第04讲 有理数的大小比较（暑假预习讲义）新七年级数学新教材浙教版

第04讲 有理数的大小比较 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用数轴比较大小 题型2 利用绝对值比较大小 题型3 综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数 大小比较 · 掌握数轴比较法：数轴上右边的数总比左边的数大。 · 熟练运用有理数大小比较法则，能比较正数、0、负数之间的大小。 · 掌握两个负数比较大小的方法：绝对值大的负数反而小。 · 能规范书写比较过程，解决多个有理数排序问题。 学习重点： · 利用数轴比较有理数大小。 · 有理数大小比较基本法则。 · 两个负数比较大小。 学习难点： · 理解两个负数，绝对值大的反而小。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 利用数轴比较 【引入】如图，表示某一天我国五个城市的最低气温。O地把表示上述五个城市这一天最低气温的数表示在数轴上。观察这五个数在数轴上的位置，你发现了什么?气温的高低与相应的数在数轴上的位置有什么关系? 1. 比较规律 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2. 比较法则 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 知识点02 利用绝对值比较 1. 两个正数 两个正数比较大小，绝对值大的数大； 2. 两个负数 两个负数比较大小，绝对值大的反而小； 【方法归纳】——两个负数大小比较的步骤： 1.求两个数的绝对值； 2.比较绝对值的大小； 3.判定原数的大小. 题型1 利用数轴比较大小 【例1】如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为______、______． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． 【方法归纳】 利用数轴比较有理数大小时，有多重符号的要先化简符号。 【例2】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式练习】 1．a，b，c，d四个数在数轴上的位置如图，则最大的数是（    ） A．a B．b C．c D．d 2．如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D．0.5 3．如图，在数轴上，点表示的数分别为，则_________．（填“”“”或“”） 4．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 5．在数轴上表示出下列各数：，，，0，，并用“”号把它们连接起来． 题型2 利用绝对值比较大小 【例1】请比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和． 【方法归纳】 本题考查的是两个负有理数的大小比较， （1）先化简各数； （2）再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案． 【例2】请比较下列各组中两个数的大小： (1)3和； (2)0和； (3)和； (4)和． 【例3】比较下列各数大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【方法归纳】 （1）正数大于负数； （2）负数都小于0； （3）有多重符号的有理数要先化简再进行比较。 【变式练习】 1.请用“”、“”或“”填空： （1）3___________；        （2）___________； （3）___________；        （4）___________； （5）___________0；                （6）3.2___________． 2．比较下列数的大小． (1)和； (2)和； (3)和． 3．比较下列每组数的大小 （1） （2） （3） （4）． 4．比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 题型3 有理数大小比较的综合应用 【例1】请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【例2】比较大小：和． 方法归纳： 先去除一个常数值再比较大小的方法也叫做借助中间量比较法； 【例3】一定大于吗？为什么？ 【例4】在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示．    (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 【例5】表示两数中的较小者，表示两数中的较大者，如，．求的值． 方法归纳： 此种题型叫作“新定义题型”，解决此类题型关键步骤是要先读懂“定义”。 【变式练习】 1．（1）比较大小：_____________． （2）_____________；_____________． （3）已知，则a，b，c的大小关系是_____________． 2．定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数．例如：，，则________（填） 3．请回答下列问题： (1)有没有最小的负整数？ (2)有没有最大的负整数？ (3)有没有最小的正整数？ (4)有没有最大的正整数？ 4．如果a是一个有理数，那么当a满足什么条件时， (1)？ (2)？ (3)？ 5．比较大小：和． 一、单选题 1．有理数0，，，1中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D．1 2．下表记录了1月份某日我国四个城市10点时的气温： 城市 北京 哈尔滨 盐城 上海 气温（） 3 7 此时气温最低的城市是（   ） A．北京 B．哈尔滨 C．盐城 D．上海 3．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列四个数中，绝对值最大的是（    ） A．2 B．0 C． D． 5．如图，数轴上被爱心遮盖的数可能是（   ） A． B． C． D．4 6．如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 7．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．新疆吐鲁番盆地的艾丁湖海拔高度约为米，吐鲁番市区的海拔高度约为米，已知这两个海拔数据中，有一个对应中国陆地最低点，则该最低点的海拔高度约为________米． 10．比较大小：______（填“”、“”或“”）． 11．比较大小： （1）2 _____ ； （2） 0 ______； （3）_____ 12．写出符合条件的数：绝对值大于且小于的负整数 _______． 13．对于有理数、，如果，则__________（用“”，“”，“”填空）． 14．比较大小：_____． 15．已知有理数，请比较两数的大小：_______． 16．如果用符号表示两数中的较大者，用符号表示两数中的较小者，那么的值为________；的值为________． 三、解答题 17．比较下列各组数的大小． (1)，． (2)0，． (3)，． (4)，． 18．已知，，且，求的值． 19．把有理数：，，0，，，按下列要求作答： (1)在数轴上表示出来； (2)用“＜”把上面的数连接起来； (3)把上面的数填入对应的集合内． 20．将，，按从小到大的顺序排列起来． 21．若，，，，且a，b，c，d都不为0，并且，请将，，，按照从大到小的顺序排列． 22．设表示不超过的最大整数，例如：． (1)求的值； (2)令，求． 23．阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： (1)比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 有理数的大小比较 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用数轴比较大小 题型2 利用绝对值比较大小 题型3 综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 有理数 大小比较 · 掌握数轴比较法：数轴上右边的数总比左边的数大。 · 熟练运用有理数大小比较法则，能比较正数、0、负数之间的大小。 · 掌握两个负数比较大小的方法：绝对值大的负数反而小。 · 能规范书写比较过程，解决多个有理数排序问题。 学习重点： · 利用数轴比较有理数大小。 · 有理数大小比较基本法则。 · 两个负数比较大小。 学习难点： · 理解两个负数，绝对值大的反而小。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 利用数轴比较 【引入】如图，表示某一天我国五个城市的最低气温。O地把表示上述五个城市这一天最低气温的数表示在数轴上。观察这五个数在数轴上的位置，你发现了什么?气温的高低与相应的数在数轴上的位置有什么关系? 1. 比较规律 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2. 比较法则 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 知识点02 利用绝对值比较 1. 两个正数 两个正数比较大小，绝对值大的数大； 2. 两个负数 两个负数比较大小，绝对值大的反而小； 【方法归纳】——两个负数大小比较的步骤： 1.求两个数的绝对值； 2.比较绝对值的大小； 3.判定原数的大小. 题型1 利用数轴比较大小 【例1】如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为______、______． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． 【详解】（1）解：点、点所表示的数分别为， （2）解：∵点C与点B的距离为3个单位长度，点B表示的数为， ∴点C表示的数为或， （3）解： ，， 如图， ∴ 【方法归纳】 利用数轴比较有理数大小时，有多重符号的要先化简符号。 【例2】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【详解】如图所示， ∴ 【变式练习】 1．a，b，c，d四个数在数轴上的位置如图，则最大的数是（    ） A．a B．b C．c D．d 【详解】解：由于数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大， 则， 因此，最大的数是． 2．如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D．0.5 【详解】解：设被遮挡住的点表示的数为， 由数轴可知， ∵ ∴在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是． 3．如图，在数轴上，点表示的数分别为，则_________．（填“”“”或“”） 【详解】解：由数轴可知，， 根据相反数的性质，负数的相反数为正数，且绝对值相等，可得： ， 又由数轴得：， 因此． 4．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 【详解】解：, 如图 ∴． 5．在数轴上表示出下列各数：，，，0，，并用“”号把它们连接起来． 【详解】解：，， 数轴如图所示： 则． 题型2 利用绝对值比较大小 【例1】请比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）， ∵，，， ∴． 【方法归纳】 本题考查的是两个负有理数的大小比较， （1）先化简各数； （2）再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案． 【例2】请比较下列各组中两个数的大小： (1)3和； (2)0和； (3)和； (4)和． 【详解】（1）解： （2） （3）， ∴； （4）∵， ∴． 【方法归纳】 （1）正数大于负数； （2）负数都小于0； 【例3】比较下列各数大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； （2）解：∵，，且， ∴； （3）解：，， ∵， ∴； （4）解：，， ∵， ∴． 【变式练习】 1.请用“”、“”或“”填空： （1）3___________；        （2）___________； （3）___________；        （4）___________； （5）___________0；                （6）3.2___________． 【详解】解：（1）3是正数，是负数，正数大于负数，因此； （2）和都是负数， ，，， 绝对值小的反而大，因此； （3）和都是负数， ，，， 绝对值大的反而小，因此； （4），，因此； （5）是负数，0既不是正数也不是负数，但负数小于0，因此； （6）3.2是正数，是负数，正数大于负数，因此． 故答案为：；；；；；． 2．比较下列数的大小． (1)和； (2)和； (3)和． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，，， ； （3）解：，， ． 3．比较下列每组数的大小 （1） （2） （3） （4）． 【详解】解：（1）∵，， ∵， ∴； （2）∵，， ∵， ∴； （3）∵，， ∴， （4）∵ ∴． 4．比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵，， ∴，，而， ∴. 题型3 有理数大小比较的综合应用 【例1】请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【详解】（1）上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）∵， ∴， ∴． 【例2】比较大小：和． 【详解】解：，， ∴ 方法归纳： 先去除一个常数值再比较大小的方法也叫做借助中间量比较法； 【例3】一定大于吗？为什么？ 【详解】解：不一定，理由如下： 当时，此时，则； 当时，此时，则；     当时，此时，则． 【例4】在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示．    (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：， （3）解：， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，绝对值和有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数． 【例5】表示两数中的较小者，表示两数中的较大者，如，．求的值． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 所以． 因为， 所以， 所以原式． 【点睛】本题根据所给的新定义运算，需要明确运算顺序，先算出内层的最大数和最小数，再对这两个结果比较大小，最终得到答案. 【变式练习】 1．（1）比较大小：_____________． （2）_____________；_____________． （3）已知，则a，b，c的大小关系是_____________． 【答案】 2 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，进行比较即可． （1）根据有理数大小比较方法解答即可； （2）根据相反数和绝对值的定义解答即可； （3）根据有理数大小比较方法解答即可； 【详解】解：（1）∵， ∴ 故答案为：； （2），， 故答案为：2；； （3）∵，， ∴， 故答案为：． 2．定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数．例如：，，则________（填） 【详解】解：由题意知：，， 所以， 故答案为：． 3．请回答下列问题： (1)有没有最小的负整数？ (2)有没有最大的负整数？ (3)有没有最小的正整数？ (4)有没有最大的正整数？ 【详解】（1）没有最小的负整数； （2）有最大的负整数，最大的负整数为； （3）有最小的正整数，最小的正整数为； （4）没有最大的正整数． 4．如果a是一个有理数，那么当a满足什么条件时， (1)？ (2)？ (3)？ 【详解】（1）解：根据正数的相反数为负数，负数的相反数为正数，0的相反数为0，且， 则， ∴当时，； （2）根据正数的相反数为负数，负数的相反数为正数，0的相反数为0，且，即一个数的相反数大于它本身，则a为负数， ∴当a为负数时，； （3）根据正数的相反数为负数，负数的相反数为正数，0的相反数为0，且，即一个数的相反数小于它本身，则a为正数， ∴当a为正数时，． 5．比较大小：和． 【详解】解：变形，， ∵ ． 一、单选题 1．有理数0，，，1中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最小的数是． 故选：C． 2．下表记录了1月份某日我国四个城市10点时的气温： 城市 北京 哈尔滨 盐城 上海 气温（） 3 7 此时气温最低的城市是（   ） A．北京 B．哈尔滨 C．盐城 D．上海 【答案】B 【分析】本题考查有理数的大小比较． 比较四个城市的气温即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴气温最低的城市是哈尔滨． 故选：B． 3．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数大小比较、相反数与绝对值的基本运算逐一判断选项即可． 【详解】解：∵负数小于正数，为负数，4为正数， ∴，选项A正确，符合题意； ∵， ∴选项B错误，不符合题意； ∵， ∴选项C错误，不符合题意； ∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，， ∴，选项D错误，不符合题意． 4．下列四个数中，绝对值最大的是（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的定义计算出每个数的绝对值，再比较绝对值的大小，即可得到结果． 【详解】解：，，，， 又 ∵ ， ∴ 绝对值最大的数是． 5．如图，数轴上被爱心遮盖的数可能是（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查数轴上数的位置与大小关系，关键是先确定被遮盖数的取值范围：观察数轴可知，被爱心遮盖的数位于和之间，再逐一判断选项是否在该范围内即可． 【详解】解：观察数轴可得，被爱心遮盖的数满足． ，选项A不符合范围； ，选项B不符合范围； ，选项C符合范围； ，选项D不符合范围． 故选：C． 6．如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据绝对值的性质求出负数a的取值范围，再结合数轴上数的大小与位置的关系，判断a和的位置关系． 【详解】解：∵， 又∵，且a是负数， ∴， ∴表示数a的点在表示的点的右侧，故B正确． 7．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上数的特点解题即可． 【详解】解：由题意可知，与互为相反数，在数轴上关于原点对称；和互为相反数，在数轴上关于原点对称； 则和的位置如图， ∴． 8．下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查负数的大小比较，核心知识点为：两个负数比较大小，绝对值大的反而小，通过计算各选项中两个数的绝对值，再根据规则判断即可． 【详解】解：A.∵，，且， ∴，故选项A正确，不符合题意； B.∵，，， ∴，故选项B正确，不符合题意； C.∵，，，， ∴，故选项C正确，不符合题意； D.∵，，， ∴，与选项中矛盾，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题 9．新疆吐鲁番盆地的艾丁湖海拔高度约为米，吐鲁番市区的海拔高度约为米，已知这两个海拔数据中，有一个对应中国陆地最低点，则该最低点的海拔高度约为________米． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的应用，比较两个海拔高度，数值更小的对应中国陆地最低点 【详解】解：艾丁湖海拔高度为米，吐鲁番市区海拔高度为米， 因为， 所以艾丁湖的海拔更低，是中国陆地最低点． 故答案为：． 10．比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了负数比较大小，掌握负数比较大小时，绝对值大的反而小原则是解题的关键． 比较绝对值，根据负数比较大小时，绝对值大的反而小，即可求解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 11．比较大小： （1）2 _____ ； （2） 0 ______； （3）_____ 【答案】 【分析】根据有理数大小比较法则，正数大于一切负数，零大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，据此比较即可． 【详解】解：（1）因为2是正数，是负数，正数大于一切负数，所以； （2）因为 负数都小于零，所以； （3），，，所以． 12．写出符合条件的数：绝对值大于且小于的负整数 _______． 【答案】 【分析】要紧扣“负整数”的要求，不要遗漏符号条件，排除正整数和非整数的情况． 【详解】解：绝对值大于且小于的负整数是． 13．对于有理数、，如果，则__________（用“”，“”，“”填空）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较及不等式的传递性，熟练掌握不等式的传递性是解题的关键．根据有理数的大小传递性，直接由已知的不等式关系推导 与 的大小关系． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 14．比较大小：_____． 【答案】 【分析】先对两个数进行化简，再根据两个负数比较大小的法则，通过比较绝对值的大小得到最终结果． 【详解】解：，， 计算两个数的绝对值：，， ，即， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得， 即． 15．已知有理数，请比较两数的大小：_______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质和有理数的大小比较，关键是根据绝对值的性质确定、的取值范围．首先利用绝对值的性质，由判断出是非负数，由判断出是非正数，再依据有理数大小比较的规则，即可推出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 16．如果用符号表示两数中的较大者，用符号表示两数中的较小者，那么的值为________；的值为________． 【答案】 2 【分析】本题主要考查有理数比较大小，有理数的加减运算，根据新运算定义，表示a与b中的较大者，表示a与b中的较小者，通过比较有理数大小并计算得出结果． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：①；②． 三、解答题 17．比较下列各组数的大小． (1)，． (2)0，． (3)，． (4)，． 【详解】（1）解：因为，， 所以． （2）因为， 所以． （3）因为， 所以． （4）因为， 所以． 178．已知，，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查求绝对值，有理数大小比较．根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴或． 19．把有理数：，，0，，，按下列要求作答： (1)在数轴上表示出来； (2)用“＜”把上面的数连接起来； (3)把上面的数填入对应的集合内． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据数轴的定义解答即可； （2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大解答即可； （3）根据有理数的分类解答即可． 【详解】（1）解：，，数轴表示如下： ； （2）解：根据有理数大小比较的原则，得到： ； （3）解：根据题意，填充如下： 20．将，，按从小到大的顺序排列起来． 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键。负数比较时，绝对值大的负数反而小。 【详解】解　，， ， ∴， 按从小到大的顺序排列起来为． 21．若，，，，且a，b，c，d都不为0，并且，请将，，，按照从大到小的顺序排列． 【答案】 【分析】本题考查有理数大小比较，根据绝对值的性质，可得、、、是正数还是负数，根据正数大于负数，两个负数比较大小绝对值大的反而小，可得答案．利用绝对值的性质得出正负数是解题关键，注意两个负数比较大小绝对值大的反而小． 【详解】解：∵，，，，且a，b，c，d都不为0， ∴，，，， ∵， ∴， ∴． 22．设表示不超过的最大整数，例如：． (1)求的值； (2)令，求． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了新定义的理解应用问题以及有理数的混合计算、有理数的大小比较，明确不超过就是小于或等于，即“”，认真领会新定义，并能根据新定义化成一般的有理数混合计算的式子，再计算． （1）根据新定义得：，再代入计算即可； （2）根据新定义得：，再代入原式进行计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 23．阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： (1)比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 【答案】(1)， (2)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数比较大小，利用分类讨论的思想求解是解题的关键。 （1）直接根据去绝对值的方法及有理数的大小比较即可得出答案； （2）根据绝对值的三种情况，进行分析求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，；当时，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $