精品解析：河北唐县第一中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

2025－2026学年高一下学期开学考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 要得到函数，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 3. “”是命题“，”为真命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图所示，中，等于（ ） A. B. C. D. 5. 设一元二次不等式的解集为，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 5 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数定义域为，满足，且，若在上单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是第二象限角，则是钝角 B. 角与角的终边相同 C. 若，则为第三象限角或第四象限角 D. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 10. 若正实数、满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值是 D. 的最小值为 11. 设函数 ，若有四个零点，则（ ） A. 的最小值为-2 B. C. D. m的取值范围是（0，2） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知半径为的扇形面积为，则该扇形的弧长为________. 13. 已知幂函数的图象在上单调递减，则的取值为______. 14. 已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，， （1）若，求. （2）若，求实数a的取值范围. 16. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）若，求的值域. 17. 某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． （1）求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） （2）当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 18. 已知函数， （1）求函数定义域； （2）判断并证明函数的奇偶性； （3）若，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，求在区间上的最小值； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年高一下学期开学考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求得集合，再由并集运算可得结果. 【详解】易知集合，， 则. 故选：D 2. 要得到函数，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的图象平移变换判断． 【详解】把向右平移个单位得函数解析式为， 故选：B． 3. “”是命题“，”为真命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的真假性可得命题为真时，进而根据与的关系即可判断充分不必要条件. 【详解】由，可得对，，又因为，所以， 若，则成立，即，成立； 反之，若，成立，则，不能推出. 所以“”是命题“，”为真命题的充分不必要条件. 故选：A. 4. 如图所示，中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，再根据向量线性运算求解即可． 【详解】从题图上可看出， ，而． 故选：C． 5. 设一元二次不等式的解集为，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】∵不等式的解集为， ∴，的两个根分别为， 由根与系数的关系，得，， ， ∴． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故选：C. 7. 设函数定义域为，满足，且，若在上单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得函数的奇偶性与单调性，根据函数与与零的大小关系，可得答案. 【详解】由函数的定义域为，满足，即， 则函数是奇函数，且， 由函数在上单调递增，且， 则函数在上单调递增，且， 可得下表： 所以不等式的解集为. 故选：B. 8. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先取，计算和时函数的上确界，结合单调性定义排除，当时，根据分段函数在上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处，左端的上确界小于等于右端函数值的最小值，得到不等式组，求出的范围. 【详解】当时，， 由，知在上不单调递增， 当时，因为在上单调递增，， 解得，故实数的取值范围为． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是第二象限角，则是钝角 B. 角与角的终边相同 C. 若，则为第三象限角或第四象限角 D. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 【答案】BD 【解析】 【分析】根据象限角与轴线角的范围即可判断出答案. 【详解】对于A，是第二象限角，但不是钝角，故A错误； 对于B，∵，故B正确； 对于C，若，则为第三或第四象限角或终边在轴的负半轴上，故C错误； 对于D，若为第二象限角，则，，所以， ，若为偶数时，为第一象限角； 若为奇数时，则，，为第三象限角. 综上，为第一象限或第三象限角，故D正确. 故选：BD. 10. 若正实数、满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值是 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A选项；将与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值，可判断B选项；利用二次函数的最值可判断C选项；分析得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项. 【详解】因为正实数、满足， 对于A选项，由基本不等式可得，整理可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C对； 对于D选项，因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即的最小值为，D对. 故选：ACD. 11. 设函数 ，若有四个零点，则（ ） A. 的最小值为-2 B. C. D. m的取值范围是（0，2） 【答案】AC 【解析】 【分析】做出函数的图象，数形结合，可判断各选项是否正确. 【详解】由，得，作出的大致图象，如图所示， 结合函数图象，可得： 当时，方程只有1解； 当或时，方程只有2解； 当时，方程只有3解； 当时，方程只有4解， 所以有四个零点，则，故D错误， 若有四个零点，由图可知： 当时，，，， ，， 当时，，的最小值为，故A正确； 当时，，，，故B错误； ，，故C正确. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知半径为的扇形面积为，则该扇形的弧长为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式计算可得. 【详解】因为，，设该扇形的弧长为， 则，解得. 故答案为： 13. 已知幂函数的图象在上单调递减，则的取值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数定义得，解得或，再分别代入检验函数的单调性，即可得解. 【详解】由幂函数定义得，解得或， 当时，，利用幂函数性质知：在上单调递减； 当时，，利用幂函数性质知：在上单调递增，不符题意舍去. 综上，的取值为. 故答案为：. 14. 已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量三角形法则表示出向量，然后利用数量积求解即可. 【详解】由题意如图所示： 由，， 因为，所以， 所以 ， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，， （1）若，求. （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）将代入求出集合，再根据交集的运算即可求出； （2）根据集合是否为空集分类讨论，再根据，即可解出． 【详解】（1）当时，，而， 所以． （2）若，则，解得，此时，符合题意； 若，则，要，则或，解得或． 综上，实数a的取值范围为． 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，以及根据交集的结果求参数范围，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题． 16. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）若，求的值域. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）化简，结合复合函数单调性求解即可. （2）由题知，由整体思想进而可得的值域. 【小问1详解】 ， 令，，解得，. 所以的单调递减区间为，. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，即时，取得最大值，最大值为； 当时，即时，取得最小值，最小值为. 所以的值域为. 17. 某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． （1）求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） （2）当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】（1） （2）当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元 【解析】 【分析】（1）分和两种情况分别求出利润（万元）关于产量x（千台）的函数关系式，即得答案； （2）根据（1）的结论，分段求出函数的最大值，比较大小，即可求得答案. 【小问1详解】 当时，， 当时，， ∴售出该款机器人所获利润关于的函数关系式为 【小问2详解】 当时，， ∴当时，． 当时，， 当且仅当，即时，． ， ∴当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元． 18. 已知函数， （1）求函数定义域； （2）判断并证明函数的奇偶性； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）偶函数，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用对数函数定义列出不等式组求出定义域. （2）利用奇偶函数的定义判断并证明. （3）确定函数在上的单调性，再利用该函数的性质求解不等式即得. 【小问1详解】 函数有意义，则，解得， 所以函数定义域为. 【小问2详解】 函数是定义在上的偶函数， 由于， 所以函数是偶函数. 【小问3详解】 依题意，，函数在上单调递减， 而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 不等式，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 19. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，求在区间上的最小值； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）由代入可得； （2）设，换元后利用二次函数的性质可得； （3）先将条件转化为，因，故对任意的恒成立，即在上恒成立，进而可得. 【小问1详解】 由，得，即：，解得. 【小问2详解】 当时，， 令，因为，所以， 所以， 当时，取最小值，所以在区间上的最小值为. 【小问3详解】 若对任意的，总存在，使得， 可得：. 又因为，所以对任意的，， 则对任意的恒成立， 即，即，令，. 因为在区间上为增函数，所以 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $