第05讲 有理数的加法（暑假预习讲义）新七年级数学新教材浙教版

第05讲 有理数的加法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 两个有理数的加法运算 题型2 两个有理数的加法运算中的符号问题 题型3 有理数加法运算律 题型4 有理数加法的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 加法法则 加法运算律 1. 理解有理数加法的意义，熟练掌握有理数加法四大法则，能准确进行同号两数、异号两数、互为相反数、数与0的加法运算。 2. 掌握有理数加法交换律、结合律，明确小学加法运算律对有理数同样适用，熟记运算律公式与文字表述。 3. 能灵活运用加法运算律对多个有理数加法算式进行简便运算，掌握常用简便计算方法。 4. 能够运用有理数加法知识解决数轴动点、生活实际变化类应用题，规范解题步骤。 学习重点： · 有理数加法法则的理解与运用。 · 熟练运用运算律进行有理数加法运算。 学习难点： · 异号两数相加的法则理解与计算（确定和的符号、计算绝对值差）。 · 区分同号、异号加法的不同运算逻辑，避免符号出错。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的加法法则 【引入】某仓库记录星期一和星期二大米的进货和出货数量，如下表。 其中进货为正，出货为负；库存增加为正，库存减少为负（单位：吨）。 1. 同号两数相加 同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。 两天合计运进大米数量：（+5）+（+3）= +(5+3)=+8（吨） 两天合计运出大米数量：（2）+（）=(2+4)=（吨） 2. 异号两数相加 异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 周一的库存变化量：（+5）+（2）= =+3（吨） 周二的库存变化量：（+3）+（4）= =（吨） 两天的库存变化量：（+3）+（1）= =（吨） 3. 互为相反数的两个数相加得0； 4. 一个数同0相加，仍得这个数 知识点02 加法运算律 1. 加法交换律 两个有理数相加时，交换加数的位置，和不变. a+b=b=b+a 2. 加法结合律 三个有理数相加时，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. （a+b）+c=a+(b+c) 题型1 两个有理数的加法运算 【例1】计算： (1)； (2)． 【例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例3】计算： (1)． (2)． (3)． 【方法点拨】 两个有理数相加时，第一个加数前面的“”、相加时括号外面的“”、结果前的“”都可以省略； 有多种符号时要先化简符号再进行计算。 【变式练习】 1．计算： （1）_____； （2）_____=_____． 2．计算： （1）__________．     （2）__________． （3）__________．     （4）__________ 3．计算： （1）________． （2）________． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型2 加法运算中的符号问题 【例1】用“”或“”填空： （1）如果，那么______0； （2）如果，那么______0； （3）如果，那么______0； （4）如果，那么______0． 【例2】如图，数轴上，两点分别对应数、，则___________0．（用＞，＜或＝填空） 【方法点拨】 绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同 【变式练习】 1．下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 2．如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 3．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 5．如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 6．已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 7．若且a，b异号，，则a_______0． 题型3 加法运算律 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【方法点拨】 几个有理数的相加时，可以把正数和正数相结合、负数和负数相结合。 【例2】计算： (1)． (2)． 【方法点拨】 几个有理数的相加时，优先考虑利用“凑整法”和把同分母的加数相结合。 【例3】计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【方法点拨】——几个有理数的相加时，运用结合律的优先级顺序。 1. 首先观察有没有互为相反数； 2. 优先考虑利用“凑整法”和把同分母的加数相结合； 3. 最后考虑把正数和正数相结合、负数和负数相结合。 【例4】数学白老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 ， 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： ． 方法归纳： 几个带分数相加时，可以考虑用拆项法，把整数部分和整数部分相结合，把分数部分和分数部分相结合。 【变式练习】 1．计算：． 2．计算：． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)． (2)． 5．计算∶ (1)； (2) (3)； (4) 6．阅读下列材料：计算：． 解：原式 ________________ ________________ ________________． 上面这种方法叫拆项法． 回答下列问题： (1)请补全以上计算过程． (2)类比上面的方法计算：． 题型4 有理数加法的实际运用 【例1】小丽和小彬按下列规则做游戏：在一副扑克牌（去掉大小王）中两人各抽取5张，正面是红色的牌面数字记为正数，正面是黑色的牌面数字记为负数，然后计算各自抽取的扑克牌数字和，结果大的为获胜者．已知他们抽取的扑克牌如下表（红桃、方块为红色；黑桃、梅花为黑色）： 小丽抽取的扑克牌 红桃5 黑桃9 方块12 梅花11 红桃8 小彬抽取的扑克牌 黑桃6 红桃13 梅花12 方块10 黑桃2 请通过计算判断获胜的是谁？ 【例2】2025年9月23日是第八个中国农民丰收节，这天，重庆在忠县马灌镇举办了庆祝活动．忠旺同学在农民农耕赛事运动会现场的一条包括赛事运动起点O的东西向直道上服务，他规定向东为正，向西为负，他从赛事运动起点O出发，连续6次服务走过的各段路径依次记为（单位：米）：，，，，，． (1)说明忠旺同学在第6次服务后所处的位置； (2)忠旺同学6次服务共走了多长的路程？ 【例3】南湖公园，全称南湖城市中央生态公园，是唐山市国家4A级景区，是集自然生态、历史文化和现代文化为一体的大型城市中央生态公园．某星期日，南湖公园共接待游客约1.7万人，接下来的一星期中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数变化（万人） (1)星期三的人数为________万人； (2)这一星期内，游客人数最多的是星期________，是________万人； (3)请求出这一星期内南湖公园一共接待了多少名游客． 【变式练习】 1．某村共有6块小麦试验田，每块试验田今年的收成与去年相比情况如下（增产为正，减产为负，单位：）；，，，，，．今年的小麦总产量与去年相比是增加了还是减少了？增加或减少了多少？ 2．靖边苦荞因籽粒大小均匀、皮薄、出粉率高、营养丰富的特点而闻名．李大伯在网上销售靖边苦荞，以每天售出100千克苦荞为标准质量，超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，下表是某周的销售情况（单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准质量的差值 (1)在这一周中，售出苦荞最多的一天是星期_____，星期三售出苦荞_____千克； (2)若每千克苦荞的售价为5元，求李大伯这一周售出苦荞的总销售额． 3．某地加强高铁沿线环境整治，进行巡回检查维护，境内高铁线路呈东西走向，全长近，某天，巡护车辆从护路联防站出发，按向东为正方向行驶，当天的行驶记录如下（单位：）：． (1)此时，这辆巡护车辆司机如何描述他现在的位置？通过计算说明； (2)已知每千米耗油升，如果管务处命令其巡护车马上返回出发点，返回出发点后这次巡护共耗油多少升？ 4．李爷爷的银行卡上原有1000元钱，近一段时间的存取情况（存入为正，取出为负）如下： 元，元，元，元，元． 李爷爷的银行卡上现在有多少元钱？（不计利息） 5．某餐馆一周每天的盈亏情况（盈余为正，亏损为负）如下：元，元，672元，元，85元，596元，455元．这一周总的盈亏数额是多少元? 一、单选题 1．一天早晨某草原的气温是，中午上升了，则这天中午的气温是（    ） A． B． C． D． 2．已知三个数的和为负数，那么这三个数一定（   ） A．至少有一个是负数 B．都是正数 C．是两个负数与一个正数 D．是两个正数与一个负数 3．下列判断：①整数和分数统称有理数；②一个正数与一个负数相加一定得0；③两个负数的和的绝对值一定等于它们的绝对值的和；④两个正数的和一定是正数．其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 5．手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（　　） 转账来自天青色 微信红包发给高原红 A．收入16元 B．收入4元 C．支出4元 D．支出12元 6．我国“天问一号”着陆火星时温度约为，美国“毅力号”着陆点温度比其高，则“毅力号”温度是（   ） A． B． C． D． 7．下表是小明的妈妈元旦当天的微信零钱收支明细（单位/元）：观察表格信息，可知小明的妈妈元旦当晚微信零钱余额和前一天相比（    ） 微信转账 如意水果店 微信红包 便民菜场 A．多了23元 B．少了23元 C．多了116元 D．少了95元 8．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 9．某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货2吨，出货3吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是（   ） A． B． C． D． 10．以花花家为起点，向东走为正，向西走为负．如果花花从家先走了米，又走了米，这时花花在家的（   ） A．正西方向20米处 B．正西方向50米处 C．正东方向20米处 D．正东方向50米处 二、填空题 11．的相反数与的绝对值的和是_____． 12．数轴上点A 表示，点B 表示，则A、B两点之间的所有整数之和是____________． 13．设表示不大于的最大整数，如，，，则的值为______． 14．为计数方便，某果园以每筐水果为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．“”表示的实际千克数是_____． 15．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1表示算式，则图2表示的算式为________． 16．对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图①是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图②是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为__________，方格中所有数字的和为__________． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1)； (2)． 19．计算： (1)； (2)； (3)． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．【项目主题】露营基地野餐 【背景】当下露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，李明和朋友约定周末去郊外露营基地野餐，出发前，李明需要驾车去购买一些露营的食物、水果等． 【素材】从家出发，先向西行驶到炸鸡店，继续向西行驶到达面包店，然后向东行驶到达水果店，继续向东行驶到烧烤店，最后向东行驶到露营基地． 【任务】以家为原点，向东为正，向西为负，李明的行动记录如下：； 任务一：水果店离家有多远？ 任务二：李明一共行驶了多少千米？ 22．今年第8号台风“竹叶草”给我市带来极端风雨天气，有一个水库7月30日8：00的水位为（以为警戒线）在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：）． 时刻 1 2 3 4 5 6 升降 0.8 0.6 0.5 (1)根据记录的数据，求第2个时刻该水库的实际水位； (2)在这6个时刻中，该水库最高实际水位是多少？ (3)经过6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？ 23．阅读材料． 对于可以按如下方式计算： 原式 ________ ________ ________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)仿照上面的方法计算：． 24．课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 有理数的加法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 两个有理数的加法运算 题型2 两个有理数的加法运算中的符号问题 题型3 有理数加法运算律 题型4 有理数加法的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 加法法则 加法运算律 1. 理解有理数加法的意义，熟练掌握有理数加法四大法则，能准确进行同号两数、异号两数、互为相反数、数与0的加法运算。 2. 掌握有理数加法交换律、结合律，明确小学加法运算律对有理数同样适用，熟记运算律公式与文字表述。 3. 能灵活运用加法运算律对多个有理数加法算式进行简便运算，掌握常用简便计算方法。 4. 能够运用有理数加法知识解决数轴动点、生活实际变化类应用题，规范解题步骤。 学习重点： · 有理数加法法则的理解与运用。 · 熟练运用运算律进行有理数加法运算。 学习难点： · 异号两数相加的法则理解与计算（确定和的符号、计算绝对值差）。 · 区分同号、异号加法的不同运算逻辑，避免符号出错。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的加法法则 【引入】某仓库记录星期一和星期二大米的进货和出货数量，如下表。 其中进货为正，出货为负；库存增加为正，库存减少为负（单位：吨）。 1. 同号两数相加 同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。 两天合计运进大米数量：（+5）+（+3）= +(5+3)=+8（吨） 两天合计运出大米数量：（2）+（）=(2+4)=（吨） 2. 异号两数相加 异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 周一的库存变化量：（+5）+（2）= =+3（吨） 周二的库存变化量：（+3）+（4）= =（吨） 两天的库存变化量：（+3）+（1）= =（吨） 3. 互为相反数的两个数相加得0； 4. 一个数同0相加，仍得这个数 知识点02 加法运算律 1. 加法交换律 两个有理数相加时，交换加数的位置，和不变. a+b=b=b+a 2. 加法结合律 三个有理数相加时，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. （a+b）+c=a+(b+c) 题型1 两个有理数的加法运算 【例1】计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【例3】计算： (1)． (2)． (3)． 【详解】(1)． = = =3 (2)． =． = (3)． = = =． 【方法点拨】 两个有理数相加时，第一个加数前面的“”、相加时括号外面的“”、结果前的“”都可以省略； 有多种符号时要先化简符号再进行计算。 【变式练习】 1．计算： （1）_____； （2）_____=_____． 【详解】解：（1）， （2）， 2．计算： （1）__________．     （2）__________． （3）__________．     （4）__________ 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 3．计算： （1）________． （2）________． 【详解】解：（1） （2） 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ； （3）解∶原式 ； （4）解∶原式 ． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 6．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 题型2 加法运算中的符号问题 【例1】用“”或“”填空： （1）如果，那么______0； （2）如果，那么______0； （3）如果，那么______0； （4）如果，那么______0． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【例2】如图，数轴上，两点分别对应数、，则___________0．（用＞，＜或＝填空） 【详解】解：由题意可得：，， ∴. 故答案为：. 【方法点拨】 绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同 【变式练习】 1．下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 【详解】A. 当一个加数为负时，两个数的和小于最大的加数，原说法错误； B. 两个数的和等于0，则这两个数互为相反数，原说法错误； C. 两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数，原说法正确； D. 两个数的和为正数，这两个数不一定都是正数，例如 ，和为正数，但两个加数不都是正数，故原说法错误， 故选：C. 2．如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【详解】解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． 3．若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 4．两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 5．如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 【详解】解∶只有两个负数相加和才小于这两个加数． 故选：B． 6．已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 7．若且a，b异号，，则a_______0． 【详解】解：∵且a，b异号，， ∴； 故答案为：． 题型3 加法运算律 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【详解】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； 【方法点拨】 几个有理数的相加时，可以把正数和正数相结合、负数和负数相结合。 【例2】计算： (1)． (2)． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【方法点拨】 几个有理数的相加时，优先考虑利用“凑整法”和把同分母的加数相结合。 【例3】计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：； ． （4）解： ． 【方法点拨】——几个有理数的相加时，运用结合律的优先级顺序。 1. 首先观察有没有互为相反数； 2. 优先考虑利用“凑整法”和把同分母的加数相结合； 3. 最后考虑把正数和正数相结合、负数和负数相结合。 【例4】数学白老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 ， 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： ． 【详解】解：原式 ． 方法归纳： 几个带分数相加时，可以考虑用拆项法，把整数部分和整数部分相结合，把分数部分和分数部分相结合。 【变式练习】 1．计算：． 【详解】解： ． 2．计算：． 【详解】解：原式 ． 3．计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 4．计算： (1)． (2)． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 5．计算∶ (1)； (2) (3)； (4) 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 6．阅读下列材料：计算：． 解：原式 ________________ ________________ ________________． 上面这种方法叫拆项法． 回答下列问题： (1)请补全以上计算过程． (2)类比上面的方法计算：． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ． 题型4 有理数加法的实际运用 【例1】小丽和小彬按下列规则做游戏：在一副扑克牌（去掉大小王）中两人各抽取5张，正面是红色的牌面数字记为正数，正面是黑色的牌面数字记为负数，然后计算各自抽取的扑克牌数字和，结果大的为获胜者．已知他们抽取的扑克牌如下表（红桃、方块为红色；黑桃、梅花为黑色）： 小丽抽取的扑克牌 红桃5 黑桃9 方块12 梅花11 红桃8 小彬抽取的扑克牌 黑桃6 红桃13 梅花12 方块10 黑桃2 请通过计算判断获胜的是谁？ 【详解】解：由题意可得： 小丽抽到的数字之和为， 小彬抽到的数字之和为， ∵， ∴小丽获胜． 【例2】2025年9月23日是第八个中国农民丰收节，这天，重庆在忠县马灌镇举办了庆祝活动．忠旺同学在农民农耕赛事运动会现场的一条包括赛事运动起点O的东西向直道上服务，他规定向东为正，向西为负，他从赛事运动起点O出发，连续6次服务走过的各段路径依次记为（单位：米）：，，，，，． (1)说明忠旺同学在第6次服务后所处的位置； (2)忠旺同学6次服务共走了多长的路程？ 【详解】（1）解：（米），由于向东为正，故在第6次服务后位于起点O的东边15米处， 答：忠旺同学在第6次服务后所处的位置在起点O的东边15米处； （2）解：（米）， 答：忠旺同学6次服务共走了43米的路程． 【例3】南湖公园，全称南湖城市中央生态公园，是唐山市国家4A级景区，是集自然生态、历史文化和现代文化为一体的大型城市中央生态公园．某星期日，南湖公园共接待游客约1.7万人，接下来的一星期中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数变化（万人） (1)星期三的人数为________万人； (2)这一星期内，游客人数最多的是星期________，是________万人； (3)请求出这一星期内南湖公园一共接待了多少名游客． 【详解】（1）解：（万人）； 故答案为：1.2； （2）解：星期一人数为（万人）； 星期二人数为（万人）； 星期三人数为（万人）； 星期四人数为（万人）； 星期五人数为（万人）； 星期六人数为（万人）； 星期日人数为（万人）； 故人数最多的是星期六，有2.7万人； 故答案为：六，2.7 （3）解：（万人）； 答：这一星期内南湖公园一共接待了11.7万名游客． 【变式练习】 1．某村共有6块小麦试验田，每块试验田今年的收成与去年相比情况如下（增产为正，减产为负，单位：）；，，，，，．今年的小麦总产量与去年相比是增加了还是减少了？增加或减少了多少？ 【详解】解： ， 因为，所以今年的小麦总产量比去年增加了；增加了． 2．靖边苦荞因籽粒大小均匀、皮薄、出粉率高、营养丰富的特点而闻名．李大伯在网上销售靖边苦荞，以每天售出100千克苦荞为标准质量，超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，下表是某周的销售情况（单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准质量的差值 (1)在这一周中，售出苦荞最多的一天是星期_____，星期三售出苦荞_____千克； (2)若每千克苦荞的售价为5元，求李大伯这一周售出苦荞的总销售额． 【详解】（1）解：每天实际售出质量：星期一（千克），星期二（千克），星期三（千克），星期四（千克），星期五（千克），星期六（千克），星期日（千克）， 比较可知，售出最多的一天是星期六，星期三售出千克 （2）一周总差值：（千克） 总售出质量：（千克） 总销售额：（元） 答：李大伯这一周售出苦荞的总销售额为元 3．某地加强高铁沿线环境整治，进行巡回检查维护，境内高铁线路呈东西走向，全长近，某天，巡护车辆从护路联防站出发，按向东为正方向行驶，当天的行驶记录如下（单位：）：． (1)此时，这辆巡护车辆司机如何描述他现在的位置？通过计算说明； (2)已知每千米耗油升，如果管务处命令其巡护车马上返回出发点，返回出发点后这次巡护共耗油多少升？ 【详解】（1）解：（千米）， 答：这辆巡护车辆司机在出发点西侧80千米处； （2）解：（千米） （升） 答：这次巡护共耗油51.2升． 4．李爷爷的银行卡上原有1000元钱，近一段时间的存取情况（存入为正，取出为负）如下： 元，元，元，元，元． 李爷爷的银行卡上现在有多少元钱？（不计利息） 【详解】解∶ ， 答∶ 李爷爷的银行卡上现在有730元钱． 5．某餐馆一周每天的盈亏情况（盈余为正，亏损为负）如下：元，元，672元，元，85元，596元，455元．这一周总的盈亏数额是多少元? 【详解】解：（元）， ∴该餐馆一周总的盈亏情况是盈利1545元． 一、单选题 1．一天早晨某草原的气温是，中午上升了，则这天中午的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加法运算的应用，根据温度变化直接计算即可． 【详解】解：∵早晨气温为，中午上升了， ∴中午气温． 故选：B． 2．已知三个数的和为负数，那么这三个数一定（   ） A．至少有一个是负数 B．都是正数 C．是两个负数与一个正数 D．是两个正数与一个负数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法运算．三个数的和为负数，则不可能都是正数或非负数，因此至少有一个是负数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：三个数的和为负数，则不可能都是正数或非负数，因此至少有一个是负数， 故选：A． 3．下列判断：①整数和分数统称有理数；②一个正数与一个负数相加一定得0；③两个负数的和的绝对值一定等于它们的绝对值的和；④两个正数的和一定是正数．其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的加法法则和有理数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握有理数加法法则． 根据有理数的加法法则和有理数的分类进行逐一判断即可． 【详解】解：①整数和分数统称有理数，正确； ②一个正数与一个负数相加不一定得0，如，错误； ③两个负数的和的绝对值一定等于它们的绝对值的和，如，，正确； ④两个正数的和一定是正数，如，正确． 综上所述，①③④正确，共3个， 故选B． 4．如图是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【答案】A 【分析】本题考查加法运算律，根据加法交换律和结合律判断即可求解． 【详解】解：根据计算过程，第①步使用了加法交换律，第②步使用了加法结合律， 故选：A． 5．手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（　　） 转账来自天青色 微信红包发给高原红 A．收入16元 B．收入4元 C．支出4元 D．支出12元 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数正负数的应用，加法的应用，先列式，再计算即可． 【详解】解：， ∴小颖当天微信收支的最终结果是：收入4元． 故选：B 6．我国“天问一号”着陆火星时温度约为，美国“毅力号”着陆点温度比其高，则“毅力号”温度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握其法则是解题关键．根据题意列式得，，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故选：A． 7．下表是小明的妈妈元旦当天的微信零钱收支明细（单位/元）：观察表格信息，可知小明的妈妈元旦当晚微信零钱余额和前一天相比（    ） 微信转账 如意水果店 微信红包 便民菜场 A．多了23元 B．少了23元 C．多了116元 D．少了95元 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，把表格中微信零钱的收支明细相加，若结果为正，则相比于前一天多了，若结果为负，则相比于前一天少了，多和少的数额为计算的结果的绝对值． 【详解】解：， ∴小明的妈妈元旦当晚微信零钱余额和前一天相比多了23元， 故选：A． 8．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法法则， 根据有理数的加法法则逐项计算判断即可. 【详解】解：因为，所以A选项不符合题意； 因为，所以B选项不符合题意； 因为，所以C选项符合题意； 因为，所以D选项不符合题意； 故选：C. 9．某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货2吨，出货3吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，进货为正，出货为负，那么进货2吨为吨，出货3吨为吨，据此把二者相加即可得到答案． 【详解】解；由题意得，当天库存变化的是， 故选：A． 10．以花花家为起点，向东走为正，向西走为负．如果花花从家先走了米，又走了米，这时花花在家的（   ） A．正西方向20米处 B．正西方向50米处 C．正东方向20米处 D．正东方向50米处 【答案】A 【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可，本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得：（米）， 这时花花在家的正西方向20米处， 故选：A． 二、填空题 11．的相反数与的绝对值的和是_____． 【答案】2 【分析】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：2． 12．数轴上点A 表示，点B 表示，则A、B两点之间的所有整数之和是____________． 【答案】 【分析】此题主要考查了数轴和有理数的加法，根据题意得出符合题意的所有整数是解题关键．根据题意画出数轴，进而得出符合题意的整数，求出和即可． 【详解】解：如图所示，数轴上点A 表示，点B 表示， 则A、B两点之间的所有整数为：，，，，，，， 故符合题意的所有整数之和是：． 故答案为：． 13．设表示不大于的最大整数，如，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，有理数的加法运算，根据新定义分别求出的值，再相加即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， 故答案为：． 14．为计数方便，某果园以每筐水果为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．“”表示的实际千克数是_____． 【答案】22 【分析】此题考查了正负数的应用，首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题． 【详解】解：由题意，得“”表示的实际千克数是千克． 故答案为：22． 15．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1表示算式，则图2表示的算式为________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，根据正放表示正数，斜放表示负数列式求解即可． 【详解】解：由图得，． 故答案为：． 16．对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图①是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图②是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为__________，方格中所有数字的和为__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据九宫格特点“同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等”列数等式解题即可． 【详解】解：如图所示， 则 ∴ 解得：， ∴正中间的方格中的数字为 如图所示， ∵， ∴ ∴中间一行的和为 ∴所有数字的和为 故答案为：，． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则和交换律\结合律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)35 【分析】（1）先化简绝对值与去括号，再利用加法运算律将互为相反数的项合并，最后计算剩余部分即可得到结果； （2）先化简绝对值与去括号，再利用加法交换律和结合律，将同分母分数与小数分别分组计算，最后求和即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则． （1）先算同分母分数，再相加即可求解； （2）先算同分母分数，再相加即可求解； （3）先算同分母分数，再相加即可求解． 【详解】（1） 解： ； （2） ； （3） ． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则和加法的运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加法法则和加法结合律解答即可； （2）利用有理数的加法法则和加法交换律和加法结合律解答即可； （3）利用有理数的加法法则和加法交换律和加法结合律解答即可； （4）利用有理数的加法法则和加法交换律和加法结合律解答即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 21．【项目主题】露营基地野餐 【背景】当下露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，李明和朋友约定周末去郊外露营基地野餐，出发前，李明需要驾车去购买一些露营的食物、水果等． 【素材】从家出发，先向西行驶到炸鸡店，继续向西行驶到达面包店，然后向东行驶到达水果店，继续向东行驶到烧烤店，最后向东行驶到露营基地． 【任务】以家为原点，向东为正，向西为负，李明的行动记录如下：； 任务一：水果店离家有多远？ 任务二：李明一共行驶了多少千米？ 【答案】任务一：水果店离家；任务二：李明一共行驶了 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： 任务一：求出前三个数据的和，根据和的情况作答即可； 任务二：求出所有数据的绝对值的和，即可． 【详解】任务一：； 答：水果店离家； 任务二： 答：李明一共骑行了． 22．今年第8号台风“竹叶草”给我市带来极端风雨天气，有一个水库7月30日8：00的水位为（以为警戒线）在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：）． 时刻 1 2 3 4 5 6 升降 0.8 0.6 0.5 (1)根据记录的数据，求第2个时刻该水库的实际水位； (2)在这6个时刻中，该水库最高实际水位是多少？ (3)经过6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？ 【答案】(1)第2个时刻该水库的实际水位是10.6 (2)在这6个时刻中，该水库最高实际水位是11.7 (3)超过 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）用原始水位加上表格中1时刻和2时刻的数据进行计算即可； （2）求出每个时刻的水位，进行判断即可； （3）由（2）中结果，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 答：第2个时刻该水库的实际水位是10.6； （2）的水位为， 第1时刻的水位为， 第2时刻的水位为， 第3时刻的水位为， 第4时刻的水位为， 第5时刻的水位为， 第6时刻的水位为， 答：在这6个时刻中，该水库最高实际水位是11.7； （3）由（2）可知，6次水位升降后，实际水位为， ， 故水库的水位超过警戒线． 23．阅读材料． 对于可以按如下方式计算： 原式 ________ ________ ________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)仿照上面的方法计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）原式 ． （2） ． 24．课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 【答案】（）；（）见解析；（）见解析，． 【分析】（）根据图中数据计算即可作答； （）先将已知的个数求和，再除以即可求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和，根据幻方的特点可知，已知的从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，据此填表即可； （）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （）， 即幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于， 根据幻方的特点可知：从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起， 即三阶幻方如下： （答案不唯一） （）解：将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $