精品解析：河北唐山市2025-2026学年度唐山一中第二学期高一年级数学开学学情调研

唐山一中2025-2026学年度第二学期高一年级开学学情调研 数学学科试卷 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可. 【详解】依题意，，若，则，故，即“”可推出“”； 若，结合，，则有，或者，故或，即“”推不出“”. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2. 已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合间的基本关系，利用集合中的元素个数即可求得满足条件的集合的个数. 【详解】由题意知中必有元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个， 所以集合的个数等价于集合的非空子集的个数，即， 故选：C. 3. 已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由不等式的解集为空集， 根据二次函数的性质，则满足，解得. 即实数的取值范围是. 故选：A. 4. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式. 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 5. 若，则实数的值为（  ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角恒等变换直接可得出. 【详解】由已知可得 . 故选：A. 6. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用题设条件推出是函数的一个周期，结合求出，再利用函数的周期性即可求得的值. 【详解】因为奇函数，则，又因为偶函数，则， 则有，故得，即得， 故是函数的一个周期. 又为上的奇函数，故，解得， 则. 故选：C. 7. 在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y（单位；人）与某产品销售单价x（单位：元）满足关系式：，其中20<x<100，m为常数，当该产品销售单价为25时，在线购买人数为2015人；假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件；下列说法错误的是（ ） A. 实数m的值为10000 B. 销售单价越低，直播在线购买人数越多 C. 当x的值为30时利润最大 D. 利润最大值为10000 【答案】D 【解析】 【分析】根据购买人数y与单价x的关系式是单调递减判断B，将，代入求得m，判断A，写出利润的函数关系式求最大值可判断CD. 【详解】因为在线购买人数y（单位；人）与某产品销售单价x（单位：元）满足关系式：，单调递减，所以B正确； 将，代入， 可得，解得：，所以A正确； 由题意可得所得利润为： ， 所以当，最大利润为元，C正确，D错误； 故选：D. 8. 已知实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对，利用换底公式等价变形，得，结合的单调性判断，同理利用换底公式得，即，再根据对数运算性质得，结合单调性， ，继而得解. 【详解】由，变形可知， 利用换底公式等价变形，得， 由函数在上单调递增知，，即，排除C，D； 其次，因为，得，即， 同样利用的单调性知，， 又因为，得，即，所以. 故选：B. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可得，结合对数函数的性质可判断A；取可判断B；利用1的妙用和基本不等式可判断C；结合可得，从而，即可判断D． 【详解】对于A，因为当且仅当时取等号， 所以，A正确； 对于B，取 则，B错误； 对于C， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，因为 所以，D正确． 故选：ACD. 10. 定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（ ） A. 方程有且仅有3个解 B. 方程有且仅有3个解 C. 方程有且仅有5个解 D. 方程有且仅有1个解 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择. 【详解】对于选项A：由数形结合可知：令, 或或; 令,, 因为，所以， 由数形结合可知：,都有一个根， 故方程有且仅有3个解，故选项A正确; 对于选项B：由数形结合可知：令, ;令， 因为，由数形结合可知：都有3个根， 方程有且仅有3个解，故选项B正确; 对于选项C: 由数形结合可知：令, 或或; 令,, 由题可知：，， 由数形结合可知，,各有三解， 故方程有且仅有9个解,故选项C错误； 对于选项D：由数形结合可知：令, ;令， 因为，所以只有1解， 故方程有且仅有1个解,故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数，则可得到函数的零点个数. 11. 已知函数， 且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 若， 则 C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 D. 若，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围，判断A，根据中心对称即可求值，知B正确，由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期，判断C，结合已知单调区间得出范围后判断D. 【详解】对于A，因为函数在区间上单调递减，所以， 所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值为，故A错误； 对于B，因为，所以的图像关于点对称， 所以，故B正确； 对于C，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数，所以，所以，因为，所以， 又，所以，所以， 即满足条件的有且仅有1个，故C正确； 对于D，由题意可知为单调递减区间的子集， 所以，其中，解得，， 当时，，当时，， 故的取值范围是，故D正确. 故选：BCD 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知且，则______． 【答案】64 【解析】 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 13. 若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式结合和差角公式求解即可. 【详解】 故答案为： 14. 已知函数在上有最小值，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数在上的最小值，再分和两种情况讨论，求出在时的最小值即可. 【详解】因为在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以当时，， 当时，， 若，则时，， 要使在上有最小值，则； 若，则时，，而 此时在上有最小值，符合题意， 综上所述的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 函数，， （1）当时，若，求实数的值； （2）已知，且，求的解集． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由中对应项系数相等可得； （2）由已知得的关系，不等式化简后，根据的大小分类讨论． 【小问1详解】 当时，， ， 得，； 【小问2详解】 ，，， 由可得， 整理并代入得， 即， 已知，若，即时，或， 若，即时，， 若，即时，或， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16. 已知函数，函数图象与的图象关于对称． （1）若函数是奇函数，求实数的值 （2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出函数，再利用奇函数的定义求解. （2）由（1）的信息，利用对数函数单调性，结合二次函数性质求解. 【小问1详解】 函数，由函数图象与的图象关于对称，得， 由为奇函数，得， 则 ，整理得，而，解得， 此时函数定义域为，且，符合题意， 所以实数的值为2. 【小问2详解】 由（1）知， 依题意，不等式 在上恒成立，则 ，即， ，不等式 恒成立， 因此在恒成立， 当时，， ，当且仅当时取等号， 于是，解得，所以的取值范围为. 17. 直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为米，过点的一直线与走廊的外侧两边交于两点，且与走廊的一边的夹角为. （1）将线段的长度表示为的函数； （2）一根长度为米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计) 【答案】（1），其中（2）长度为米的铁棒能水平通过该直角走廊．见解析 【解析】 【分析】 （1）由题意可知 ，即可求得答案； （2）因为，设，结合已知，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可知 ，其中 （2） 设 ， 在上是增函数， 的最大值为 的最小值为 ， 故长度为米的铁棒能水平通过该直角走廊． 【点睛】本题解题关键是掌握三角函数基础知识和灵活使用“还原法”，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值： （2）解不等式； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义得，代入计算即可求； （2）由（1）得出解析式，结合指数函数性质解不等式即可； （3）借助（2）中解析式求出值域，利用换元法求出的值域，由题意得出，进而得出的取值范围. 【小问1详解】 函数中，， 因为为奇函数， 所以，即， 整理得，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，其定义域为， 由得，即， 整理得，解得， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数，其中t为常数. （1）当，时，若，求x的值； （2）设函数在上有两个零点m，n， ①求t的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）将代入后可得，结合范围计算即可得解； （2）①借助换元法，结合二次函数的性质计算即可得；②由韦达定理可得，，结合三角函数在上的单调性与①中所得计算有，即可得，即可得证. 【小问1详解】 由，则， 当时，，而， 故或（舍），故， 【小问2详解】 ①令，因为，所以，则， 则， 由在上单调递增， 故关于的方程在上有两个不相等实数根， 即有， 解得，即的取值范围为； ②令，， 则，为关于的方程的两根， 则有，， 所以，， 所以， 即， 即有，由①知， 故，又，故， 由于，则，故， 又在上单调递增，故， 即. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助韦达定理得到，，从而可得，再结合三角函数在上的单调性与①中所得计算即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山一中2025-2026学年度第二学期高一年级开学学情调研 数学学科试卷 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则实数的值为（  ） A. 4 B. C. D. 6. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y（单位；人）与某产品销售单价x（单位：元）满足关系式：，其中20<x<100，m为常数，当该产品销售单价为25时，在线购买人数为2015人；假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件；下列说法错误的是（ ） A. 实数m的值为10000 B. 销售单价越低，直播在线购买人数越多 C. 当x的值为30时利润最大 D. 利润最大值为10000 8. 已知实数，且，则（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（ ） A. 方程有且仅有3个解 B. 方程有且仅有3个解 C. 方程有且仅有5个解 D. 方程有且仅有1个解 11. 已知函数， 且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 若， 则 C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 D. 若，则的取值范围是 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知且，则______． 13. 若，则___________. 14. 已知函数在上有最小值，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 函数，， （1）当时，若，求实数的值； （2）已知，且，求的解集． 16. 已知函数，函数图象与的图象关于对称． （1）若函数是奇函数，求实数的值 （2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 17. 直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为米，过点的一直线与走廊的外侧两边交于两点，且与走廊的一边的夹角为. （1）将线段的长度表示为的函数； （2）一根长度为米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计) 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值： （2）解不等式； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，其中t为常数. （1）当，时，若，求x的值； （2）设函数在上有两个零点m，n， ①求t的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $