第2部分 勾股定理-2025-2026学年初中数学计算能力强化训练八年级全册

第二部分勾股定理 ○练习1 难度：容易☑中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.求下列直角三角形中未知边的长. (1)4 (2) 10 2.求下列图中直角三角形中未知边的长. 10 6 b 24 图1 图2 图3 3.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,判断下列三角形是否是直角三角形.如 果是直角三角形，请指出哪一个角是直角 (1)a=√3，b=2√2，c=√5； (2)a=5,b=7,c=9; (3)a=2,b=√3，c=√7； (4)a=5,b=2√6，c=1. 4.如图，在四边形ABDC中，∠A=90°，AB=9,AC=12,BD=8,CD=17.求四边形ABDC 的面积. 8 第二部分勾股定理 ○练习2 难度：容易☐中等☑难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.如图，点E在正方形ABCD内，AE⊥BE,AE=3,BE=4,求阴影部分图形的面积. A 2.如图，在△ABC中，BC=14,AB=15.已知△ABC的面积是84，求边AC的长. 3.△ABC的三边长分别是a、b、c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n,△ABC是直角三角形 吗？证明你的结论. 4.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ADC=90°，DC=7,AB=20,BC=15,求AD的长. D 97 初中数学计算能力强化训练八年级 ○练习3 难度：容易√中等☐难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其中“勾股”章中记载了一道“折竹抵地” 问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”大意为：如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，AC+AB=10,BC=3,求AC的长. 2.如图，一游泳池长48，小方和小朱进行游泳比赛.从同一处A出发，小方的平均速度为 3m/s,小朱的平均速度为3.1m/s.但小朱一心想快，不看方向沿斜线AC游，而小方沿 AB方向直游，两人到达终点的位置相距14m.按各人的平均速度计算，谁先到达终点？ 3.一架方梯长25m,如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m. (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4m,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 10 第二部分 勾股定理 ○练习4 难度：容易☐中等☑难☐ 建议时间：20分钟 完成时间： 1.如图，一圆柱高8cm,底面半径为2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，它爬行的最短 路程是多少？（注：π取3） 2.如图，在△ABC中，AB=4,AC=3,BC=5,DE是BC的垂直平分线，交BC于点D,交 AB于点E, (1)求证：△ABC为直角三角形. (2)求DE的长， B 3.如图，铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄，DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B, 已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C、D 两村到E站的距离相等，则E站应建在距点A多少千米处？ 11初中数学计算能力强化训练八年级 第二部分勾股定理 练习1 1.(1)x=√42+62=2√13.(2)x=√/102-5=55. 2.图1中，c=√52+122=13；图2中，b=√102-62=8；图 3中，大直角三角形的直角边为√262一24=10，∴.h= √/102-62=8. 3.(1)a=√3，b=2√2，c=√5，∴.a2=3,b2=8,c2=5.3+ 5=8,∴.a2+c2=b2,∴.△ABC是直角三角形，∠B=90°. (2).a=5,b=7,c=9,∴.a2=25,b2=49,c2=81..25+ 49=74≠81，.△ABC不是直角三角形.(3).a=2, b=√3，c=√7，∴.a2=4,b=3,c2=7..4+3=7,∴.a2+b= c2,∴.△ABC是直角三角形，∠C=90°.(4)，a=5,b= 2√6，c=1,.a2=25,b2=24,c2=1.24+1=25,∴.b2十 c2=a2,∴.△ABC是直角三角形，∠A=90°. 4.∠A=90°，AB=9,AC=12,∴.BC=√AB2+AC2= √/92+122=15..BC=15,BD=8,CD=17,∴.BC2+ BD2=CD2,∴△BCD是直角三角形，且∠DBC=90°， ∴Saae=Sam+Sac=合×15X8+号×9X12= 114. 练习2 1.在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3,BE=4,.AB= √AE2十BE2=√32十4=5，.正方形ABCD的面积是 5×5=25.:△AEB的面积是2AE·BE=号×3X4= 6,∴.阴影部分的面积是25一6=19. 2.如图，过点A作AD⊥BC于点D.:△ABC的面积是84， S8e=合BC·AD=合X14XAD=84AD=12. 在Rt△ABD中，BD=√AB-AD=√15-12=9， ∴.CD=BC-BD=14-9=5.在Rt△ACD中，AC= √AD+CD=√122+5=13. B D 3.△ABC是直角三角形.证明如下：.a2+b=(m2-n2)2十 (2mn)2=m-2m2n2+n+4m2n2=m+2m2n2+n= (m2+n2)2=c2,∴.△ABC是直角三角形. 4.如图，连接AC.在Rt△ABC中，AB=20,BC=15,.AC= √AB2+BC2=√J202+152=25.在Rt△ADC中，DC= 7,.AD=/AC-DC2=√252-72=24. 72 练习3 1.设AC=x,,AC+AB=10,.AB=10-x.在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，.AC+BC2=AB2,即x2+32=(10-x)2,解 得x=4.55,即AC=4.55. 2.如题图，AB表示小方的路线，AC表示小朱的路线，根据 题意，得AB=48,BC=14.在Rt△ABC中，AC= √AB2+BC=√/482+14=50，.小方用时为48÷3= 16(s),小朱用时为50÷3.1=161(s).“16<16, 小方用时少，即小方先到达终点 3.(1)梯子的顶端距离地面的高度为AB=√AC一BC= √252-72=24(m).(2)梯子下滑了4m,此时梯子的 顶端距离地面的高度为A'B=AB一AA'=24一4= 20(m),∴.BC=√AC-AB2=√/252-202=15(m), ∴.CC=BC-BC=15-7=8(m),即梯子的底端在水平 方向滑动了8m. 练习4 1.如图，.B为CE的中点，CE=2πr=2×3×2=12(cm), .CB=12÷2=6(cm).AC=8cm,.AB=√62+8z= 10(cm),即蚂蚁爬行的最短路程是10cm, B D D (第1题) (第2题) 2.(1)证明：.在△ABC中，AB=4,AC=3,BC=5,∴.AB2+ AC=BC,∴.△ABC是直角三角形.(2)如图，连接 CE.设AE=x,.DE是BC的垂直平分线，，EC=EB= 4-x.在Rt△AEC中，AE2十AC2=EC,.x2十32=(4 ,解得x=令，即AE的长是名BE=AB-AE= 4名-空：BD=专BC=号DE=VBB-BD= 8 √()(T- 3.设AE=xkm,则BE=(25-x)km.:DA⊥AB,CB⊥ AB,.∠A=∠B=90°.C、D两村到E站的距离相等， .DE=CE,即DE=CE,∴.DA2+AE2=CB2十BE2, ∴.152+x2=102+(25-x)2,解得x=10,即E站应建在 距A点10km处. 第三部分 平面直角坐标系 练习1 1.(1)(一3，-1)(1,0)(2)如图，点C即为所求 (3)(-3,1) y B