解题大招13 玩转抽象函数的十大热点题型(全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以十大热点题型为载体，构建“概念-性质-模型-应用”四维方法体系，通过赋值法、模型法等实用技巧培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|3个核心知识点|定义域求解规则、周期性与对称性判定、11类函数模型|从抽象函数概念出发，推导定义域、周期性等性质，构建函数模型实现具象化| |题型|10类热点题型|赋值法求值、方程法求解析式、单调性与奇偶性解不等式等|题型覆盖定义域、求值、性质综合等考法，典例精选高考真题，实现以题载法、以题明理|

解题大招13 玩转抽象函数的十大热点题型 知识点01 抽象函数 1.抽象函数的概念 所谓抽象函数是指用函数符号（如表示），却没有给出具体解析式的函数. 2．抽象函数的性质 (1)定义域：求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则.在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内. ①若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． (2)周期性 ；； ；（为常数）； (3)对称性： 对称轴：或者 关于对称； 对称中心：或者 关于对称； 特别地，如果同时关于对称，又关于对称，则的周期 知识点02 单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 1.在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 2.在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； 3.在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 4.在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； 5.关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 6.关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； 7.关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 8.关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）. 知识点03 抽象函数的模型 1.正比例函数模型： ，对应：； 2.反比例函数模型： ,对应:. 3.一次函数模型: 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； 4.二次函数模型： ，对应：； 5.三次函数模型： ，对应： 6.幂函数模型： 模型1：,对应：； 模型2：，对应：. 7.指数函数模型 模型1：,对应：（其中）； 模型2：，对应：（其中）； 模型3：，对应：； 模型4：，对应：. 8.对数函数模型 模型1：，对应：； 模型2：，对应：; 模型3：，对应：； 模型4：,对应：，则 模型5：，对应：. 9.正弦函数模型 ，对应：，来源于； 10.余弦函数模型 模型1：,对应：，则 模型2：，对应：； 模型3：，对应：. 11.正切函数模型 ,对应：. 题型01 抽象函数的定义域 1． 若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定义域； 2．若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得y＝f(x)的定义域． 【典例1-1】（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 【典例1-2】（25-26高三上·山东·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，即，则， 的定义域为， 需满足，解得且， 的定义域为，故C正确．故选：C． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域为， 所以令，得， 所以函数的定义域为. 故选：D 2．（25-26高二上·广东阳江·阶段练习）函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的定义域为，由，得， 因此的定义域为， 所以函数的自变量满足且，得， 即函数的定义域为. 故选：B 3．（2027高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 【答案】 【解析】由题意得，则，即的定义域为. 4．（2027高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ，函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】因为 由，得，所以的定义域为． 由，得，所以函数的定义域为． 题型02 抽象函数求值 一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段. 【典例2】（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，代入题设函数方程得： ， 将代入化简，得递推关系：， 当时，有， 则，，， 故 ， 故，则. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·福建泉州·阶段练习）若对任意的，函数满足，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】D 【解析】令，则，解得， 令，则，故， 故选：D 2．（25-26高三上·广东深圳·期中）已知函数的定义域为，，，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当，时，，所以； 令得，所以； ，， ，…， . 故选：C. 3．（2026·安徽·模拟预测）已知函数满足，则以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，有，从而，A正确； 令，得，故，B正确； 由题意得，，即，C正确； 令，则，，满足， 但，即不满足，D错误. 故选：D. 4．（2025·浙江绍兴·三模）已知定义在R上的函数满足且，则 ． 【答案】 【解析】令，所以， 所以， 即，，……， 所以，以上式子相加可得：， 所以， 所以. 5．（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，则 . 【答案】2026 【解析】法一： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 则 ， 由 . 法二： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 由，令，则； 设，则，，即，符合题意， 所以. 题型03 抽象函数的值域 求解方法有二：一是借助函数图象的变换求解，如函数图象左右平移，其值域不变；函数图象上下平移，其值域也相应平移相同个单位；二是利用赋值法求解. 【典例3】（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【解析】函数的定义域为，则在函数中，，解得， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为，即， 则，故函数的值域为. 故选：C 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】由函数的定义域和值域分别为和，可得和， 令，解得，所以函数的定义域为， 又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 所以函数与函数的值域相同，即. 故选：D. 2．（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】因为函数的定义域和值域都是， 令，解得，所以函数的定义域为， 由的值域得的值域为． 故选：D 3．（25-26高三下·重庆·月考）已知满足，且，则的值域为 【答案】 【解析】由函数满足，且， 令，可得，因为，可得， 再令，可得，所以， 令，可得，即， 再令，可得，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的值域为. 题型04 抽象函数的解析式 主要方法有二：一是方程法，即构造关于函数(如)的方程（组），通过解方程（组）即得所求函数（如）的解析式； 二是模型法，即结合所给条件确定相应函数的模型，再求出其待定系数，即得函数的解析式. 【典例4】（25-26高三上·上海金山·期末）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为______． 【答案】 【解析】是定义在上的函数，， 且对任意，，恒成立， 令，得， 则， 此时， 而， 则，满足题意， 所以. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，（1） 在（1）中将替换为，则   （2） 在（1）中将替换为，则  （3） 可得：且 故选：B. 2．（23-24高三上·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，所以， 令，则， 所以， 令，则，所以， 令，则， 所以， 则当时，， 则 ， 当时，上式也成立， 所以， 所以. 故选：C. 3．（2025高三·全国·竞赛）设函数对一切实数满足，且，则函数_____. 【答案】 【解析】令，则可得，， 又， 令，则，且， 于是为偶函数，同理， 注意到， 假设存在某个，使得，不妨令， 则，当时，左边，而右边，矛盾. 因为为偶函数，故当时同样矛盾， 当时，则，，同理可证， 再根据偶函数可证当也是矛盾的， 综上，对一切实数，有， 当时，有可得，又因， 故对一切实数都有 题型05 抽象函数的单调性 1．若给出的是“和型”抽象函数…，判断符号时要比要变形为，或变形为。 2．若给出的是“积型”抽象函数…，判断符号时要比要变形为，或变形为. 【典例5】（2026高三·全国·专题练习）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递减 【解析】（1）证明:  由题可知对任意实数，，恒有，令，，则． 因为当时，有，所以． 令，，则，， 所以． 即当时，有． （2）不妨设，则，所以． 由（1）知，， 所以， 即，所以在上单调递减． 【跟踪训练】 1．（25-26高二下·四川南充·阶段练习）已知是定义在R上的函数，且对任意实数， . (1)若，求，的值. (2)若时恒有，试判断函数单调性，并说明理由. 【解析】（1）取，则，， 取，则，， 取，解得,则， 取，则，解得， （2）由题意可知， 设，令，则， 所以， 所以， 所以函数在R上为减函数. 2．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)对于任意的，不等式恒成立，试求常数的取值范围． 【答案】(1)；证明见解析 (2)函数在上为单调递减函数；证明见解析 (3) 【解析】（1）由对任意的，都有，且当时，， 令，可得，即，解得， 当时，令，其中，可得， 因为，所以， 所以当时，. （2）解：函数在上为单调递减函数. 证明如下：设且，则，由（1）知：， 则，即， 所以函数在上为单调递减函数. （3）解：由（2）知，函数在上为单调递减函数， 所以不等式，即为， 因为对于任意的，不等式恒成立， 所以不等式对任意上恒成立， 即不等式对任意上恒成立， 设，因为，可得，所以对任意上恒成立， 又由在上为单调递增函数， 所以，所以，即实数的取值范围为. 题型06 抽象函数的奇偶性 判断抽象函数奇偶性的步骤： (1)验证定义域的对称性； (2)应用赋值法构造关于和的关系。 (3)处理非标准自变量形式：若条件中出现如为奇函数的描述，需注意自变量替换规则：奇函数定义应改写为. 【典例6】（25-26高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 【分析】（1）根据条件，通过赋值，得到，再赋值，即可证明结果； （2）通过赋值，得到，再利用（1）中结果，即可求出结果； （3）根据条件，直接利用函数单调性的定义法，即可证明结果. 【解析】（1）是奇函数，证明如下： 因为，令，得到， 令，得到，即，所以是奇函数. （2）令，得到，由（1）知是奇函数， 所以. （3）在上单调递增，证明如下： 在上任取，令， 则， 又因为，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 【跟踪训练】 1．（2027高三·全国·专题练习）已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 【答案】B 【解析】函数定义域为，关于原点对称. 令得，即， 令得，即， 令，得，即， 所以是偶函数， 故选：B． 故选：B 2．（2026高二下·山东青岛·竞赛）已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于为奇函数，可得：， 令，得：，解得：； 又为偶函数，则， 令，得：. 故选：A 3．（25-26高三上·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并说明理由． 【分析】（1）利用赋值法即可求得；（2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性；（3）赋值构造出表达式，再运用定义证明函数单调性. 【解析】（1）令，，可得， 解得； 令，，可得，解得. （2）为奇函数，理由如下： ， 而， 得 故在上是奇函数 （3）当时，，所以当，则，得， 又在上是奇函数，所以当，则， 设，则，所以，，故 ， 在上单调递减. 题型07 抽象函数的对称性 1.对称性： 对称轴：或者 关于对称； 对称中心：或者 关于对称； 2.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期 3．单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）. ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）. 【典例7】（25-26高三上·安徽合肥·期末）已知函数为定义在R上的奇函数，函数．则（   ） A．2000 B．1999 C．4000 D．3999 【答案】D 【解析】函数为定义在R上的奇函数，函数， 所以， 设 则， 两式相加可得，解得， 所以． 故选：D. 【跟踪训练】 1．（2026·河南周口·三模）已知函数的定义域为，，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由，则， 令，则，所以， 因此函数关于点中心对称， 因为在上单调递增，结合又关于点对称， 所以在上也单调递增. 由，则令，所以，即. 因为，在上单调递增， 所以，即. 2．（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 【答案】A 【解析】因为关于对称，所以， 用替换可得①， 因为关于对称，所以， 又，用替换可得， 用替换可得， 两式相加可得， 用替换可得②， 由①②可得， 用替换可得 因为， 在中令，得，故， ， 因此. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足．若方程有5个根，则这5个根之和为 ． 【答案】15 【解析】定义在上的函数满足， 对称轴为， 方程的5个根满足： 这5个根之和为15 4．（2026·湖南长沙·三模）已知函数的定义域为R，的图象关于点对称， ，且的图象关于点对称，则______. 【答案】99 【解析】因为 关于点 对称，所以, 即， 因为 关于点 对称，所以, 因为 ，所以 即， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 因此， 在，令，得， 因此. 题型08 抽象函数的周期性 巧妙赋值，从而得到函数的周期，再借助函数的周期求值. 【典例8】（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】由函数是定义在R上的奇函数，可得，且， 又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称， 可得函数的图象关于对称，即， 因为，可得， 即，所以函数是以为周期的周期函数， 可得 因为，可得， 所以. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（   ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】C 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且， 由题意知，即，可得， 可知函数的一个周期为4， 又因为当时，，且 所以. 故选：C. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．－3 B．－2 C．0 D．1 【答案】B 【解析】因为，令可得，，所以， 令可得，，即，所以函数为偶函数， 令得，，则有， 从而可得，，故， 即，所以函数的一个周期为6． 因为， ，， 所以． 因为2025除以6余3，所以． 故选：B． 3．（2025·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（    ） A．2为的周期 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 是定义在 上的奇函数， 所以 , 所以 ， 所以 关于 对称，且 ， 又 的一个周期为 2 ， 所以 ，即 ， 所以 ，所以 的周期为 4 ，所以 A 选项错误； 因为 ， 所以 ， 又 的周期为 4 ，即， 所以 ， 所以 ，所以 B 选项错误； 因为 ， ， 所以 ，, 即 ， ， 所以 ， ， 所以 ， ， 所以 C 选项错误，D 选项正确． 故选：D． 4.（25-26高二下·吉林白山·期末）已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则＝ 【答案】 【解析】由是定义在上的奇函数，得，即， 又因为，则， 因此函数的周期为8， 当时，，则，结合， 所以． 题型09解抽象不等式 一般利用抽象函数的单调性、奇偶性或对称性脱去抽象不等式中的符号“f”，转化为具体不等式求解. 【典例9】（2026·河南新乡·模拟）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，得. 令，得，解得， 则不等式转化为， 因为是增函数，且， 所以不等式的解集为. 故选：A 【跟踪训练】 1．（2026·河南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以. 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减. 所以等价于，解得. 2．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知， 当 时，，在上单调递减，则的解集为； 当 时，是定义在上的奇函数，则，在上单调递减，则的解集为； 所以，的解集是的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：D. 3．（25-26高三上·安徽阜阳·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若，则等价于，因是偶函数，故， 又在上单调递减，则由可得； 若，则等价于，由题意，在上单调递增，则由可得； 综上，的解集为. 故选：A. 4．（25-26高三上·浙江·期中）定义在上的函数满足，当时，，且满足，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】令，得， 令，得， 函数是定义在上的奇函数， ，令，得， 任取，则， 当时，，当 时，，即， 函数是定义在上的单调递增函数， . 故答案为：. 5．（25-26高三上·福建漳州·月考）已知函数的定义域是，若对任意的，都有成立，且当时，，则的解集为 . 【答案】 【解析】因为对任意的，都有成立， 当时，有，必有， 令，有，即，所以为奇函数， 设且，可得，则， 由， 可得，即，所以为上的单调递减函数， 又由，可得， 因为在上单调递减，可得，即， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 题型10 抽象函数性质的综合 抽象函数综合应用问题解题策略 1.赋值法：取特殊值（如 x=0、x=y、y=-x），求特殊函数值、奇偶性. 2.换元变形：合理代换自变量，推导单调性、周期性、对称性. 3.数形结合：依托性质草图辅助分析，简化不等式、方程问题. 4.巧用结论：熟记周期、对称间的关联规律，快速推理. 5.定义域优先：解题全程紧盯自变量取值范围，避免出错. 【典例10】（25-26高三上·河南商丘·期末）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“阶减函数”，下列命题正确的是（   ） A．存在“阶减函数”在上不单调递减 B．存在“阶减函数”不是“阶减函数”，且 C．函数是“1阶减函数”（其中表示不大于的最大整数） D．，函数不是“阶减函数”（其中表示不大于的最大整数） 【答案】ACD 【解析】对于A，若令，定义域为， 存在，当时，，，此时， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 对于任意，都有，即是“2阶减函数”， 因为，，所以在上不单调递减，故A正确； 对于B，若是“阶减函数”，则存在，对任意，都有， 因为且，所以， 即存在实数，使得对任意，都有， 所以是“nk阶减函数”，故B错误； 对于C，对于，定义域为，当时，对任意的， 都有，即， 所以函数是“1阶减函数”，故C正确； 对于D，因为，所以，所以当时，取到最大值0， 所以对，即存在，使得不成立， 所以函数不是“阶减函数”，故D正确. 故选：ACD. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·浙江·期中）已知是定义在上且不恒为的连续函数，若，，则（   ） A． B．为奇函数 C．的周期为 D．的值域为 【答案】D 【解析】令得，因为不恒为，所以，所以A错误； 令得，得，则为偶函数，所以B错误； 令得， 则， 则，得周期为，所以C错误； 令得，，即， 令得，即关于中心对称 ，即， 所以，所以D正确. 故选：D. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 【答案】B 【解析】因为定义在R上的单调函数，则，时. 对于A，令，则或， 若，则对，取，都有，不满足单调函数性质， 故，故A正确； 对于B，令，则或 由，则舍去，得， 因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数，故B错误； 对于C，令，则或（舍）， 则，取， 则，又定义域为R，则为奇函数，故C正确； 对于D，令，则， 令，则， 则，故D正确. 故选：B 3．(多选)（25-26高三上·山东泰安·期末）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，则下列选项正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A项，设点是图象上任意一点， 则，而， 所以点也是图象上的点， 所以的图象关于直线对称，故A项正确； 对于B项，因为为奇函数， 所以，取，可知，所以； 又因为，所以， 于是，故B项错误； 对于C项，因为为奇函数，所以， 即，令， 则，， 所以， 因为的值域为，所以该结论对任意实数都成立， 即，故C项正确； 对于D项，由以上推理知， 所以， 所以； 又因为，， 所以，，，，，，依次构成等差数列，其首项为，公差为， 所以，故D项正确； 故选：ACD. 【点睛】解题关键点：灵活应用性质“”与“为奇函数”是解题的关键点，在应用性质时，在判断C项正误中灵活使用，； 在应用为奇函数时，我们顺次采用了；两种形式. 4．（2025·上海闵行·一模）若定义域为的函数满足：对任意的和，都有，且，就称这个函数是“优美函数”. (1)判断并证明优美函数的奇偶性； (2)若优美函数的值域为，且当时，，判断并证明优美函数的单调性； (3)若题（2）中优美函数还满足，且不等式对任意的恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析，在上是严格递增函数； (3). 【解析】（1）的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得，∴， 令，得， ∴， ∴为奇函数. （2）任取，设， 解法一：， 因为，，又，， 所以，， 所以，即， 所以在上是严格递增函数. 解法二：由（1）函数为奇函数，则 任取，且，则，故且. 所以，； 所以，函数在上严格递增. （3）， 则， ， 又不等式对恒成立， 则对恒成立， 又在上严格递增， ∴对恒成立，即对恒成立， 当时，对恒成立， 当时，对恒成立，则，解得， 综上，. 1．（25-26高三上·山东·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，即，则， 的定义域为， 需满足，解得且， 的定义域为，故C正确． 故选：C． 2．（2025·黑龙江大庆·三模）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解析】由函数的值域为，得， 由是定义在上的奇函数，得，由是定义在上的偶函数，得， 则，则，而函数与的值域相同， 所以函数的最大值为3. 故选：B 3．（25-26高三上·河南·期中）已知函数是定义在上的图象连续不间断的奇函数，且，若，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，可知， 又因为为奇函数，且连续不断，则，则， 且，可知， 由奇函数对称性可知：时，， 且，， 所以在定义域的值域为. 故选：B. 4．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知定义域为的函数满足：，且，都有，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在时取最小值 D． 【答案】D 【解析】令，则，故，故A错误； 因为，所以的函数图象关于点中心对称，故B错误； 因为，都有， 所以在上单调递增， 因为的函数图象关于点中心对称，所以在上单调递增， 则在上单调递增，则无最小值，故C错误； ，故D正确. 5．（25-26高二上·湖南·期末）若定义上的函数：对任意的有，若的最大值和最小值分别为，则的值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【解析】令，则原条件转化为， 令，可得， 令，可得，则是奇函数， 则的最大值与最小值之和为0． 由，得的最大值，的最小值， 因此． 故选：B． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】C 【解析】对于A：令，则， 又，所以，故A错误； 对于B：因为，所以不为奇函数，故B错误； 对于C：令，则， 即，得。由的任意性可知，故C正确； 对于D：令，则， ，则， 所以，可得， 可知是周期为6的周期函数． 所以，故D错误． 故选：C． 7．（多选）（25-26高三下·山东·阶段检测）已知函数的定义域为，则（   ） A． B．存在，使得 C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，令可得， 因为，所以，A正确； 对于B，令， 由可知 ， 即. 若，则， ，即恒成立，与矛盾，B不正确； 对于C，令，可得，所以， 所以，. 由B可知，且， 对任意实数，都有，由于，所以， 所以，C正确； 对于D，由，可得，即， . 不等式等价于，即， 设函数，， 令，则， 因为为增函数，且，所以为增函数， 则，所以为增函数，即，D正确. 8．（多选）（2026·陕西榆林·一模）已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（   ） A． B．是奇函数 C．是的必要不充分条件 D．的零点个数为3 【答案】ABD 【解析】 对于A，令，得，所以， 再令，，得，所以，故A正确； 对于B，首先定义域关于原点对称，其次令，得， 即，所以是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，令，得， 所以，由，得，解得或， 即只是解集的一部分，则是的充分不必要条件，故C错误； 对于D，设， 不难验证， 所以，所以，将代入，可得， 所以，的零点为0，，2，故D正确． 9．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知满足，且，则的值域为_____ 【答案】 【解析】由函数满足，且， 令，可得，因为，可得， 再令，可得，所以， 令，可得，即， 再令，可得，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的值域为. 故答案为：. 10．（2025·浙江温州·二模）函数满足：①②，．则的最大值等于__________． 【答案】/0.5 【解析】，①． 则交换可得，, 化为② 由①②可得③， ③中令可得， 化简可得，当时等号成立， 所以的最大值等于． 11．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数对任意都有，． (1)当x均为正整数时，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明； (2)已知（1）中的结论对任意都成立（无需证明，可直接使用该结论）． ①求证：不具有周期性； ②若定义域为R的函数的奇偶性与相同，是定义域为R的奇函数，，求：的值． 【解析】(1)，猜想：当x为正整数时，.（下面利用数学归纳法证明） 首先，当时，猜测成立； 其次，假设（）时，即猜测成立，. 则当时，. 即时，猜测也成立. 即当x为正整数时，. 综上：当x为正整数时，. (2)①用反证法证明： 假设存在满足：恒成立； 则：恒成立，化简得：恒成立； ∴ 这与矛盾，故假设不成立， ∴ 不具有周期性； ②由结论知为偶函数，则为偶函数，又为奇函数，   则定义域为R，关于原点对称，   故， 所以为定义域为R的奇函数， ∴ . 12．（2027高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足下列条件：①对任意，都有；②当时，有.求证： (1)是奇函数； (2)是单调递减函数； (3)，其中. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）令，代入得到. 令，得，即. 所以在上是奇函数. （2）设，则. 因为，所以，. 又因为，所以且， 所以：，所以. 所以，. 所以在上是单调递减函数. （3）， 所以. 因为，所以. 所以. 故. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招13 玩转抽象函数的十大热点题型 知识点01 抽象函数 1.抽象函数的概念 所谓抽象函数是指用函数符号（如表示），却没有给出具体解析式的函数. 2．抽象函数的性质 (1)定义域：求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则.在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内. ①若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． (2)周期性 ；； ；（为常数）； (3)对称性： 对称轴：或者 关于对称； 对称中心：或者 关于对称； 特别地，如果同时关于对称，又关于对称，则的周期 知识点02 单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 1.在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 2.在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； 3.在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 4.在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； 5.关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 6.关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； 7.关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 8.关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）. 知识点03 抽象函数的模型 1.正比例函数模型： ，对应：； 2.反比例函数模型： ,对应:. 3.一次函数模型: 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； 4.二次函数模型： ，对应：； 5.三次函数模型： ，对应： 6.幂函数模型： 模型1：,对应：； 模型2：，对应：. 7.指数函数模型 模型1：,对应：（其中）； 模型2：，对应：（其中）； 模型3：，对应：； 模型4：，对应：. 8.对数函数模型 模型1：，对应：； 模型2：，对应：; 模型3：，对应：； 模型4：,对应：，则 模型5：，对应：. 9.正弦函数模型 ，对应：，来源于； 10.余弦函数模型 模型1：,对应：，则 模型2：，对应：； 模型3：，对应：. 11.正切函数模型 ,对应：. 题型01 抽象函数的定义域 1． 若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定义域； 2．若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得y＝f(x)的定义域． 【典例1-1】（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26高三上·山东·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东阳江·阶段练习）函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（2027高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 4．（2027高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ，函数的定义域为 ． 题型02 抽象函数求值 一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段. 【典例2】（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·福建泉州·阶段练习）若对任意的，函数满足，则（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 2．（25-26高三上·广东深圳·期中）已知函数的定义域为，，，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽·模拟预测）已知函数满足，则以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江绍兴·三模）已知定义在R上的函数满足且，则 ． 5．（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，则 . 题型03 抽象函数的值域 求解方法有二：一是借助函数图象的变换求解，如函数图象左右平移，其值域不变；函数图象上下平移，其值域也相应平移相同个单位；二是利用赋值法求解. 【典例3】（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（25-26高三下·重庆·月考）已知满足，且，则的值域为 题型04 抽象函数的解析式 主要方法有二：一是方程法，即构造关于函数(如)的方程（组），通过解方程（组）即得所求函数（如）的解析式； 二是模型法，即结合所给条件确定相应函数的模型，再求出其待定系数，即得函数的解析式. 【典例4】（25-26高三上·上海金山·期末）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为______． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·竞赛）设函数对一切实数满足，且，则函数_____. 题型05 抽象函数的单调性 1．若给出的是“和型”抽象函数…，判断符号时要比要变形为，或变形为。 2．若给出的是“积型”抽象函数…，判断符号时要比要变形为，或变形为. 【典例5】（2026高三·全国·专题练习）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 【跟踪训练】 1．（25-26高二下·四川南充·阶段练习）已知是定义在R上的函数，且对任意实数， . (1)若，求，的值. (2)若时恒有，试判断函数单调性，并说明理由. 2．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)对于任意的，不等式恒成立，试求常数的取值范围． 题型06 抽象函数的奇偶性 判断抽象函数奇偶性的步骤： (1)验证定义域的对称性； (2)应用赋值法构造关于和的关系。 (3)处理非标准自变量形式：若条件中出现如为奇函数的描述，需注意自变量替换规则：奇函数定义应改写为. 【典例6】（25-26高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 【跟踪训练】 1．（2027高三·全国·专题练习）已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 2．（2026高二下·山东青岛·竞赛）已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并说明理由． 题型07 抽象函数的对称性 1.对称性： 对称轴：或者 关于对称； 对称中心：或者 关于对称； 2.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期 3．单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）. ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）. 【典例7】（25-26高三上·安徽合肥·期末）已知函数为定义在R上的奇函数，函数．则（   ） A．2000 B．1999 C．4000 D．3999 【跟踪训练】 1．（2026·河南周口·三模）已知函数的定义域为，，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 3．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足．若方程有5个根，则这5个根之和为 ． 4．（2026·湖南长沙·三模）已知函数的定义域为R，的图象关于点对称， ，且的图象关于点对称，则______. 题型08 抽象函数的周期性 巧妙赋值，从而得到函数的周期，再借助函数的周期求值. 【典例8】（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（   ） A． B．1 C．3 D．7 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，则（    ） A．－3 B．－2 C．0 D．1 3．（2025·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（    ） A．2为的周期 B． C． D． 4.（25-26高二下·吉林白山·期末）已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则＝ 题型09解抽象不等式 一般利用抽象函数的单调性、奇偶性或对称性脱去抽象不等式中的符号“f”，转化为具体不等式求解. 【典例9】（2026·河南新乡·模拟）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2026·河南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽阜阳·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·浙江·期中）定义在上的函数满足，当时，，且满足，则不等式的解集为 . 5．（25-26高三上·福建漳州·月考）已知函数的定义域是，若对任意的，都有成立，且当时，，则的解集为 . 题型10 抽象函数性质的综合 抽象函数综合应用问题解题策略 1.赋值法：取特殊值（如 x=0、x=y、y=-x），求特殊函数值、奇偶性. 2.换元变形：合理代换自变量，推导单调性、周期性、对称性. 3.数形结合：依托性质草图辅助分析，简化不等式、方程问题. 4.巧用结论：熟记周期、对称间的关联规律，快速推理. 5.定义域优先：解题全程紧盯自变量取值范围，避免出错. 【典例10】（多选）（25-26高三上·河南商丘·期末）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“阶减函数”，下列命题正确的是（   ） A．存在“阶减函数”在上不单调递减 B．存在“阶减函数”不是“阶减函数”，且 C．函数是“1阶减函数”（其中表示不大于的最大整数） D．，函数不是“阶减函数”（其中表示不大于的最大整数） 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·浙江·期中）已知是定义在上且不恒为的连续函数，若，，则（   ） A． B．为奇函数 C．的周期为 D．的值域为 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 3．(多选)（25-26高三上·山东泰安·期末）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，则下列选项正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C． D． 4．（2025·上海闵行·一模）若定义域为的函数满足：对任意的和，都有，且，就称这个函数是“优美函数”. (1)判断并证明优美函数的奇偶性； (2)若优美函数的值域为，且当时，，判断并证明优美函数的单调性； (3)若题（2）中优美函数还满足，且不等式对任意的恒成立，试求实数的取值范围. 1．（25-26高三上·山东·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江大庆·三模）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 3．（25-26高三上·河南·期中）已知函数是定义在上的图象连续不间断的奇函数，且，若，则的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知定义域为的函数满足：，且，都有，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在时取最小值 D． 5．（25-26高二上·湖南·期末）若定义上的函数：对任意的有，若的最大值和最小值分别为，则的值为（   ） A．12 B．24 C． D． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 7．（多选）（25-26高三下·山东·阶段检测）已知函数的定义域为，则（   ） A． B．存在，使得 C． D． 8．（多选）（2026·陕西榆林·一模）已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（   ） A． B．是奇函数 C．是的必要不充分条件 D．的零点个数为3 9．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知满足，且，则的值域为_____ 10．（2025·浙江温州·二模）函数满足：①②，．则的最大值等于__________． 11．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数对任意都有，． (1)当x均为正整数时，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明； (2)已知（1）中的结论对任意都成立（无需证明，可直接使用该结论）． ①求证：不具有周期性； ②若定义域为R的函数的奇偶性与相同，是定义域为R的奇函数，，求：的值． 12．（2027高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足下列条件：①对任意，都有；②当时，有.求证： (1)是奇函数； (2)是单调递减函数； (3)，其中. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $