专题26.1 二次函数的概念 讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

沪教版 六上自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题26.1 二次函数的概念 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 二次函数的识别 题型2 二次函数求参数 题型3 列函数关系式 题型4 有关函数值的计算 1. 理解二次函数的概念； 2. 掌握二次函数的一般形式，能与一次函数作本质区分； 3. 根据实际问题列函数解析式，并求自变量取值范围。 知识点讲解 1. 二次函数的概念 一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 【易错点睛】 （1）a≠0； （2）ax²+bx+c必须是整式； 2. 二次函数的一般式——y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 【易错点睛】——特殊形式： y=ax²(a≠0) y=ax²+bx(a,b,是常数，a≠0) y=ax²+c(a,c是常数，a≠0) (a,h,k是常数，a≠0) (a,m,n是常数，a≠0) 题型归纳 题型1 二次函数的识别 【例1】下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 【例2】二次函数的二次项系数是 ___________． 【详解】解：变形为， 二次项系数为． 故答案为：． 【变式练习】 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 2．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 3．函数______二次函数．（填“是”或者“不是”） 【详解】解：函数可展开为，该形式为，其中，因此是二次函数． 故答案为：是． 4．二次函数化简后，其一次项系数是_________． 【详解】解：， 其一次项为，系数是． 故答案为：． 5．已知二次函数，则一次项系数__________ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴一次项系数． 故答案为：． 6．已知函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次函数的是________（填序号） 【详解】解：① 是一次函数，不是二次函数； ② 满足 ，是二次函数； ③ 是三次函数，不是二次函数； ④ ，化简后为一次函数，不是二次函数； ⑤ 中 可能为0，不一定是二次函数； ⑥ 含有分式项，不是整式函数，不是二次函数． 故答案为：②． 题型2 根据二次函数定义求参数 【例1】已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 【例2】已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值； (2)若这个函数是二次函数，则满足的条件为______． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， ∴一次函数. ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：∵函数是二次函数， ∴ ∴且． 故答案为：且． 1．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 2．若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵关于的函数是二次函数，二次函数要求二次项系数不为0， ∴， 解得． 3．已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得， 解得， ∴． 4．如果函数是关于x的二次函数，则________． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解方程，解得或． 由得， 因此． 5．若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 6．已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当，即时，原函数为，是一次函数； 当即时，原函数为，也是一次函数， 综上所述，当或时，是一次函数． 题型3 列二次函数解析式及自变量取值范围 【例1】已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 【例2】2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【详解】（1）解：2021年，我国新增水土流失治理面积大约是 万平方千米； （2）解：2021年新增水土流失治理面积万平方千米，2022年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年我国新增水土流失治理面积为y万，得到； 【例3】某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； （2）解：如果将售价定为x元，每天盈利y元， ， ， ∵该种商品进价为80元/件，售价128元/件，然后降价， ∴， ∴． 【变式练习】 1．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 2．已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 3．用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 4．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 5．某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 【详解】（1）解：由题意得 答∶关于的函数关系式为：． （2）解：由（1）可得：． 令，即 解得，． 物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，平时定价为元， 定价不能高于（元）． 当时，定价为（元）， ， 符合规定； 当时，定价为（元）， ， 不符合规定，舍去． 答∶每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 题型4 有关函数的值的计算 【例1】若二次函数的图象经过点，则______． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 2．二次函数中的x和y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 … 则这个二次函数的表达式为__________． 【详解】解：表格中的x，y的对应值分别代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 故答案为：． 3．已知二次函数，当时，；当时，；当时，；a-b+c=________,a+b+c=________,c=_________. 【详解】解：将，，分别代入，得 故答案为：0，4，3 【变式练习】 11．二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x和函数值y的部分对应值如下表所示： x 0 … y 5 4 5 … （1）根据以上信息可知，______． （2）此二次函数的解析式为_______________． 【小题1】解：由表可知，当时，． 故答案为：5． 【小题2】解：二次函数的图象过和， 对称轴为直线， 顶点为 故设二次函数的解析式为． 将代入，得， ， 二次函数的解析式为，即． 故答案为：． 2．已知二次函数，当时，函数值_____． 题意，把代入， 得， 故答案为：0 3．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【详解】（1）解：函数是二次函数， ∴， 解得，， ∴； （2）解：当时，二次函数解析式为， ∴当时，． 4．二次函数的图象过点，，则_____． 【详解】∵二次函数的图象过点，， ∴ 解得 ∴． 故答案为：． 5．某公司投入万元万元只计入第一年成本研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产产量销售量，第一年该产品正式投产后，生产成本为元件．此产品年销售量万件与售价元件之间满足函数关系式 ． (1)求这种产品第一年的利润万元与售价元件之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ 【详解】（1）解：根据利润单件利润销售量， 可得：； （2）解：当时， 可得：， 解得：， 该产品第一年的售价是元/件． 6．如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 【详解】（1）解：设养殖场的宽为x米，则养殖场的长为米， 根据题意，养殖场的面积， ∵墙长45米，宽长， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：当时，由得， 解得，（舍去）， 答：养殖场的宽为23米． 一、单选题过关练习 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数．选项A是含有分式的函数，选项B和C是一次函数，只有选项D符合定义． 【详解】解：A、，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、，是一次函数，故选项B不符合题意； C、，是一次函数，故选项C不符合题意； D、是二次函数，故选项D符合题意． 故选：D． 2．下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（  ） A． B． C．（其中m是常数） D．（其中a是常数） 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，为一次函数，故此选项不符合题意； B、，为二次函数，故此选项符合题意； C、，为一次函数，故此选项不符合题意； D、，当时，，此时不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．二次函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(   ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的一般式，解题的关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．二次函数的一般式为：（a、b、c是常数，）．其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，根据定义作答即可． 【详解】解：二次函数， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，． 故选：B． 4．已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b和常数项c分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．将二次函数整理成一般形式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，． 故选：D 5．已知是二次函数，则（   ） A．a不为零 B．b不为零 C．c不为零 D．a，b，c均不为零 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数需满足最高次项（二次项）的系数不为零，即 ． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， 故选：A． 6．已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 7．若点在函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将点代入函数解析式，直接求解a的值即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴当时，， 代入得：， 解得：． 故选：A． 8．下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 【答案】D 【分析】本题主要考查的是二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【详解】解：A．关系式为：，故A错误； B．关系式为：，故B错误； C．关系式为：，故C错误； D．关系式为：，故D正确． 故选：D． 9．下列变量具有二次函数关系的是（   ） A．圆的周长与半径 B．用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 【答案】C 【分析】本题考查了列二次函数关系式，正确列出各选项之间变量之间的关系即可； 【详解】解：A：，故圆的周长与半径具有一次函数关系，不符合题意； B：由题意得：，即；故一边长与它邻边具有一次函数关系，不符合题意； C：由图可知： ，， ∴； 故正三角形的面积与边长具有二次函数关系，符合题意； D：匀速行驶的汽车，路程与时间成正比例函数关系，不符合题意； 故选：C 10．二次函数的图象经过．则当时，y的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数与x轴的两个交点的坐标得到对称轴，再根据对称性可得答案． 【详解】解：∵二次函数图象过和两个点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等， ∵二次函数图象过点， ∴二次函数图象过点，即时，． 二、填空题 11．已知二次函数，则_____，______，______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可． 【详解】解：，则， 故答案为：，，． 12．已知是二次函数，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，理解形如（a，b，c为常数，且）的函数是二次函数是解题的关键； 根据二次函数的定义列不等式即可解题. 【详解】是二次函数， ， 解得， 的取值范围为． 故答案为：． 13．某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 14．西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为______________(化为一般式) 【答案】 【分析】本题考查根据题意列二次函数解析式． 根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，再化为一般式即可． 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：． 故答案为：． 15．2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意，每个队伍参加场比赛，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为． 即． 故答案为：． 16．两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，解决本题的难点是求得另一正方形的边长，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 根据两个正方形的周长之和为，可求出另一个正方形的边长为 ，再利用正方形面积公式得到面积之和的函数关系式． 【详解】解：设其中一个正方形的边长为，则其周长为， 由于两个正方形的周长之和为， 因此另一个正方形的周长为， 故另一个正方形的边长为， 第一个正方形的面积为， 第二个正方形的面积为， 所以两个正方形的面积之和，即． 故答案为：． 17．如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式，由m，得m，m，即可求解； 【详解】解：∵m， ∴m，m， ∴， 故答案为： 18．已知二次函数的自变量与函数值之间满足的数量关系如表，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质；通过二次函数图象的对称性，确定对称轴，并利用对称点求函数值，即可求解． 【详解】解：由表格数据，当和时，值均为，故抛物线的对称轴为． 点关于对称轴的对称点为， 因此当时，，即 点关于对称轴的对称点为， 因此当时，，即 所以 故答案为：． 三、解答题 19．下列各式中，哪些一定是y关于x的二次函数？哪些一定不是y关于x的二次函数？对于有可能是y关于x的二次函数的，请补充条件使它一定是y关于x的二次函数． ①； ②； ③； ④（k为常数）． 【答案】一定是y关于x的二次函数的是①④；一定不是y关于x的二次函数的是②；有可能是y关于x的二次函数的是③，当，a，b，c为常数时，③一定是y关于x的二次函数． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解决本题的关键． 根据二次函数的定义去进行解答即可． 【详解】解：由题意可知： ①根据二次函数的定义可知是二次函数； ②将函数展开合并，得，所以一定不是二次函数； ③当，，为常数且时，函数才是二次函数； ④由二次函数的定义可知是二次函数； 综上所述，一定是关于的二次函数的是①④；一定不是关于的二次函数的是②；有可能是关于的二次函数的是③，当，为常数时，③一定是关于的二次函数． 20．写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数． (1)圆的面积与它的周长之间的关系式； (2)菱形的两条对角线长的和为26cm，求菱形的面积与一对角线长之间的关系式． 【答案】(1)，二次函数 (2)，二次函数 【分析】此题考查列二次函数解析式．根据题意列出函数解析式，并进行判断即可． （1）根据圆面积和周长之间的关系列出函数解析式并判断即可； （2）根据菱形的面积和对角线长之间的关系列出函数解析式并判断即可． 【详解】（1）解：∵，     ∴圆的面积与它的周长之间的函数关系 ，     所以，是的二次函数． （2）解：菱形的另一条对角线的长是，     ，    所以，是的二次函数． 21．关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙说法正确，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可求解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：乙说法正确，理由： 由题意得：， ∴关于的函数（为常数）一定是二次函数， 所以乙的说法正确． 22．如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． (1)写出与的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)自变量的取值范围是什么？ 【答案】(1) (2)二次函数 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟悉掌握矩形的面积公式列出函数是解题的关键． （1）根据矩形面积公式解答即可； （2）由函数式子判断即可； （3）结合题意解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：； （2）解：∵， ∴是的二次函数； （3）解：由题意得：自变量的取值范围是． 23．【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点． 探究1（一次函数） （1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）； ①是“倍动点函数”，倍动点为； ②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③是“倍动点函数”，倍动点为． 探究2（二次函数） （2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点． 【答案】（1）②③，（2），没有其他倍动点 【分析】本题考查了倍动点函数的定义． （1）根据倍动点的定义，检查每个一次函数是否存在自变量t使得函数值等于，从而判断结论正误； （2）将给定的倍动点代入二次函数求出c，再解方程判断是否有其他倍动点即可． 【详解】解：（1）对于①：设存在t使得，解得，此时，， ∴倍动点为，但结论中给出的倍动点为，故①错误； 对于②：，对于任意t，当时，， ∴有无数个倍动点，故②正确； 对于③：当时，，， ∴是倍动点，故③正确， 故答案为：②③． （2）将代入，得，解得， 将代入，得， 令，则， 即，解得， ∴该函数没有其他倍动点． 24．【问题提出】（1）如图1，正方形的边长为6，点、分别在边、上（点不与、重合，点与、重合），且，点为边的中点，分别连接、，，五边形的面积为，求与之间的函数解析式； 【问题解决】（2）如图2，在菱形中，，，点是菱形内一点，连接、、，，点、分别在边、上，连接、，，设的长为，四边形的面积为． ①求与之间的函数解析式； ②当最小时，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）根据四边形为正方形，边长为6，得出，结合，表示出，，根据点 G 为 边的中点，得出，根据五边形的面积求解即可． （2）①如图，过点P作，在菱形中，，，，，证明是等边三角形，得出，证明，得出，则，根据，得出，，，求出，即可求解． ②根据，，得出当时，最小，此时，点共线，结合四边形是菱形，得出，求出，代入①中解析式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形，边长为6， ， ， ，， ∵点 G 为 边的中点， ， ， ， ， ∴五边形的面积 ． 即． （2）①如图，过点P作， 在菱形中，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， 即． ②∵， ∴， 则最小时，最小， 当时，最小，此时，点共线， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定以及函数解析式等知识，难度较大，正确作出辅助线是解答本题的关键． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题26.1 二次函数的概念 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 二次函数的识别 题型2 二次函数求参数 题型3 列函数关系式 题型4 有关函数值的计算 1. 理解二次函数的概念； 2. 掌握二次函数的一般形式，能与一次函数作本质区分； 3. 根据实际问题列函数解析式，并求自变量取值范围。 知识点讲解 1. 二次函数的概念 一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）a≠0； （2）ax²+bx+c必须是整式； 2. 二次函数的一般式——y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 【易错点睛】——特殊形式： y=ax²(a≠0) y=ax²+bx(a,b,是常数，a≠0) y=ax²+c(a,c是常数，a≠0) (a,h,k是常数，a≠0) (a,m,n是常数，a≠0) 题型归纳 题型1 二次函数的识别 【例1】下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】二次函数的二次项系数是 ___________． 【变式练习】 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数______二次函数．（填“是”或者“不是”） 4．二次函数化简后，其一次项系数是_________． 5．已知二次函数，则一次项系数__________ 6．已知函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次函数的是________（填序号） 题型2 根据二次函数定义求参数 【例1】已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【例2】已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值； (2)若这个函数是二次函数，则满足的条件为______． 1．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 2．若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 4．如果函数是关于x的二次函数，则________． 5．若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 6．已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 题型3 列二次函数解析式及自变量取值范围 【例1】已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【例2】2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【例3】某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 【变式练习】 1．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 2．已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 3．用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 4．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 5．某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 题型4 有关函数的值的计算 【例1】若二次函数的图象经过点，则______． 2．二次函数中的x和y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 … 则这个二次函数的表达式为__________． 3．已知二次函数，当时，；当时，；当时，；a-b+c=________,a+b+c=________,c=_________. 【变式练习】 11．二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x和函数值y的部分对应值如下表所示： x 0 … y 5 4 5 … （1）根据以上信息可知，______． （2）此二次函数的解析式为_______________． 2．已知二次函数，当时，函数值_____． 3．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 4．二次函数的图象过点，，则_____． 5．某公司投入万元万元只计入第一年成本研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产产量销售量，第一年该产品正式投产后，生产成本为元件．此产品年销售量万件与售价元件之间满足函数关系式 ． (1)求这种产品第一年的利润万元与售价元件之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ 6．如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 一、单选题过关练习 1．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（  ） A． B． C．（其中m是常数） D．（其中a是常数） 3．二次函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(   ) A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b和常数项c分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．已知是二次函数，则（   ） A．a不为零 B．b不为零 C．c不为零 D．a，b，c均不为零 6．已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 7．若点在函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 8．下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 9．下列变量具有二次函数关系的是（   ） A．圆的周长与半径 B．用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 10．二次函数的图象经过．则当时，y的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知二次函数，则_____，______，______． 12．已知是二次函数，则的取值范围为_______． 13．某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 14．西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为______________(化为一般式) 15．2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 16．两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______． 17．如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 18．已知二次函数的自变量与函数值之间满足的数量关系如表，则的值为_______． 三、解答题 19．下列各式中，哪些一定是y关于x的二次函数？哪些一定不是y关于x的二次函数？对于有可能是y关于x的二次函数的，请补充条件使它一定是y关于x的二次函数． ①； ②； ③； ④（k为常数）． 20．写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数． (1)圆的面积与它的周长之间的关系式； (2)菱形的两条对角线长的和为26cm，求菱形的面积与一对角线长之间的关系式． 21．关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 22．如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． (1)写出与的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)自变量的取值范围是什么？ 23．【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点． 探究1（一次函数） （1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）； ①是“倍动点函数”，倍动点为； ②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③是“倍动点函数”，倍动点为． 探究2（二次函数） （2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点． 24．【问题提出】（1）如图1，正方形的边长为6，点、分别在边、上（点不与、重合，点与、重合），且，点为边的中点，分别连接、，，五边形的面积为，求与之间的函数解析式； 【问题解决】（2）如图2，在菱形中，，，点是菱形内一点，连接、、，，点、分别在边、上，连接、，，设的长为，四边形的面积为． ①求与之间的函数解析式； ②当最小时，求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $