命题大赛 云南省德宏州芒市2025-2026学年高二下学期期末考试数学练习（人教A版全部内容）

**基本信息** 融合天宫三号轨道（椭圆）、算盘文化（古典概型）与航天知识测试（统计）等真实情境，原创题（如偶函数性质应用、锐角三角形解三角形）突出数学思维与应用能力，全面覆盖高二数学核心知识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|解三角形、数列求和、立体几何、统计概率、导数应用|航天测试频率分布直方图（数据观念）、正四棱锥面面角（空间观念）、导数单调性讨论（推理能力）|

应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末/（如以上均不符合则自行添加） 高二下学期期末考试数学试卷 2019人教A版全部内容 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 一、单选题(本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1．复数在复平面内对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，，则　　 A． B． C． D． 3．某学校有老、中、青年教师分别为20，50，60名，利用分层抽样抽取13名教师去衡水中学参观学习，从抽取的13名教师中选3名教师书写参观有感，选取的3名教师是老、中、青年教师各一名的种数为　　 A．40 B．60 C．65 D．80 4．（原创）已知是偶函数，且在上是减函数，若，则的取值范围是　　 A． B． C. D. 5．如图，“天宫三号”的运行轨道是以地心（地球的中心）为其中一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的距离）距离地面千米，并且，，在同一条直线上，地球的半径为千米，则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为　　千米. A． B． C． D． 6．若在上是减函数，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 7．设3π<α<4π，cos＝m，那么cos等于　　 A． B．－ C．－ D． 8．正项等比数列的前项和为，，，则等于　　 A．90 B．50 C．40 D．30 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知圆锥的底面半径为1，其母线长是2，则下列说法正确的是　　 A．圆锥的高是 B．圆锥侧面展开图的圆心角为 C．圆锥的表面积是 D．圆锥的体积是 10．已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是　　 A． B． C． D． 11．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位……，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位､百位､千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被3整除”，“表示的四位数能被5整除”，则　　 A． B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分.） 12．已知平面向量与的夹角为，若，，则______． 13．将下图所示的圆锥形容器内的液体全部倒入底面半径为的直立的圆柱形容器内，则液面高度为______． 14．已知函数的部分图像如图所示，则 . 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（原创）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求角A； （2）若，，求的周长． 16.（15分）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，是，的等比中项，数列满足：对任意的，. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前2n项的和. 17．（15分）如图，在正四棱锥中，，正四棱锥的体积为，点为的中点，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 18．（17分）某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：    (1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的平均数； (2)从测试成绩在[90，100]的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求的分布列及期望． 19．（17分）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若对，恒有，求的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期期末考试数学试卷 2019人教A版全部内容 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B D B D D A B B AC ABC ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再根据复数对应的点即可得到答案. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限，故选：B 2．D 【分析】解指数不等式求出，从而求出并集. 【详解】因为，解得，故， 故.故选：D 3．B 【分析】先根据分层抽样的定义求出所抽取的老、中、青年教师的人数，然后根据分步乘法原理可求得结果. 【详解】由某学校有老、中、青年教师分别为20，50，60名，抽取13名教师， 可得老、中、青年教师分别抽取了，，名， 其中老、中、青年教师各一名的情况为，故选：B. 4．D 【分析】利用偶函数的性质把原不等式转化为，再根据上是减函数得到可得． 【详解】因为为偶函数且在上是减函数，原不等式转化为，故即，解得，故选D． 【点睛】对于偶函数 ，其在对称两侧的单调性是相反的，并且，对于奇函数 ，其在对称两侧的单调性是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则． 5．D 【分析】根据题设条件可求椭圆的长半轴长和焦距的关系式，从而可求短半轴长. 【详解】由题设条件可得，， 设椭圆的半长轴长为，半焦距为，则，， 故短半轴长为，所以短轴长为，故选：D. 6．A 【分析】先对函数进行求导，根据函数单调递减列出不等式即可得到答案. 【详解】由题意可知，在上恒成立， 即在上恒成立， 由于在上是增函数，其值域为，所以，故选：A. 7．B 【分析】先分析的范围，确定象限，利用cos2＝求解即可. 【详解】由于cos＝2cos2－1，可得cos2＝.又3π<α<4π，所以<<π.所以 cos<0.所以cos＝－. 故选：B 8．B 【分析】由，可得，由等比数列前n项和的性质可得，代入求解即可. 【详解】解：因为是正项等比数列的前项和， 所以，所以， 又因为，，所以，所以， 解得或(舍).故选：B. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．AC 【分析】根据圆锥及侧面展开图的性质，表面积公式，体积公式求解判断即可. 【详解】圆锥的底面半径为，其母线长是， 则圆锥的高，故A正确； 设圆锥侧面展开图的圆心角为，则，解得，故B错误； 圆锥的表面积是，故C正确； 圆锥的体积是，故D错误.故选：AC. 10．ABC 【分析】对于选项A，设直线的方程为，代入，再利用韦达定理，即可得到结论； 对于选项B，利用抛物线的定义和选项A中的结论，表示出即可； 对于选项C，由抛物线的定义，在直角三角形中，运用余弦函数的定义，即可得到的长，同理可得的长，即可判断； 对于选项D，选项A中的结论进行判断即可. 【详解】对于选项A，设直线的方程为，代入， 可得，所以，，选项A正确； 对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦， 所以由抛物线定义可得， 由选项A知，，， 所以. 即，解得， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，也适合上式，所以，选项B正确； 对于选项C，不妨设，点A在x轴上方，设，是，在准线上的射影， ， 所以，同理可得， 所以，同理可证时，等式也成立，选项C正确； 对于选项D，由上可知：，， 所以，选项D不正确， 故选：ABC. 11．ACD 【分析】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，由此可得四位数的个数，能被3整除，只能是2个1和2个5，求出四位数的个数后可得概率，而被5整除，只要个位数字是5即可．由此计数后可计算出概率，判断各选项． 【详解】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，四位数的个数是，能被3整除的数字1和5各出现2个，因此满足条件的四位数和个数是，所以， 能被5带除的四位数个数为，，能被15带除的是能被3整除的四位数的个数是5，因此满足这个条件的四位数的个数是，概率为， ．故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．1 【分析】利用性质，将向量的模转化为数量积求解即可. 【详解】因为，两边平方得， 又，所以，解得或（舍去）．故答案为：1 13． 【分析】先求出圆锥形容器内的液体表面的半径，再根据液体的体积不变，结合圆锥和圆柱的体积公式即可得解. 【详解】设圆锥形容器内的液体表面的半径为， 则，解得，设所求液面高度为， 则，解得，所以液面高度为．故答案为：. 14． 【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可. 【详解】由题意可得：， 当时，， 令可得：， 据此有：.故答案为：. 【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得..............................................................1分 因为，所以，所以，...............................................3分 整理得，即................................................4分 因为，所以，所以，即................................................6分 （2）由题设条件和正弦定理 ，...............................................7分 又，则，进而，得到，...............................................8分 于是...............................................9分 ，...............................................10分 由正弦定理可得，，即...............................................11分 解得，...............................................12分 故的周长为................................................13分 16．（1），；（2）. 【分析】（1）由基本量法列出关于和公差的方程组，解得，得通项公式，求出后可得； （2）把的奇数项和偶数项分别求和可得． 【详解】（1）设数列的公差为d， 由题意得，...............................................1分 化简得，...............................................2分 因为，所以，，所以，，...........................................4分 因为，所以；...............................................6分 （2）由（1）知，...............................................8分 所以...............................................11分 ................................................15分 17．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解； （2）根据已知条件建立空间直角坐标系，利用棱锥的体积公式，求出及相关点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与二面角的关系即可求解. 【详解】（1）在正四棱锥中，连接，...............................................1分 四边形为正方形 为的中点  ...............................................2分  又点为的中点为的中位线  ..............................................4分             又平面，平面，平面................................................6分 （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，...............................................7分    因为正四棱锥的体积为，所以正四棱锥的体积，.....................9分 所以，...............................................10分 ，,...........................................11分 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则，所以..............12分 设平面的一个法向量为,则 ，即，令，则，所以...............13分 设平面与平面所成的角为，，...........................14分 所以平面与平面所成角的余弦值为................................................15分 18．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用平均数的计算方法，即可求解； （2）由题意可求，甲乙分别进入复赛的概率，然后求出时的概率，即可得到分布列和期望. 【详解】（1）平均数，...............................................3分 所以该校学生测试成绩的平均数为................................................4分 （2）由题意可知，从6道题中选4题共有，...............................................5分 因为甲能答对6道题中的4道题，故甲能进复赛的情况共有；...............................................7分 所以甲能进复赛的概率为，则甲不能进复赛的概率为，...............................................8分 因为乙能答对6道题中的3道题，故乙能进复赛的情况共有；...............................................9分 所以乙能进复赛的概率为，则乙不能进复赛的概率为；...............................................10分 依题可得，的可能取值为0，1，2，...............................................11分 所以，，，....................................15分 则分布列为： 0 1 2 P 则................................................17分 19．(1)见解析； (2). 【分析】（1）求导，分与讨论的单调性； （2）分与讨论，求出的最小值，求解即可. 【详解】（1）的定义域为,，...............................2分 当时，,函数在上单调递增；...............................................3分 当时，令,得；令，得................................................4分 所以在上单调递减，在上单调递增................................................5分 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增................................................6分 （2）由（1）可得 ，当,即时，在上单调递增， 所以................................................8分 因为对，恒有， 所以,化简可得,解得或，故................................10分 当,即时，在上单调递减，在上单调递增, 所以,...............................................12分 对，恒有，所以，即，......14分 因为，所以,不满足................................................16分 综上所述，的取值范围是................................................17分 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 复数的几何意义（复平面、象限） 0.9 2 单选题 5 集合基本运算（交 / 并 / 补） 0.85 3 单选题 5 分层抽样、组合计数 0.7 4 单选题 5 奇偶性、单调性、抽象不等式 0.65 5 单选题 5 椭圆定义、短轴计算 0.65 6 单选题 5 导数单调性、恒成立求参 0.55 7 单选题 5 三角恒等变换、半角公式 0.7 8 单选题 5 等比数列通项、前 n 项和 0.7 9 多选题 6 圆锥高、侧展圆心角、表面积、体积 0.7 10 多选题 6 抛物线焦点弦、焦半径、倾斜角 0.55 11 多选题 6 古典概型、整除、条件概率 0.35 12 填空题 5 平面向量夹角、数量积、模长 0.85 13 填空题 5 圆锥 / 圆柱体积、等体积转化 0.7 14 填空题 5 三角函数图像、周期、解析式 0.65 15 解答题 13 解三角形（正弦 / 余弦定理）、周长 0.65 16 解答题 15 等差通项、等比中项、递推、求和 0.55 17 解答题 15 线面平行证明、空间向量、二面角 0.4 18 解答题 17 频率直方图、分布列、期望、独立事件 0.4 18 解答题 17 导数单调性、恒成立、分类讨论 0.35 $