， 当时，， 水费与用水量之间的关系式为 （2）当时，， ， 该户居民用水超过10立方米， 当时，解得 答：该户居民用水12立方米． 【经典例题六 一次函数应用之几何问题】 【例6】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）将长为的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽． (1)求5张白纸黏合后的长度． (2)设x张白纸黏合后的总长度为，写出y与x之间的函数关系式． (3)当黏合后的总长度为时，请问这是由几张白纸黏合而成的． 【答案】(1)5张白纸粘合后的长度是； (2)y与x之间的函数关系式为； (3)这是由张白纸黏合而成的． 【分析】此题考查函数关系式，函数值，解题关键在于根据题意列出方程． （1）根据图形列出算式，求出即可； （2）根据题意列出算式； （3）将代入求解即可． 【详解】（1）解：， 答：5张白纸粘合后的长度是； （2）解：由题意得； 答：y与x之间的函数关系式为； （3）解：当时，， 解得， 答：这是由张白纸黏合而成的． 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）亮亮家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某地游玩，该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象信息，判断下列说法中正确的是（   ） A．亮亮到家的时间为17时 B．景点离亮亮的家120千米 C．小汽车返程的速度为80千米/时 D．10时至14时小汽车匀速行驶 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象在实际行程问题中的应用．解题的关键是从图象中准确提取时间与离家距离的对应关系，结合行程问题中速度、时间和路程的关系（速度路程时间），对各选项进行分析判断． 根据图象信息，明确不同时间段对应的离家距离：8时离家0千米，时到时离家距离保持千米不变（停留景点），时后距离逐渐减少（返程），时离家千米．据此分析各选项：计算返程速度需明确返程的路程和时间；判断到家时间需根据返程速度和剩余路程推算；确定景点距离和行驶状态需结合图象中距离的变化情况． 【详解】解：由图象可知： 8时出发，时到达景点，此时离家距离为千米，且时至时离家距离不变，说明在景点停留． 时开始返程，时离家千米，即1小时内行驶了千米，返程速度为千米/时． 剩余返程路程为千米，按此速度还需小时，故到家时间为时． 对选项分析： 选项亮亮到家的时间为时，计算正确． 选项景点离亮亮的家千米，而非千米，说法错误． 选项小汽车返程速度为千米/时，而非千米/时，说法错误． 选项时至时小汽车离家距离不变，处于停留状态，并非匀速行驶，说法错误． 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知a，b，c分别是的三条边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积是，则c的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．依据题意得到三个关系式：，，，运用完全平方公式即可得到c的值． 【详解】解：∵点在“勾股一次函数”的图象上， ，即， ∵分别是的三条边长，，的面积为， ∴，， ∴， ， ∴， 解得：（负值舍去）． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度（）随时间（秒）变化的函数关系图象如图． (1)甲、乙两个水壶加热前水的温度都为_____，甲壶中的水温在达到之前每秒上升的温度为_____； (2)当时，求乙壶中水温关于加热时间的函数表达式； (3)当甲壶中水温刚好达到时，求此时乙壶中的水温． 【答案】(1)20；1 (2) (3)当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的实际应用； （1）结合图象可得答案； （2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为，把，代入可得答案； （3）先求解当甲壶中水温刚好达到时，，再代入乙的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，当时，， 则加热前水温是， 甲壶中的水温在达到之前每秒上升的温度为 故答案为：20；1； （2）解：设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为， 把，代入可得： ， 解得：， ∴乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为． （3）解：∵甲壶中的水温在达到之前每秒上升的温度为 ∴当甲壶中水温刚好达到时，， ∴， ∴当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器中的液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于虹吸时间x（单位：）的函数图象，如图2所示． (1)请分别求出，与x的函数关系式； (2)求甲、乙容器中的液面高度相差时的虹吸时间． 【答案】(1) (2)甲、乙容器中的液面高度相差时的虹吸时间为或 【分析】本题考查了一次函数的应用，解一元一次方程，能理解题意，并从图象中获取准确信息是解答的关键． （1）利用待定系数法求得，再利用待定系数法求得； （2）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：开始时甲容器液面高， ∴， ∴设， 过和，代入得，， ∴解得， ∴， 设，过，代入得， ∴解得， ∴； （2）由条件可知或， ∴或， 解得：或， ∴甲、乙容器中的液面高度相差时的虹吸时间为或． 【经典例题七 一次函数应用之体积问题】 【例7】（2025·江苏无锡·模拟预测）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … (1)求与的函数关系式； (2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，求解即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 则，解得， 故与的函数关系式为． （2）解：令， 则，解得：， 答：停止加热时的气体温度为． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）在测量液体密度的实验中，小华同学测得液体和烧杯的总质量与液体体积的关系如图所示，则下列选项中不正确的是（　　） A．空烧杯的质量是 B．液体的质量与液体的体积满足一次函数关系 C．液体的密度是 D．当液体体积为时，液体和烧杯的总质量为 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，从函数图象中获取信息，先求解，再结合函数图象逐一分析判断即可. 【详解】解：设与的函数关系式为， 根据题图可知， 解得， ∴． 当时，，即空烧杯的质量是，故选项A符合题意； 函数图象是一条线段，则液体与烧杯的总质量与液体体积满足一次函数关系，因为烧杯的质量是一定的，所以液体的质量与液体的体积满足一次函数关系，故选项B不符合题意； 由液体的密度液体的质量液体的体积知， 液体的密度为，故选项C不符合题意； 把代入，得， 当液体体积为时，液体和烧杯的总质量为204g，故选项D不符合题意． 故选A． 2．（2025·江苏泰州·二模）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积V（cm³），绘制了如图所示的函数图像（图中为一线段），则72g该种液体的体积为 cm3． 【答案】80 【分析】本题考查了一次函数的应用，设，将，代入解析式求得，进而可得烧杯的质量为140g，72g该种液体和烧杯的总质量为，求出的值即可． 【详解】解：由图象可得：液体和烧杯的总质量与液体的体积为一次函数关系， 设， 将，代入解析式得：， 解得：， ， 当时，，即烧杯的质量为 当该种液体时，时，即， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）高铁候车厅的饮水机上有温水、开水两个按钮．小明打算接的水，先接温水再接开水，设接温水的时间为，水杯中水的温度为，期间不计热损失．根据物理学知识：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．利用下列图表中的信息解决问题： (1)若接温水的时间为，求水杯中水的温度； (2)求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； (3)若水杯中水的温度为饮水适宜温度时，求所接温水体积的取值范围． 【答案】(1)72度； (2)关于的函数表达式为，自变量的取值范围是； (3)当水杯中水的温度为饮水适宜温度时，所接温水体积应不少于，不超过． 【分析】本题主要考查一元一次方程，一次函数，一元一次不等式组的运用，理解数量关系是关键． （1）设接温水的时间为，水杯中水的温度为，根据开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度，列式求解即可； （2）温水体积为，开水体积为，由此列式得，即可求解； （3）根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设接温水的时间为，水杯中水的温度为， ∴温水的体积为：，则开水体积为， ∴温水升高的温度为，开水降低温度为, 根据开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度，可列式： ， 解得； （2）解：由题意得，温水体积为，开水体积为， ∴， 化简，得， 当都是温水时，，则， 解得，， 当都是开水时，，则， 解得，， ∴关于的函数表达式为，自变量的取值范围是； （3）解：由题意可知，， ∴， 解得， ，， ∴当水杯中水的温度为饮水适宜温度时，所接温水体积应不少于，不超过． 4．（2025·江苏常州·模拟预测【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【答案】(1)弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可． 【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 【经典例题八 一次函数应用之面积问题】 【例8】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某公园种植牡丹、月季和薰衣草三种花卉，其中牡丹的种植面积为亩，月季的种植面积比牡丹的种植面积多3倍，薰衣草的种植面积比牡丹种植面积的2倍多6亩． (1)设三种花卉种植的总面积为，写出与之间的函数关系式． (2)若月季的种植面积是的一半，求的值． 【答案】(1) (2)的值是6 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用， （1）根据题意得，月季的种植面积为，薰衣草的种植面积为，即可得； （2）根据题意得，，进行计算即可得； 理解题意，写出一次函数和一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，月季的种植面积为，薰衣草的种植面积为， 则三种花卉种植的总面积为：； （2）解：根据题意得，， ， ， ． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：）与工作时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（　　） A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【分析】此题主要考查求一次函数的解析式与函数的图像的关系．运用待定系数法求得一次函数的解析式是解答本题的关键．先求出2至5小时的一次函数解析式，从而求出当时的纵坐标，然后再除以2即可． 【详解】解：从图像可以知2至5时的函数图像经过 设该时段的一次函数解析式为，依题意，将点分别代入，可列方程组有 解得： ∴一次函数的解析式为：， ∴当时，解得． ∴前两小时每小时完成的绿化面积是． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）某绿化组承担了某地绿化任务，工作一段时间后，提高了工作效率，该绿化组完成的绿化面积S（单位：）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，先根据图像求出第二段解析式，计算出的函数值，从而求出，即可得到答案； 【详解】解：由图像可得， 设函数解析式为：， 将点，代入得， ， 解得：， ∴， 当时， ， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）从荣获“四家级旅游度假区”到荣登“中国避暑休闲百佳县榜”榜首，海阳这座滨海小城展示出其独特的韵味和魅力．为进一步建设宜居海阳，某部门准备在海边广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用y（元）与种植面积x（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米90元．    (1)当时，y与x之间的函数表达式为_______，当时，y与x之间的函数表达式为_______； (2)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【答案】(1)， (2)当甲种绿植的种植面积为400平方米，乙种绿植的种植面积为200平方米时， 总费用最少为58000元 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，熟练的求解函数解析式是解本题的关键； （1）直接利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）设甲种绿植的种植面积为x平方米，则乙种绿植的种植面积为平方米．根据甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍建立不等式组求解的范围，再建立一次函数，利用一次函数的性质解答即可； 【详解】（1）解：当时，设函数为， ∴， 解得：， ∴函数解析式为， 当时，设y与x之间的函数表达式为, ∴， 解得：， ∴函数关系式为． （2）解：设甲种绿植的种植面积为x平方米，则乙种绿植的种植面积为平方米． 由题意，得， 解得不等式组的解集为．    设种植总费用为w元． 当时，．       随x的增大而增大． 当时，．     当时，．    随x的增大而减小． 当时，． ， 所以，当甲种绿植的种植面积为400平方米，乙种绿植的种植面积为200平方米时，总费用最少为58000元． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）如图①，在四边形中，，，．动点P从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积S与运动时间的函数图象如图②所示． (1)__________； (2)求点P在段上运动时，的面积S与运动时间的函数表达式； (3)当的面积为时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查了一次函数的应用，矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）由图象利用路程等于速度乘时间即可得到答案； （2）利用矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质求出点F的坐标为，点E的坐标为，利用待定系数法即可求出答案； （3）先求出点G的坐标，利用待定系数法求出点P在段上运动时，的面积S与运动时间的函数表达式，再根据的面积为分别进行求解即可． 【详解】（1）解：从图②看，， 故答案为： （2）过点A作于点H， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ， 由图象可知，当点P运动到点D时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P运动到点D时， ∴由图象可知点F的坐标为， 当点P运动到点A时，， 即点E的坐标为， 点P在段上运动时，设的面积S与运动时间的函数表达式为，则 ， 解得 ∴点P在段上运动时，设的面积S与运动时间的函数表达式为 （3）由（2）可知，，， ∴， ∴当点P运动到点C时，，即点G的坐标为， 点P在段上运动时，设的面积S与运动时间的函数表达式为，则 ， 解得 ∴点P在段上运动时，设的面积S与运动时间的函数表达式为 当的面积为时，即， 当点P在段上运动时，，解得， 点P在段上运动时，，解得， 即当的面积为时， 或． 【经典例题九 一次函数应用之交点问题】 【例9】（24-25八年级上·江苏镇江·期末）定义：叫做关于直线的“分边折叠函数”． (1)已知“分边折叠函数” ①直接写出该函数与y轴的交点坐标； ②若直线与该函数只有一个交点，求t的取值范围； (2)已知“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为，则k的值为______． 【答案】(1)①，②或 (2) 【分析】（1）①求出当时，的值即可得到答案；②分别求出当时，的函数值和的函数值，然后令函数经过求出的对应函数函数值的对应坐标即可得到答案； （2）先求出函数与直线的交点坐标，与y轴的交点坐标，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：（1）①当时， ， ∴该函数与y轴的交点坐标为； ②令，代入得， 令经过点， ∴， ∴． 同理，令，代入得， 令经过点， ∴， ∴． 综上分析得，当或时，与该函数只有一个交点． （2）解：∵， ∴函数与y轴的交点坐标为，与直线的交点坐标为， ∵“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为， ∴， ∴， ∴（m等于0时，直线与y轴重合，不符合题意）， 解得． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，正确理解题意是解题的关键． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”如图所示的是良马与驽马行走路程s（里）关于行走时间t（日）的函数图象，则两图象交点P的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图像的性质及交点坐标的求法，根据题意列出函数解析式，驽马行走路程，良马行走路程，进而联立方程组求出点坐标．熟练掌握一次函数解析式的求法是解决本题的关键． 【详解】解：由题意可知，驽马行走路程， 良马行走路程， 联立可得：，解得，， 故点P的坐标为， 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日迫及之．”两匹马行走路程S（里）与行走时间（日）的函数关系如图所示，则图中交点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据题意可以得到关于t的方程，从而可以求得点P的坐标，本题得以解决． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：设良马t天追上驽马， ， 解得，， 20天良马行走的路程为（里）， 故点P的坐标为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）A、B两地在一直线上，且相距，甲、乙两人同时从A、B出发，分别沿射线、行进，其中甲的速度为每小时，设他们出发x小时，甲、乙两人离A地的距离分别为、，与x的部分函数图象如图所示： (1)分别写出，与x之间的函数关系式； (2)在所给的平面直角坐标系中画出的函数图象． (3)试一试写出、的图象交点坐标并解释其实际意义． 【答案】(1)； (2)见详解 (3)；见详解 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据可以求得，与之间的函数关系式； （2）根据画出一次函数图像即可． （3）先求出两直线的交点坐标，再解释其实际意义即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 与之间的函数关系式是， 乙的速度为：， 则与之间的函数关系式是； （2）解：的函数图象如下： （3）解：令，得， ， 即、的图象交点坐标为， 实际意义是甲和乙行驶时，他们离地的距离为． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期末）已知甲、乙两地相距，李老师和王老师周末相约骑行游玩，两人沿同一条公路从甲地到乙地，李老师骑自行车到达．王老师骑摩托车比李老师晚出发，骑行时追上李老师，停留后继续以原速骑行，在整个行程中，两人与甲地的距离y与李老师骑行时间x的对应关系分别如图中线段和折线段所示，与的交点为F． (1)李老师骑自行车的速度为_______； (2)求王老师在段的速度以及n的值； (3)求王老师第二次追上李老师时与乙地的距离． 【答案】(1) (2)， (3)王老师第二次追上李老师时与乙地的距离为 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据计算即可； （2）由李老师行驶的时间求出王老师在段行驶的时间，根据可求王老师在段的速度及n的值； （3）先求出段的解析式为，段的解析式为，由“以原速骑行”可知王老师在段的速度与在段的速度相同，即，设线段的解析式为，求出，根据点F为线段和线段的交点，列二元一次方程组求出，进而可求出答案． 【详解】（1）解：∵甲、乙两地相距，李老师骑自行车到达， ∴李老师骑自行车的速度为， 故答案为：； （2）解：李老师骑自行车的速度为，则行驶的时间是， ∴王老师在段行驶的时间为， ∴王老师的行驶速度为，n的值为 （3）解：∵李老师骑自行车的速度为， ∴段的解析式为， 由（2）可知，， 设段的解析式为， 将，，代入得， 解得：， ∴段的解析式为 ∵王老师在段的速度与在段的速度相同， ∴． 设线段的解析式为． ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴线段的解析式为． ∵点F为线段和线段的交点， ∴点F的坐标是方程组的解， 解得 ∴． ∵， ∴王老师第二次追上李老师时与乙地的距离为． 【经典例题十 一次函数与距离公式的应用】 【例10】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）阅读理解题 在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0（A2+B2≠0）的距离公式为：， 例如，求点P（1，3）到直线4x+3y﹣3＝0的距离． 解：由直线4x+3y﹣3＝0知：A＝4，B＝3，C＝﹣3 所以P（1，3）到直线4x+3y﹣3＝0的距离为： 根据以上材料，解决下列问题： (1)求点P1（-2，4）到直线3x﹣4y﹣5＝0的距离． (2)若点P2（1，0）到直线x+y+C＝0的距离为，求实数C的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据点到直线的距离公式代入求解即可； （2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：由直线知：，，， 所以到直线的距离为：； （2）∵点到直线的距离为， ， ∴， 解得：或． 【点睛】本题考查点到直线的距离公式的知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知在一条笔直的道路上顺次有、、三地，且、两地之间的距离为，甲、乙两车分别从地，地同时出发，沿这条笔直道路前往地，甲车到达地后立即以原速沿原路返回，乙车到达地后停止运动.两车距地的距离，与甲车行驶的时间之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．去程时 D．两车在时第一次相遇 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的应用、行程问题、求解函数解析式以及相遇问题，解题的关键是分析函数图像，确定甲、乙的速度，利用待定系数法求函数解析式．根据甲车往返路程与时间关系求，再利用待定系数法求函数解析式，通过列方程求相遇时间及时间间隔． 【详解】、由题意知，甲车往返路程相同，从出发到返回共用小时，所以到达地的时间小时，故错误； 、乙车小时行驶千米，根据速度公式可得乙车速度为，所以乙车距地的距离，故错误； 、甲在去程时小时行驶千米，根据速度公式可得去程甲车速度为，甲在去程距地的距离，故错误； 、两车第一次相遇时，乙车距地的距离等于甲车距地的距离，即，解得，故正确； 故选：． 2．（2025·江苏常州·一模）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离． 解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d=．根据以上材料，解决下列问题：如图，已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，设点P为⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=4，则S△ABP的最大值 ． 【答案】8 【分析】根据点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式求得点C(2，1)到直线3x+4y+5=0的距离，当点P在这条垂线离AB最远的圆上时，面积最大，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】根据题意知，圆心C的坐标为(2，1)， ∴C(2，1)到直线3x+4y+5=0的距离为d=， ∴S△ABP的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式，解题的关键是理解题意，会求圆上的点到直线的距离的最大值． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）成都2025年世界运动会期间，为展现智能科技与体育赛事的融合，组委会开展人形机器人模拟赛事项目竞速测试．两款人形机器人“蜀韵”和“锦风”参与测试，已知“蜀韵”和“锦风”同时从起点出发前往模拟赛事终点，与分别表示“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)分别求出“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)当时，求“蜀韵”和“锦风”相距时的时间． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式以及根据函数关系式列方程求解是解题的关键． （1）对于“蜀韵”，其函数图象是过原点的直线，故设为正比例函数，代入已知点坐标求解；对于“锦风”，其函数图象是一次函数，设为，代入已知点坐标求解． （2）根据（1）中求出的两个函数关系式，分“锦风”在“蜀韵”前面和后面两种情况，列绝对值方程求解． 【详解】（1）解：设， ∵ 过点， ∴ ， 解得 ， ∴， 设， ∵ 过点， ∴ 解得，， ∴； （2）解：当时，分两种情况： 情况一： 即， 解得， 情况二：即， 解得， 答：“蜀韵”和“锦风”相距时的时间为或． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）共享电动车，给我们的出行提供了方便．现有A，B两种品牌的共享电动车，收费y（元）与骑行时间x（分）之间的函数关系如图所示，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应． (1)直接写出、的函数关系式； (2)若骑行8分钟，A，B两种品牌的共享电动车收费相差多少元？ (3)小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/h，小明家到工厂的距离为9km，那么小明应选择哪个品牌的共享电动车更省钱？请说明理由． 【答案】(1)， (2)2.8元 (3)小明骑B品牌共享电动车更省钱 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）将代入、的函数关系式，作差即可； （3）先计算小明从家到工厂所需时间，分别代入、的函数关系式，求出所需费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：设，函数图象过， ， ， ； 当时，， 当时，设，函数图象过，， ， 解得， ， ； （2）解：时， （元）， （元）， （元）， 即骑行8分钟，两种品牌的共享电动车收费相差2.8元； （3）解：， 小明从家到工厂所用时间为：（分钟）， 骑A品牌共享电动车费用为：（元）， 骑B品牌共享电动车费用为：（元）， ， 小明骑B品牌共享电动车更省钱． 【拓展训练一 一次函数应用之新定义问题】 1．（2025·江苏扬州·二模）新定义：如果实数，满足时，则称点为“初始点”，称点为“生成点”．例如：点是“初始点”，对应的“生成点”为点． (1)点是“初始点”，且点在一次函数的图象上，求，的值； (2)点是“初始点”，点对应的“生成点”在反比例函数的图象上，若点的横坐标为，求值； (3)点是“初始点”，点对应的“生成点”是点，二次函数为常数）的顶点的轨迹记作，若，一次函数为常数）的图像与相交且有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义列二元一次方程组求解即可； （2）由新定义求得从而得点对应的“生成点”即再利用待定系数法即可得解； （3）由新定义得，点，，进而求得顶点的轨迹为：，由，得，把代入一次函数为常数），得当与只有相切时，解得，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵点是“初始点”，且点在一次函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：∵点是“初始点”， 点的横坐标为4， ∴点的纵坐标为， ∴ ∴点对应的“生成点”即 ∵在反比例函数的图象上， ∴， （3）解：∵点是“初始点”， ∴即， ∴点， ∴点对应的“生成点”是点即， ∴， ∴二次函数为常数）化为， ∴为常数）的顶点， ∴顶点的轨迹为：， ∵， ∴， 中，当时，， 把代入一次函数为常数）得 解得 当与只有相切时， ∴， ∴， 解得 如图， 由图形可得 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，一元二次方程根的情况，解二元一次方程组，求反比例函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）阅读理解： 【新定义】对于线段和 点Q，定义：若，则称点Q为线段的“等距点”；特别地，若，则称点Q 是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知4个点：，以上这四个点中 是线段的“等距点” ， 是线段的“完美等距点”（填写大写字母）． (2)若点P 在第三象限，且，点H在y轴上，且H是线段的“等距点”，求点H的坐标； (3)当，是否存在这样的点N，使点N是线段的“等距点”且为线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 【答案】(1)B，C，E；B (2)H点的坐标为 (3)P点的坐标为或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了新定义、等腰直角三角形的性质、两点之间的距离公式和勾股定理等知识，本题综合性强，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键． （1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到O，A的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）设出H点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （3）假定存在，设出N点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论． 【详解】（1）∵， ∴ ∴B是线段的等距点； ∵， ∴ ∴C是线段的等距点； ∵， ∴ ∴D不是线段的等距点； ∵， ∴ ∴E是线段的等距点； ∵ ∴， ∴B是线段的完美等距点； （2）∵点是直线上一动点 ∴ ∴ ∴ ∵点P 在第三象限， ∴ 设H的坐标为 ∴ ∵ ∴，解得： ∴H的坐标为 （3）存在； ∵点N是线段的“等距点”， 点A 的坐标为， ∴ ∴设N的坐标为 ∵点是直线上一动点 ∴ ∴，， ∵点N为线段的“完美等距点”， ∴ ∴，解得 ∵点N为线段的“完美等距点”， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴，解得或 当时， 当时， ∴P点的坐标为或； 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）对于直线，新定义：点为直线的“专属点”．而直线称为关于点的“专属直线”．如：直线的“专属点”为，关于点的“专属直线”的解析式为． (1)直线的专属点是__________； (2)如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，轴，，，，点的坐标为，求关于点的“专属直线”直线的解析式； (3)若关于点的“专属直线”经过点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义即可求解； （2）作BE⊥x轴，AF⊥BE，根据平行四边形的性质可求得D的坐标，从而求D的“专属直线”； （3）设“专属直线”：，将点代入得，，由 即可求解； 【详解】（1）解：根据题意，的专属点是． （2）作BE⊥x轴，AF⊥BE， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴关于点的“专属直线”直线的解析式为：． （3）设“专属直线”：， 将点代入得，， ∵是的“专属点”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用、平行四边形的性质，掌握相关知识并理解新定义概念是解题的关键． 【拓展训练二 一次函数应用之存在性问题】 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）某超市以20元/箱的价格采购一款畅销食品加工后出售，销售价格不低于30元/箱，不高于40元/箱．销售时发现，销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱；当销售价格每箱30元时，每天销售量为40箱．若每天的销售量为（箱），销售价格为（元/箱）． (1)求与之间的关系式； (2)是否存在，使得这天的销售利润达到600元？若存在请求出的值，若不存在，请说明理由． (3)当销售价格定为多少时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润（销售价格采购价格）销售量】 【答案】(1) (2)利润不可能达到600元，理由见解析 (3)当（元/箱）时，销售利润最大值为450元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意列出，化简即可； （2）化简之后利用根的判别式求解即可； （3）先求出，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴与之间的关系式为． （2）解：由， 化简得：， ，方程无解， 销售利润不可能达到600元． （3）解：设， ∵， 当（元/箱）时，销售利润最大值为450元． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）经研究发现，声音在空气中的传播速度与空气的温度之间存在一次函数关系，如下表所示： 0 10 20 30 318 324 330 336 342 348 (1)写出当时，v与T之间的函数关系式； (2)气温在时，有人在看到闪电后听到雷声，请通过计算估算此人距打雷处的距离（人看到闪电的时间忽略不计）． 【答案】(1) (2)此人距打雷处的距离约为 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练利用待定系数法求函数解析式是关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）把代入解析式即可解答． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将点代入， 得， 解得， 所以与之间的函数关系式为为． （2）解：当时，， 由题意，得， 所以此人距打雷处的距离约为． 3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，点在的平分线上？ 【答案】(1)即的值为 (2)， (3)当为3时，点在的平分线上 【分析】本题考查矩形上的动点问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，解一元二次方程； （1）通过等量代换得出，证明，利用相似三角形对应边成比例得，代入数值即可求解； （2），用含的代数式表示出相关线段的长度，进而根据一次函数的性质结合自变量的取值范围，即可求解； （3）连接，根据角平分线的定义可得，进而可得，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ， ． ， ． 四边形是矩形， ． ， ， ， 依题意，，，， ， 即， 解得（舍去），， 即的值为． （2）依题意，，，， ． ， 当时，有最大值，此时． （3）如图，连接． 平分， ， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ， ， ． 即当为3时，点在的平分线上． 【拓展训练三 一次函数应用之动点问题】 1．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知长方形中，，，为边的中点，为长方形边上的动点，动点以4个单位／秒的速度从出发，沿着运动到点停止，设点运动的时间为秒，的面积为． (1)点运动过程中，求出与之间的关系式； (2)当为何值时，最大？并求出的最大值． 【答案】(1) (2)当时，最大，的最大值为． 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了三角形面积求法，求一次函数的解析式和一次函数的性质，分类讨论是关键． （1）分两种情况讨论，求出函数解析式即可； （2）根据一次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：①当P在上时，即时（如图1）， 此时，， ∴的面积为， ②当点P在上时，即（如图2）， 此时， 则 ． 所以y与之间的关系式为， ∴ （2）当时，的面积为， ∵ ∴y随着x的增大而增大， ∴当时，， 当时，的面积为， ∵ ∴y随着x的增大而减小， ∴当时，， 综上可知，当时，最大，的最大值为． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在长方形电子广告屏中，，．画面设计如下：动点从点出发沿长方形的边，以的速度向点运动，逐渐展开主体广告画面． (1)写出的面积关于点的运动时间的函数表达式； (2)画出上述函数的图象． 【答案】(1) (2)函数图像见解析 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，求函数解析式以及画函数图象，正确理解题意是解题的关键． （1）分类讨论，根据三角形的面积公式即可建立函数解析式； （2）描点，连线即可作图． 【详解】（1）解：当点在边上运动时，此时的范围是， 则， ∴． 当点在边上运动时，此时的范围是， ， ∴， 综上：； （2）解：函数图象如图所示．         3．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图1， 在中，于点D， ，，动点 E 从点B出发，沿射线以的速度匀速运动，到达点D时停留后以原速度继续运动．如图2为 的面积随时间的变化图像． (1)填写图2中数据： ， ， ， ； (2)当 时，； (3)求整个运动过程中 S 与 t的函数关系式． (4)当动点 E从点 B出发时，动点 F 同时从点C沿边以的速度向终点B运动，当点 F 到达终点B后，点 E 也随之停止运动．直接写出 t取何值时，． 【答案】(1)，，，； (2)或 (3) (4)当或时， 【分析】此题考查从函数图象获取信息、求函数解析式、一元一次方程的应用等知识分类讨论是解题的关键． （1）由三角形的面积公式可求出 ，由图2可求出 ，由三角形的面积公式可求出 ，由的长度与点 运动的速度以及到达 时停留1s以原速度继续运动即可求出 ； （2）由面积关系先求出，得出 ，再由点的速度即可得出结果； （3）根据时间分情况讨论即可求出函数解析式； （4）由三角形的面积公式可求出，分别当在的左侧时，以及在右侧时，求出的值． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）得：，， ， ， ， ， ， 当在上时， （s） 当在延长线时， 是到达点时停留1s后以原速度继续运动， （s） 综上所述，当s或s时， ， 故答案为：或； （3）由题意可知，， ∴， 当时， 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴ （4）解：， 时，， ， 当在的左侧时，， ， 当在的右侧时，， ， 综上所述，当或时， 【拓展训练四 一次函数应用之最值问题】 1．（2025·江苏无锡·一模）某商店销售 、、三种型号的饮料．随着夏季来临，天气逐渐炎热，该商店决定从今年月日起将饮料每瓶的价格上调，将饮料每瓶的价格下调，饮料价格不变，是每瓶元．已知调价前、、三种饮料各买一瓶共花费元，调价后买饮料瓶、饮料瓶共花费元． (1)问、两种饮料调价前的单价； (2)今年月份，温州某单位花费元在该商店购买、、三种饮料共瓶，其中购得饮料的瓶数是饮料的倍，求的最大值． 【答案】(1)饮料调价前的单价为元瓶，饮料调价前的单价为元瓶 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程；通过解二元一次方程，找出n关于m的函数关系式． （1）设饮料调价前的单价为元瓶，饮料调价前的单价为元瓶，根据“已知调价前、、三种饮料各买一瓶共花费元，调价后买饮料瓶、饮料瓶共花费元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进饮料瓶，则购进饮料瓶，购进饮料瓶，根据总价单价数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，进而可得出，由购买C饮料的数量需为非负整数，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再由m，n均为正整数，结合一次函数的性质即可求出n的最大值即可． 【详解】（1）解：设饮料调价前的单价为元瓶，饮料调价前的单价为元瓶， 依题意，得：， 解得： 答：饮料调价前的单价为元瓶，饮料调价前的单价为元瓶． （2）设购进饮料瓶，则购进饮料瓶，购进饮料 瓶， 依题意，得：， 购买C饮料的数量需为非负整数，即， 将代入，得， 解得： 又，均为正整数，由可知，为使n为整数，m必须为5的倍数， 当时，取得最大值，最大值为． 答：的最大值为． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）某高校网球俱乐部举办网球比赛，总费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地所需的固定不变的费用800元，另一部分耗材费用与参赛人数x（人）成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若该次比赛的费用为2400元，求有多少名运动员参加了比赛？ (3)该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入元，设利润为W元（利润＝收入－比赛的费用）．若，求W的最大值． 【答案】(1) (2)40名 (3)最大值为2800 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象性质，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把，代入求解即可； （2）直接把代入求解即可； （3）根据一次函数的性质结合求解即可． 【详解】（1）解：依题意，设 把，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：∵该次比赛的费用为2400元，且由（1）得 把代入，得， 解得， 即该次比赛的费用为2400元，有名运动员参加了比赛； （3）解：∵该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入元，设利润为W元（利润=收入-比赛的费用）． ∴， ∵， ∴随之的增大而增大， ∵， ∴把代入，得， ∴W的最大值为． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）某年5月，我国南方某省、两市遭受严重洪涝灾害，许多人被迫转移，邻近县市、获知、两市分别急需救灾物资20吨和30吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知市有救灾物资24吨，市有救灾物资26吨，现将这些救灾物资全部调往、两市．已知从市运往、两市的费用分别为每吨20元和25元，从市运往往、两市的费用别为每吨15元和30元，设从市运往市的救灾物资为吨． (1)请填写下表； （吨） （吨） 合计（吨） （吨） ① ② 24 （吨） ③ 26 合计（吨） 20 30 50 (2)设、两市的总运费为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)经过抢修，从市到市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余路线运费不变．若、两市的总运费的最小值不小于1032元，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3) 【分析】（1）根据运往A，B两市的物资吨数和等于该市的总物资吨数，列代数式解答即可． （2）根据总费用等于各条运输路线的费用之和，列式计算即可； （3）建立关于m的不等式解答即可． 本题考查了列代数式，一次函数的性质，不等式的应用，熟练掌握性质和应用是解题的关键． 【详解】（1）解：D市运往B市x吨，D市运往A市吨，C市运往B市吨，C市运往A市吨． 故答案为、、． （2）解：由题意，得 由题意，得，则， ∴． （3）解：根据题意，得． 当时， 时，w取得最小值，此时，    解得； 当时， ，不满足不小于的要求，不符合题意，舍去； 当时，时，w取得最小值，此时，， 解得，矛盾，这种情况不符合题意， 综上，m的取值范围是． 【拓展训练五 一次函数应用之旋转问题】 1．（2025八年级上·江苏·专题练习）规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”． (1)求出直线的“旋转垂线”的解析式； (2)若直线的“旋转垂线”为直线．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）直线经过点和，这两点绕原点顺时针旋转，得到的对应点为和，这两点在的“旋转垂线”上，利用待定系数法求解析式即可； （2）直线经过点，和，这两点绕原点顺时针旋转，得到的对应点为和，这两点在 上，代入求解即可． 【详解】（1）直线经过点和， 则这两点绕原点顺时针旋转，得到的对应点为和， 设直线的“旋转垂线”的解析式为， 把和，代入，可得： ，解得， 直线的“旋转垂线”的解析式为； （2）证明：直线经过点，和， 则这两点绕原点顺时针旋转，得到的对应点为和， 把和，代入，可得 ， ， ． 【点睛】本题考查一次函数图象的旋转．理解题目中给出的定义，掌握直线上点的旋转点在旋转垂线上是解题的关键． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点为旋转中心顺时针旋转180°，画出旋转后对应的；平移，若点对应的点的坐标为，画出； （2）若绕某一点旋转可以得到，旋转中心的坐标为_________． （3）在轴上有一点使得的值最小，直接写出点的坐标为________． 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】（1）根据旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得； （2）结合对应点的位置，依据旋转变换的性质可得旋转中心； （3）作出点A关于x轴的对称点A′，再连接A′B，与x轴的交点即为所求． 【详解】解：（1）如图所示，，即为所求． （2）如图所示，点即为所求，其坐标为． （3）如图所示，点即为所求， 设直线的解析式为，将点，代入解析式， 得， 解得 ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，一个正比例函数的图象与一个一次函数的图象相交于点，且一次函数的图像与y轴相交于点，与x轴交于点C． (1)判断的形状并说明理由； (2)若将直线绕点A旋转，使的面积为8，求旋转后直线的函数解析式； (3)在x轴上求一点P使为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)是等腰三角形；理由见解析； (2)或 (3)或或或 【分析】（1）根据A的坐标求得和的长度即可判断； （2）首先根据三角形的面积公式求得的长，即可得到C的坐标，利用待定系数法即可求解； （3）分三种情况：是底边； 是腰，且A是顶角的顶点； 是腰，且O是顶角的顶点．进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵的面积为8， ∴，即， 解得：， ∴C的坐标是或． 设直线的解析式是：， 当C的坐标是时，根据题意得： ，解得：， ∴直线的解析式是； 当C的坐标是时，根据题意得： ，解得：， ∴直线的解析式是：； （3）解：当是底边时，过点A作轴于点M，则， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 当是腰，O是顶角的顶点时，， 此时P的坐标是或； 当是腰，A是顶角的顶点时，如图，，过点A作轴于点M，则， ∴， 此时P的坐标是； 综上所述，P的坐标是或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数综合题，涉及了求一次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，甲的速度为每分钟米，乙的速度为每分钟米，甲先跑3分钟后乙再开始，且两人同时到达终点，则两人之间的距离（米）与甲跑步的时间（分钟）的函数关系的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查从函数的图象获取信息，解题的关键是明确自变量和函数表示的实际意义．根据题意数形结合逐项分析判断即可，因为甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，所以开始跑步时两人之间的距离为0，甲先跑3分钟，两人距离增加，乙出发后，甲的速度小于乙的速度，两人距离变小，两人同时到达终点，所以到达终点时两人的距离为0． 【详解】解：A、因为甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，所以开始跑步时两人之间的距离为0，故A选项不符合题意； B、因为甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，所以开始跑步时两人之间的距离为0，故B选项不符合题意； C、因为两人同时到达终点，所以到达终点时两人的距离为0，故C选项不符合题意； D、甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，所以开始跑步时两人之间的距离为0，甲先跑3分钟，两人距离增加，乙出发后，甲的速度小于乙的速度，两人距离变小，两人同时到达终点，所以到达终点时两人的距离为0，故选项D符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·开学考试）西苑、竹林两个水站分别存水600吨、1400 吨，东区、西区分别用水1200吨、800吨，需要从西苑、竹林两个水站调运，由西苑水站到东、西两区的运费分别为6元/吨、5元/吨；由竹林水站到东、西两区的运费分别为9元/吨、6元/吨，则总运费最少需要多少元？（   ） A．13500 B．13600 C．13800 D．14000 【答案】C 【分析】本题考查了函数的多变量问题，解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 可以先设西苑调运x吨水到东区，则西苑调运吨水到西区，竹林调运到东区吨，竹林调运到西区吨．从而列出总运费与x的关系式，进而求出最小值． 【详解】解：设西苑调运x吨水到东区，总运费为y元， 则，其中， 当时，y取最小值，最小值为：， 即总运费最少需要13800元， 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图所示，反映了某公司产品的销售收入和销售数量的关系，反映产品的销售成本与销售数量的关系，根据图象判断公司盈利时的销售量为（　　） A．小于4万件 B．大于4万件 C．等于4万件 D．大于或等于4万件 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数的应用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，能够通过图象得到该公司盈利时的取值范围是本题的关键． 根据图象找出在的上方即收入大于成本时，x的取值范围即可． 【详解】解：根据图象分析可得：两条直线交点为，也就是销售收入与销售成本相等， 所以公司盈利需要大于4万件． 故选B． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离与两车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．乙车的速度是 B．乙车比甲车晚出发，却早到 C．乙车出发后追上甲车 D．当甲、乙两车相距时，或 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键． 先设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为，再根据函数图象进行求解并逐一判断即可． 【详解】解：设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为， 由函数图象得，将代入到甲的函数关系式中，代入到乙的函数关系式中， ∴，， 解得， ∴甲的函数关系式为，乙的函数关系式为， A、乙车速度为，该选项正确，不符合题意； B、乙车在时出发，在到达，甲车在时出发，在到达，则乙车比甲车晚出发，却早到，该选项正确，不符合题意； C、联立两个函数解析式得， 解得， ∵乙车在时出发， ∴乙车出发后追上甲车，该选项正确，不符合题意； D、当乙出发前：， 解得，选项中没有； 乙出发后到甲到达前(：， 解得或； 乙到达后： 解得，选项中也没有，故该选项错误，符合题意； 故选D． 5．（2025·江苏常州·三模）小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图①，在此过程中拉力与石块下降的高度之间的关系如图②（提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，），则以下说法正确的是（    ） A．当石块下降时，石块在水里 B．当时，与之间的函数关系式为 C．石块下降时，石块所受的浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离水底 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解．求得函数解析式，数形结合是解题的关键． 【详解】解：A、由题图可知，石块下降到时，石块正好接触水面，故选项A说法错误，不符合题意； B．当时，设所在直线的函数表达式为：， 则， 解得， ∴，故选项B说法错误，不符合题意； C．当石块下降的高度为时，即时，， 此时石块所受浮力是，故选项C说法错误，不符合题意； D．当弹簧测力计的示数为时，， 解得， 石块距离水底的距离为，故选项D说法正确，符合题意； 故选：D． 6．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）一辆轿车从地驶向地，设出发后，这辆轿车离地路程为，已知与之间的函数解析式为，则轿车从地到达地所用时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，根据题意将代入解析式，直接求解即可． 【详解】解：根据题意得：当时，时， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·模拟预测）北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给深圳12台，广州4台，每台车床的运费如图所示，单位为元，那么总运费最少是 元． 终点 起点 深圳 广州 北京 500元 900元 上海 700元 1000元 【答案】10400 【分析】本题主要考查一次函数的应用和不等式组的解法，先根据题意列出不等式组，求出解集，再设总费用为列出一次函数，根据函数的性质得到最小值即可求解； 【详解】解:设从北京运往深圳台，北京运往广州为台，上海运往深圳为台，上海运往广州为台，运费为元，则 解得：， ， ， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取最大值时，有最小值， ∴当时，（元） 故答案为：10400 8．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“体重管理年”是国家卫生健康委等多部门于2024年6月联合启动的为期三年的全民健康行动，旨在通过科学干预和社会协同降低超重与肥胖率，提升全民健康水平．体重的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉，x天后的体重为，则y与x之间的关系式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式．根据题意，初始体重为，每天减少，建立y与x的函数关系式． 【详解】解：初始体重为，每天减少，则x天后减少的总重量为， 因此x天后的体重y可表示为初始体重减去减少的总重量，即． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程： ． 【答案】或 【分析】设，根据题意，得，解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，利润问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设， 根据题意，得 解得， 故解析式为， 故或， 故答案为：或． 10．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机，如图2，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，（m）与飞行时间x（s）的函数关系，其中，线段与相交于点P，轴于点B，点A的横坐标为25，则所在直线解析式为 ，在第 秒时，1号和2号无人机飞行高度差为20米． 【答案】 或 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式． 当 时，，求出点的坐标，进而求出的解析式，然后根据题意的高度差列方程求出时间值即可． 【详解】当时，， ∴点的坐标为， 由题意知点的坐标为， 设 将代入，得， ， ， ∴线段对应的函数表达式为：， 当号和号无人机飞行高度差为米时，得：， 解得：或， ∴在第或秒时，号和号无人机飞行高度差为米. 故答案为： ；或． 11．（24-25八年级上·江苏常州·期末）在甲骨文邮局，推出了一系列以安阳历史文化为主题的精致文创产品．小明购买2个青铜器盲盒和3个妇好鸮尊摆件，共花费210元；小刚购买3个青铜器盲盒和1个妇好鸮尊摆件，共花费140元． (1)求青铜器盲盒和妇好鸮尊摆件的单价各是多少元． (2)一位外地游客计划购买青铜器盲盒和妇好鸮尊摆件共10个，且青铜器盲盒的数量不超过妇好鸮尊摆件数量的一半．请设计一种购买方案，使得总费用最少，并求出最少费用． 【答案】(1)青铜器盲盒的单价为30元，妇好鸮尊摆件的单价为50元 (2)购买青铜器盲盒3个，购买妇好鸮尊摆件7个，总费用最少，为440元 【分析】题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数与实际问题等知识．解决本题关键是认真审题，根据题意确定数量关系，并应用数量关系确定所用数学知识解决问题． （1）设青铜器盲盒的单价为a元，妇好鸮尊摆件的单价为b元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设购买青铜器盲盒个，则购买妇好鸮尊摆件个，总费用为y元，根据题意可得的取值范围，列出关于y的函数，根据一次函数性质即可设计购买方案． 【详解】（1）解：设青铜器盲盒的单价为a元，妇好鸮尊摆件的单价为b元． 根据题意得解得， 答：青铜器盲盒的单价为30元，妇好鸮尊摆件的单价为50元． （2）解：设购买青铜器盲盒个，则购买妇好鸮尊摆件个，总费用为y元． ， 解得， 又为整数， 的整数， ， 随x的增大而减小， 当时，， 此时， 答：购买青铜器盲盒3个，购买妇好鸮尊摆件7个，总费用最少，为440元． 12．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）为节约用水，某市制定了以下用水收费标准：每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费．现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元． (1)当时，y与x之间的函数关系式为______，当时，y与x之间的函数关系式为______； (2)该市一户某月若用水立方米时，求应缴水费； (3)该市一户某月缴水费23.9元，求该户这个月的用水量． 【答案】(1)； (2)15.8元 (3)13立方米 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，建立函数关系式是解题的关键． （1）根据所给的收费标准列出函数关系式即可； （2）根据（1）所求关系式代入求解即可； （3）先判断该户这月用水量大于8吨，然后把代入（1）所求式子求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：当时，； 当时，， 故答案为：，； （2）解：因为，所以． 所以当用水量为10立方米时，应缴水费15.8元． （3）解：因为， 所以该用户这个月的用水量超过了8立方米． 所以， 解得． 所以该户这个月的用水量为13立方米． 13．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图反映的过程是：大壮从家去菜地浇水，又去青稞地除草，然后回家，设他从家出发后所用时间为x（分钟），离家距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：①菜地距离青稞地_____千米； ②大壮从菜地到青稞地的速度为_____千米/分钟； ③大壮从青稞地回家的速度为______千米/分钟； ④出发______分钟后，大壮距家0.8千米； (2)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】(1)①；②；③；④或； (2) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）①根据函数图象，可以写出菜地距离青稞地的距离；②根据函数图象，可以计算出大壮从菜地到青稞地的速度；③根据函数图象，可以计算出大壮从青稞地回家的速度；④根据函数图象，可以计算出当大壮距家千米时，他离开家的时间； （2）根据函数图象中的数据，可以写出当时，y关于x的函数解析式． 【详解】（1）解：①由图可得，菜地距离青稞地：（千米）； ②大壮从菜地到青稞地的速度为：（千米/分钟）； ③大壮从青稞地回家的速度为：（千米/分钟）； ④从家到菜地的速度为：（千米/分钟）， ∴从家到菜地的途中，大壮距家千米时走了（分钟）； 从青稞地回家的途中，大壮距家时走了（分钟）， ∴大壮距家千米时走了分钟或分钟； 故答案为：①；②；③；④或； （2）当时， ∵从家到菜地的速度为千米/分钟， ∴当时，， 当时，， ∵大壮从菜地到青稞地的速度为千米/分钟， ∴当时，， ∴当时，y关于x的函数解析式为． 14．（24-25八年级上·江苏南京·开学考试）为响应国家“足球进校园”的号召，某校购买了50个A型足球和20个B型足球共花费5000元，已知购买一个B型足球比购买一个A型足球多花40元． (1)求购买一个A型足球和一个B型足球各需多少元： (2)通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划再次购买A型B型足球共50个，其中购买A型足球大于20个但不超过40个，具体报价如表，设购买总花费为w元，问如何购买使得总花费w最少？请说明理由． 型号 购买数量少于30个 购买数量不少于30个 A型 原价购买 打九折 B型 原价购买 打八折 【答案】(1)60元，100元 (2)购买40个A型足球，10个B型足球，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和不等式的性质解答． （1）设购买一个A型足球需要x元，则购买一个B型足球需要y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购买m个A型足球，其中，则购买个B型足球，然后分两种情况，结合一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设购买一个A型足球需要x元，则购买一个B型足球需要y元，根据题意得： ，解得：， 答：购买一个A型足球需要60元，购买一个B型足球需要100元； （2）解：设购买m个A型足球，其中，则购买个B型足球， 当时， ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w 取得最小值，最小值为； 当时， ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w 取得最小值，最小值为， ∵， ∴购买40个A型足球，10个B型足球需要费用最小，最小费用为3160元． 15．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温到达时停止加热…此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对水温y（）与x（）进行了观测和记录，部分数据如下表所示： 煮沸模式 保温模式 x（min） 0 3 6 m 10 12 14 16 18 20 22 24 26 n … y（℃） 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60 100 … 研究发现：无论在煮沸模式还是在保温模式下，当水壶开始加热时，壶中水温y（）都是时间x（）的一次函数．根据以上信息，回答下列问题： (1)观察表格可知，在煮沸模式下，时间x每增加，水温y增加______，据此推测，表格中的m的值为______； (2)在保温模式下，直接写出当时水温y与时间x之间的函数关系式______，并求出n的值． 【答案】(1)10，8 (2)，． 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，利用待定系数法求函数解析式，通过解析式求自变量的值，解题的关键是掌握一次函数的性质． （1）根据一次函数的性质进行求解即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可，通过解析式求出自变量的值． 【详解】（1）解：根据一次函数的性质得， ， ， 故答案为：10，8； （2）解：设水温y与时间x之间的函数关系式为， 将代入解析式得， 解得， ∴水温y与时间x之间的函数关系式为, 当水温时，， 解得， ∴， 故答案为：，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 用一次函数解决问题重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 一次函数应用之分配方案问题 题型二 一次函数应用之最大利润问题 题型三 一次函数应用之行程问题 题型四 一次函数应用之工程问题 题型五 一次函数应用之分段函数问题 题型六 一次函数应用之几何问题 题型七 一次函数应用之体积问题 题型八 一次函数应用之面积问题 题型九 一次函数应用之交点问题 题型十 一次函数与距离公式的应用 拓展训练一 一次函数应用之新定义问题 拓展训练二 一次函数应用之存在性问题 拓展训练三 一次函数应用之动点问题 拓展训练四 一次函数应用之最值问题 拓展训练五 一次函数应用之旋转问题 知识点一：一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．体重的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉天后的体重为，则与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图所示的趋势图描述了一家公司某种产品销售收入随着广告支出增加的变化趋势，根据这个趋势图预测当广告支出为10万元时，该产品的销售收入约为 万元（结果保留整数）． 知识点二：一次函数图像的应用 1.在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 2.分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏常州·开学考试）某市规定每户每月用水量不超过吨，每吨价格元；用水量超过吨时，超过部分每吨水价为元．下图中能表示每月水费与用水量关系的示意图是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，梯形上底的长是x，下底的长是9，高是4，梯形面积y与底长x之间的关系式是 ． 【经典例题一 一次函数应用之分配方案问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏南京·期末）中国书法是中华优秀传统文化的重要组成部分，书法教育对培养学生的书写能力、审美能力和文化品质具有重要作用．张叔叔计划为母校捐赠一批毛笔和宣纸，打算从甲、乙两家物流公司中选择一家进行运输，甲物流公司的收费标准是12元/千克；乙物流公司的收费标准是：5千克以内（无论几千克）共收费80元，超过5千克的部分，每增加1千克，收费增加10元．设张叔叔要运输的这批毛笔和宣纸共千克，甲物流公司的总运输费用为元，乙物流公司的总运输费用为元． (1)分别求出与之间的函数关系式； (2)张叔叔选择哪家物流公司比较划算？（不计其他费用） 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（   ） A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍 C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式； (2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【经典例题二 一次函数应用之最大利润问题】 【例2】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）为筹备校园科技节，某学校计划采购机器人模型和电子元件套装用于学生实践活动，需购买两种物品共60件，其中：机器人模型单价120元/件，电子元件套装单价40元/件．为保障活动质量，要求机器人模型数量不少于电子元件套装的1.5倍，且电子元件套装至少购买10件．设购买机器人模型的数量为x件，总费用为y元．请回答以下问题： (1)写出总费用y与x的函数关系式； (2)在满足题中条件的情况下，如何购买能使总费用最低？最低费用是多少？ 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）某商场销售一种儿童滑板车，经市场调查，售价x（单位：元）、每星期销量y（单位：件）、单件利润w（单位：元）之间的关系如图1、图2所示．若某星期该滑板车单件利润为20元，则本星期该滑板车的销量为（　　） A．94 B．96 C．1600 D．1800 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为 ．(其中) 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）第十五届全运会将于年在粤港澳三地联合举办，口号为“激情全运会，活力大湾区（，）”全运会吉祥物是名为“喜洋洋”和“乐融融”的中华白海豚，寓意“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．全运会特许商品零售店预售吉祥物“乐融融”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价，现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天销售量将增加个，设每个吉祥物降价元（为整数），每天销售量为y个． (1)写出关于的函数表达式，并写出的取值范围； (2)设每天销售吉祥物“乐融融”的利润为元，零售店如何定价，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大？最大利润是多少元？ 4．（25-26八年级上·江苏南京·月考）某无人机配件销售公司有A和B两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价（元件） a 80 售价（元件） 300 100 已知用12800元可购进A配件40件和B配件30件． (1)求的值； (2)若该无人机配件销售公司某次购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，且本次销售获得的总利润为y元，购进的A种配件为x件． （）请写出y与x之间的函数表达式；（利润售价－进价） （）根据市场销售分析，B种配件购进件数不低于A种配件的2倍，问怎样购进配件才能使本次销售获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 【经典例题三 一次函数应用之行程问题】 【例3】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，甲、乙两地相距，现有一辆货车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．设（时）表示货车行驶的时间，表示货车与甲地的距离． (1)写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； (2)当货车行驶2.5小时的时候，货车离甲地的距离是多少？ 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．乙用6分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D．甲乙两人之间的最远距离是960米 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）某社团新型小车直道竞速（匀速）稳定性测试时，甲、乙均从地出发至地，甲先出发3秒后乙才出发，最终甲先到达地．如图，轴代表甲出发的时间，轴代表两人之间的距离，则甲到达地时，乙距离地还有 米． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）甲乙两人同时从学校出发，沿相同的路线前往书店．甲骑自行车，乙步行．甲到书店购书后按原路返回到学校时，乙恰好到达书店．图中折线和线段分别表示甲乙两人离学校的距离y（单位：）与时间x（单位：）的函数图象（假设甲骑自行车，乙步行的速度均不变）． (1)求甲离学校的距离y与时间x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在两人相遇前，甲离开学校多长时间与乙相距？ 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图①，一条直的公路上依次有A，B，C三个汽车站，，，一辆汽车上午8：00 从距离A站的P地出发，匀速向C站行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午12：00前到达C站．设汽车出发 后离A站，图②中折线表示接到通知前y与x之间的函数关系． (1)根据图象可知，接到通知前汽车行驶的速度为 ； (2)求线段 对应的函数表达式（不写自变量的取值范围）； (3)接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶，则能否按时到达？如果不能按时到达，那么速度至少提高到多少可按时到达？请说明理由． 【经典例题四 一次函数应用之工程问题】 【例4】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）某地计划修建一条长48千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天． (1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米? (2)已知甲工程队修路费用为20万元/千米，乙工程队修路费用为15万元/千米．甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用低于820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案?哪种方案最省钱? 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）为加快修建速度，工程负责人将工程队分为甲、乙两组，从路的两端同时开工，两个组修建道路的长度（千米）与施工天数（天）的函数关系如图所示，则开工多少天时，两个组修建道路的长度相同（    ） A．12 B．13 C．15 D．16 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）某工程队接受一段道路施工的任务，计划从2023年10月初至2024年9月底（12个月）完成．施工3个月后，实行倒计时，提高工作效率，剩余工程量与施工时间的关系如图所示，那么按提高工作效率后的速度做完全部工程，则工期可缩短 个月. 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天）之间的关系如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘南深高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间天之间的关系如图所示． (1)甲组比乙组多挖掘了______天． (2)求乙组停工后关于的函数解析式． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数． 【经典例题五 一次函数应用之分段函数问题】 【例5】（24-25八年级上·江苏南京·期末）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过210度时，按元/度计费；月用电量超过210度时，其中的210度仍按元/度计费，超过部分按元/度计费．设每户家庭月用电量为x度时，应交电费y元． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)小李家12月份交电费元，则小李家这个月用电多少度? 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）自来水公司采用分段收费标准收水费，每月收取水费元与用水量之间的函数关系如图所示，琪琪家月份用水，应收水费(    ) A．元 B．元 C．元 D．元 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．若按照分段收费标准，小颖家三、四月份分别交水费29元和19.8元，则四月份比三月份节约用水 吨． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）为了鼓励公民节约用电，合肥市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．每户家庭每月电费（元）与用电量（kW·h）之间的函数图象如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若小明家8月需缴电费176元，求小明家8月的用电量． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为元，用水量为立方米 用水量立方米 收费元 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 【经典例题六 一次函数应用之几何问题】 【例6】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）将长为的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽． (1)求5张白纸黏合后的长度． (2)设x张白纸黏合后的总长度为，写出y与x之间的函数关系式． (3)当黏合后的总长度为时，请问这是由几张白纸黏合而成的． 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）亮亮家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某地游玩，该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象信息，判断下列说法中正确的是（   ） A．亮亮到家的时间为17时 B．景点离亮亮的家120千米 C．小汽车返程的速度为80千米/时 D．10时至14时小汽车匀速行驶 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知a，b，c分别是的三条边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积是，则c的值是 ． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度（）随时间（秒）变化的函数关系图象如图． (1)甲、乙两个水壶加热前水的温度都为_____，甲壶中的水温在达到之前每秒上升的温度为_____； (2)当时，求乙壶中水温关于加热时间的函数表达式； (3)当甲壶中水温刚好达到时，求此时乙壶中的水温． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器中的液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于虹吸时间x（单位：）的函数图象，如图2所示． (1)请分别求出，与x的函数关系式； (2)求甲、乙容器中的液面高度相差时的虹吸时间． 【经典例题七 一次函数应用之体积问题】 【例7】（2025·江苏无锡·模拟预测）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … (1)求与的函数关系式； (2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）在测量液体密度的实验中，小华同学测得液体和烧杯的总质量与液体体积的关系如图所示，则下列选项中不正确的是（　　） A．空烧杯的质量是 B．液体的质量与液体的体积满足一次函数关系 C．液体的密度是 D．当液体体积为时，液体和烧杯的总质量为 2．（2025·江苏泰州·二模）在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积V（cm³），绘制了如图所示的函数图像（图中为一线段），则72g该种液体的体积为 cm3． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）高铁候车厅的饮水机上有温水、开水两个按钮．小明打算接的水，先接温水再接开水，设接温水的时间为，水杯中水的温度为，期间不计热损失．根据物理学知识：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．利用下列图表中的信息解决问题： (1)若接温水的时间为，求水杯中水的温度； (2)求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； (3)若水杯中水的温度为饮水适宜温度时，求所接温水体积的取值范围． 4．（2025·江苏常州·模拟预测【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【经典例题八 一次函数应用之面积问题】 【例8】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某公园种植牡丹、月季和薰衣草三种花卉，其中牡丹的种植面积为亩，月季的种植面积比牡丹的种植面积多3倍，薰衣草的种植面积比牡丹种植面积的2倍多6亩． (1)设三种花卉种植的总面积为，写出与之间的函数关系式． (2)若月季的种植面积是的一半，求的值． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：）与工作时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（　　） A．150 B．200 C．250 D．300 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）某绿化组承担了某地绿化任务，工作一段时间后，提高了工作效率，该绿化组完成的绿化面积S（单位：）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是 ． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）从荣获“四家级旅游度假区”到荣登“中国避暑休闲百佳县榜”榜首，海阳这座滨海小城展示出其独特的韵味和魅力．为进一步建设宜居海阳，某部门准备在海边广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用y（元）与种植面积x（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米90元．    (1)当时，y与x之间的函数表达式为_______，当时，y与x之间的函数表达式为_______； (2)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 4．（2025·江苏南京·模拟预测）如图①，在四边形中，，，．动点P从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积S与运动时间的函数图象如图②所示． (1)__________； (2)求点P在段上运动时，的面积S与运动时间的函数表达式； (3)当的面积为时，求的值． 【经典例题九 一次函数应用之交点问题】 【例9】（24-25八年级上·江苏镇江·期末）定义：叫做关于直线的“分边折叠函数”． (1)已知“分边折叠函数” ①直接写出该函数与y轴的交点坐标； ②若直线与该函数只有一个交点，求t的取值范围； (2)已知“分边折叠函数”的图像被直线与y轴所夹的线段长为，则k的值为______． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”如图所示的是良马与驽马行走路程s（里）关于行走时间t（日）的函数图象，则两图象交点P的坐标是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日迫及之．”两匹马行走路程S（里）与行走时间（日）的函数关系如图所示，则图中交点P的坐标是 ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）A、B两地在一直线上，且相距，甲、乙两人同时从A、B出发，分别沿射线、行进，其中甲的速度为每小时，设他们出发x小时，甲、乙两人离A地的距离分别为、，与x的部分函数图象如图所示： (1)分别写出，与x之间的函数关系式； (2)在所给的平面直角坐标系中画出的函数图象． (3)试一试写出、的图象交点坐标并解释其实际意义． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期末）已知甲、乙两地相距，李老师和王老师周末相约骑行游玩，两人沿同一条公路从甲地到乙地，李老师骑自行车到达．王老师骑摩托车比李老师晚出发，骑行时追上李老师，停留后继续以原速骑行，在整个行程中，两人与甲地的距离y与李老师骑行时间x的对应关系分别如图中线段和折线段所示，与的交点为F． (1)李老师骑自行车的速度为_______； (2)求王老师在段的速度以及n的值； (3)求王老师第二次追上李老师时与乙地的距离． 【经典例题十 一次函数与距离公式的应用】 【例10】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）阅读理解题 在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0（A2+B2≠0）的距离公式为：， 例如，求点P（1，3）到直线4x+3y﹣3＝0的距离． 解：由直线4x+3y﹣3＝0知：A＝4，B＝3，C＝﹣3 所以P（1，3）到直线4x+3y﹣3＝0的距离为： 根据以上材料，解决下列问题： (1)求点P1（-2，4）到直线3x﹣4y﹣5＝0的距离． (2)若点P2（1，0）到直线x+y+C＝0的距离为，求实数C的值． 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知在一条笔直的道路上顺次有、、三地，且、两地之间的距离为，甲、乙两车分别从地，地同时出发，沿这条笔直道路前往地，甲车到达地后立即以原速沿原路返回，乙车到达地后停止运动.两车距地的距离，与甲车行驶的时间之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．去程时 D．两车在时第一次相遇 2．（2025·江苏常州·一模）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离． 解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d=．根据以上材料，解决下列问题：如图，已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，设点P为⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=4，则S△ABP的最大值 ． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）成都2025年世界运动会期间，为展现智能科技与体育赛事的融合，组委会开展人形机器人模拟赛事项目竞速测试．两款人形机器人“蜀韵”和“锦风”参与测试，已知“蜀韵”和“锦风”同时从起点出发前往模拟赛事终点，与分别表示“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)分别求出“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)当时，求“蜀韵”和“锦风”相距时的时间． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）共享电动车，给我们的出行提供了方便．现有A，B两种品牌的共享电动车，收费y（元）与骑行时间x（分）之间的函数关系如图所示，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应． (1)直接写出、的函数关系式； (2)若骑行8分钟，A，B两种品牌的共享电动车收费相差多少元？ (3)小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/h，小明家到工厂的距离为9km，那么小明应选择哪个品牌的共享电动车更省钱？请说明理由． 【拓展训练一 一次函数应用之新定义问题】 1．（2025·江苏扬州·二模）新定义：如果实数，满足时，则称点为“初始点”，称点为“生成点”．例如：点是“初始点”，对应的“生成点”为点． (1)点是“初始点”，且点在一次函数的图象上，求，的值； (2)点是“初始点”，点对应的“生成点”在反比例函数的图象上，若点的横坐标为，求值； (3)点是“初始点”，点对应的“生成点”是点，二次函数为常数）的顶点的轨迹记作，若，一次函数为常数）的图像与相交且有两个交点，求的取值范围． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）阅读理解： 【新定义】对于线段和 点Q，定义：若，则称点Q为线段的“等距点”；特别地，若，则称点Q 是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知4个点：，以上这四个点中 是线段的“等距点” ， 是线段的“完美等距点”（填写大写字母）． (2)若点P 在第三象限，且，点H在y轴上，且H是线段的“等距点”，求点H的坐标； (3)当，是否存在这样的点N，使点N是线段的“等距点”且为线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）对于直线，新定义：点为直线的“专属点”．而直线称为关于点的“专属直线”．如：直线的“专属点”为，关于点的“专属直线”的解析式为． (1)直线的专属点是__________； (2)如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，轴，，，，点的坐标为，求关于点的“专属直线”直线的解析式； (3)若关于点的“专属直线”经过点，求点的坐标． 【拓展训练二 一次函数应用之存在性问题】 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）某超市以20元/箱的价格采购一款畅销食品加工后出售，销售价格不低于30元/箱，不高于40元/箱．销售时发现，销售价格每增加1元，每天销售量减少2箱；当销售价格每箱30元时，每天销售量为40箱．若每天的销售量为（箱），销售价格为（元/箱）． (1)求与之间的关系式； (2)是否存在，使得这天的销售利润达到600元？若存在请求出的值，若不存在，请说明理由． (3)当销售价格定为多少时，该批发部销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润（销售价格采购价格）销售量】 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）经研究发现，声音在空气中的传播速度与空气的温度之间存在一次函数关系，如下表所示： 0 10 20 30 318 324 330 336 342 348 (1)写出当时，v与T之间的函数关系式； (2)气温在时，有人在看到闪电后听到雷声，请通过计算估算此人距打雷处的距离（人看到闪电的时间忽略不计）． 3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，点在的平分线上？ 【拓展训练三 一次函数应用之动点问题】 1．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知长方形中，，，为边的中点，为长方形边上的动点，动点以4个单位／秒的速度从出发，沿着运动到点停止，设点运动的时间为秒，的面积为． (1)点运动过程中，求出与之间的关系式； (2)当为何值时，最大？并求出的最大值． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在长方形电子广告屏中，，．画面设计如下：动点从点出发沿长方形的边，以的速度向点运动，逐渐展开主体广告画面． (1)写出的面积关于点的运动时间的函数表达式； (2)画出上述函数的图象． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图1， 在中，于点D， ，，动点 E 从点B出发，沿射线以的速度匀速运动，到达点D时停留后以原速度继续运动．如图2为 的面积随时间的变化图像． (1)填写图2中数据： ， ， ， ； (2)当 时，； (3)求整个运动过程中 S 与 t的函数关系式． (4)当动点 E从点 B出发时，动点 F 同时从点C沿边以的速度向终点B运动，当点 F 到达终点B后，点 E 也随之停止运动．直接写出 t取何值时，． 【拓展训练四 一次函数应用之最值问题】 1．（2025·江苏无锡·一模）某商店销售 、、三种型号的饮料．随着夏季来临，天气逐渐炎热，该商店决定从今年月日起将饮料每瓶的价格上调，将饮料每瓶的价格下调，饮料价格不变，是每瓶元．已知调价前、、三种饮料各买一瓶共花费元，调价后买饮料瓶、饮料瓶共花费元． (1)问、两种饮料调价前的单价； (2)今年月份，温州某单位花费元在该商店购买、、三种饮料共瓶，其中购得饮料的瓶数是饮料的倍，求的最大值． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）某高校网球俱乐部举办网球比赛，总费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地所需的固定不变的费用800元，另一部分耗材费用与参赛人数x（人）成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若该次比赛的费用为2400元，求有多少名运动员参加了比赛？ (3)该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入元，设利润为W元（利润＝收入－比赛的费用）．若，求W的最大值． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）某年5月，我国南方某省、两市遭受严重洪涝灾害，许多人被迫转移，邻近县市、获知、两市分别急需救灾物资20吨和30吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知市有救灾物资24吨，市有救灾物资26吨，现将这些救灾物资全部调往、两市．已知从市运往、两市的费用分别为每吨20元和25元，从市运往往、两市的费用别为每吨15元和30元，设从市运往市的救灾物资为吨． (1)请填写下表； （吨） （吨） 合计（吨） （吨） ① ② 24 （吨） ③ 26 合计（吨） 20 30 50 (2)设、两市的总运费为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)经过抢修，从市到市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余路线运费不变．若、两市的总运费的最小值不小于1032元，直接写出的取值范围． 【拓展训练五 一次函数应用之旋转问题】 1．（2025八年级上·江苏·专题练习）规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”． (1)求出直线的“旋转垂线”的解析式； (2)若直线的“旋转垂线”为直线．求证：． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点为旋转中心顺时针旋转180°，画出旋转后对应的；平移，若点对应的点的坐标为，画出； （2）若绕某一点旋转可以得到，旋转中心的坐标为_________． （3）在轴上有一点使得的值最小，直接写出点的坐标为________． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，一个正比例函数的图象与一个一次函数的图象相交于点，且一次函数的图像与y轴相交于点，与x轴交于点C． (1)判断的形状并说明理由； (2)若将直线绕点A旋转，使的面积为8，求旋转后直线的函数解析式； (3)在x轴上求一点P使为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）甲、乙两人一起从同一地点沿同一条路同向跑步，甲的速度为每分钟米，乙的速度为每分钟米，甲先跑3分钟后乙再开始，且两人同时到达终点，则两人之间的距离（米）与甲跑步的时间（分钟）的函数关系的图象大致是（    ） A．B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·开学考试）西苑、竹林两个水站分别存水600吨、1400 吨，东区、西区分别用水1200吨、800吨，需要从西苑、竹林两个水站调运，由西苑水站到东、西两区的运费分别为6元/吨、5元/吨；由竹林水站到东、西两区的运费分别为9元/吨、6元/吨，则总运费最少需要多少元？（   ） A．13500 B．13600 C．13800 D．14000 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图所示，反映了某公司产品的销售收入和销售数量的关系，反映产品的销售成本与销售数量的关系，根据图象判断公司盈利时的销售量为（　　） A．小于4万件 B．大于4万件 C．等于4万件 D．大于或等于4万件 4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离与两车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．乙车的速度是 B．乙车比甲车晚出发，却早到 C．乙车出发后追上甲车 D．当甲、乙两车相距时，或 5．（2025·江苏常州·三模）小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图①，在此过程中拉力与石块下降的高度之间的关系如图②（提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，），则以下说法正确的是（    ） A．当石块下降时，石块在水里 B．当时，与之间的函数关系式为 C．石块下降时，石块所受的浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离水底 6．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）一辆轿车从地驶向地，设出发后，这辆轿车离地路程为，已知与之间的函数解析式为，则轿车从地到达地所用时间是 ． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·模拟预测）北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给深圳12台，广州4台，每台车床的运费如图所示，单位为元，那么总运费最少是 元． 终点 起点 深圳 广州 北京 500元 900元 上海 700元 1000元 8．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“体重管理年”是国家卫生健康委等多部门于2024年6月联合启动的为期三年的全民健康行动，旨在通过科学干预和社会协同降低超重与肥胖率，提升全民健康水平．体重的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉，x天后的体重为，则y与x之间的关系式为 ． 9．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程： ． 10．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机，如图2，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，（m）与飞行时间x（s）的函数关系，其中，线段与相交于点P，轴于点B，点A的横坐标为25，则所在直线解析式为 ，在第 秒时，1号和2号无人机飞行高度差为20米． 11．（24-25八年级上·江苏常州·期末）在甲骨文邮局，推出了一系列以安阳历史文化为主题的精致文创产品．小明购买2个青铜器盲盒和3个妇好鸮尊摆件，共花费210元；小刚购买3个青铜器盲盒和1个妇好鸮尊摆件，共花费140元． (1)求青铜器盲盒和妇好鸮尊摆件的单价各是多少元． (2)一位外地游客计划购买青铜器盲盒和妇好鸮尊摆件共10个，且青铜器盲盒的数量不超过妇好鸮尊摆件数量的一半．请设计一种购买方案，使得总费用最少，并求出最少费用． 12．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）为节约用水，某市制定了以下用水收费标准：每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费．现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元． (1)当时，y与x之间的函数关系式为______，当时，y与x之间的函数关系式为______； (2)该市一户某月若用水立方米时，求应缴水费； (3)该市一户某月缴水费23.9元，求该户这个月的用水量． 13．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图反映的过程是：大壮从家去菜地浇水，又去青稞地除草，然后回家，设他从家出发后所用时间为x（分钟），离家距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：①菜地距离青稞地_____千米； ②大壮从菜地到青稞地的速度为_____千米/分钟； ③大壮从青稞地回家的速度为______千米/分钟； ④出发______分钟后，大壮距家0.8千米； (2)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 14．（24-25八年级上·江苏南京·开学考试）为响应国家“足球进校园”的号召，某校购买了50个A型足球和20个B型足球共花费5000元，已知购买一个B型足球比购买一个A型足球多花40元． (1)求购买一个A型足球和一个B型足球各需多少元： (2)通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划再次购买A型B型足球共50个，其中购买A型足球大于20个但不超过40个，具体报价如表，设购买总花费为w元，问如何购买使得总花费w最少？请说明理由． 型号 购买数量少于30个 购买数量不少于30个 A型 原价购买 打九折 B型 原价购买 打八折 15．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温到达时停止加热…此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对水温y（）与x（）进行了观测和记录，部分数据如下表所示： 煮沸模式 保温模式 x（min） 0 3 6 m 10 12 14 16 18 20 22 24 26 n … y（℃） 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60 100 … 研究发现：无论在煮沸模式还是在保温模式下，当水壶开始加热时，壶中水温y（）都是时间x（）的一次函数．根据以上信息，回答下列问题： (1)观察表格可知，在煮沸模式下，时间x每增加，水温y增加______，据此推测，表格中的m的值为______； (2)在保温模式下，直接写出当时水温y与时间x之间的函数关系式______，并求出n的值． 学科网（北京）股份有限公司 $