精品解析：2026年江苏省宿迁市宿豫区中考二模数学试题

2025-2026学年度初三二模试卷 数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在双曲线（）上，将直线向右平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 光明网讯，2026年高校毕业生人数将达到1270万．在人社部4月28日举行的新闻发布会上表示，将着力拓渠道、扩容量、促匹配、提技能、兜底线、强导向，聚焦毕业生的求职需求，持续加强就业政策和服务高品质供给．其中数据1270万用科学记数法表示为_______． 11. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点在的延长线上，连接，则_______°． 12. 为了比较甲、乙、丙三种小麦秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取20株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是，由此可知_______种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 13. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 14. 如图，在半圆中，是直径，、是半圆上两点，，，则_______°． 15. 如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为_______． 16. 如图，在中，，，，点是的中点，，垂足为，连接，则线段的长度为_______． 17. 已知二次函数的部分图像如图所示，图像经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图像上，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的的取值范围为．其中正确的结论有________． 18. 如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点是的中点．若，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 为了解某校学生每周课外阅读的时间（单位：），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为 ，图①中的值为 ，统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的中位数为 ； （2）求统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有名学生，估计该校学生每周课外阅读的时间是的人数约为多少？ 22. 如图，在矩形中，，． （1）尺规作图：在矩形的边、上分别作点、，使四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求（1）中菱形的边长． 23. 2026年苏超持续爆火，江苏省13个地级市各有一支代表队参加比赛． （1）如果在热身赛时，宿迁队要从其余各球队中任意抽取一支球队踢一场热身赛，恰好抽中南京队的概率是 ； （2）如果在热身赛时，从宿迁队、徐州队、淮安队、连云港队四支球队中任意抽取两支球队踢一场热身赛，恰好抽中宿迁队和徐州队的概率是多少？（请用列表或画树状图的方法求出概率） 24. 如图，为的直径，为延长线上一点，点在上，连接、，作于点，并延长交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 实践与探究： 小明家购买了一款喷水壶，如图所示．喷水壶的工作原理主要是利用了大气压强和伯努利原理，喷水壶有一个推泵，按住手柄推动推杆，将气体推入壶内，壶内的气体压强会增大，这时水就会被大气压强压出壶内，从喷水口喷出去，压强越大，喷得越远，喷水壶上面有许多面积很小的通气孔，这里用的是压强平衡的原理，让空气进入从而达到内外大气压的平衡．推杆到底后会被弹簧弹起回到原处，反复按动手柄喷水壶就可以喷水工作了． 小明观察，喷水壶的弹簧底端点与手柄旋转扣点、推杆顶端构成（如图1），经测量发现，长度是，，．当手柄被按压到底的时候，（如图2），请你帮助小明计算出此时弹簧被压缩缩短的长度是多少（精确到0.1 cm）？（参考数据：，） 26. 端午节前夕，某超市销售“蜜枣”馅、“蛋黄”馅两种不同口味的粽子．已知销售8个“蜜枣”馅和6个“蛋黄”馅粽子共54元；销售4个“蜜枣”馅和8个“蛋黄”馅粽子共52元． （1）求每个“蜜枣”馅和“蛋黄”馅粽子售价各是多少元？ （2）某快餐店要订购一批粽子，因为数量较多，经与超市协商后统一按售价的八折购买．该快餐店计划购买两种口味的粽子共120个，且“蛋黄”馅粽子数量不少于“蜜枣”馅粽子数量的．请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 27. 已知二次函数的图象经过点，与轴交于、两点的坐标分别为、． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点，是此二次函数的图象上的两个动点．点在直线的下方，过点作轴于点，交于点，连接，，．若，求证：的值为定值； （3）如图2，当点从点出发沿轴向点运动时（点与点、不重合），自点分别作，交于点，作，垂足为点．当为何值时，面积最大，并求出最大值． 28. 某数学兴趣小组的同学对三角形的相似进行了深入研究． （1）【观察发现】 如图1，在中，，，垂足为，则，请证明； （2）【灵活运用】 如图2，在（1）的条件下，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时．求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网列组卷网 2025-2026学年度初三二模试卷 数学 答题注意事项 1.本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题全部写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题 区域书写答案.注意不要答错位置，也不要超界. 4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只 有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1.-2的相反数是() A.-2 B.2 C.2 D.2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可. 【详解】解：-2的相反数是2， 故选D 2.下列计算正确的是() 第1页/共37页 学科网 命组卷网 A.a3+a3=a6 B.a.a-a c(a）3=a D.a5÷a2=a2 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、幂的乘方的运算法则逐项判断即可· 【详解】解：A. d+d=2a3+a, 故选项A错误； B.aa3=a3=a5≠a 故选项B错误： c.(c)'=a3=a,故选项c正确； D a6÷a3=a6-3=a3≠a2 ,故选项D错误。 3.下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是() 主视方向 D 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答. 【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆， 故选：D 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键 第2页/共37页 命学科网命组卷网 Rt△ABC BC在直线D上， alb,∠1=55 4.如图， 的直角顶点A在直线a上，斜 ,则22=( A -a 20 B b 55° B.45o C350 250 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及直角三角形两内角互余即可得解： 【详解】.a∥b. ∴.∠1=∠ABC=55°， ,∠ABC+∠2=90°， 又 .∠2=35 故选择：C 【点睛】本题主要考查利用平行线的性质求三角形中角的度数，利用平行线的性质得到∠ABC=55°是解 题的关键 5.若a>b,则下列结论错误的是() A.-0<-b B.a2b2 C.atc>btc D.a-c>b-c 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式性质逐项判断即可解答 【详解解：对于选项B,举反例：取4=.h-2,满足0>6，但==4，此时口<6 因此0>6 不恒成立，结论错误， 第3页/共37页 命学科网命组卷网 ,不等式两边同时加（减）同一个数，不等号方向不变， .atc>b+c a-c>b-c 都成立，选项C、D结论正确： ·不等式两边同时乘一1，不等号方向改变， ∴.由a>b可得-a<-b,选项A结论正确： 综上，选项B符合题意， 6.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之， 不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条， 木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为() y=x+4.5 y=x+4.5 A.0.5y=x-1 B. y=2x-1 y=x-4.5 y=x-4.5 C.0.5y=x+1 D. y=2x-1 【答案】A 【解析】 【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木 条，木条剩余1尺”可知：2绳子=木条-1，据此列出方程组即可. 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， y=x+4.5 那么可列方程组为： 0.5y=x-1 故选：A, 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元 一次方程组 7.如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中 的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为() 第4页/共37页 6学科网命组卷网 B 5 7 2、 57 5.7 57 A. 4 B2π-2 c4π-4 π D.4 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据网格的特点作4B的垂直平分线MW,作BC的莲直平分线P，设MN与P 相交于点 O,连接OAOB,OC,则点O是△ABC外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明△AOC是直角三 角形，从而可得∠A0C=90°，然后根据影=S影0c一Sa0c-Sac,进行计算即可解容。 【详解】解：知图：作MB的垂直平分线MN,作BC的垂直平分线P吧，设MN与P巴 相交于点O,连 接OA,OB,OC,则点O是△ABC外接圆的圆心， B Q 由题意得： 04=12+22=50C2=12+22=5AC2=12+32=10 :04+0C2=4C2 第5页/共37页 6学科网 命组卷网 .△AOC是直角三角形， .∠AOC=90°. A0=0C=V5 :S阴影=S0形0c-SaMA0c-SAAc 90x×0M-0c-24B-1 3602 -5π-x5x5-x2x1 42 5元_5-1 42 57 =4-2， 故选：D 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当 的辅助线是解题的关键. 8.如图，点A(4,3)在双曲线)x(x>0)上，将直线OA向右平移若干个单位长度交x轴于点B,交 双曲线于点C.若BC=3,则点C的坐标是() 2548 209\ 245 A.(6,2) B 4’25 c(35 D. 5’2 第6页/共37页 学科网 组卷网 【答案】C 【解析】 【分析】先求出反比例函数解析式，利用勾股定理求出OA的长，根据平移的性质得到BC∥OA,进而 证得△CBF∽△AOE(其中F、E为垂足)，利用相似比求出点C的纵坐标，代入反比例函数解析式即可 求出点C的坐标， k 【详解1解：把A(4,3)代入y=无，得k=4x3=12, 12 y=- .反比例函数解析式为x, 如图，过点A作AE上x轴于点E,过点C作CFLx轴于点F, B :点A(4,3) OE=4,AE=3 :.0A=V0E2+AE2=V4+32=5 :直线BC是由直线OA向右平移得到的， .BC∥OA, .∠CBF=∠AOE, 第7页/共37页 6学科网 命组卷网 又：∠CFB=∠AE0=90°， .△CBF∽△AOE, CF BC CF 3 9 9 CF= .AEOA,即35，解得： 5,即点C的纵坐标为5， 9 12 912 20 把y=5代入y= X= x,得5x,解得3， 209 ·点C的坐标是(3’5 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填 写在答题卡相应位置上) 9.若式子Vx-2 在实数范围内有意义，则x的取值范围是」 【答案】x之2 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使Vx-2 在实数范围内有意义，必须x-2之0」 .x≥2 故答案为：x≥2 10.光明网讯，2026年高校毕业生人数将达到1270万.在人社部4月28日举行的新闻发布会上表示，将 着力拓渠道、扩容量、促匹配、提技能、兜底线、强导向，聚焦毕业生的求职需求，持续加强就业政策和 服务高品质供给.其中数据1270万用科学记数法表示为 【答案】 第8页/共37页 6学科网 命组卷网 1.27×10 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，将一个数表示为ax10°的形式，其中1≤d<10,n为整数，先将1270 万转化为整数形式，再根据科学记数法的定义确定a和的值即可得到结果. 1270万=12700000 【详解】解：首先将1270万化为整数，可得 12700000=1.27×107 11.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转56°得到△ADE,点D在AC的延长线上，连接CE,则 ∠ACE= 0 【答案】62 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出AC=AE,∠CAE等于旋转角56°，再利用等腰三角形的性质及三角形内角 和定理求解即可. 【详解】解：，将△ABC绕点A顺时针旋转56°得到△ADE,点D在AC的延长线上， :AC=AE∠CAE=560 .∠ACE=∠AEC. △ACE 在 ∠ACE+∠AEC+∠CAE=180° 中，根据三角形内角和定理得： .2∠ACE+56°=180°，解得：∠ACE=62°. 第9页/共37页 命学科网命组卷网 12.为了比较甲、乙、丙三种小麦秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取20株，分别量出每株高度，计算发现 3.6,9.5,12.8 三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是 由此可知 种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）， 【答案】甲 【解析】 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大， 数据越不稳定；反之，方差越小；据此比较方差大小即可求解. 【详解】解：3.6<9.5<12.8 ∴.甲种秧苗长势更整齐。 18关于产的一元三次方程++4=0有两个相等的实数根，则k 【答案】±4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根” 是解题的关键.据此求解即可， 【详解】解：根据题意，得 2-4×1×4=0 解得k=±4 故答案为：±4. 14如图，在半圆0中，AB是直径，C、D是半圆上两点，∠BOC=40°，∠0CD=50°，则∠ABD= D 【答案】30 第10页/共37页 可学科网命组卷网 【解析】 【分析】如图：连接OD,利用等腰三角形性质求出∠COD,再利用平角定义求出∠AOD,最后根据圆 周角定理求解即可. 【详解】解：如图：连接OD, D .OC=OD,∠0CD=50°， .∠ODC=∠OCD=50° .∠C0D=180°-50°-50°=80°， .∠AOB=180°， .∠AOD=180°-∠COD-∠B0C=180°-80°-40°=60°， :∠ABD与∠AOD分别是MD 所对的圆周角和圆心角， A∠A8D=2∠A0D=)x60=30 2 15.如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6,点E在边BC上，连接AE,将△ABE沿AE折叠， 若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为一 【答案】 6V2-6 第11页/共37页 可学科网丽组卷网 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得∠ABB=∠AEF=9O°，BE=EF,AB=AF本Rt△ABE ,在 中利用勾股定理 求出BE的长，再利用等腰三角形的性质求得BF,根据菱形的性质得出BC的长，最后利用线段的和差 关系求解即可 【详解】解：由折叠的性质可知：∠AEB=∠AEF,BE=EF,AB=AF :BF =2BE, :点F在BC延长线上， .∠AEB+∠AEF=180°」 .∠AEB=∠AEF=90°， 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠B=45°， .∠BAE=45 .'AE=BE, 由勾股定理得，4=C+B'=2BE,即2BE=36,解得E=3万 BF =2BE=62 ,四边形ABCD是菱形， .'BC=AB=6, CF=BF-BC=62-6 16.如图， 在R△MBC中，∠ACB=90°，AC=4.BC=6. 点是C的中点，CELAD D BC ，垂足 为E,连接BE,则线段BE的长度为 第12页/供37页 6学科网命组卷网 B D 63 【答案】5 【解析】 【分析】先在Rt△ACD中利用勾股定理求出AD,利用等面积法求出CE,再利用勾股定理求得DE,如 图：过点E作EF LBC交BC于点R,利用等面积法可求得EF,进而求得C CF,BF RtaBEF ，最后在 中运用勾股定理求解即可. 【详解】解：：BC=6,点D是BC的中点， :.CD-IBC=3 2 :∠ACB=90°，AC=4, :AD=VAC2+CD2=V42+32=5 .CE⊥AD. 1x4x3-1x5CE ,即 解得：CE12 DE=m-cE=3-) 12 5 如图：过点E作EF⊥BC交BC于点F, 第13页/供37页 6学科网命组卷网 E B S.x-CE.ED-CD.F Γ2 1.12.91 ×2=二×3EF .2552 ,解得： EF=36 25 CF=CE2-EF2 )袋 BF=BC-CF=6- 48102 2525, ·.BE=VEF2+BF2 36)2 102 6V13 25 25 5· 17.已知二次函数y=a心+hx+(a≠0)的部分图像如图所示，图像经过点(0,2），其对称轴为直线 x=-1,下列结论：O3a+c>0:②若点(4，乃)，(3，乃)均在二次函数图像上，则h>乃：③关于x 的-不=次方唇r+血+c=-有两个相约实意根，清足m+r+c>2 的取值范围为 -2<x<0 .其中正确的结论有 第14页/供37页 6学科网组卷网 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图像与系数的关系，熟 练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键.根据二次函数的图像和性质依次进行判断即可. 【详解】解：由题意可得：a<0, 、尤=-1 对称轴为直线 b ∴.2a -1,即6=2a 当x=l时，y<0,即a+6+c<0,即3a+c<0,故①错误， 1-(4=3.1-3=4 :点(4，)到对称轴的距离小于点(3,2)到对称轴的距离， ·八之少2，故②正确： y=-1 二次函数与 有两个不同的交点，故关于的一元二次方程x+bx+C=- 有两个不相等的实数根， 故③错误： 函数经过(0,2) 对称轴为直线x=-1,故一定经过(2,2) .ax2+bx+c>2 的'的取值范围为 -2<x< 0,故④正确： 故答案为：②④ 第15页/共37页 6学科网命组卷网 l8如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P是CD的 中点.若AB=4,则PA+PB的最小值为 【答案】 2V7 【解析】 AD,B 【分析】如图：延长 交于点O,证明△1B 是等边三角形，通过计算点P到AB 的距离确定点P △ABQ 的运动轨迹为 的中位线所在的直线，利用轴对称性质将PA+PB转化为两点间距离，最后利用勾 股定理求解即可. AD,BC 【详解】解：如图：延长 交于点O, P ,△ADE和△BCE是等边三角形， :∠DME=∠CBE=60°，即∠0MB=∠QBA=60 △ABQ 是等边三角形， ,AB=4, 4x5-25 .△AB0的高为X2 第16页/共37页 学科网命组卷网 D',P',C" 如图：过点D,P,C分别作AB的垂线，垂足分别为 ,P是CD的中点， .PP是直角梯形DCCD'的中位线， PF-(DD+CC) 2 在R△MDD中，DD=AD-sin60°=Y54E 2 同理CC'=BE-sin60°= >BE (c+B)=54B=5 PP=3 4 :点P在平行于AB且到AB距离为V5的线段上运动， 作点A关于该直线的对称点A,连接AB交该直线于点P,此时PA+PB取得最小值，最小值为线段 AB的长，由对称性可知，AA⊥AB,且AA=2PP=2V5 在RU44B中，4B=VA+AB=25+4-2+16=V28=2N7 :PA+PB的最小值为2√7 三、解答题（本大题共10题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤) 19.计算： 2 -2cos30°+-V3-(π-3.14)° 第17页/供37页 6学科网 组卷网 【答案】1 【解析】 【分析】先利用负整数次幂、特殊角的三角函数值、绝对值、零次幂化简，然后再计算即可. 【详解】解： 2cos30°+V3-(π-3.14)9 =2-2x5+5-1 2 =2-√3+V5-1 =1 20.先化简，再求值： 2-x,其中x=2-1 1√2 【答案】 x+1,2 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将x=V5-1代入计算即可解答。 【详解】解： (9号 =x-(x+1) x(x-1) c（x+1)(x-1) =（ 第18页供37页 6学科网 命组卷网 当x=V5-1时， √2 原式 √2-1+12· 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键. 21.为了解某校学生每周课外阅读的时间（单位：），随机调查了该校x名学生，根据统计的结果，绘制 出如下的统计图①和图②. 个人数 23%129% th 14 4 12 2h 10 15% 10 4h 8 35% 6 6 3h m% 2 0 时间/h 图① 图② 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：x的值为 图①中m的值为一， 统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的中 位数为」 (2)求统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每周课外阅读的时间是3h的人数约为多少？ 【答案】(1)40：25：3 (2)平均数为3.2 (3)该校学生每周课外阅读的时间是3的人数约为250名 【解析】 【分析】(1)根据课外阅读时间为1h的学生的人数和占比，推算调查人数，再计算出3h的占比，从而得 到m,最后根据中位数的定义求解即可； 第19页/共37页 命学科网命组卷网 (2)根据加权平均数的定义进行计算： (3)用样本中3h的占比，乘以全校学生人数即可. 【小问1详解】 解：由统计图可知，样本中课外阅读时间为1h的学生有5名，占比为12.5%， 本次调查的学生数为5÷12.5%=40（名）， .x=40 m%s10 100%=25% 40 .m=25, ,这40名学生的课外阅读时间的数据中，从小到大排列后，第20个数和第21个数都是3， 3+3 .中位数为2 3 【小问2详解】 1×5+2×6+3×10+4×14+5×5=3.2 解：平均数为 40 【小问3详解】 解：由(1)可知，样本中课外阅读时间为3h的占比为25%， 25%×1000=250(名). 答：该校学生每周课外阅读的时间是3h的人数约为250名. 22.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8. (I)尺规作图：在矩形ABCD的边BC、AD上分别作点E、F，使四边形AECF是菱形（保留作图 第20页/供37页 学科网命组卷网 痕迹，不写作法)： (2)求(1)中菱形AECF的边长. 【答案】(1)点E和点F如图所示： (2) 5 【解析】 【分析】(I)连接AC,作AC的垂直平分线，与BC、AD的交点，即为点E和点F; (2)设AE=CE=x,则BE=8-x,在Rt△ABE中，利用勾股定理构造方程，并求解即可. 【小问1详解】 解：如图，设AC与EF的交点为点O, 由垂直平分线的性质可得，OA=OC,AF=CF,AE=CE, :四边形ABCD是矩形， ADI‖BC :.∠OAF=∠OCE,∠OFA=∠OEC, 在△OAF和△OCE中， 第21页/供37页 可学科网命组卷网 ∠OAF=∠OCE ∠OFA=∠OEC OA=OC AOAF≌AOCE(AAS) ∴.AF=CE .AF=AE =CE=CF, ,四边形AECF是菱形： 【小问2详解】 解：设AE=x, :四边形AECF是菱形， 'CE=AE=x, .BE=BC-CE=8-x, ,四边形ABCD是矩形， .∠B=90°， 在RIABE中，AB2+BE2=AE 中， 4+(8-x2=x 解得x=5, ∴菱形AECF的边长为5 23.2026年苏超持续爆火，江苏省13个地级市各有一支代表队参加比赛. (1)如果在热身赛时，宿迁队要从其余各球队中任意抽取一支球队踢一场热身赛，恰好抽中南京队的概 率是一 (2)如果在热身赛时，从宿迁队、徐州队、淮准安队、连云港队四支球队中任意抽取两支球队踢一场热身 第22页/供37页 6学科网 组卷网 赛，恰好抽中宿迁队和徐州队的概率是多少？（请用列表或画树状图的方法求出概率） 1 【答案】(1)12 1 (2)6 【解析】 【分析】(1)先根据题意确定总结果数和符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可： (2)用列表法确定所有等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后代入概率公式计算即可. 【小问1详解】 解：共有13支代表队，宿迁队需要从其余12支球队中抽取，总共有12种等可能的结果，恰好抽中南 京队的结果只有1种，因此概率为12. 【小问2详解】 解：记宿迁队为A,徐州队为B,淮安队为C,连云港队为D,根据题意列表如下： A B A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中宿迁队和徐州队的结果有2种，因此恰好抽中宿迁队和 2-1 徐州队的概率为26· 24如图，AB为⊙0 D⊙O B为O0的直径，C为BA延长线上一点，点D在 ⊙0上，连接AD、CD作OF1AD ,作 于点E,并延长交CD于点F,且∠ADC=∠AOE 第23页/供37页 6学科网 命组卷网 B CD_⊙O (1)求证： 是的切线： 1 sin C= (2)若 3,BD=8,求EF的长. 【答案】(1)证明：如图，连接OD, B y .OF⊥AD, .∠OEA=90°， .∠OAE+∠AOE=90°， .OA=OD .∠OAE=∠ODA, .∠O0A+∠A0E=90°， .∠ADC=∠AOE .∠ADC+∠ODA=90°，即OD⊥CD, CD⊙O 是 的切线 (2)2 【解析】 第24页/共37页 学科网命组卷网 【分析】(1)由OF⊥AD可得∠OAE+∠AOE=90°，由OA=OD可得∠0AE=∠0DA,结合 ∠ADC=∠AOE可得，∠ADC+∠ODA=90°，命题得证； (2)⊙0 的半径为”，由三角函数可 0C=300=3r,由圆周角定理可 AD⊥BD,从而得到 OF∥BD △OCFP△BCD△DAEABAD OF=60E=4 由平行可判定 和 ,进而计算出 ,作差即可 得到EF. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ⊙0 解：如图，设 的半径为’， D B 由(1)可知，OD⊥CD 在Rt△OCD中， sinC= OD 1 0C3, .0C=30D=3r, .'BC=OC+OB=4r, :4B为o0的直径， .∠ADB=90°，即AD⊥BD, .OF⊥AD, .OF∥BD, ,△OCF∽△BCD 第25页/供37页 命学科网组卷网 OF OC 3r 3 .BD BC 4r 4, OF-3BD=6 4 .OF∥BD, .△OAEn△BAD, OE OA 1 .BD AB 2, :0E=D=4 2 .EF=OF-OE=2. 25.实践与探究： 小明家购买了一款喷水壶，如图所示.喷水壶的工作原理主要是利用了大气压强和伯努利原理，喷水壶有 一个推泵，按住手柄推动推杆，将气体推入壶内，壶内的气体压强会增大，这时水就会被大气压强压出壶 内，从喷水口喷出去，压强越大，喷得越远，喷水壶上面有许多面积很小的通气孔，这里用的是压强平衡 的原理，让空气进入从而达到内外大气压的平衡，推杆到底后会被弹簧弹起回到原处，反复按动手柄喷水 壶就可以喷水工作了. 小明观察，喷水壶的弹簧底端A点与手柄旋转扣B点、推杆顶端C构成△ABC(如图1)，经测量发现， AB 4cm∠BAC=45°∠ACB=60° ∠AC"B=90° 长度是 当手柄被按压到底的时候， (如图 2),请你帮助小明计算出此时弹簧被压缩缩短的长度是多少（精确到0.1cm)？(参考数据： V2≈1.414V3≈1.732) 第26页/供37页 命学科网列组卷网 喷嘴→ 弹簧 手柄→ 推杆 图1 图2 【答案】此时弹簧被压缩缩短的长度是l.6cm 【解析】 【分折】先处理图1的△MBC,因为已知4B=4cm、∠B1C=45、∠4CB=60,所以可利用三角形 内角和求出∠ABC,，再用正弦定理求出AC的长度.再处理图2的△AC"B,因为AB长度不变仍为4cm, 且∠1CB=90、∠B1C角度不变仍为45，所以该三角形为等腰直角二角形，可直接用三角函数求出 AC" AC AC 的长度.因为弹簧压缩缩短的长度为原来的减去压缩后的，所以将前两步得到的长度作差， 再代入参考数据计算近似值即可. 【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D, B D :在RISABD 中， ∠BAC=45°AB=4Cm :BD=AD=AB-sin45°=4 V2-22≈2.828cm 2 在RtRCD中，∠ACB=60 第27页/供37页 6学科网命组卷网 BD ,tan60°= CD, ·CD=BD=Y兰=0≈1.633cm tan60°V33 .AC=AD+CD≈2.828+1.633=4.461cm. :在Ra1CB中，∠AC'B=90,∠BAC=45AB=4cm 中， 4C'=4B-c0s45=4x222≈2.828cm 2 .CC=AC-AC"≈4.461-2.828≈1.6cm. 此时弹簧被压缩缩短的长度是1.6cm. 26.端午节前夕，某超市销售“蜜枣”馅、“蛋黄”馅两种不同口味的粽子.已知销售8个“蜜枣”馅和6 个“蛋黄”馅粽子共54元；销售4个“蜜枣”馅和8个“蛋黄”馅粽子共52元. (1)求每个“蜜枣”馅和“蛋黄”馅粽子售价各是多少元？ (2)某快餐店要订购一批粽子，因为数量较多，经与超市协商后统一按售价的八折购买.该快餐店计划 1 购买两种口味的粽子共120个，且“蛋黄”馅粽子数量不少于“蜜枣”馅粽子数量的3.请通过计算设计 一 种购买方案，使所需费用最少， 【答案】(1)每个“蜜枣”馅粽子售价3元，每个“蛋黄”馅粽子售价5元 (2)购买“蜜枣”馅粽子90个“蛋黄”馅粽子30个时，所需费用最少. 【解析】 【分析】(1)设每个“蜜枣”馅粽子售价X元，每个“蛋黄”馅粽子售价y元，再根据题意列二元一次方 程组求解即可： (2)设购买“蜜枣”馅粽子m个，则购买“蛋黄”馅粽子120-m)个，所需总费用为w元，根据恩意 第28页/共37页 6学科网命组卷网 列不等式可确定u的取值范围，再得到w=-1.6m+480,最后根据一次函数的增减性得到费用最小时的 购买方案。 【小问1详解】 解：设每个“蜜枣”馅粽子售价X元，每个“蛋黄”馅粽子售价y元， 8x+6y=54 x=3 根据题意得： 4x+8y=52,解得y=5. 答：每个“蜜枣”馅粽子售价3元，每个“蛋黄”馅粽子售价5元 【小问2详解】 解：设购买“蜜枣”馅粽子m个，则购买“蛋黄”馅粽子120-m）个，所需总费用为w元， 1 由题意 120-m≥3m ,解不等式得m≤90， 又，m≥0 ..0sms90 统一按八折购买，总费用为： w=0.8[3m+5120-m)】]=-1.6m+480 .-1.6<0 ,w随m的增大而减小， .当m取最大值90时，w取得最小值，此时120-m=120-90=30 答：购买“蜜枣”馅粽子90个，“蛋黄”馅粽子30个时，所需费用最少 27已知二次函数y=+r+c的图象经过点1(2，-3)，与x轴交于B、C两点的坐标分别为-1,0) (3,0) 第29页/供37页 6学科网6组卷网 图1 图2 (1)求此二次函数的表达式： (2②)如图1，点P(:,),(:,少)是此二次函数的图象上的两个动点.点P在直线AB的下方，过点 S△e P作PD⊥x轴于点D,交AB于点E,连接AD'P?:EQ.若x=x-1,求证：SADc的值为定 值： （3)如图2，当点M(m,0)从点B出发沿x轴向点C运动时（点M与点B、C不重合），自点M分别 作MN∥AC,交AB于点N,作MH⊥AC,垂足为点H.当m为何值时，△MNH面积最大，并求出 最大值. 【答案】(1)y=2-2x-3 (2) 证明：由=巧1可得-5=1 设h=r+b 将点A(2,-3),B(-,0)分别代入得 [2k+b=-3 -k+b=0 第30页/共37页 6学科网6组卷网 k=-1 解得b=-1 少=-x-1 设Px-2x-3),则E(6,-x-),D(,0) :PE=-x-1-(x2-2x-3列=-x2+x+2,DE=-(←x-）=x+1 5mPE(-)-++2k1=+-2) SDE+)2-) SAEPO 26+006-2) SAADE 5+02-) (3)m=1时，△MWH面积最大，最大值为2 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)先求出y=-x-1,设P-2-3列，则E(,-￥-)，D(,0）,则PE=-x2+x+2, DE=+1.期k示5mg5-）4+0-2) SAEPO 5m=D8(,)+2-.啊陕解5 3作AF1x轴于点F,证明△4CFn△MCH,得到H=3V10 103-m）,证明 第31页/共37页 6学科网 命组卷网 △Bn∽△BCA,每到N- 4(m+1) ,再由三角形面积公式求解。 【小问1详解】 解：~抛物线与x轴交于B、C两点的坐标分别为(-1,0)、(3,0)， “设y=a(x+1)(x-3) 将点4(2，-3)代入得，-30=3， 解得a=1 抛物线表达式为y=x-2x-3 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作AF⊥x轴于点F, ..MH L AC :∠AFC=∠M1C=90 .∠ACF=∠MCH .△ACF∽△MCH 第32页/供37页 6学科网6组卷网 AC AF .∴.MCMH V(2-3}2+(-3-0)7 3 3-m MH :MH=3 10(3-m) .MN II AC △BMN∽△BCA BMMN .BC AC m+1 MN 4 V(2-3)2+(-3-0)2 .MN=v1 -(m+1) 4 MNI AC ∴.∠NMH=∠MHC=90° 5www咖ag--m-+ x3V10 21 3 <0 .-1<m<3,8 3 ∴.当m=1时，△MWH面积最大，最大值为2. 28.某数学兴趣小组的同学对三角形的相似进行了深入研究. 第33页/供37页 6学科网 组卷网 D B 图1 图2 图3 (1)【观察发现】 如图1，在△MBC中，∠4CB=90°，CDLB,垂足为D,则4C=MDMB 请证明： (2)【灵活运用】 如图2，在(1)的条件下，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E,连接CE，,当 ∠AEC=∠ABC △AEB 时，请判断 的形状，并说明理由： (3)【拓展延伸】 如图3，△ABC是直角三角形， ∠ACB=90°AC=2BC=2N ,平面内一点D,满足4D=AC 连接CD并延长至点E,且∠CEB=∠CBD,当线段BE的长度取得最小值时.求线段CE的长. 【答案】(1)证明：CD⊥AB, .∠ADC=90°=∠ACB, .∠CAD=∠BAC, .△ACD∽△ABC, AD AC .AC AB, .AC2=AD.AB (2)△AEB是直角三角形，理由如下： :∠ACD+∠BCD=90°，∠ABC+∠BCD=90°， 第34页/供37页 6学科网6组卷网 .∠ACD=∠ABC. ,∠AEC=∠ABC, .∠ACD=∠AEC, .∠CAF=∠EAC, .△ACFr△AEC, AF AC ∴ACAE,即AC2=AE·AF, 由(1)可知， AC2=AD·AB .AD·AB=AE·AF, AD AF .AE AB, ∠DAF=∠EAB, ∴.△ADF△AEB, :.∠AEB=∠ADC=90°， .△AEB是直角三角形， 3)3V5 【解析】 【分析】(1)容易判断∠ADC=90°=∠ACB,∠CAD=∠BAC,从而证明△ACD∽△ABC,则 AD AC ACAB,变形得AC2=AD·AB: (2)由同角的余角相等可得∠ACD=∠ABC,结合∠AEC=∠ABC可得∠ACD=∠AEC,进而证明 △ACFAEC,则4C=1EMF.结合(1)的结论可得D:AB=AE:AF,进一步可证明 第35页/共37页 命学科网组卷网 AADF∽△AEB ∠AEB=∠ADC=90° △AEB ,则 ，因此 是直角三角形： (3)以点A为圆心，AC的长为半径作圆A,延长CA交圆A于点G,延长CG至点H,使得CH=5 连接DG、EH,容易证明△BCEADCB,则D:CE=BC2=20.由MD=AC可知，点D在圆A 上，则G=21c=4,2CDG=90°.由G.0M=20=m.6 △CDG∽ACHE,则 可证 ∠CE=∠CDG=90°，因此点E在过点H且与CH垂直的直线上运动，结合垂线段最短可知，当 BE⊥EH时，BE取得录小值，此时四边形CB是矩形，则BC=队=2V5,利用勾股定理计算出 CE 即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，以点A为圆心，AC的长为半径作圆A,延长CA交圆A于点G,延长CG至点H,使得 CH=5 DG EH 连接 B E .'∠CEB=∠CBD,∠BCE=∠DCB, .△BCEADCB, 第36页/共37页 学科网命组卷网 CD BC .BC CE, .CD.CB BC2 =20 AD=AC. 点D在圆A上， ,CG是圆A的直径， .CG=2AC=4,∠CDG=90°， .CG·CH=4×5=20, .CG·CH=CD·CE, CD CG .CH CE, :∠DCG=∠HCE ,△CDG∽△CHE ∴.∠CHE=∠CDG=90°， ∴点E在过点H且与CH垂直的直线上运动， ,垂线段最短， ∴当BE⊥EH时，BE取得最小值， BE⊥EH, ∴.∠BEH=90°=∠ACB=∠CHE, ∴.四边形CEB是矩形， BC Ell =25 在RIACEH中，CE=VCH+EH=VS2+25}=35 第37页/供37页