数学广角-重叠问题（4大考点，3大易错点，4大题型）-2025-2026学年人教版三年级下册高频易错期末专项复习讲义（人教版）

《数学广角-重叠问题》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 理解重叠含义、认识集合图 填空、判断、画图基础必考，概念核心考点 根据集合图提取、分析数据 看图填数、对比数量，高频基础题型 两部分重叠，计算总数量（基础公式应用） 列式计算题，本单元重点题型 已知总数和重叠部分，求单独部分数量 逆向计算，易错题集中 核心考点总结 考点 1：重叠问题与集合图 重叠含义：一部分事物同时属于两个类别，出现重复计数，就是重叠问题。 集合图：两个圆圈相交，相交部分代表重复、重叠的数量；左右单独区域代表只属于一类的数量。 考点 2：基础计算公式 总数量 = 第一类数量 + 第二类数量 − 重叠（重复）数量 变形公式： 重叠数量 = 第一类数量 + 第二类数量 − 总数量 单独一类数量 = 总数量 − 另一类数量 + 重叠数量 考点 3：读图规则 · 圆圈左右不相交区域：只参加一项的人数 / 物体数 · 两圈相交区域：两项都参加的重叠人数 · 整个图形所有区域相加：全部总数量 考点 4：常见生活场景 排队问题、兴趣小组、比赛参赛、选课、统计爱好等，出现 “两项都参加 / 都包含” 即为重叠问题。 本单元高频易错点汇总 易错点1：计算总数时，忘记减去重复重叠部分，重复计数 纠正：两类相加后，一定要减掉重叠部分。 易错点2：看不懂集合图，混淆 “只参加一项” 和 “两项都参加” 纠正：相交部分是重复项，单独区域是只参与一项。 易错点3：逆向求重叠数、单项数量时，公式运用混乱 纠正：牢记基础公式，根据已知条件灵活变形。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题1 一班参加语文小组 12 人，数学小组 10 人，两项都参加 3 人，一共多少人？ 12+10-3=19（人） 答：一共有 19 人。 例题2 一共 20 人，参加跑步 11 人，跳绳 12 人，两项都参加有几人？ 11+12-20=3（人） 答：两项都参加有 3 人。 六大题型 题型一：认识重叠现象、绘制 / 解读集合图 解题妙招：两圈相交处为重复部分，两侧为只属于一类；读图先分清 “只一项” 和 “两项都有”。 1．艺术节比赛，三（4）班报名参加唱歌和跳舞比赛的情况如图，求参加这两个比赛的一共有多少人。在正确的算式后画“√”。 【答案】见详解 【分析】根据参加唱歌的人数＋参加跳舞的人数－两样都参加的人数＝参加这两个比赛的总人数，列算式解答即可。 【详解】根据分析可列式为：12＋9－5，所以画“√”如下： 2．学校开展劳动教育，要求每个同学至少要学会拖地和洗碗中的一项技能。三（1）班的完成情况如下图所示。 (1)拖地和洗碗两种劳动都会的学生有多少人？ (2)三（1）班一共有多少名学生？ 【答案】(1)8人 (2)41人 【分析】从图中可以看出，左边表示只会拖地的学生有17人，右边表示只会洗碗的学生有16人，中间表示拖地和洗碗两种劳动都会的同学有8人；把图中三部分的人数相加就是三（1）班的总人数。 【详解】（1）答：拖地和洗碗两种劳动都会的学生有8人。 （2）17＋8＋16 ＝25＋16 ＝41（人） 答：三（1）班一共有41人。 3．301班报名参加中华武术的学生的学号是2、4、5、8、11、15，报名参加田径少年的学生的学号是1、4、6、9、11、14. (1)请将这些学号填到下图中。 (2)一共有( )人报名参加中华武术和田径少年。 【答案】(1)见详解 (2)10 【分析】由题可知，参加中华武术的学生的学号是2、4、5、8、11、15，参加田径少年的学生的学号是1、4、6、9、11、14，找出两项都参加了的学生是4、11，只参加中华武术的学生是2、5、8、15，只参加田径少年的学生是1、6、9、14.然后我们可以将只参加中华武术的学生和只参加田径少年的学生还有两项都参加的学生人数相加，则可得出一共有多少人报名参加中华武术和田径少年。 【详解】（1） （2）由分析可知，只参加中华武术有4人，只参加田径少年有4人，两项都参加的有2人。 4＋4＋2 ＝8＋2 ＝10（人） 所以一共有10人报名参加中华武术和田径少年。 4．希望小学三（2）班全班有26人参加围棋兴趣小组，有30人参加象棋兴趣小组，其中两项都参加的有6人。 （1）请填写下图。 （2）三（2）班一共有多少人？ 【答案】（1）20人；6人；24人 （2）50人 【分析】（1）用参加围棋兴趣小组的人数减去两项都参加的人数，即为只参加围棋兴趣小组的人数；用参加象棋兴趣小组的人数减去两项都参加的人数，即为只参加象棋兴趣小组的人数；然后再填写到图中即可； （2）用参加围棋兴趣小组的26人加参加象棋兴趣小组的30人，求出和，然后再减去两项都参加的6人（重复计算的人数），就是三（2）班的总人数。 【详解】（1）26－6＝20（人） 30－6＝24（人） 如图所示： （2）26＋30－6 ＝56－6 ＝50（人） 答：三（2）班一共有50人。 题型二：已知两类数量和重叠数，求总数量 解题妙招：两类数量相加，再减去重复重叠部分。 5．红星小学三一班有25位同学报了合唱兴趣班，有32位同学报了美术兴趣班，其中有10位同学同时报了这两个兴趣班，三一班至少有（    ）位同学报了兴趣班。 A．47 B．57 C．67 D．37 【答案】A 【分析】先计算报合唱兴趣班和美术兴趣班的人数总和，再减去同时报两个兴趣班的重复人数，得到实际报兴趣班的总人数。 【详解】25＋32－10＝47（位） 因此，三一班至少有47位同学报了兴趣班。 故答案为：A 6．学校“双语节”中，会背英语儿歌的同学有18人，会背汉语儿歌的同学有32人，两种都会背的有7人，全班至少有( )人参与了活动。 【答案】43 【分析】由题意得，直接用18加上32算出两种儿歌都会背的一共有多少人（两种儿歌都会背的人被重复计算了），再用得数减去7即可算出全班至少有多少人参与了活动。 【详解】18＋32－7 ＝50－7 ＝43（人） 7．学校举行“探寻文化之根，共筑精神家园”文化主题活动。三（1）班有14人参加了学校的传统文化游园会，18人参加了传统艺术体验活动，有7人同时参加了这两个项目的活动。三（1）班有多少名同学参加了学校的文化主题活动？ 【答案】25名 【分析】根据题意，参加传统文化游园会的14人和参加传统艺术体验活动的18人中，都包含了同时参加这两个项目的7人，如果直接将14人和18人相加，这7人就被计算了两次，因此需要减去一次重复计算的7人，才能求出实际参加活动的总人数，据此解答。 【详解】根据分析可得： 14＋18－7 ＝32－7 ＝25（名） 答：三（1）班有25名同学参加了学校的文化主题活动。 8．三（1）班同学参加社团，美术社10人，象棋社18人，两个社都参加的有6人，画图表示并计算总人数。 【答案】图见详解；22人 【分析】已知美术社10人，象棋社18人，其中6人两个社都参加。用画韦恩图的方法：一个圆表示美术社，一个圆表示象棋社，重叠部分是都参加的6人。 美术社10人（包括“只参加美术社”和“既参加美术社又参加象棋社”两类人）。 象棋社18人（包括“只参加象棋社”和“既参加美术社又参加象棋社”两类人）。 两个社都参加的有6人，这6人被重复计算在两个社的人数中。要求总人数，可以分部分计算：只参加美术社人数＋只参加象棋社人数＋都参加6人＝总人数。 【详解】 根据图示可知： 只参加美术社：10－6＝4（人） 只参加象棋社：18－6＝12（人） 都参加：6人 总人数：4＋6＋12＝22（人） 答：参加社团的总人数是22人。 题型三：已知总数、两类数量，求重叠部分 解题妙招：两类相加减去总数量，得数就是重复重叠的数量。 9．三（1）班参加爱心午餐和课后托管的一共有32人，其中参加爱心午餐的有25人，参加课后托管的有29人。三（1）班既参加爱心午餐又参加课后托管的有______人。 【答案】 22 【分析】把参加爱心午餐和课后托管的人数相加时，两项都参加的人会被重复计算1次，因此用两者的人数和减去总人数，就能得到两项都参加的人数。 【详解】 （人） 则三（1）班既参加爱心午餐又参加课后托管的有22人。 10．学校阅读周期间，三（1）班有38人阅读了童话类的图书，有19人阅读了科普类图书，每人至少阅读了其中一类书，全班共43人。两类都阅读的有( )人。 【答案】14 【分析】用阅读了童话类的图书的人数加阅读了科普类图书的人数，再减去全班的总人数，即可求出两类都阅读的人数。 【详解】38＋19－43 ＝57－43 ＝14（人） 11．四（1）班同学在庆元旦文艺汇演中，跳舞的有14人，唱歌的有25人，参加这两项演出的一共有30人，两项都参加的有( )。 【答案】9 【分析】用跳舞的人数加上唱歌的人数，减去参加这两项演出的总人数，就可以求出两项都参加的人数。 【详解】14＋25－30 ＝39－30 ＝9（人） 两项都参加的有9人。 题型四：重叠拼接问题（木板 / 纸条拼接） 解题妙招（三步秒杀法） 1、算总长：先求 “没拼接前” 的总长度 公式：总长度 = 单个物体长度 × 物体数量 （例：3 块木板，每块 3 分米，总长 = 3×3=9 分米） 2、找重叠：数清楚有几个接头，算出总重叠长度 关键规律：接头数 = 物体数量 − 1 公式：重叠总长度 = 接头数 × 每个接头的重叠长度 （例：3 块木板，接头数 = 3-1=2，每个重叠 5 厘米，总重叠 = 2×5=10 厘米） 3、求结果：用总长减去重叠部分，就是拼接后的实际长度 公式：拼接后长度 = 所有物体总长 − 重叠总长度 12．两名工人分别将三根一样长的铁棍焊接在一起，焊接方式如下图所示。方式一的总长度是3.6米，方式二的总长度是（    ）米。 A．4.2 B．4.8 C．5.4 D．6 【答案】B 【分析】从图中可知：方式一的焊接方式有两段重叠，重叠的长度是0.6米，方式二的焊接没有重叠，也就是求三根铁棍的总长度；用方式一的总长度3.6米加上重叠的两段长度，即加两个0.6米，即得到三根铁棍的总长度，即方式二的总长度。 【详解】3.6＋0.6＋0.6 ＝4.2＋0.6 ＝4.8（米） 所以，方式二的总长度是4.8米。 故答案为：B 13．如图，把三块纸板粘在一起，重叠处（灰色）分别长5厘米和3厘米，粘完之后的纸板一共长( )厘米。 【答案】45 【分析】从图片可知这三张纸板的长度，将这三张板的长度相加，由于重叠部分加了两次，所以再用求得的总长度减去重叠部分的总长度，即可求得粘完后的纸板长度。 【详解】15＋30＋8－（5＋3） ＝15＋30＋8－8 ＝45（厘米） 所以粘完后纸板一共长45厘米。 14．把两块一样长的木板如下图所示钉在一起，使其成为一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分的长度是16厘米，则原来每块木板长多少厘米？ 【答案】68厘米 【分析】两块木板钉在一起，总长度会因为重叠部分而减少（重叠部分被重复计算了一次）。因此，我们需要先把重叠部分“补回来”，用（120＋16）算出两块木板原本的总长度，再除以2得到单块长度。 【详解】（120＋16）÷2 ＝136÷2 ＝68（厘米） 答：原来每块木板长68厘米。 15．妈妈有红、黄两根同样长的彩带，都长13.5分米，红彩带用去了7.8分米，黄彩带用去6.6分米。两根彩带剩下的部分相差多少分米？ 【答案】1.2分米 【分析】根据题意，两根彩带原长相等，要求剩下的部分相差多少，可以先分别利用减法求出红彩带和黄彩带剩下的长度，再比较两个剩余长度的大小，最后用较长的剩余长度减去较短的剩余长度，求出相差的长度。 【详解】红彩带剩下的长度：（分米） 黄彩带剩下的长度：（分米） 6.9＞5.7，黄彩带剩下的部分长。 两根彩带剩下的部分相差：（分米） 答：两根彩带剩下的部分相差1.2分米。 16．如果把4段一样长的纸条粘在一起，形成1段更长的纸条。这段纸条长30厘米，中间重叠部分为2厘米。原来4段纸条各长多少厘米？ 【答案】9厘米 【分析】根据题意，4段一样长的纸条粘在一起，会有3个重叠部分，每个重叠部分为2厘米，可求出重叠部分的长度； 已知粘成的长纸条长30厘米，可以求出4段纸条不重叠时的总长度，因为4段纸条一样长，即可计算出原来每段纸条的长度。 【详解】重叠部分的长度：（厘米）     原来不重叠的总长度：（厘米） 答：原来4段纸各长9厘米。 17．有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起成了一块长木板，中间的重叠部分长为10厘米，则这块长木板的长是多少厘米？ 【答案】250厘米 【分析】由题目可知，用两块木板的长度相加－重叠部分的长度＝钉成的木板长，即可解题。 【详解】由分析可知： 130＋130－10 ＝260－10 ＝250（厘米） 答：这块长木板的长是250厘米。 18．两块木板各长75厘米，把两块木板钉成一块长130厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】把两块木板的长度相加，得到中间不重合的总长度，再减去中间重合后的总长度，即得到中间重合部分的长度。据此解答。 【详解】75×2－130 ＝150－130 ＝20（厘米） 答：中间重合部分是20厘米。 19．有几块长度和形状相同的木板钉在一起后如下图所示，这样的三块木板钉在一起长多少分米？ 【答案】8分米 【分析】通过观察，三块木板两个地方重叠，一共重叠了2个5厘米，即总共重叠了10厘米，所以用原来三块木板的长度和减去重叠部分的长度，注意把厘米单位换算成分米，据此解答。 【详解】5×2＝10（厘米） 10厘米＝1分米 3×3＝9（分米） 9－1＝8（分米） 答：这样的三块木板钉在一起长8分米。 20．用4张长10厘米的纸条一直横着粘成一个长纸条，如果每个接头处都重叠2厘米，那么新粘成的纸条长多少厘米？ 【答案】34厘米 【分析】4张纸条粘接在一起共有3处重叠，每个接头处都重叠了2厘米，所以共重叠了6厘米，用4张纸条的全长减去重叠部分的长度，就是新粘成的纸条的长度。 【详解】重叠长度：（4－1）×2 ＝3×2 ＝6（厘米） 长纸条长度：4×10－6 ＝40－6 ＝34（厘米） 答：新粘成的纸条长34厘米。 【点睛】解决本题关键是明确4张纸条粘成一个长纸条，有3个接头，得出重叠部分的长度，从而解决问题。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 《数学广角-重叠问题》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 理解重叠含义、认识集合图 填空、判断、画图基础必考，概念核心考点 根据集合图提取、分析数据 看图填数、对比数量，高频基础题型 两部分重叠，计算总数量（基础公式应用） 列式计算题，本单元重点题型 已知总数和重叠部分，求单独部分数量 逆向计算，易错题集中 核心考点总结 考点 1：重叠问题与集合图 重叠含义：一部分事物同时属于两个类别，出现重复计数，就是重叠问题。 集合图：两个圆圈相交，相交部分代表重复、重叠的数量；左右单独区域代表只属于一类的数量。 考点 2：基础计算公式 总数量 = 第一类数量 + 第二类数量 − 重叠（重复）数量 变形公式： 重叠数量 = 第一类数量 + 第二类数量 − 总数量 单独一类数量 = 总数量 − 另一类数量 + 重叠数量 考点 3：读图规则 · 圆圈左右不相交区域：只参加一项的人数 / 物体数 · 两圈相交区域：两项都参加的重叠人数 · 整个图形所有区域相加：全部总数量 考点 4：常见生活场景 排队问题、兴趣小组、比赛参赛、选课、统计爱好等，出现 “两项都参加 / 都包含” 即为重叠问题。 本单元高频易错点汇总 易错点1：计算总数时，忘记减去重复重叠部分，重复计数 纠正：两类相加后，一定要减掉重叠部分。 易错点2：看不懂集合图，混淆 “只参加一项” 和 “两项都参加” 纠正：相交部分是重复项，单独区域是只参与一项。 易错点3：逆向求重叠数、单项数量时，公式运用混乱 纠正：牢记基础公式，根据已知条件灵活变形。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题1 一班参加语文小组 12 人，数学小组 10 人，两项都参加 3 人，一共多少人？ 12+10-3=19（人） 答：一共有 19 人。 例题2 一共 20 人，参加跑步 11 人，跳绳 12 人，两项都参加有几人？ 11+12-20=3（人） 答：两项都参加有 3 人。 六大题型 题型一：认识重叠现象、绘制 / 解读集合图 解题妙招：两圈相交处为重复部分，两侧为只属于一类；读图先分清 “只一项” 和 “两项都有”。 1．艺术节比赛，三（4）班报名参加唱歌和跳舞比赛的情况如图，求参加这两个比赛的一共有多少人。在正确的算式后画“√”。 2．学校开展劳动教育，要求每个同学至少要学会拖地和洗碗中的一项技能。三（1）班的完成情况如下图所示。 (1)拖地和洗碗两种劳动都会的学生有多少人？ (2)三（1）班一共有多少名学生？ 3．301班报名参加中华武术的学生的学号是2、4、5、8、11、15，报名参加田径少年的学生的学号是1、4、6、9、11、14. (1)请将这些学号填到下图中。 (2)一共有( )人报名参加中华武术和田径少年。 4．希望小学三（2）班全班有26人参加围棋兴趣小组，有30人参加象棋兴趣小组，其中两项都参加的有6人。 （1）请填写下图。 （2）三（2）班一共有多少人？ 题型二：已知两类数量和重叠数，求总数量 解题妙招：两类数量相加，再减去重复重叠部分。 5．红星小学三一班有25位同学报了合唱兴趣班，有32位同学报了美术兴趣班，其中有10位同学同时报了这两个兴趣班，三一班至少有（    ）位同学报了兴趣班。 A．47 B．57 C．67 D．37 6．学校“双语节”中，会背英语儿歌的同学有18人，会背汉语儿歌的同学有32人，两种都会背的有7人，全班至少有( )人参与了活动。 7．学校举行“探寻文化之根，共筑精神家园”文化主题活动。三（1）班有14人参加了学校的传统文化游园会，18人参加了传统艺术体验活动，有7人同时参加了这两个项目的活动。三（1）班有多少名同学参加了学校的文化主题活动？ 8．三（1）班同学参加社团，美术社10人，象棋社18人，两个社都参加的有6人，画图表示并计算总人数。 题型三：已知总数、两类数量，求重叠部分 解题妙招：两类相加减去总数量，得数就是重复重叠的数量。 9．三（1）班参加爱心午餐和课后托管的一共有32人，其中参加爱心午餐的有25人，参加课后托管的有29人。三（1）班既参加爱心午餐又参加课后托管的有______人。 10．学校阅读周期间，三（1）班有38人阅读了童话类的图书，有19人阅读了科普类图书，每人至少阅读了其中一类书，全班共43人。两类都阅读的有( )人。 11．四（1）班同学在庆元旦文艺汇演中，跳舞的有14人，唱歌的有25人，参加这两项演出的一共有30人，两项都参加的有( )。 题型四：重叠拼接问题（木板 / 纸条拼接） 解题妙招（三步秒杀法） 1、算总长：先求 “没拼接前” 的总长度 公式：总长度 = 单个物体长度 × 物体数量 （例：3 块木板，每块 3 分米，总长 = 3×3=9 分米） 2、找重叠：数清楚有几个接头，算出总重叠长度 关键规律：接头数 = 物体数量 − 1 公式：重叠总长度 = 接头数 × 每个接头的重叠长度 （例：3 块木板，接头数 = 3-1=2，每个重叠 5 厘米，总重叠 = 2×5=10 厘米） 3、求结果：用总长减去重叠部分，就是拼接后的实际长度 公式：拼接后长度 = 所有物体总长 − 重叠总长度 12．两名工人分别将三根一样长的铁棍焊接在一起，焊接方式如下图所示。方式一的总长度是3.6米，方式二的总长度是（    ）米。 A．4.2 B．4.8 C．5.4 D．6 13．如图，把三块纸板粘在一起，重叠处（灰色）分别长5厘米和3厘米，粘完之后的纸板一共长( )厘米。 14．把两块一样长的木板如下图所示钉在一起，使其成为一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分的长度是16厘米，则原来每块木板长多少厘米？ 15．妈妈有红、黄两根同样长的彩带，都长13.5分米，红彩带用去了7.8分米，黄彩带用去6.6分米。两根彩带剩下的部分相差多少分米？ 16．如果把4段一样长的纸条粘在一起，形成1段更长的纸条。这段纸条长30厘米，中间重叠部分为2厘米。原来4段纸条各长多少厘米？ 17．有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起成了一块长木板，中间的重叠部分长为10厘米，则这块长木板的长是多少厘米？ 18．两块木板各长75厘米，把两块木板钉成一块长130厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？ 19．有几块长度和形状相同的木板钉在一起后如下图所示，这样的三块木板钉在一起长多少分米？ 20．用4张长10厘米的纸条一直横着粘成一个长纸条，如果每个接头处都重叠2厘米，那么新粘成的纸条长多少厘米？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $