江苏省连云港市海州区名校协作体2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

**基本信息** 2025-2026学年高二下学期6月数学学业水平监测卷，以空间向量、概率统计、立体几何等核心知识为载体，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理和数据观念，适配高二学业水平评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|空间向量、二项式定理、回归分析|基础概念辨析，如直线与平面法向量关系| |多项选择|3/18|空间线面关系、排列组合|多选项设计考查严谨思维，如支教安排概率分析| |填空|3/15|正四棱锥距离、翻折体积|空间几何计算，体现空间观念| |解答题|5/77|数列证明、统计案例（体质健康）、函数导数、椭圆综合、正四棱台轨迹|统计题结合体质政策具时代性，立体几何多问设计（轨迹长度与体积最值）体现能力梯度|

2025-2026学年度高二第二学期6月学业水平质量监测 数学试题 注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。 3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 一、单项选择题（共8小题 满分40分） 1．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 2．若随机变量，且，则（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 3．二项式的展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 4．设为两个事件，已知，则（    ） A． B． C． D． 5．从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为，已知，则（    ） A． B． C．1 D． 6．已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（    ） x 4 4.5 5 5.5 6 y 7 6 4 2 1 A．0.2 B． C．0.4 D． 7．已知正方体中，是的中点，则平面与平面的夹角余弦值是（   ） A． B． C． D． 8．在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分的体积较小，则与的体积之比为（ ） A．4∶5 B．5∶7 C．10∶17 D．8∶19 二、多项选择题（共3小题 满分18分） 9．若，，是空间中互不重合的三条直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，，则 10．甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到，，，四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．甲志愿者被安排到学校的概率是 C．若学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有60种 D．在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是 11．在正四棱柱中，，，点在棱上，且，点在上底面运动，则（   ） A．存在点，使得 B．三棱锥体积的最大值为2 C．若平面，则的最小值为 D．以为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为 三、填空题（共3小题 满分15分） 12．若＝，则x的值为_______． 13．在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 14．如图，是边长为的正三角形的一条中位线， 将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时， 四棱锥外接球的表面积为__________. 四、解答题（共5大题 满分77分） 15．（13分）已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 16．（15分）年月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于小时”．某中学为了解政策落实情况及其对学生视力的影响，从全校学生中随机抽取了名学生进行调查，统计了他们每天综合体育活动时间与视力情况，得到如下列联表. 未患近视 患近视 合计 每天综合体育活动时间小时（未达标） 每天综合体育活动时间小时（达标） 合计 完成上表，并根据完成的表格解决下列问题： (1)根据小概率值的独立性检验，分析患近视是否与每天综合体育活动时间有关； (2)从未患近视的学生调查者中按分层抽样的方法随机抽取人，再从这人中随机抽取人做进一步的访谈，记抽到的人中“每天综合体育活动时间小时（未达标）”的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 17．（15分）已知函数，． (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，都有，求实数的取值范围． 18．（17分）已知椭圆：的焦距为，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：交椭圆于、两点，点满足： （ⅰ）若，且，求直线的方程； （ⅱ）记四边形的面积为，若点恰好在椭圆上，求的值. 19．（17分）如图，正四棱台中，，，. (1)求证：平面； (2)若点在平面内，且直线与平面所成的角的正切值为. （i）求的轨迹的长度； （ii）求三棱锥体积的最大值. 高二数学试题 第1页 共3页 高二数学试题 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度高二第二学期6月学业水平质量监测 数学试题 注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2答题前，请务必将自已的姓名、考试号等用Q5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定 位置。 3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指 定位置作答，在其他位置作答一律无效。 一、单项选择题（共8小题满分40分） 1.已知直线1的方向向量为v=(6,2x-1,2),平面a的法向量为n=(x,2,x-1),若1a, 则实数x的值为() A月 B c.4 D.} 2.若随机变量X~N(2,o2),且P(X>3)=0.3,则P1<X<3)=() A.0.4 B.0.5 c.0.6 D.0.7 3二项式( 的展开式中的常数项为() A B.160 C._5 2 D.-160 4.设4B为两个事件，已如P0=号Pa)=Pa- 5 ,则P(AB)=() D. 5.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有 放回地摸取5次，设摸得白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)=() A B.5 C.1 D.$ 6.已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为 )=-3.2x+a,则x=4时的残差为（) 4 4.5 5 5.5 6 7 6 4 2 A.0.2 B.-0.3 C.0.4 D.-0.2 高二数学试题第1页共4页 7.已知正方体ABCD-ABCD中，M是DD的中点，则平面MAB,与平面ABCD的 夹角余弦值是() A.22 B.V6 C.5 3 3 3 n. 8.在直三棱柱ABC-A,B,C中，点P满足3AP=AB+AC,若经过P,B,C三点 的平面将棱柱分为·，「2两部分(T1的体积较小)，则与「2的体积之比为() A.4:5 B.5:7 C.10:17 D.8:19 二、多项选择题（共3小题满分18分） 9.若a,b，c是空间中互不重合的三条直线，a,B是两个不重合的平面，则 下列结论正确的是() A.若aca,a1B,则a1B B.若a1b,b1c,则aPc C.若a11a,a1B,则a1B D.若acB,bcB,a∩b=P,a1c,b1c,则c⊥B 10.甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A,B,C,D四所山区学校参 加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校 支教，则下列结论正确的是() A.不同的安排方法共有45种 B.甲志愿者被安排到A学校的概率是4 C.若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有60种 D.在甲志愿者筱安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志慰者的概*是 11.在正四棱柱ABCD-AB,CD中，AB=2,AA=3,点M在棱CC上，且CM=1, 点P在上底面A,B,CD运动，则（) A,存在点P,使得BP⊥AM B.三棱锥P-ABM体积的最大值为2 C.若P∈平面4BM,则BP的最小值为丽 13 D.以M为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为 16π+3W3元 6 三、填空题（共3小题满分15分） 12.若C28=C3-8,则x的值为 高二数学试题第2页共4项 13.在正四棱锥P-ABCD中，PA=26,AB=4,E,F分别是棱AB,PC的中点， 则点D到直线EF的距离是 14.如图，DE是边长为2√5的正三角形ABC的一条中位线， 将VADE沿DE翻折至△ADE,当三棱锥C-ABE的体积最大时， 四棱锥A-BCDE外接球的表面积为」 四、解答题（共5大题满分77分） 15.(13分)已知数列{a,}满足：4=1，a2a,+1 a (①若久=，求证：6，为等差数列. (2)求数列{anan1}的前n项和Sn. 16.(15分)2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计 划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”，某中 学为了解政策落实情况及其对学生视力的影响，从全校学生中随机抽取了150名 学生进行调查，统计了他们每天综合体育活动时间与视力情况，得到如下2×2列 联表 未患近视 患近视 合计 每天综合体育活动时间<2小时（未达标） 70 每天综合体育活动时间≥2小时（达标） 40 60 合计 60 完成上表，并根据完成的表格解决下列问题： (1)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析患近视是否与每天综合体育活动时 间有关 (2)从未患近视的学生调查者中按分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中随 机抽取3人做进一步的访谈，记抽到的3人中“每天综合体育活动时间<2小时 (未达标)”的人数为X,求X的分布列和数学期望 附：X2= n(ad-be) 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)b+d)' 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 高二数学试题第3页共4页 17.(15分)已知函数f(x)=lnx-ax-1,aeR. (1)若a=-1,求f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程： (2求函数f(x)的单调区间； (3)若x∈(0，+oo),都有f(x)≤-1，求实数a的取值范围. 18(7分)已知幅圆C:号+茶=a>b>0的焦距为2v2,且经过点(-5 (1)求椭圆C的标准方程： ②若直线1，y=:+mm≠0)交椭圆C于P、Q两点，点M满足州-P+0: 0若m=1,且O网-25.求直线1的方程， (ii)记四边形OPMQ的面积为S,若点M恰好在椭圆C上，求S的值. 19.(17分)如图，正四棱台ABCD-AB,CD,中，DE=DD,AB=2AB=4,CC=V6. D B (1)求证：DD,⊥平面ACE: ②若点F在平面84C内，且直线DF与平面BAC所成的角的正切值为2W2 ()求F的轨迹的长度： (i)求三棱锥E-ACF体积的最大值. 高二数学试题第4页共4项2025-2026学年度高二第二学期6月学业水平质量监测 数学参考答案 1 2 3 4 6 6 7 8 D A C D D D D D 9 10 11 AD BCD BCD 12.4或9. 13.3W70 14.13π 7 an 15（1)因为44=)”，所以=，=2+1 a 即1-=2，b-b=2,又4=1-1， ant an a 所以色}是以1为首项，2为公差的等差数列； ②由()可得么=2n-1,则a2 1 a 1,1-1(11 所以a,01-2n-2m+122n-12n+1J” 所以s0-非司 2n+1 16.(1)根据题意，补全列联表： 未患近视 患近视 合计 每天综合体育活动时间<2小时（未达标） 20 70 90 每天综合体育活动时间≥2小时（达标） 40 20 60 合计 60 90 150 零假设H。:患近视与每天综合体育活动时间无关， X-150x20x20-70x40_8002963 90×60×60×90 27 高二数学试题第1页共7页 因为29.63>10.828，所以零假设H。不成立， 所以根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断患近视与每天综合体育活动时间 有关 (2)从未患近视的60人中分层抽样抽取6人，抽取未达标人数为6×20-2，抽取 60 达标人数为6×0=4， 60 X的所有可能取值为0,1,2， 0x答-有x竖-答- 所以X的分布列为 X 0 2 P 1-5 3-5 1-5 E(x)02 17.(1)若a=-1,则f)=nx+x-1,则f(x)=+1,f')=1+1=2. :f()=0,所以切点坐标为(1,0)，切线斜率为2， 曲线y=f(x)在点(，f()处的切线方程为y=2(x-1). 化简可得：2x-y-2=0 (2)因为f(x)=lnx-ax-1,定义域为(0，+oo), 所以r)是a, 当as0时，f(四a>0恒成立， 所以函数f(x)在(0，+o)单调递增； 当a>0时，令()-0，解得x-日 当x0,时，f>0,函数了)单调递增， a 当仁+)时，)0，函数/单调造减 高二数学试题第2页共7页 综上，当a≤0时，单调递增区间为(0，+o),无单调递减区间：当a>0时，单调递 增区间为0》，单调递减区间为仁 (3)若x∈(0，+oo),都有f(x)≤-1，即lnx-ax-1≤-1， 即a“在0o上有成立，令g)-x>0, 由题意，只需当x∈(0，+oo)时，a≥g(x)即可， 令g()1-hx=0, x2 因为当0<x<e时，g(x)>0,所以g(x)在(0，e)上单调递增， 当x>e时，g'(x)<0,所以g(x)在(e,+oo)上单调递减， 8=ge)-。 e 综上所述，实数a的取值范围是 18.(1)因为椭圆C的焦距为22，所以2c=2√2，所以c=√2， 所以a2=b2+c2=b2+2, 由精圆c过点5，所以后+京，所以2方山 化简得b4-b2-2=0,解得b2=2或b2=-1（舍去)，所以a2=4, 所以桶同C的标准方程为号+号山， 2 (2)设P(G,y,G,当)，M(x6), [y=kx+m 香+号-1得r+2+-4=0, 由x2,y2 即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0, 所以△=(4km)2-40+2k2)(2m2-4)=8(2+4k2-m2)>0, 所以m2<2+4k2,，且x+x2 -4km 2m2-4 1+22,=1+2k2, 所以y+当=k(化+x)+2m=k 4am） 2m 1+2k2 +2m= 1+2k2· 高二数学试题第3页共7页 4km 4k x0=x1+x2= 0因为m=1,州=0P+00,所以 1+2k2=1+2k2 2m 2 %=%+为=1+2k1+2K 又o-25.所以j(- 化简得5-4-1=0，解得=1或2=写（合去），所以=山， 所以直线1的方程为y=x+1或y=-x+1: (i）因为Pg=+k-=+.252+42-m 1+2k2 又原点0到直线的距离为d=m V1+k2, 由Om=OP+O心知四边形oPM0是平行四边形， 所以面积5=2S=Pgd=25, 1+2k2 .N2+4k2-m2 -4km 2m 02 因为点M -4km 2m 1+2k21+2k2 在椭圆C上，所以1+2k 1+2k2 解得1+2k2=2m2, 所以5-22m2+4-m 1+2k2 22-m.3mr=6. 2m2 19.(1)连结AC交BD于O,连接AC,B,D交于点O,连结OO, D B 在等腰梯形ACCA中，O,O,分别为AC,AC中点，可得OO⊥AC, 高二数学试题第4页共7页 在正方形ABCD中，BD⊥AC,又BDnOO=O,BD,OOC平面BDD,B, 所以ACI平面BDDB,因为DDC平面BDDB,所以DD⊥AC, 作DH1CD,H为垂足，在等腰梯形DCCD中，DH=CD-CD-l, 2 D0-c-6,得c00=6,由aE-0D得E-号00.2y 3, 2W6 在aCDE中，DE_3-6 cos∠CDE,所以∠CED=90°即DD1AE, CD 4 6 又AC,AEC平面ACE,ACOAE=A,所以DDI平面ACE. (2)(i)因O,O分别为正四棱台ABCD-AB,CD,的两底面的中心， 则001平面ABCD,且00=1 2 以O为原点，分别以OA,OB,O0为x,y,z轴，建立空间直角坐标系0-z, 0(0,0,0),A(22,0,0)C（2W2,0,0)D(0,-22,0)B0,V5,2C(V2,0,2)D0,-2,2), 则CA=42,0,0),CB=(22,V2,2）,DB=0,2V2,0)月 设平面BAC的一个法向量n=(x,y,z), iCA=4v2x=0 则 CB-22x+2y+2z=0'故可取=@2，-】 设D,在平面B,AC上的投影为点M，则DM= m-D8_445 53’ 4V3 设直线D与平面81C所成角为0，则ma29,解得-2方=6， 2V2 3 所以F的轨迹是以M为圆心，√6为半径的圆，则F的轨迹长度为2π×√6=2√6m. 高二数学试题第5页共7页 (ii)解法一：设M的坐标为(xo,,zo), 因D,M1/i,即(%+V2,6-2/10,W2,-1),得，=0,22。=-%+2， 设CM=ACi+CR=A(42,0,0)+u22,V2,2), 即(22，，)）(42A+224,V24,2）), [22=42A+2W2u Xo=2u 解得=，号 从而CM= 20=24 CM.CA 26256√6 记点M到AC的距离为d,则d= c 3-32=3, 所以点F到4C肉的最大值为、6+-6，所以6 =24C.4y6165 3 3 又a-om+n-0m0n-4g5》 记点E到平面B,AC距离为h,则h= i.0E_45 3’ 所以eo-w-写5-g 39 解法二： 连结OB,因为DB/1DO且DB=DO=2,所以DDB,O为平行四边形，则DD11B,O, 又DD￠平面BAC,BOC平面BAC,所以D,D/I平面BAC, 所以点E和点D,到平面B,AC的距离相等，即为DM, 设CT=aCA+bCE=a(420,0+b(22,V2,2)）(4v2a+22b,V2h,2b）, 高二数学试题第6页共7页 记点F到AC距离为h, 则4-C CF.CA /32a2+32ab+14b2） (32a+16b)2 32 =6l, cA 又D,F=D,C+CF-=（-2V2+4W2a+22b,V2+2b,-2+2b）, 由D=DM+MF4可得4a+486-a+26-30b+40 配方得利2+9--9 令a+怎osab-}sma9e02）.可得当sm0=1时，有风-手所以4的 24 3 最大值为4y6 ， 所以w人4c45-2w6_16W5 3 331 所以=enM=}×l65x+-4 X Γ3339 高二数学试题第7页共7页