精品解析：2026年江苏省宿迁市宿豫区中考二模数学试题

2025-2026学年度初三二模试卷 数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、幂的乘方的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．， 故选项A错误； B．，故选项B错误； C．，故选项C正确； D．，故选项D错误． 3. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键． 4. 如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及直角三角形两内角互余即可得解； 【详解】， , 又 故选择：C 【点睛】本题主要考查利用平行线的性质求三角形中角的度数，利用平行线的性质得到是解题的关键． 5. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式性质逐项判断即可解答． 【详解】解：对于选项B，举反例：取，，满足，但，，此时，因此不恒成立，结论错误． ∵ 不等式两边同时加（减）同一个数，不等号方向不变， ∴ ，都成立，选项C、D结论正确； ∵ 不等式两边同时乘，不等号方向改变， ∴ 由可得，选项A结论正确； 综上，选项B符合题意． 6. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 那么可列方程组为：， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 7. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据网格的特点作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8. 如图，点在双曲线（）上，将直线向右平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出反比例函数解析式，利用勾股定理求出的长，根据平移的性质得到，进而证得（其中F、E为垂足），利用相似比求出点C的纵坐标，代入反比例函数解析式即可求出点C的坐标． 【详解】解：把代入，得，  ∴反比例函数解析式为， 如图，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，  ∵点， ∴， ∴， ∵直线是由直线向右平移得到的，  ∴，  ∴， 又∵， ∴，  ∴，即， 解得：，即点C的纵坐标为， 把代入，得， 解得，  ∴点C的坐标是． 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数必须大于或等于零，即可求解． 【详解】解：由二次根式的定义，在实数范围内，被开方数必须非负，即， 解得. 故答案为：． 10. 光明网讯，2026年高校毕业生人数将达到1270万．在人社部4月28日举行的新闻发布会上表示，将着力拓渠道、扩容量、促匹配、提技能、兜底线、强导向，聚焦毕业生的求职需求，持续加强就业政策和服务高品质供给．其中数据1270万用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，将一个数表示为的形式，其中，为整数，先将1270万转化为整数形式，再根据科学记数法的定义确定和的值即可得到结果． 【详解】解：首先将1270万化为整数，可得 ， ∴ ． 11. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点在的延长线上，连接，则_______°． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出，等于旋转角，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，点在的延长线上， ∴ ，， ∴，  在中，根据三角形内角和定理得： ， ∴，解得：． 12. 为了比较甲、乙、丙三种小麦秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取20株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是，由此可知_______种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小；据此比较方差大小即可求解． 【详解】解：， 甲种秧苗长势更整齐． 13. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．据此求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 14. 如图，在半圆中，是直径，、是半圆上两点，，，则_______°． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接，利用等腰三角形性质求出，再利用平角定义求出，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， ∴，  ∵， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角，  ∴． 15. 如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，，在中利用勾股定理求出的长，再利用等腰三角形的性质求得，根据菱形的性质得出的长，最后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∴， ∵点F 在延长线上， ∴， ∴， 在中，，，  ∴， ∴， 由勾股定理得，，即，解得， ， ∵ 四边形是菱形，  ∴， ∴． 16. 如图，在中，，，，点是的中点，，垂足为，连接，则线段的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先在 中利用勾股定理求出，利用等面积法求出，再利用勾股定理求得，如图：过点 E 作 交 于点 F，利用等面积法可求得，进而求得，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即 ，解得：， ∴， 如图：过点 E 作 交 于点 F， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 17. 已知二次函数的部分图像如图所示，图像经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图像上，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的的取值范围为．其中正确的结论有________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图像与系数的关系．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质依次进行判断即可． 【详解】解：由题意可得：， 对称轴为直线， ，即， 当时，，即，即，故①错误； ，， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ，故②正确； 二次函数与有两个不同的交点，故关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误； 函数经过，对称轴为直线，故一定经过， 的的取值范围为，故④正确； 故答案为：②④． 18. 如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点是的中点．若，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图：延长交于点Q，证明是等边三角形，通过计算点P到的距离确定点P的运动轨迹为的中位线所在的直线，利用轴对称性质将转化为两点间距离，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：延长交于点Q， ∵和是等边三角形，  ∴，即， ∴是等边三角形，  ∵，  ∴的高为， 如图：过点D，P，C分别作AB的垂线，垂足分别为，  ∵P是的中点，  ∴是直角梯形的中位线，  ∴， 在中，， 同理，  ，  ∴点P在平行于且到距离为的线段上运动， 作点A关于该直线的对称点，连接交该直线于点，此时取得最小值，最小值为线段的长， 由对称性可知，，且， 在中，． ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用负整数次幂、特殊角的三角函数值、绝对值、零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答． 【详解】解： ． 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键． 21. 为了解某校学生每周课外阅读的时间（单位：），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为 ，图①中的值为 ，统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的中位数为 ； （2）求统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有名学生，估计该校学生每周课外阅读的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1）；； （2）平均数为 （3）该校学生每周课外阅读的时间是的人数约为名 【解析】 【分析】（1）根据课外阅读时间为的学生的人数和占比，推算调查人数，再计算出的占比，从而得到，最后根据中位数的定义求解即可； （2）根据加权平均数的定义进行计算； （3）用样本中的占比，乘以全校学生人数即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知，样本中课外阅读时间为的学生有5名，占比为， ∴本次调查的学生数为（名）， ∴， ， ∴， ∵这40名学生的课外阅读时间的数据中，从小到大排列后，第20个数和第21个数都是， ∴中位数为； 【小问2详解】 解：平均数为； 【小问3详解】 解：由（1）可知，样本中课外阅读时间为的占比为， （名）． 答：该校学生每周课外阅读的时间是的人数约为名． 22. 如图，在矩形中，，． （1）尺规作图：在矩形的边、上分别作点、，使四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求（1）中菱形的边长． 【答案】（1）点和点如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，与、的交点，即为点和点； （2）设，则，在中，利用勾股定理构造方程，并求解即可． 【小问1详解】 解：如图，设与的交点为点， 由垂直平分线的性质可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴菱形的边长为． 23. 2026年苏超持续爆火，江苏省13个地级市各有一支代表队参加比赛． （1）如果在热身赛时，宿迁队要从其余各球队中任意抽取一支球队踢一场热身赛，恰好抽中南京队的概率是 ； （2）如果在热身赛时，从宿迁队、徐州队、淮安队、连云港队四支球队中任意抽取两支球队踢一场热身赛，恰好抽中宿迁队和徐州队的概率是多少？（请用列表或画树状图的方法求出概率） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意确定总结果数和符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可； （2）用列表法确定所有等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后代入概率公式计算即可． 【小问1详解】 解： 共有13支代表队，宿迁队需要从其余12支球队中抽取，总共有12种等可能的结果， 恰好抽中南京队的结果只有1种， 因此概率为． 【小问2详解】 解：记宿迁队为A，徐州队为B，淮安队为C，连云港队为D，根据题意列表如下： A B C D A - (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) - (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) - (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中宿迁队和徐州队的结果有2种，因此恰好抽中宿迁队和徐州队的概率为． 24. 如图，为的直径，为延长线上一点，点在上，连接、，作于点，并延长交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，由可得，结合可得，，命题得证； （2）的半径为，由三角函数可得，由圆周角定理可得，从而得到．由平行可判定和，进而计算出，，作差即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设的半径为， 由（1）可知，， 在中，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 实践与探究： 小明家购买了一款喷水壶，如图所示．喷水壶的工作原理主要是利用了大气压强和伯努利原理，喷水壶有一个推泵，按住手柄推动推杆，将气体推入壶内，壶内的气体压强会增大，这时水就会被大气压强压出壶内，从喷水口喷出去，压强越大，喷得越远，喷水壶上面有许多面积很小的通气孔，这里用的是压强平衡的原理，让空气进入从而达到内外大气压的平衡．推杆到底后会被弹簧弹起回到原处，反复按动手柄喷水壶就可以喷水工作了． 小明观察，喷水壶的弹簧底端点与手柄旋转扣点、推杆顶端构成（如图1），经测量发现，长度是，，．当手柄被按压到底的时候，（如图2），请你帮助小明计算出此时弹簧被压缩缩短的长度是多少（精确到0.1 cm）？（参考数据：，） 【答案】此时弹簧被压缩缩短的长度是 【解析】 【分析】先处理图1的，因为已知、、，所以可利用三角形内角和求出，再用正弦定理求出的长度．再处理图2的，因为长度不变仍为，且、角度不变仍为，所以该三角形为等腰直角三角形，可直接用三角函数求出的长度．因为弹簧压缩缩短的长度为原来的减去压缩后的，所以将前两步得到的长度作差，再代入参考数据计算近似值即可． 【详解】解：过点作于点， ∵ 在中，，， ∴ ． 在中，， ∵​， ∴ ． ∴． ∵在中，，，， ∴ ． ∴ ． 此时弹簧被压缩缩短的长度是． 26. 端午节前夕，某超市销售“蜜枣”馅、“蛋黄”馅两种不同口味的粽子．已知销售8个“蜜枣”馅和6个“蛋黄”馅粽子共54元；销售4个“蜜枣”馅和8个“蛋黄”馅粽子共52元． （1）求每个“蜜枣”馅和“蛋黄”馅粽子售价各是多少元？ （2）某快餐店要订购一批粽子，因为数量较多，经与超市协商后统一按售价的八折购买．该快餐店计划购买两种口味的粽子共120个，且“蛋黄”馅粽子数量不少于“蜜枣”馅粽子数量的．请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】（1）每个“蜜枣”馅粽子售价3元，每个“蛋黄”馅粽子售价5元 （2）购买“蜜枣”馅粽子90个“蛋黄”馅粽子30个时，所需费用最少． 【解析】 【分析】（1）设每个“蜜枣”馅粽子售价x元，每个“蛋黄”馅粽子售价y元，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买“蜜枣”馅粽子m个，则购买“蛋黄”馅粽子个，所需总费用为w元 ，根据题意列不等式可确定m的取值范围，再得到，最后根据一次函数的增减性得到费用最小时的购买方案． 【小问1详解】 解：设每个“蜜枣”馅粽子售价x元，每个“蛋黄”馅粽子售价y元， 根据题意得：， 解得．  答：每个“蜜枣”馅粽子售价3元，每个“蛋黄”馅粽子售价5元． 【小问2详解】 解：设购买“蜜枣”馅粽子m个，则购买“蛋黄”馅粽子个，所需总费用为w元 ， 由题意得， 解不等式得， 又∵， ∴， 统一按八折购买，总费用为： ， ∵， ∴w随m的增大而减小，  ∴当m取最大值90时，w取得最小值， 此时．  答：购买“蜜枣”馅粽子90个，“蛋黄”馅粽子30个时，所需费用最少． 27. 已知二次函数的图象经过点，与轴交于、两点的坐标分别为、． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点，是此二次函数的图象上的两个动点．点在直线的下方，过点作轴于点，交于点，连接，，．若，求证：的值为定值； （3）如图2，当点从点出发沿轴向点运动时（点与点、不重合），自点分别作，交于点，作，垂足为点．当为何值时，面积最大，并求出最大值． 【答案】（1） （2） 证明：由可得 设 将点，分别代入得， 解得 ∴ 设，则， ∴，， ∴ ∴； （3）时，面积最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设，则，，则，，再表示出，，即可求解； （3）作轴于点，证明，得到，证明，得到，再由三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点的坐标分别为、， ∴设， 将点代入得，， 解得 ∴抛物线表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作轴于点， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴当时，面积最大，最大值为． 28. 某数学兴趣小组的同学对三角形的相似进行了深入研究． （1）【观察发现】 如图1，在中，，，垂足为，则，请证明； （2）【灵活运用】 如图2，在（1）的条件下，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时．求线段的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （3） 【解析】 【分析】（1）容易判断，，从而证明，则，变形得； （2）由同角的余角相等可得，结合可得，进而证明，则．结合（1）的结论可得，进一步可证明，则，因此是直角三角形； （3）以点为圆心，的长为半径作圆，延长交圆于点，延长至点，使得，连接、，容易证明，则．由可知，点在圆上，则，．由可证明，则，因此点在过点且与垂直的直线上运动，结合垂线段最短可知，当时，取得最小值，此时四边形是矩形，则，利用勾股定理计算出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，以点为圆心，的长为半径作圆，延长交圆于点，延长至点，使得，连接、， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在圆上， ∵是圆的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在过点且与垂直的直线上运动， ∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度初三二模试卷 数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在双曲线（）上，将直线向右平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________ 10. 光明网讯，2026年高校毕业生人数将达到1270万．在人社部4月28日举行的新闻发布会上表示，将着力拓渠道、扩容量、促匹配、提技能、兜底线、强导向，聚焦毕业生的求职需求，持续加强就业政策和服务高品质供给．其中数据1270万用科学记数法表示为_______． 11. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点在的延长线上，连接，则_______°． 12. 为了比较甲、乙、丙三种小麦秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取20株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是，由此可知_______种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 13. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 14. 如图，在半圆中，是直径，、是半圆上两点，，，则_______°． 15. 如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为_______． 16. 如图，在中，，，，点是的中点，，垂足为，连接，则线段的长度为_______． 17. 已知二次函数的部分图像如图所示，图像经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图像上，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的的取值范围为．其中正确的结论有________． 18. 如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点是的中点．若，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 为了解某校学生每周课外阅读的时间（单位：），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为 ，图①中的值为 ，统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的中位数为 ； （2）求统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有名学生，估计该校学生每周课外阅读的时间是的人数约为多少？ 22. 如图，在矩形中，，． （1）尺规作图：在矩形的边、上分别作点、，使四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求（1）中菱形的边长． 23. 2026年苏超持续爆火，江苏省13个地级市各有一支代表队参加比赛． （1）如果在热身赛时，宿迁队要从其余各球队中任意抽取一支球队踢一场热身赛，恰好抽中南京队的概率是 ； （2）如果在热身赛时，从宿迁队、徐州队、淮安队、连云港队四支球队中任意抽取两支球队踢一场热身赛，恰好抽中宿迁队和徐州队的概率是多少？（请用列表或画树状图的方法求出概率） 24. 如图，为的直径，为延长线上一点，点在上，连接、，作于点，并延长交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 实践与探究： 小明家购买了一款喷水壶，如图所示．喷水壶的工作原理主要是利用了大气压强和伯努利原理，喷水壶有一个推泵，按住手柄推动推杆，将气体推入壶内，壶内的气体压强会增大，这时水就会被大气压强压出壶内，从喷水口喷出去，压强越大，喷得越远，喷水壶上面有许多面积很小的通气孔，这里用的是压强平衡的原理，让空气进入从而达到内外大气压的平衡．推杆到底后会被弹簧弹起回到原处，反复按动手柄喷水壶就可以喷水工作了． 小明观察，喷水壶的弹簧底端点与手柄旋转扣点、推杆顶端构成（如图1），经测量发现，长度是，，．当手柄被按压到底的时候，（如图2），请你帮助小明计算出此时弹簧被压缩缩短的长度是多少（精确到0.1 cm）？（参考数据：，） 26. 端午节前夕，某超市销售“蜜枣”馅、“蛋黄”馅两种不同口味的粽子．已知销售8个“蜜枣”馅和6个“蛋黄”馅粽子共54元；销售4个“蜜枣”馅和8个“蛋黄”馅粽子共52元． （1）求每个“蜜枣”馅和“蛋黄”馅粽子售价各是多少元？ （2）某快餐店要订购一批粽子，因为数量较多，经与超市协商后统一按售价的八折购买．该快餐店计划购买两种口味的粽子共120个，且“蛋黄”馅粽子数量不少于“蜜枣”馅粽子数量的．请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 27. 已知二次函数的图象经过点，与轴交于、两点的坐标分别为、． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点，是此二次函数的图象上的两个动点．点在直线的下方，过点作轴于点，交于点，连接，，．若，求证：的值为定值； （3）如图2，当点从点出发沿轴向点运动时（点与点、不重合），自点分别作，交于点，作，垂足为点．当为何值时，面积最大，并求出最大值． 28. 某数学兴趣小组的同学对三角形的相似进行了深入研究． （1）【观察发现】 如图1，在中，，，垂足为，则，请证明； （2）【灵活运用】 如图2，在（1）的条件下，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时．求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $