命题大赛 云南澄江市第一中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 澄江一中高二下学期期末数学试卷，以原创情境（如中国象棋马路径、体质健康调查）和梯度设计（基础题至综合题）为特色，覆盖函数、几何、概率等核心知识，体现数学眼光、思维与语言的素养融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、三角函数、导数|结合中国象棋马路径问题（第5题）考查向量应用| |多选题|3/18|函数图像、圆、向量|通过函数图像分析（第9题）考查推理能力| |填空题|3/15|数列、解三角形、函数交点|原创函数交点问题（第14题）考查抽象能力| |解答题|5/77|数列证明、统计概率、立体几何、导数综合、圆锥曲线|体质健康调查统计（第16题）体现数据意识，圆锥曲线综合（第19题）对标高考命题趋势|

澄江一中2025-2026高二年级下学期期末考试数学试卷 考试时间：120分钟，满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（    ） A．2 B． C． D．4 3．平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 4．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国的半个象棋棋盘（的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”．若马从图中的B处跳到C处，且要求走的步数最少，则马不同的行走路径有（   ） A．7种 B．6种 C．5种 D．4种 6．（原创）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则三棱锥体积的最大值（ ） A． B． C． D． 7．(原创)已知双曲线离心率为2，左焦点为，右顶点为，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于两点，则（   ） A． B． C． D． 8．，函数的最小值为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知函数（，）的部分图象如图所示，，，则（   ） A． B． C．是图象的一条对称轴 D．的图象向左平移个单位长度得到的图象关于原点对称 10．已知，，，点在圆上运动，则（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆为的内切圆 D．的最大值为88 11．已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．若，且三点共线，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在数列中，若，，则它的前20项和是__________ ． 13．在中，若，则角________． 14．(原创)已知函数 ，直线与有两个交点，交点横坐标为且，则的最小值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．设数列满足． (1)证明：为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 16．年月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于小时”．某中学为了解政策落实情况及其对学生视力的影响，从全校学生中随机抽取了名学生进行调查，统计了他们每天综合体育活动时间与视力情况，得到如下列联表. 未患近视 患近视 合计 每天综合体育活动时间小时（未达标） 每天综合体育活动时间小时（达标） 合计 完成上表，并根据完成的表格解决下列问题： (1)根据小概率值的独立性检验，分析患近视是否与每天综合体育活动时间有关； (2)从未患近视的学生调查者中按分层抽样的方法随机抽取人，再从这人中随机抽取人做进一步的访谈，记抽到的人中“每天综合体育活动时间小时（未达标）”的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 17．在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点. (1)求该正方体被平面所截得的截面面积； (2)点在线段上运动，设平面与平面所成夹角为，求的最大值. 18．已知函数（），． (1)若，求的单调区间； (2)若恒成立，求的值； (3)已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值． 19．已知抛物线过点，且它的焦点也是椭圆的一个焦点，椭圆上的点到焦点的最小值为2． (1)求抛物线和椭圆的标准方程； (2)设，是抛物线上的两个动点，且． ①求证：直线必过定点，并求定点坐标； ②直线交椭圆于两点，当最大时，求直线的方程． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《澄江一中2025-2026学年高二年级下学期期末考试数学试卷》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C B D C D ABD BCD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】根据子集的定义，由元素和集合的关系求解. 【详解】由可知，解得. 此时，符合要求. 所以. 2．B 【分析】根据复数的几何意义得到的代数形式，再利用复数模的运算性质求解． 【详解】由题得，， 所以． 3．D 【分析】借助三角函数定义及二倍角公式计算即可得. 【详解】由题意可得，， 则. 4．C 【分析】根据导数求出斜率，利用点斜式求切线方程. 【详解】对函数求导得， 故当时，斜率， 又切线过点， 故切线方程为，即． 5．B 【分析】枚举即可得. 【详解】“马”从B处走到C处，最少需要3步，不同的行走路线有（如图所示）： 若第一步为，再从到有2种走法； 若第一步为，再从到有2种走法； 若第一步为，再从到有2种走法， 所以不同的行走路径有种． 6．D 【分析】取的中点，分析出球心O是的中点，且，求出，利用勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明平面，进而得到平面，即可求出点到底面的距离,从而求出体积. 【详解】 设球的半径为，取的中点，连接. 三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球O的直径且， 球心O是的中点，，. 在中，，， 在中，，， 在中，，. 又，平面，平面， ，平面， 点到底面的距离为. 当点C在弧AB中点时，体积最大 7．C 【分析】由题意可知，及渐近线方程，再计算出圆心到其中一条渐近线的距离，从而得到弦长，最后利用余弦定理求解. 【详解】由题可知，则，渐近线方程. ,则，圆的半径. 圆心到一条渐近线的距离：， 则，. 8．D 【分析】根据同角三角函数的平方关系及基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】因为， 所以 ， 又，， 所以当且仅当，即时等号成立． 9．ABD 【详解】对A，将代入函数得 又，故，选项A正确. 对B，将和代入函数得 由图可得，即，又，所以 取，得，选项B正确. 对C， 不是最值，故不是对称轴，选项C错误. 对D，将向左平移个单位，得 是奇函数，图像关于原点对称，选项D正确 10．BCD 【分析】对于A，根据点与圆的位置关系的判定即可判断；对于B，根据点坐标求直线方程即可；对于C，判断出直线与圆的位置关系，结合圆心在内部即可判断；对于D，设，进而可得化为，结合即可判断． 【详解】对于A，，则点在圆外，故A错误； 对于B，直线的方程为， 整理为，故B正确； 对于C，直线的方程为与圆相切， 直线的方程为与圆相切， 直线的方程为， 圆心到直线的距离，则圆与直线相切， 又圆心在内， 所以圆为的内切圆，故C正确； 对于D，设， 因为，，三点， 所以 ， ， 因为点P在圆上运动， 则，解得， 所以， 当时，取得最大值88，故D正确． 11．BCD 【分析】首先根据已知条件判断的形状，进而可判断A；通过平面向量基本定理可判断B；通过向量在向量上的投影向量公式即可判断C；通过三点共线的向量表示可判断D. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以为直角三角形， 因为，所以是上靠近点C的三等分点，如图： 对于A，， 由勾股定理知，故A错误； 对于B，由题意知， 所以，故B正确； 对于C，由B知， 所以 ， 所以向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为， 所以， 由B知，所以， 又三点共线，所以，所以，故D正确. 12．440 【详解】由，得， 则数列是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以. 13． 【详解】由题知， 根据正弦定理可得， 由余弦定理可知，将上述等式代入，得， 又，故. 14．1 【详解】由题知 ， 所以在（0,1]上单调减，的最小值为=1 15．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）化简应用裂项及迭代得出通项，再应用等差数列通项公式计算证明； （2）应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【详解】（1）由得： ，..................2分 所以，                ..................4分                  所以，即得，                      ..................6分    由等差数列的定义知：数列为以3为首项，4为公差的等差数列 ； （2）由（1）知：， 所以  ，                      ..................7分 所以， 所以，           . .................9分 所以， 所以； ..................13分 16．(1)补全列联表： 未患近视 患近视 合计 每天综合体育活动时间小时（未达标） 每天综合体育活动时间小时（达标） 合计 根据小概率值的独立性检验，推断患近视与每天综合体育活动时间有关． (2) ． 【分析】（1）先补全列联表，代入卡方公式计算统计量与临界值比较完成独立性检验； （2）先按分层抽样确定抽取的两类人数，再根据超几何分布求解分布列和数学期望． 【详解】（1）根据题意，补全列联表： 未患近视 患近视 合计 每天综合体育活动时间小时（未达标） 每天综合体育活动时间小时（达标） 合计 ..................2分 零假设：患近视与每天综合体育活动时间无关， ， ..................5分 因为，所以零假设不成立， 所以根据小概率值的独立性检验，推断患近视与每天综合体育活动时间有关； ..................7分 （2）从未患近视的人中分层抽样抽取人，抽取未达标人数为，抽取达标人数为， ..................8分 的所有可能取值为， ，，，..................14分 所以的分布列为 ． ..................15分 17．(1) (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，先证明，可得四边形为截面，进而求解即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）取的中点为，连接， 因为分别为棱的中点，所以， ..................2分 则四边形为截面，且， 则梯形的高为， ..................4分 所以 ...................6分 （2）建立以所在直线分别为轴的空间直角坐标系，如图所示， 则，其中， ..................8分 所以， 设平面DMP的法向量为， 则 令，则， ..................11分 又∵平面的法向量为， ， ..................14分 ∴当时，取得最大值为. ..................15分 18．(1)在上单调递增，上单调递减 (2) (3)3 【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负求得函数的单调区间. （2）构造新函数，对分类讨论，结合即可得解 （3）利用（2）的结论，通过放缩法得到的上界，再结合时的值，确定的最小值. 【详解】（1）由题意函数，，求导可得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，上单调递减， ..................4分 （2）因为，所以，其中， 令 ，则恒成立，，且，...............6分 当时，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，满足题意； 综上所述． ..................10分 （3）因为，所以， 由（2）可知当时 ，即， 所以当且仅当时取等号，所以，．. ，.................13分 所以 ，即：对于任意正整数，恒成立， 且因为为整数，且对于任意正整数， 成立，0 当时， ，所以不能恒成立， 所以m的最小值为3． ..................17分 19．(1)，； (2)①证明见解析，定点；②. 【分析】（1）由题意，抛物线过点，代入可得，进而可求得，再结合椭圆的性质，即可求得； （2）①设直线方程，与抛物线联立，结合向量的数量积，可求得，进而可确定直线所经过的定点； ②将直线与椭圆联立，利用弦长公式和点到直线距离公式表示出，再结合对勾函数的性质，即可求得最值. 【详解】（1）因为抛物线过点，所以可得，解得， 所以抛物线的方程为． ..................2分 由抛物线的方程，可得， 又是椭圆的焦点，且椭圆上的点到焦点的最小值为2， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为． ..................5分 （2）①因为直线与抛物线交于，两点，所以直线的斜率必存在． 设直线的方程为，，， 联立方程组，消去可得：， 所以，， 又， 所以，即． ..................9分 则直线的方程为，所以直线过定点．..................10分 ②由①得，直线的方程为， 联立方程组，消去可得：， 设，，则，， 所以，..................12分 又到直线的距离， 所以， ..................14分 令，则， 所以， 令，则， 当时，可得恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，所以取得最大值， 又，所以当时，可得， 所以直线的方程为． ..................17分 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 澄江一中2025-2026学年高二年级下学期期末考试细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数 1 单选题 5 集合与集合的关系，元素的互异性 0.9 2 单选题 5 复数的乘法，复数的模 0.7 3 单选题 5 三角函数的定义，正弦二倍角公式 0.7 4 单选题 5 曲线的切线方程 0.6 5 单选题 5 计数原理 0.6 6 单选题 5 三棱锥外接球性质，三棱锥体积 0.5 7 单选题 5 双曲线的渐近线，点到直线的距离公式 0.5 8 单选题 5 基本不等式 0.4 9 多选题 6 三角函数图像与性质 0.7 10 多选题 6 点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系 0.6 11 多选题 6 平面向量的基本性质，投影向量 0.5 12 填空题 5 等差数列的前n项和公式 0.8 13 填空题 5 余弦定理 0.6 14 填空题 5 利用导数求解函数的最值 0.5 15 解答题 13 证明等差数列，错位相减法 0.7 16 解答题 15 独立性检验，超几何分布 0.7 17 解答题 15 做截面图并求面积，二面角的大小，二次函数求最值 0.5 18 解答题 17 函数的单调性，证明不等式，放缩法，对数运算 0.4 19 解答题 17 抛物线、椭圆方程，直线与圆锥曲线的关系 0.4 $