精品解析：湖北襄阳市第四中学2025-2026学年高一下学期五月测试数学试题

2025-2028届高一下五月测试数学试题 考试时间：2026年5月28日 试卷满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为全集，集合，， 所以，故. 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得关于的等式，解之即可. 【详解】因为平面向量，，若，则， 所以，即，解得. 3. 已知，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，当，，时，，故A错误； 对于B，当，，时，，故B错误. 对于C，当，，时，，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确. 4. 将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换求解即可. 【详解】将函数的图象先向左平移个单位长度， 可得， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 可得. 5. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：若，，则可以平行或相交或异面，故A错误; 对于B：若，，则或或，故B错误； 对于C：若，，则或，故C错误； 对于D：若，，则，故D正确. 6. 已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的数量积表示以及投影向量的计算公式计算即可. 【详解】已知向量，满足，，则， 则向量在向量方向上的投影向量为. 7. 已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量共线基本定理，结合图形求得，再由平面向量数量积的定义与运算律计算即得. 【详解】 因，，则， 故 又三点共线，则， 故，又因为是边长为1的正三角形 所以， . 8. 在△ABC中，角的对边分别为， ，求的最小值（    ）． A. B. C. D. 3+ 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦、余弦定理将化为，再根据基本不等式求解即可. 【详解】根据正弦定理，，，则. 已知，即，结合余弦定理得. 因此. . 因为，当且仅当时取等号， 所以最大值为，因此目标式最小值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 在中，，，的面积为，则（ ） A. 外接圆的面积为 B. C. 是等边三角形 D. 的周长是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得，，再结合正弦定理逐项判断即可. 【详解】由三角形面积公式：， 代入得： ，解得， 由余弦定理，代入得： ， 结合得， 因此，得， 选项A： 由正弦定理（为外接圆半径）， 代入得： ，得，外接圆面积，A正确， 选项B： 由正弦定理，， 得，代入， ，B正确， 选项C： 若为等边三角形，则边长为3，面积为，矛盾，C错误， 选项D： 周长为，D正确. 10. 如图，球O的半径为为球面上三点，劣弧的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若平面为直角三角形，且，则为常数 D. 若，则球面的体积V满足 【答案】BCD 【解析】 【分析】由等边的面积，得到，结合，求得，可得判定A错误；由，求得，可判定B正确；由余弦定理，列出方程组，结合，化简得到，可判定C正确；由，得到，结合正弦定理，求得的外接圆半径，以及点O到平面的距离，得到三棱锥的体积，结合球面的体积，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为等边的面积为，可得， 又因为，故，则，所以A错误； 对于B中，由，可得，可得，所以B正确； 对于C中，由余弦定理可得， 因为，可得，即，化简得，所以C正确； 对于D中，由，可得，故， 由正弦定理，可得的外接圆半径为， 点O到平面的距离， 则三棱锥的体积， 又由球面的体积， 所以球面的体积应小于以R为高的正四面体体积，所以故D正确. 故选：BCD 11. 已知不共线的平面向量，满足，且，则（ ） A. 与的夹角的取值范围为 B. 当时， C. 当时，的最小值为 D. 对于给定的，记的最小值为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题干中，可结合双曲线的定义在双曲线中进行求解，将向量问题转化为解析几何问题，根据题干中的条件可得双曲线的标准方程为：，用坐标表示，根据，可设，即得的轨迹方程为；利用双曲线的几何性质，逐项分析即可. 【详解】 在双曲线中，点为双曲线上的一点， 设，则， 因为，，则，故， 所以双曲线的标准方程为：． 由双曲线的对称性，在以下求解中，只考虑的情况． 故，又，设， 则，解得， 所以的轨迹方程为． 对于选项A，由双曲线的方程及是不共线的平面向量，与的夹角即为， 双曲线的渐近线方程为， 所以：，故选项A正确； 对于选项B，当时，在上的投影向量为， 则，故，故选项B错误； 对于选项C，当时，解得点坐标为， 此时有最小值，故选项C正确； 对于选项D，由选项C可得当点与点纵坐标相等时，的值最小， 设，故， 又，则， 因为点在双曲线上， 所以，故，所以．故选项D正确． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 若复数，则实数的取值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解即可. 【详解】， ，解得， 故实数的取值为. 13. 已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别求得集合和，再由“”是“”的充分条件，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得，所以， 由不等式，可得，所以集合． 又因为“”是“”的充分条件，可得， 则满足，即，解得或， 所以实数的取值范围是． 14. 在棱长为4的正方体中，点P分别是棱的中点，点M是底面ABCD上的动点，且，则平面CPM截正方体所得多边形的边数为________，该多边形的周长为________. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】先作出截面CRPSQ,分别求出各边长，求出周长即可. 【详解】解：点P是棱的中点，点M是底面ABCD上的动点，，取AB中点Q， 则点M在Q上移动，平面CPM即为平面CQP. 如图所示，取上一点R，使得， 则，延长CQ交DA延长线于点T， 则点T为平面CQP上的点，连结PT交于点S， 则S为平面CQP上点，且由相似可判断， 即平面CMP截正方体所得多边形为五边形CQSPR， 因为正方体棱长为4， 所以周长. 故答案为：5；. 【点睛】用任一平面截正方体,可能截得的截面形状有三边形、四边形、五边形和六边形，做截面的方法：通过作平行线，实现延展平面，可作出界面多边形，并得到截面与正方体的交点. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根 （1）设满足方程，求； （2）设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，设的表达式，再结合已知方程求解； （2）先根据求出，进而得到向量的坐标，再结合向量夹角为钝角的条件列出不等式求解； 【小问1详解】 因为是实系数一元二次方程的两个虚根， 所以互为共轭复数，设，则， 将代入可得， 即，根据复数相等的条件，可得，解得 所以，. 【小问2详解】 设，则，故与， 那么，， 由于向量与的夹角为钝角， 那么且向量与不共线， 则解得 且， 故实数的取值范围为. 16. 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）平面与侧棱相交于点，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，即得，再由线线平行证明线面平行即可； （2）由（1）得，证得平面，再证，即可证平面，最后由线面平行推出面面平行； （3）由（1）已得，可证平面，又因面，由线面平行的性质可推得，继而得到，利用平行线分线段成比例定理即可求得的值. 【小问1详解】 连接， 在中，，，且， 又，，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）得，又平面，平面， 平面， 在中，，， 又平面，平面，平面， 又因且均在平面中， 平面平面. 【小问3详解】 由（1）知，又面，面，平面， 又平面，面面， ，又，，． 17. 如图，某城市为升级沿河直线绿道的沿途风景，计划在以为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林（在上，在半圆上，为圆心），已知的长为． （1）求枫叶林面积的最大值； （2）为方便游客休憩打卡，计划在的另一侧修建观景木质栈道，已知段每米的造价为元，段每米的造价是段的两倍，，求修建观景木质栈道所需的费用最多为多少元（结果用表示）． 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）设，结合三角函数定义以及矩形的面积公式计算即可； （2）记，根据正弦定理，结合三角恒等变换公式分析求解即可. 【小问1详解】 设，则，在直角中，由， 则，， 所以矩形的面积为：， 故当，即时，矩形枫叶林面积取得最大值为. 【小问2详解】 因为，所以，记， 由正弦定理有：， 即， 所以修建观景木质栈道所需的费用为： 其中，，且， 当时，所需的费用达到最多即元. 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正切值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）根据题意可得异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，利用线面垂直可证为直角三角形，求的正切值即可； （3）利用等体积法求解点到平面的距离，直线与平面所成角为，，即可求解直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 解：∵平面，平面，∴， 又四边形是矩形，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴， 又是的中点，，∴， ∵，所以平面. 【小问2详解】 解：∵底面是矩形，∴， ∴异面直线与所成角即为直线与直线所成的角， 由（1）得平面，∴平面， ∵平面，∴，∴为直角三角形， 又是的中点，，∴， ∴在中，即为异面直线与所成角，故， ∴异面直线与所成角的正切值为. 【小问3详解】 解：取中点为，连接，， 在中，分别为线段的中点，故， ∵平面，∴平面， ∴， 由（1）得平面，∵平面，∴， ∵，∴，又，∴, ∴， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得：， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 圆内接四边形作为一类特殊的四边形，有着非常好的性质，比如对角互补.如图，中，，，点是外接圆上的一个动点（点在直线两侧），记，则. （1）若，求的值； （2）若，求的最大值； （3）若点满足，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线的性质，结合等腰梯形的判定定理和性质、锐角三角函数定义进行求解即可； （2）根据正弦定理和余弦定理，结合平面向量数量积的定义进行求解即可； （3）根据正弦定理、三角形面积公式，结合圆的几何性质、平面向量数量积的定义、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【小问1详解】 因为， 则，，则， 结合，，得， 则四边形为等腰梯形，则高为， 由可得， 所以. 【小问2详解】 ，得， 在中，利用余弦定理可得， ，则， 设的外接圆半径为，则在中，利用正弦定理可得，， 故的最大值即的外接圆的直径长度，为. 【小问3详解】 设，，则， 因，则，， 在中，利用正弦定理得，， 则， 在中，利用正弦定理得，， 则， 则， 且（因）， 即，即， 又，即， 则， 又，则，解得（舍）或， 因，则， 代入中得， 又因为，且， 解得，（负值舍去），， 则，， 则四边形的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2028届高一下五月测试数学试题 考试时间：2026年5月28日 试卷满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A. B. C. D. 7. 已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在△ABC中，角的对边分别为， ，求的最小值（    ）． A. B. C. D. 3+ 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 在中，，，的面积为，则（ ） A. 外接圆的面积为 B. C. 是等边三角形 D. 的周长是 10. 如图，球O的半径为为球面上三点，劣弧的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若平面为直角三角形，且，则为常数 D. 若，则球面的体积V满足 11. 已知不共线的平面向量，满足，且，则（ ） A. 与的夹角的取值范围为 B. 当时， C. 当时，的最小值为 D. 对于给定的，记的最小值为，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 若复数，则实数的取值为__________. 13. 已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______． 14. 在棱长为4的正方体中，点P分别是棱的中点，点M是底面ABCD上的动点，且，则平面CPM截正方体所得多边形的边数为________，该多边形的周长为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根 （1）设满足方程，求； （2）设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 16. 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）平面与侧棱相交于点，求的值． 17. 如图，某城市为升级沿河直线绿道的沿途风景，计划在以为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林（在上，在半圆上，为圆心），已知的长为． （1）求枫叶林面积的最大值； （2）为方便游客休憩打卡，计划在的另一侧修建观景木质栈道，已知段每米的造价为元，段每米的造价是段的两倍，，求修建观景木质栈道所需的费用最多为多少元（结果用表示）． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正切值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 圆内接四边形作为一类特殊的四边形，有着非常好的性质，比如对角互补.如图，中，，，点是外接圆上的一个动点（点在直线两侧），记，则. （1）若，求的值； （2）若，求的最大值； （3）若点满足，求四边形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $