专题26.2.1 二次函数y=ax²的图像与性质 讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题26.2.1 二次函数y=ax2的图像与性质 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 画二次函数y=ax2的图像 题型1 图像的开口方向与开口大小 题型2 图像的对称轴与顶点坐标 题型3 增减性与最值 题型4 待定系数法计算 题型5 数形结合法解决问题 1. 会画二次函数y=ax2的图像； 2. 理解其图像的开口方向、对称轴、顶点坐标等特征； 3. 理解其增减性、最值等性质。 知识点讲解 二次函数的y=ax2的图像与性质 （1）二次函数的图像是一条抛物线； （2）它的对称轴是y轴，即直线；它的顶点是原点即（0，0）； （3）时，抛物线开口向上；当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大；顶点是最低点，当x=0时函数有最小值y=0; （4）时，抛物线开口下；当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小；顶点是最高点，当x=0时函数有最大值y=0; （5）越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大； 题型归纳 题型1 画二次函数的图像 【例1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． ①；②；③；④． 【详解】解：函数列表如下： x …… 0 1 2 …… y …… 1 0 1 …… 图象如下所示： 同理可分别作出②③④的函数图象如图所示． 【变式练习】 1．（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，图象开口向上，对称轴左侧，随的增大而减小，对称轴右侧，随的增大而增大；图象开口向下，对称轴左侧，随的增大而增大，对称轴右侧，随的增大而减小． （1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象即可； （2）根据二次函数图象，可得二次函数的性质． 【详解】解：（1）二次函数和的图象如图所示： （2）二次函数和的图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是轴，顶点坐标都是； 二次函数和的图象的不同点是：图象开口向上，图象开口向下（答案不唯一，合理即可）； 题型2 抛物线的开口方向与开口大小 【例1】若抛物线的开口向上，则m的值可能是下面的（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，即． ∴选项中只有满足条件． 故选：C． 【例2】有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【详解】解：二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小， 对于①，； 对于②，； 对于③，． 从小到大为：②③①， 故开口从大到小为：②③①，即②③①． 故选：C． 【变式练习】 1．关于函数，下列叙述错误的是（   ） A．函数图象经过原点 B．函数图象的顶点坐标为 C．函数图象开口向下 D．函数图象的对称轴为y轴 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴顶点坐标为，图象经过原点，故选项AB正确，不符合题意， ，二次函数开口向上，C选项错误，符合题意； 对称轴为y轴，选项D正确，不符合题意， 故选：C． 2．抛物线不相同的是（    ） A．形状大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【详解】解：抛物线的形状大小相同；对称轴均为；顶点均为，但开口方向相反， 故选：B． 3. 抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于抛物线，其开口大小由二次项系数的绝对值的大小决定，越大，抛物线的开口越小，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线与相比开口小， ∴， ∴可取， 故答案为：4（答案不唯一）． 4. 如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是___________． 【详解】解：∵抛物线 的开口向下， ∴， 解得． 故答案为： 5．如果抛物线有最高点，那么a的取值范围是______． 【详解】解：抛物线有最高点，说明抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 6．如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：抛物线、开口向上， 且抛物线的开口更窄， ， 抛物线、开口向下， 且抛物线的开口更窄， ， ． 故选C． 题型3 二次函数的对称轴与顶点坐标 【例1】抛物线的对称轴方程是___，顶点坐标是___． 【详解】解：对于抛物线，其中，则对称轴方程是，顶点坐标是． 故答案为：；． 【例2】已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 【详解】（1）解：把代入，得 解得： ∴ ∵ ∴函数图象的开口向上、对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：把代入，得 ． 【变式练习】 1．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 抛物线的对称轴为y轴，即直线． 【详解】解：抛物线的对称轴为y轴，即直线． 故选：A． 2．与二次函数关于x轴对称的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：设上的一个点坐标为，关于x轴的对称点为，则一定在抛物线上， 则，回代解析式得即， 故抛物线的表达式为． 故选：C． 3．抛物线的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴图像开口向上，且顶点为坐标原点， 故选：A． 4．抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．轴 D．x轴 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为，该抛物线符合的形式， ∴ 其对称轴为y轴， 故选：C． 题型4 二次函数的增减性与最值 【例1】填写下列表格： 抛物线 图象（画出图象草图） 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性    _________ _________ _________ 当____时，有最_______值，为______ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________    _________ _________ _________ 当____时，有最___值，为______ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________ 【详解】解：①的图象如下：    由图可知：抛物线开口向下， 对称轴为：轴， 顶点坐标为： ， 当时，有最大值，最大值为0， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ②抛物线图象如下：    由图可知：抛物线开口向上， 对称轴为：轴， 顶点坐标为：， 当时，有最小值，最小值为0， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 故答案为：   向下  轴    0  大  0  减小   增大；    向上  轴    0  小  0  增大  减小． 【例2】点在上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【详解】∵点在上， ∴； ∵点在上， ∴； ∵， ∴． 故选：A． 【变式练习】 1．对于二次函数，当时，y随x的增大而（　　） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【详解】解：二次函数的二次项系数， 抛物线开口向下，对称轴为． 当 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大． 故选：A． 2．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为轴， 由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越大， 点，，到对称轴的距离为、、， ， ， 故选：C． 3．已知，是二次函数的图象上的两点．若，则__________ ． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 4．已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴，解得：． 故答案为：． 5．已知二次函数，当时，y的取值范围是________． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且，开口向上 当时，， ∵对称轴在范围内， ∴y的最小值为 当时， 当时， ∴的取值范围为 故答案为：． 6．已知点，是函数的图象上的两点，且当时，有，则的取值范围是______ 【详解】解：当时， 可得：， 无论为何值，均有， 不符合题意； 当时，函数是二次函数， 其图象为抛物线， 当时，有， ， 解得：． 故答案为：． 7．已知二次函数，在对称轴的右侧部分，函数值y随自变量x的增大而增大，则________． 【详解】解：∵该函数是二次函数， ∴指数部分 ，解得 ，即 又∵二次项系数 ，即 ． 函数在对称轴右侧部分，函数值 随自变量 的增大而增大，表明抛物线开口向上， ∴二次项系数 ，即 ． 综上， 时，，不符合 ；，符合条件， 故答案为 ：． 8．已知y＝（m+1）x是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小． （1）求m的值； （2）当自变量的值为多少时，函数有最值？最值是多少？ 【详解】解：（1）∵y＝（m+1）x是关于x的二次函数，∴m2+m＝2，解得m＝1或﹣2， ∵当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴开口向下,a=m+1＜0，即m＜﹣1．所以m＝﹣2，m＝1（不符合题意，舍）； （2）开心向下，顶点（0,0） 当x＝0时，y最大＝0． 题型5 待定系数法 【例1】已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【详解】（1）解：把代入线得：， 解得， ； （2）解：在中，令，得， 点不在此抛物线上． 【例2】如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是将图像上的点代入求解． 根据该函数图像可知，该二次函数的顶点为，则可设该函数解析式为，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为， 设该函数解析式为， ∵当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为． 则点， 将点代入可得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． 故选：A ． 【变式练习】 1. 已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)画出此抛物线图像并写出三条性质 【详解】（1）抛物线经过点， 将点代入， 得， 解得． （2）由（1）可知，， ， 当时，． （3）图象如图所示， 则抛物线的性质有，①图象开口向下， ②对称轴为y轴， ③顶点坐标为．（答案不唯一） 2．已知点在抛物线上． (1)的值为______． (2)点关于轴的对称点的坐标是什么？如果点关于轴的对称点分别为点，请判断两点是否在抛物线上． 【详解】（1）解：将点代入得，， 故答案为：． （2）解：由（1）可知，点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标分别为． 对于抛物线，当时，；当时，， 两点在抛物线上． 3．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 题型6 数形结合法 【例1】如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 【例2】如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：将代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为， ∴与轴的交点即为所求， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为， 综上，此时点的坐标为，的最小值为． 【变式练习】 1．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（    ） A．18 B． C．9 D． 【详解】解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为3； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为3， 即， ∴， ∴菱形面积为． 2．如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________. 【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位， 则点、， 由于点、都在抛物线上， 则， 解得， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； (2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 【详解】（1）解：设交y轴于点E， 设菱形的边长为， 则． 关于y轴对称， ． ， ， ， 把代入， 得， 解得或（舍去）， ∴菱形的边长为； （2）解：为定值．理由如下： 过点B作轴于点F，过点D作轴于点E．如图所示： ∵点B，D的横坐标分别为m，n，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上， ， ． ∵四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ∵点B，D在y轴的同侧， ． 一、单选题过关练习 1．已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 即， ∴． 故选：A． 2．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； B选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当时，，与点的纵坐标相等， ∴在该函数图象上，符合题意； D选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意． 3．已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像的性质，根据抛物线关于轴对称的性质，由于点和点的纵坐标相同，因此它们的横坐标互为相反数，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为轴，且点和的纵坐标均为， 点和点关于轴对称， ， 故选：B． 4．若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 5．嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（   ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，比较原抛物线与新抛物线的系数a，分析开口方向、开口大小、对称轴和顶点坐标的变化即可求解． 【详解】解：在二次函数和中，对称轴均为直线，顶点坐标为， 故选项C、D不符合题意； ∵原函数，新函数， ∴开口方向均向上，未改变，故选项B不符合题意； ∵， ∴开口大小改变，故选项A符合题意， 故选：A． 6．关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．随增大而增大 D．对称轴是轴 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、最值、增减性与系数的关系，以及对称轴的判定方法是解题的关键．先分别分析两个二次函数的开口方向、最值点、增减性和对称轴，再对比各选项找出它们的共同点． 【详解】∵函数的，开口向下，有最高点，当时随增大而增大，当时随增大而减小； 函数的，开口向上，有最低点，当时随增大而减小，当时随增大而增大； ∴A、B、C均不是共同点； ∵两个函数均为形式， ∴对称轴都是轴，故D正确. 故选：D． 7．对于二次函数，当时，随的增大而（    ） A．先增大后减小 B．减小 C．增大 D．先减小后增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质判断开口方向，再根据对称轴分析增减性即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下， ∵二次函数的对称轴为， ∴当时，随的增大而增大． 故选：C． 8．抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 9．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 10．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质分别求出的值，再比较大小即可得出答案． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 同理可得，，， ∵， ∴． 故选：C． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是__________． 【答案】轴（或直线） 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线是关键．根据解析式即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是y轴． 故答案为：y轴（或直线）． 12．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 13．若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【答案】 【分析】将两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应函数值，再比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 14．写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 【答案】 对称轴为轴（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．三条抛物线的解析式均为的形式，因此它们都具有相同的对称轴和顶点，即可作答． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴，顶点坐标为， 当取、、时，这一性质保持不变． 故答案为：对称轴为轴（答案不唯一）． 15．如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 16．在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是____． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 分别把、点的坐标代入得的临界值，根据二次函数的性质可得到的取值范围． 【详解】解：因为抛物线与线段有公共点，则抛物线开口必须向上， 的顶点坐标为，对称轴为轴， 把代入解析式，得，解得， 把代入解析式，得，解得， 因为抛物线与线段有公共点， 则 故答案为：． 三、解答题 17．不画图象，说出抛物线和的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】 抛物线开口向下，对称轴为直线（y轴），顶点坐标为；抛物线开口向上，对称轴为直线（y轴），顶点坐标为． 【详解】解：抛物线中， ， 抛物线开口向下，对称轴是直线（轴），顶点坐标为； 抛物线中， ， 抛物线开口向上，对称轴是直线（轴），顶点坐标为． 18．已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 【答案】(1)开口向上 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向； （2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值. 【详解】（1）解：将点代入中 得 即 解得 因为 所以这个函数图像的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 解得. 19．已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 【答案】(1)或 (2)当时，抛物线有最低点，当时，随的增大而减小 (3)当时，抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大 【详解】（1）解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得：或， ∴满足条件的值为． （2）解：当时，函数为，开口向上，此时抛物线有最低点，当时，随的增大而减小． （3）解：当时，函数为，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大． 20．已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 【答案】(1) (2)1 (3)当时， 【分析】（1）由圆柱体积公式直接可得； （2）将代入（1）中公式即可； （3）观察图像可知，在第一象限内随的增大而增大，当时，． 【详解】（1）解：由圆柱的体积公式可得， 画图如下： （2）解：将代入（1）中公式可得， 故答案为：1． （3）解：由图像可知，当时，，在第一象限内随的增大而增大， ∴当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 21．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值，并写出对称轴和顶点坐标； (2)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【答案】(1)，对称轴为轴，顶点坐标为 (2) 【分析】（）根据二次函数的定义和性质可求出的值，进而由解析式可求出对称轴和顶点坐标； （）列表、描点、连线，画出函数图象，再根据图象求出的范围即可； 本题考查了二次函数的定义和性质，画二次函数图象，根据函数图象求函数的取值范围，正确画出函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， 解得或， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴，顶点坐标为； （2）解：列表如下： 画函数图象如下： 由函数图象可得，当时，的范围为， 故答案为：． 22．在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 【答案】(1)图见解析；二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． (2)，低． (3)，，大，0． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确作出二次函数的图象是解题关键． （1）先在网格内画出两个二次函数的图象，然后再根据图象即可知开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）根据函数的图象解答即可； （3）根据函数的图象解答即可． 【详解】（1）解：图象如图： 由图可得：二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：抛物线，当时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最低点． 故答案为：，低． （3）解：函数，对于一切的值，总有函数；当时，有最大值是0． 故答案为：，，大，0． 23．如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、函数与直线的交点坐标计算，以及等边三角形的性质，熟练结合函数与几何图形的性质是解题关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，代入已知点坐标求出函数解析式； （2）先结合直线方程与二次函数解析式求出交点坐标，再根据等边三角形的中线、高的性质，计算出顶点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：将代入， 解得：，， 点、的坐标分别为，， ，， 是等边三角形， 易得点在轴上，且， 轴， ， ， 点的坐标为， 点的坐标为或． 24．如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线上有两个点、，它们的横坐标分别为，．若为直角三角形，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查勾股定理和二次函数的图象和性质，要注意在的直角顶点不确定的情况下，要分类讨论，以免漏解．分别用表示、两点的坐标，然后根据坐标系两点距离公式求出、，的值，然后分三种情况，用勾股定理进行求解即可． 【详解】把横坐标，分别代入得、， ∴，，， 当时，，即， 解得，（舍）； 当时，，即， 解得，（舍）； 当时，，， 此方程无解， 综上，当为直角三角形，的值为或． 25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等： （1）设点P的坐标为，根据两点间距离公式求出，可证； （2）由可得，当E，P，N共线时，等号成立． 【详解】（1）证明：点是在该抛物线上的动点， 设点P的坐标为， ， ； ，直线的解析式是， ， ； （2）解：， 点在抛物线的上方， 由（1）知， ，当E，P，N共线时，等号成立，如图： ，当时，， 的最小值为，此时点的坐标为． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题26.2.1 二次函数y=ax2的图像与性质 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 画二次函数y=ax2的图像 题型1 图像的开口方向与开口大小 题型2 图像的对称轴与顶点坐标 题型3 增减性与最值 题型4 待定系数法计算 题型5 数形结合法解决问题 1. 会画二次函数y=ax2的图像； 2. 理解其图像的开口方向、对称轴、顶点坐标等特征； 3. 理解其增减性、最值等性质。 知识点讲解 二次函数的y=ax2的图像与性质 （1）二次函数的图像是一条抛物线； （2）它的对称轴是y轴，即直线；它的顶点是原点即（0，0）； （3）时，抛物线开口向上；当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大；顶点是最低点，当x=0时函数有最小值y=0; （4）时，抛物线开口下；当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小；顶点是最高点，当x=0时函数有最大值y=0; （5）越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大； 题型归纳 题型1 画二次函数的图像 【例1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． ①；②；③；④． x …… 0 1 2 …… y …… 1 0 1 …… 图象如下所示： 【变式练习】 1．（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 题型2 抛物线的开口方向与开口大小 【例1】若抛物线的开口向上，则m的值可能是下面的（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【例2】有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【变式练习】 1．关于函数，下列叙述错误的是（   ） A．函数图象经过原点 B．函数图象的顶点坐标为 C．函数图象开口向下 D．函数图象的对称轴为y轴 2．抛物线不相同的是（    ） A．形状大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 3. 抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）． 4. 如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是___________． 5．如果抛物线有最高点，那么a的取值范围是______． 6．如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型3 二次函数的对称轴与顶点坐标 【例1】抛物线的对称轴方程是___，顶点坐标是___． 【例2】已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 【变式练习】 1．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 2．与二次函数关于x轴对称的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的图像大致是（   ） A． B． C． D． 4．抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．轴 D．x轴 题型4 二次函数的增减性与最值 【例1】填写下列表格： 抛物线 图象（画出图象草图） 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性    _______ ______ ________ 当____时，有最_______值，为______ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________    _______ ______ ________ 当____时，有最___值，为______ 当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________ 【例2】点在上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【变式练习】 1．对于二次函数，当时，y随x的增大而（　　） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 2．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 3．已知，是二次函数的图象上的两点．若，则__________ ． 4．已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 5．已知二次函数，当时，y的取值范围是________． 6．已知点，是函数的图象上的两点，且当时，有，则的取值范围是______ 7．已知二次函数，在对称轴的右侧部分，函数值y随自变量x的增大而增大，则________． 8．已知y＝（m+1）x是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小． （1）求m的值； （2）当自变量的值为多少时，函数有最值？最值是多少？ 题型5 待定系数法 【例1】已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【例2】如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式练习】 1. 已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)画出此抛物线图像并写出三条性质 2．已知点在抛物线上． (1)的值为______． (2)点关于轴的对称点的坐标是什么？如果点关于轴的对称点分别为点，请判断两点是否在抛物线上． 3．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 题型6 数形结合法 【例1】如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【例2】如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 【变式练习】 1．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（    ） A．18 B． C．9 D． 2．如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________. 3．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； (2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 一、单选题过关练习 1．已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 4．若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 5．嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（   ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 6．关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．随增大而增大 D．对称轴是轴 7．对于二次函数，当时，随的增大而（    ） A．先增大后减小 B．减小 C．增大 D．先减小后增大 8．抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 9．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是__________． 12．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 13．若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 14．写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 15．如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 16．在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是____． 三、解答题 17．不画图象，说出抛物线和的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18．已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 19．已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 20．已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 21．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值，并写出对称轴和顶点坐标； (2)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 22．在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 23．如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线上有两个点、，它们的横坐标分别为，．若为直角三角形，求的值． 25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $