精品解析：湖北十堰市郧阳中学2025-2026学年高一下学期6月强化练习数学试卷

郧阳中学2025级高一下学期六月数学强化练习 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题只有一个选项是正确的． 1. 若（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则求解. 【详解】因为，所以. 2. 设向量，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行得到与的关系，进一步利用二倍角公式可得结果. 【详解】因为向量，， ， 所以存在使得， 所以，所以， 所以， 故选：C 3. 三角形中，角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】由余弦定理知，， 整理得，解得或， 又，所以， 由正弦定理得. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直线与平面，直线与直线，平面与平面不同位置的定义，判定定理及性质定理，以及几何特征，逐项分析即可． 【详解】选项A，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故A选项不正确； 选项B，若，，， 则平面与平面可能平行，可能相交；故B选项不正确； 选项C，若，，，则，故C选项正确； 选项D，，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故D选项不正确； 故选：C. 5. 圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设圆台的上下底面圆的半径分别为，根据题意，求得，再利用圆台的侧面积公式，列出方程，即可求解. 【详解】设圆台较小底面圆的半径为，较大的底面圆的半径为， 因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍， 可得，所以， 又因为圆台的侧面积为，可得，解得. 故选：A. 6. 在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. 60° B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，连结、，矩形中利用三角函数的定义，证出可得,根据面面垂直的性质和线面垂直的判定，在正三棱柱中证平面，从而得出，即可求解. 【详解】取中点，连接、， 矩形中，， ，可得，因此； 正三棱柱中，平面平面， 平面平面，，平面， 平面，平面，可得. ，平面， 平面，又平面， 所以，即与所成角的大小为， 故选：C． 7. 三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的平方和关系及三角形面积公式得到，根据向量的线性运算得到，结合向量的模的计算及基本不等式求解即可. 【详解】在中，，所以. 又，所以. 又， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 8. 已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动，则正数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当正四面体的外接球为圆锥的内切球时，的值最大，根据已知条件求出两个球的半径，解不等式即可. 【详解】当正四面体的外接球为圆锥的内切球时，的值最大. 因为圆锥的底面半径为1，轴截面为正三角形，所以正三角形的边长为2， 如图（一），圆锥轴截面内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，，即内切球的半径为. 因为正四面体的边长为，则补全为正方体时其棱长为，如图（二）所示， 所以正四面体的外接球半径，所以， 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．选项全对得6分，漏选得部分分，错选得0分．） 9. 设，为复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】由复数的基本性质、几何意义与模的运算求解即可. 【详解】对于A选项，设，，则，，满足，但，， 复数不能比较大小，故A错误； 对于B选项，因为，所以，则，所以，故B正确； 对于C选项，设，，此时，但，故C错误； 对于D选项，设，，因为，所以， 则点在以为圆心，半径为的圆形区域内， 由可知（因为 ），故 ，所以， 该式表示圆形区域内的点到定点的距离，因为， 则，即的取值范围是，故D正确. 10. 如图，正方形的边长为2，为边的中点，把和分别沿，折起.使得，两点重合为一点.下列四个命题正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线所成的角为 C. 二面角的大小为 D. 点到平面的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】作出图形，根据线面、线线位置关系可判断A,B，找到二面角的平面角，根据长度计算即可知C对错；然后作，根据计算即可. 【详解】如图， 由平面图形，可知，，又,平面 ∴平面，又平面可得∴A对，B错； 取的中点，连接，，则，， ∴为二面角的平面角，，，， ∴，C对； 由C选项知平面，∴平面平面，为交线， 在平面中作，交于，则平面， 由，求得， ∴点到平面的距离为，D错. 故选：AC 11. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知条件结合分析判断A；利用余弦定理和正弦定理结合已知条件可得，然后利用正弦函数的性质分析判断B；由选项可得判断C；由正弦定理结合及二倍角公式得，再结合可求出其范围进行判断D. 【详解】对于A，由，，得，则，A正确； 对于B，由余弦定理得， 由正弦定理得，则，而， 则或，若，则，，此时， 于是，则，此时，B错误； 对于C，由选项B知，则，解得，C正确； 对于D，由正弦定理得 ， 而，则，，因此，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 向量满足且，则与所成夹角的余弦值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由． ． ． 设夹角为，则． 13. 已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】两边平方后求出，再利用投影向量的公式求解. 【详解】， 其中，所以，解得， 则在上的投影向量为. 14. 如图，正方体的棱长为4，点、分别为棱、的中点，点为线段上的一个动点，则__________；直线与平面所成角为，则的最大值为__________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据平面可知到平面的距离为，计算即可；取线段的中点，可知，化简求最小值即可. 【详解】因平面平面，平面，则平面， 则到平面的距离为， 因点、分别为棱、的中点，则， 则， 则； 取线段的中点，易知平面， 则直线与平面所成角， 则， 在等腰直角三角形中，当时，最短， 此时， 故的最大值为. 故答案为：； 四、解答题（本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，. （1）求证：平面平面； （2）若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. （2）根据锥体的体积公式求锥体体积. 【小问1详解】 如图： 取中点，连接，， 又平面平面，平面平面， ，又 又，平面平面. 【小问2详解】 取中点，连接，连接，同理可证， 则为与底面所成角的平面角. 为等边三角形，边长为2，， 在中，解得，在中，解得. 则. ， . 16. 在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 （1）当为中点时，设，求的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到，求出，得到答案； （2）表达出，设，， 表达出，并求出，从而求出，结合，求出取值范围. 【小问1详解】 当为中点时，， 又分别为的中点，所以， 所以， 故，； 【小问2详解】 为的中点，故， 点在线段上运动，设，， 故，即 ， 因为，，所以， 则 ， 因为，所以. 17. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2. （1）求四棱锥的体积； （2）证明： （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明为二面角的平面角，可得底面为正方形，利用锥体的体积公式计算即可； （2）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明； （3）由平面可得为直线与平面所成的角，计算其正弦值即可. 【小问1详解】 解：∵是边长为2的正三角形，为中点，∴， 又∵平面平面，平面平面 ∴平面 又平面，∴ ∴为二面角的平面角， ∴ 又，∴∴底面为正方形. ∴四棱的体积. 【小问2详解】 证明：由（1）知，平面，平面， ∴ 在正方形中，易知 ∴ 而， ∴∴ ∵，∴平面 ∵平面， ∴. 【小问3详解】 设，连接，. ∵平面. ∴为直线与平面所成的角 ∵，∴， ∴ 又， ∴ ∴直线与平面所成角的正弦值为. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且满足． （1）求角C的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求c； （3）若的平分线交AB于D，且，求的面积S的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设结合正弦定理边角互化可得答案； （2）由，可得，由，可得，然后由余弦定理可得答案； （3）由结合可得，然后由基本不等式可得答案. 【小问1详解】 因为，由正弦定理边角互化，可得： ， 又，则； 【小问2详解】 ， 又， 由余弦定理：， 所以； 【小问3详解】 由题可得， 则 ， 由基本不等式，， 则，当且仅当时取等号. 19. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面 （2）求证：平面平面 （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论； （3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可． 【小问1详解】 ∵且，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 ∵平面，平面，∴， 连接，∵且，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴平行四边形为正方形，∴， 又，∴， 又，面，∴面， ∵面，∴平面平面. 【小问3详解】 ∵平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， 因为平面，∴ ∴为二面角的平面角，从而，所以， 作于，连接， ∵平面平面，平面，平面平面， ∴面，所以为直线与平面所成角， 在直角中，，，，∴， 因为面，面，所以， 在直角中，，， ∴， 则直线与平面所成角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郧阳中学2025级高一下学期六月数学强化练习 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题只有一个选项是正确的． 1. 若（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 三角形中，角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 6. 在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. 60° B. C. D. 7. 三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动，则正数的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．选项全对得6分，漏选得部分分，错选得0分．） 9. 设，为复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的取值范围是 10. 如图，正方形的边长为2，为边的中点，把和分别沿，折起.使得，两点重合为一点.下列四个命题正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线所成的角为 C. 二面角的大小为 D. 点到平面的距离为 11. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 向量满足且，则与所成夹角的余弦值为___________． 13. 已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为__________. 14. 如图，正方体的棱长为4，点、分别为棱、的中点，点为线段上的一个动点，则__________；直线与平面所成角为，则的最大值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，. （1）求证：平面平面； （2）若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 16. 在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 （1）当为中点时，设，求的值； （2）若，求的取值范围. 17. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2. （1）求四棱锥的体积； （2）证明： （3）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且满足． （1）求角C的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求c； （3）若的平分线交AB于D，且，求的面积S的最小值． 19. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面 （2）求证：平面平面 （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $