4.4　三角恒等变换-2027年高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“三角恒等变换”专题，依据高考评价体系梳理了半角公式、和差化积、积化和差等核心考点，通过真题分析明确“三角函数式求值”占比达60%的高频考查方向，归纳化简、给角求值、给值求角三大常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+规律建模+素养提升”的备考路径，如以2023新高考Ⅱ第7题为例，运用半角公式推导培养数学思维，结合“看角看数看次数”化归原则指导应试技巧。特设易错点警示（如符号判断）和对点训练，帮助学生高效突破考点，教师可据此实现精准复习教学。

第4节　三角恒等变换 强基础•固本增分 1.半角公式 (1)sin=±; (2)cos=±; (3)tan=±. 以上称之为半角公式,符号由所在象限决定. 2.积化和差公式 (1)cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]; (2)sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]; (3)sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]; (4)cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]. 3.和差化积公式 (1)sin α+sin β=2sin; (2)sin α-sin β=2cos; (3)cos α+cos β=2cos; (4)cos α-cos β=-2sin. 常用结论 1.万能公式sin α=,cos α=,tan α=. 2.正、余弦平方差公式 sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β); cos2α-sin2β=cos(α+β)cos(α-β). [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1).(　　) (2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k+1)π(k∈Z).(　　) (3)对任意角α,sin 2α=2sin α都不成立.(　　) (4)cos2(1+cos α),cos 3α=1-2sin2.(　　) × 解析 =±sin √ × 解析 如当α=0时等式成立. √ 2.(2023·新高考Ⅱ,7)已知α为锐角,cos α=,则sin=(　　) A. B. C. D. D 解析 sin2(1-)==()2. 因为0<α<, 所以0<, 所以sin>0,所以sin 故选D. 3.(苏教必修二教材例题)求sin的值. 解 原式=[sin()+sin()]=(sin+sin)= 研考点•精准突破 考点一　三角函数式的化简 例1　(1)(多选题)(2025·湖南益阳期末)下列式子化简后等于sin α的是(　　) A. B.4sin C. D. ABC 考点一 考点二 解析 因为=sin α,故A正确; 因为4sincoscos=2sincos=sin α,故B正确; 因为=sin α,故C正确; 因为=tan α≠sin α,故D错误. 故选ABC. 考点一 考点二 (2)(多选题)(2026·山东淄博模拟)下列化简正确的是(　　) A.tan 80°-tan 35°-tan 80°tan 35°=1 B. C.=-4 D.16sin 10°cos 20°cos 30°cos 40°= ABD 考点一 考点二 解析 因为tan 45°=tan(80°-35°)==1, 则tan 80°-tan 35°=tan 80°tan 35°+1, 所以tan 80°-tan 35°-tan 80°tan 35°=1,故A正确; 因为= = =,故B正确; 考点一 考点二 因为 ==4,故C错误; 因为16sin 10°cos 20°cos 30°cos 40° = = ,故D正确. 故选ABD. 考点一 考点二 规律方法　 考点一 考点二 考点二　三角函数式的求值 考向1　给角求值 例2　(1)(2025·湖北襄阳模拟)奥地利数学家、天文学家雷提库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割,在某直角三角形中,一个锐角的斜边与其邻边的比,叫做该锐角的正割,用sec(角)表示;锐角的斜边与其对边的比,叫做该锐角的余割,用csc(角)表示,则 csc 10°-sec 10°=(　　) A.-4 B.2 C.4 D.-2 C 考点一 考点二 解析 csc 10°-sec 10°= =-=-=4.故选C. 考点一 考点二 (2)计算=(　　) A.2 B.- C.-1 D.-2 D 解析 因为=- =-=-=- =-=-=-2. 故选D. 考点一 考点二 规律方法　给角求值问题的求解策略 给角求值问题中一般给出的角都是非特殊角,求解时,需要观察分析所给角与特殊角的关系、分析函数名称的关系,通过公式的正用、逆用、变形用,使得式子中的角以及式子的结构发生变换,从而达到化简计算的目的,通常有以下三种思路: (1)通过变换,化为特殊角的三角函数值; (2)通过变换,产生可消去的正负项,再去求值; (3)通过变换,产生分子分母可约分的项,约分求值. 考点一 考点二 [对点训练1](2025·江苏苏州模拟)tan 10°+=　　　　　.  　 解析 tan 10°+= == == == == 考点一 考点二 考向2　给值求值 例3　(1)(2025·安徽蚌埠模拟)已知cos(θ+)=,θ∈(0,),则sin(-θ)=(　　) A.- B. C.- D. D 考点一 考点二 解析 因为θ∈(0,),所以θ+).因为cos(θ+)=, 所以sin(θ+)=, 所以sin(-θ)=sin(4π+-θ)=sin(-θ)=cos[-(-θ)] =cos(θ+)=cos[(θ+)+]=cos(θ+)cos-sin(θ+)sin 考点一 考点二 (2)(2025·江苏南通模拟)已知cos αcos β=,cos(α+β)=,则sin2α-cos2β=(　　) A. B. C.- D.- D 解析 因为cos αcos β=,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=, 所以sin αsin β=,可得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=, 所以sin2α-cos2β=(1-cos 2α)-(1+cos 2β)=-(cos 2α+cos 2β) =-{cos[(α+β)+(α-β)]+cos[(α+β)-(α-β)]}=-[cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)+cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)]=-cos(α+β)cos(α-β) =-=- 考点一 考点二 规律方法　三角函数给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或已知条件; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值. 考点一 考点二 [对点训练2](2022·新高考Ⅱ,6)若sin(α+β)+cos(α+β)=2sin β,则(　　) A.tan(α+β)=-1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α-β)=1 C 考点一 考点二 解析 sin(α+β)+cos(α+β)=sin(α+β+)=sin[(α+)+β] =sin(α+)cos β+cos(α+)sin β.又sin(α+β)+cos(α+β) =2cossin β, 故sin(α+)cos β=cos(α+)sin β,故sin(α+)cos β-cos(α+)sin β=0,即sin(α+-β)=0. 故sin(α-β+)=sin(α-β)+cos(α-β)=0. 故sin(α-β)=-cos(α-β). 故tan(α-β)=-1. 故选C. 考点一 考点二 考向3　给值求角 例4　(2025·江苏镇江模拟)已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-,则2α+β的值为(　　) A. B.π C. D. A 解析 因为α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-, 所以sin α=,cos α=,sin(α+β)=,α∈(0,),α+β∈(,π), 所以2α+β∈(),则sin(2α+β)=sin[(α+β)+α] =sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=,所以2α+β= 考点一 考点二 规律方法　给值求角问题一般先求角的某一个三角函数值,再求角的范围,最后确定角.函数的选取一般遵照以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数;已知正弦、余弦函数值,选正弦或余弦函数; (2)若角的范围是(0,),选正弦、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为(-),选正弦较好. 考点一 考点二 [对点训练3](2025·广东梅州模拟)已知α∈(0,π),β∈(0,π),sin(α+β) =2cos(α-β),tan α+tan β=,则α+β=(　　) A. B. C. D. C 考点一 考点二 解析 由sin(α+β)=2cos(α-β),得sin αcos β+cos αsin β =2(cos αcos β+sin αsin β), 则tan α+tan β=2+2tan αtan β,而tan α+tan β=,解得tan αtan β=- 因此tan(α+β)==1,由α∈(0,π),β∈(0,π),tan αtan β<0, 得α∈(0,),β∈(,π)或α∈(,π),β∈(0,),则α+β∈(), 所以α+β= 考点一 考点二 $