专题03 一元一次不等式（组）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材湘教版

**基本信息** 聚焦一元一次不等式（组）全考点，以12类题型构建从性质应用到综合创新的递进训练体系，突出逻辑推理与模型应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式性质|4题|结合数轴与代数式变形考查性质应用|概念基础，支撑后续解集求解| |解集与整数解|8题|含常规求解与数轴表示，强调易错点|从基础运算到精准取值，培养运算能力| |实际与几何应用|11题|购物、工程等场景及图形动态问题|体现模型意识，连接数学与现实世界| |不等式组综合|23题|含解集、参数、方程组结合及新定义|从单一求解到综合推理，发展创新意识|

专题03 一元一次不等式（组） 题型1 不等式的性质（常考点） 题型7 求一元一次不等式组的整数解（易错点） 题型2 求一元一次不等式的解集（常考点） 题型8 由一元一次不等式组的解集求参数（常考点） 题型3 求一元一次不等式的整数解（常考点） 题型9 由不等式组解集的情况求参数（常考点） 题型4用一元一次不等式解决实际问题（常考点） 题型10 不等式组和方程组结合的问题（常考点） 题型5 用一元一次不等式解决几何问题（常考点） 题型11 不等式组解决实际问题（常考点） 题型6 求不等式组的解集（常考点） 题型12 与不等式（组）有关的新定义问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 不等式的性质（共4小题） 1．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，下列不等式成立的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．甲、乙、丙三位同学给希望工程捐款，已知乙、丙捐款额之和等于甲捐款额的2倍，甲的捐款额小于乙与丙捐款额之差的2倍．问：甲、乙、丙三位同学捐款最多的是谁？ 题型二 求一元一次不等式的解集（共4小题） 5．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_____． 6．解不等式：，并写出该不等式的一个负整数解． 7．解不等式：． 8．解不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)． 题型三 求一元一次不等式的整数解（共4小题） 9．方程组有正整数解，则整数的个数是（    ） A． B． C． D． 10．解不等式，并写出此不等式的非正整数解． 11．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来且写出它的正整数解． 12．求不等式的正整数解． 题型四 用一元一次不等式解决实际问题（共4小题） 13．电动自行车是一种比较便捷的重要交通工具，但也存在较大安全隐患，未满16周岁的不能驾驶电动自行车，骑行时需佩戴头盔．某商店购进甲种头盔30个，乙种头盔40个共花费3600元，已知3个甲种头盔的总钱数与4个乙种头盔的总钱数相等． (1)求甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ (2)商店第一次进货很快售完，决定再次购进两种型号的头盔80个，且所购甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的2倍，求商店第二次购进头盔最少花费多少钱？ 14．为落实《长清区创建全国县域义务教育优质均衡发展区实施方案（2022-2026年）》要求，保障校园体育场地设施与器材设备达标，长清区某中学计划补充采购足球和篮球，用于课后延时服务、班级联赛及校级体育课程创新教学等．经对接长清区教育装备定点供应商询价得知：已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和3个篮球共需340元． (1)求每个足球和每个篮球的售价； (2)如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？ 15．为推进智慧校园建设，某科技公司为学校提供两种型号的门禁读卡器：A型刷卡门禁和B型人脸识别门禁．已知2套A型门禁和3套B型门禁的采购总价为10500元；4套A型门禁和5套B型门禁的采购总价为18500元． (1)求A，B两种型号门禁每套的采购单价； (2)学校预采购A型、B型两种门禁共12套，若采购两种门禁的费用不高于22000元，至少可采购A型门禁多少套？ 16．某新能源电池厂准备安装甲、乙两种型号的生产线．已知，同时开启一条甲型和一条乙型生产线每月可生产电池共200吨；同时开启一条甲型和两条乙型生产线每月可生产电池共280吨． (1)求一条甲型生产线和一条乙型生产线每月各生产电池多少吨？ (2)为扩大生产规模，工厂计划安装相同型号的甲、乙两种生产线共5条，现接到一个订单，要求4个月生产电池不少于2000吨，问至少需要安装多少条甲型生产线？ 题型五 用一元一次不等式解决几何问题（共4小题） 17．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 18．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 19．如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 20．如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 题型六 求不等式组的解集（共4小题） 21．不等式组的解集为_______． 22．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 23．解不等式组： 解：解不等式①，得________． 解不等式②，得________． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． 所以不等式组的解集为________． 24．解不等式组 题型七 求一元一次不等式组的整数解（共3小题） 25．关于的一元一次不等式组的所有整数解的积是______． 26．解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 27．解不等式组：并写出全部整数解，请结合题意填空，完成本题的解答． 解：解不等式①，得：_______， 解不等式②，得：______， ∴原不等式组的解集为________，故原不等式组的整数解为________． 题型八 由一元一次不等式组的解集求参数（共4小题） 28．若一元一次不等式组的整数解有个，则“”表示的不等式可以是（     ） A． B． C． D． 29．已知关于的不等式组的解集是，则的值分别为（） A．1，3 B．3，1 C． D．，3 30．如果不等式组的解为，则m的值为______． 31．不等式组的解集是，则m的取值范围是______． 题型九 由不等式组解集的情况求参数（共4小题） 32．关于的不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 34．若关于的不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围． 35．关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，求a的取值范围． 题型十 不等式组和方程组结合的问题（共4小题） 36．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 37．已知关于x，y的方程组． (1)用含m的代数式表示方程组的解； (2)若方程组的解满足，，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，当m取整数时，直接写出满足条件的所有m的值． 38．已知方程组的解满足，． (1)求的取值范围； (2)化简： ． 39．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，关于x的不等式的解集为？ 题型十一 不等式组解决实际问题（共7小题） 40．综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 41．某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 42．3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 43．为了抓住世博会商机，某商店决定购进两种世博会纪念品，若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元． (1)求购进两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定拿出元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进种纪念品的数量不少于种纪念品数量的倍，且不超过种纪念品数量的倍，那么该商店共有几种进货方案？ 44．某体育用品店计划试销A、B两种不同品牌的足球．已知3个A品牌足球和2个B品牌足球的售价是640元，2个A品牌足球和3个B品牌足球的售价是560元． (1)求一个A品牌足球和一个B品牌足球的售价分别是多少元？ (2)经了解，每个A品牌足球的进价是100元，每个B品牌足球的进价是50元．体育用品店购进两种足球共20个，且进货总资金不超过1450元，销售完毕后的总利润不低于800元．则体育用品店有哪几种进货方案？哪种方案能获得最大利润？最大利润是多少？ 45．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 46．《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．”意思是：每斗粟米，可兑换斗糙米．某农户原存有粟米斗，后续每天可收获新粟米斗，积攒若干天后一次性全部用来兑换糙米．若要求兑换所得糙米总量不少于斗且不超过斗，请问需要积攒多少天才能满足兑换要求？ 题型十二 与不等式(组)有关的新定义问题（共4小题） 47．定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以是不等式组的“关联方程”，若关于的方程是不等式组的“关联方程”，则的取值范围是____________． 48．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组） 和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式____的“梦想解”；（填序号） ①，②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． 49．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的一个解，那么我们称这个一元一次方程为该不等式组的“约定方程”，例如方程的解为，不等式组的解集因为，所以方程是不等式组的“约定方程”． (1)方程是否为不等式组．的“约定方程”？并说明理由． (2)若关于的方程是不等式组的“约定方程”，求的取值范围． (3)若方程和方程都是关于的不等式组的“约定方程”，求的取值范围． 50．阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫作这个方程（组）的“友谊解”．例如：就是方程的一组“友谊解”；是方程组的一组“友谊解”． (1)请直接写出方程的所有“友谊解”； (2)关于x，y，k的方程组有“友谊解”吗？若有，请求出对应的“友谊解”；若没有，请说明理由． $专题03 一元一次不等式（组） 题型1 不等式的性质（常考点） 题型7 求一元一次不等式组的整数解（易错点） 题型2 求一元一次不等式的解集（常考点） 题型8 由一元一次不等式组的解集求参数（常考点） 题型3 求一元一次不等式的整数解（常考点） 题型9 由不等式组解集的情况求参数（常考点） 题型4用一元一次不等式解决实际问题（常考点） 题型10 不等式组和方程组结合的问题（常考点） 题型5 用一元一次不等式解决几何问题（常考点） 题型11 不等式组解决实际问题（常考点） 题型6 求不等式组的解集（常考点） 题型12 与不等式（组）有关的新定义问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 不等式的性质（共4小题） 1．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先理解题意，结合数轴得出，且，再得出，，，最后与每个选项的式子进行分析，即可作答． 【详解】解：观察数轴的信息，得出，且， ∴，， ∴ ∴A选项中的是错误的，不符合题意； ∴B选项中的是错误的，不符合题意； ∴C选项中的是错误的，不符合题意； ∴D选项中的是正确的，符合题意； 2．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数轴可知，，进而逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，． 3．已知，下列不等式成立的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据不等式性质逐一判断每个不等式是否成立，统计成立的个数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，，，故①正确，②错误； ∴，，故③错误，④正确； 综上所述，正确的有①④，共2个． 4．甲、乙、丙三位同学给希望工程捐款，已知乙、丙捐款额之和等于甲捐款额的2倍，甲的捐款额小于乙与丙捐款额之差的2倍．问：甲、乙、丙三位同学捐款最多的是谁？ 【答案】捐款最多的是乙 【分析】设甲、乙、丙三位同学捐款数分别为，由题意得，，，然后根据不等式的性质分析即可． 【详解】解：设甲、乙、丙三位同学捐款数分别为， 由题意得，，， ∴， ， ， 即， ， ∵， ∴， ∴，， 由①得，，即；由②得，，即， ∴ ∴捐款最多的是乙． 题型二 求一元一次不等式的解集（共4小题） 5．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】先根据已知不等式的解集确定的符号，得到与的数量关系，再代入待求不等式，根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：， 移项，得， ∵解集是， ∴，且，即， 将代入不等式，得，， 合并同类项，得， ∵， ∴两边同除以，得． 6．解不等式：，并写出该不等式的一个负整数解． 【答案】；一个负整数解为（负整数解不唯一，均正确） 【分析】先去括号，然后移项，合并同类项，再系数化为1，最后写出负整数解即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 一个负整数解为（负整数解不唯一，均正确）． 7．解不等式：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 8．解不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【详解】（1）解： 在数轴上表示： （2）解： 在数轴上表示： 题型三 求一元一次不等式的整数解（共4小题） 9．方程组有正整数解，则整数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用消元法得到关于的表达式，变形后根据条件筛选出符合要求的整数，统计个数即可. 【详解】解：， ①②得 ， 解得 ， 由②得 ， ∵方程组有正整数解，为整数， ∴均为正整数，只需为正整数， ∴为正整数，且， ∴是的正约数，且， ∴的可能取值为， ∴对应整数为，共个． 10．解不等式，并写出此不等式的非正整数解． 【答案】 ，非正整数解为，， 【详解】解： ， ∴不等式的解集为， ∴该不等式的非正整数解是，，． 11．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来且写出它的正整数解． 【答案】；数轴见解析；正整数解为：1，2，3，4． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得， 这个不等式的正整数解为：1，2，3，4． 12．求不等式的正整数解． 【答案】，正整数解有1，2，3 【分析】去分母、去括号，移项、合并同类项，系数化为1，最后找出整数解即可． 【详解】解：， 去分母、去括号，得，     移项、合并同类项，得，     系数化为1，得，     ∴不等式的正整数解有1，2，3． 题型四 用一元一次不等式解决实际问题（共4小题） 13．电动自行车是一种比较便捷的重要交通工具，但也存在较大安全隐患，未满16周岁的不能驾驶电动自行车，骑行时需佩戴头盔．某商店购进甲种头盔30个，乙种头盔40个共花费3600元，已知3个甲种头盔的总钱数与4个乙种头盔的总钱数相等． (1)求甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ (2)商店第一次进货很快售完，决定再次购进两种型号的头盔80个，且所购甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的2倍，求商店第二次购进头盔最少花费多少钱？ 【答案】(1) 甲种头盔的单价是60元，乙种头盔的单价是45元 (2) 商店第二次购进头盔最少花费4410元 【分析】（1）设甲种头盔的单价是元，乙种头盔的单价是元，根据购进甲种头盔30个，乙种头盔40个共花费3600元；3个甲种头盔的总钱数与4个乙种头盔的总钱数相等，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设商店第二次购进个甲种头盔，则购进个乙种头盔，根据所购甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的2倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合两种头盔的单价，即可找出商店第二次购进头盔的最少花费． 【详解】（1）解：设甲种头盔的单价是元，乙种头盔的单价是元， 根据题意，得，解得． 答：甲种头盔的单价是60元，乙种头盔的单价是45元． （2）解：设商店第二次购进个甲种头盔，则购进个乙种头盔， 根据题意，得， 解得． ∵， ∴甲种头盔的单价大于乙种头盔的单价， ∴购买甲种头盔越少，商店第二次购进头盔的费用越少． 又∵，且为正整数， ∴当时，商店第二次购进头盔的费用越少， 最少费用为． 答：商店第二次购进头盔最少花费4410元． 14．为落实《长清区创建全国县域义务教育优质均衡发展区实施方案（2022-2026年）》要求，保障校园体育场地设施与器材设备达标，长清区某中学计划补充采购足球和篮球，用于课后延时服务、班级联赛及校级体育课程创新教学等．经对接长清区教育装备定点供应商询价得知：已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和3个篮球共需340元． (1)求每个足球和每个篮球的售价； (2)如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？ 【答案】(1)每个足球50元，每个篮球80元； (2)最多可买43个篮球． 【分析】（1）设每个篮球x元，每个足球y元，根据购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和3个篮球共需340元，建立二元一次方程组求解即可； （2）设买m个篮球，则购买个足球，根据总费用不超过4000元，建立一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设每个篮球x元，每个足球y元， 由题意得， 解得， 答：每个足球50元，每个篮球80元； （2）解：设买m个篮球，则购买个足球， 由题意得， ， 解得：， ∵m为整数， ∴m最大取43． 答：最多可买43个篮球． 15．为推进智慧校园建设，某科技公司为学校提供两种型号的门禁读卡器：A型刷卡门禁和B型人脸识别门禁．已知2套A型门禁和3套B型门禁的采购总价为10500元；4套A型门禁和5套B型门禁的采购总价为18500元． (1)求A，B两种型号门禁每套的采购单价； (2)学校预采购A型、B型两种门禁共12套，若采购两种门禁的费用不高于22000元，至少可采购A型门禁多少套？ 【答案】(1)A型门禁每套采购单价为1500元，B型门禁每套采购单价为2500元 (2)至少可采购A型门禁8套 【分析】（1）根据两种采购方案的总价关系列方程组求解； （2）根据总费用限制列不等式，结合套数为正整数得到最小值． 【详解】（1）解 ：设A型门禁每套采购单价为元，B型门禁每套采购单价为元 根据题意列方程组得 解得 答：A型门禁每套采购单价为1500元，B型门禁每套采购单价为2500元； （2）解：设采购A型门禁套，则采购B型门禁套 根据题意得 解得 答：至少可采购A型门禁8套． 16．某新能源电池厂准备安装甲、乙两种型号的生产线．已知，同时开启一条甲型和一条乙型生产线每月可生产电池共200吨；同时开启一条甲型和两条乙型生产线每月可生产电池共280吨． (1)求一条甲型生产线和一条乙型生产线每月各生产电池多少吨？ (2)为扩大生产规模，工厂计划安装相同型号的甲、乙两种生产线共5条，现接到一个订单，要求4个月生产电池不少于2000吨，问至少需要安装多少条甲型生产线？ 【答案】(1)甲型生产线每月生产电池120吨，乙型生产线每月生产电池80吨 (2)3条 【分析】（1）列二元一次方程组解决实际问题； （2）根据题意列出不等式解决实际问题． 【详解】（1）解：设一条甲型生产线每月生产x吨，一条乙型生产线每月生产y吨．由题意得，    解得 答：一条甲型生产线每月生产120吨，一条乙型生产线每月生产80吨； （2）解：设安装甲型生产线m条，则乙型生产线条， 根据4个月总产量不少于2000吨，列不等式， ， 解得， 又∵m为整数， ∴m最小取3． 答：至少需要安装3条甲型生产线． 题型五 用一元一次不等式解决几何问题（共4小题） 17．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【分析】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 18．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，理解题意是解决本题的关键． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【详解】（1）解：依题意可得：， ， ∴ ． ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，的整数n有且仅有4个 ∴这四个整数解为：22，23，24，25， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． 19．如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)，， (2)当或时， (3)当为何值时，有最小值，最小值为 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负数，求出，，再根据中点的性质，即可； （2）根据题意，得到，，，分类讨论：当点在点的左侧时，当点在点的左侧时，解出，即可； （3）综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴线段的中点对应的数为：， 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴， ∵点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， ∴，，， 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，． （3）解：由（2）得，点表示数是，点表示数是，点表示的数为，点表示数为； ∵为线段的中点，为线段的中点 ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， ∴ 当点在点的右侧时，， ∴， ∴； ∴； 当点不在点的右侧，且点在点的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点不在点的右侧，且点不在点的右侧时 ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查一元一次方程，一元一次不等式，数轴，绝对值等知识，解题的关键是掌握一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，绝对值的非负性的应用，根据题意，列出方程，进行解答，即可． 20．如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． （1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， m最小取． 题型六 求不等式组的解集（共4小题） 21．不等式组的解集为_______． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 因此原不等式组的解集为． 22．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． ∴不等式组的解集为：， 其解集在数轴上表示如图所示． 23．解不等式组： 解：解不等式①，得________． 解不等式②，得________． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． 所以不等式组的解集为________． 【答案】，，， 【分析】先解不等式组中的每个不等式，进而可在数轴上表示不等式的解集，再取不等式解集的公共部分即可. 【详解】解：解不等式①，得． 解不等式②，得． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来略． 所以不等式组的解集为． 24．解不等式组 【答案】 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， 则不等式组的解集为． 题型七 求一元一次不等式组的整数解（共3小题） 25．关于的一元一次不等式组的所有整数解的积是______． 【答案】0 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，确定所有整数解后计算乘积即可． 【详解】解： 由①可得：； 由②可得：； ∴不等式组的解集为； ∴不等式组的整数解为， ∴所有整数解的积为． 26．解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，1、2 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 该不等式组的所有正整数解为1、2． 27．解不等式组：并写出全部整数解，请结合题意填空，完成本题的解答． 解：解不等式①，得：_______， 解不等式②，得：______， ∴原不等式组的解集为________，故原不等式组的整数解为________． 【答案】；；；、、 【分析】根据题意，求出不等式组解集，然后根据解集范围求出整数解即可． 【详解】解：解不等式①： ， 解不等式②： ， 不等式组的解集是：， 原不等式组的整数解为：、、． 题型八 由一元一次不等式组的解集求参数（共4小题） 28．若一元一次不等式组的整数解有个，则“”表示的不等式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得，因为不等式组有5个整数解，可得“”表示的不等式可以是，对照各选项选择即可． 【详解】解：由，得：， 一元一次不等式组的整数解有个， 整数解为、、、、， 不等式组的解集为， 则“”表示的不等式可以是， 的解集为， 的解集为， 的解集为， 的解集为， ∴选项符合． 29．已知关于的不等式组的解集是，则的值分别为（） A．1，3 B．3，1 C． D．，3 【答案】B 【分析】先推导出，继而得到，求出，即可解答． 【详解】解：由不等式组，得， ∵关于的不等式组的解集是， ∴， 解得． 30．如果不等式组的解为，则m的值为______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再根据已知不等式组的解集，对比可得的值． 【详解】解：解不等式，可得， 解不等式，可得， 因此不等式组的解集为， 已知不等式组的解集为， ∴． 31．不等式组的解集是，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中每个不等式，再根据已知解集，结合一元一次不等式组的解集确定法则，即可求出参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， ∴m的取值范围是． 题型九 由不等式组解集的情况求参数（共4小题） 32．关于的不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：关于的不等式组无解，也就是两个不等式解集没有公共部分，即，没有公共部分， ． 33．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】求出不等式组的解集，再根据所给解集结合“同小取小”，可得的取值范围. 【详解】解： 解①得：； 解②得：； ∵不等式组的解集为， ． 34．若关于的不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】解不等式组得出其解集为，根据不等式组有且只有三个整数解得出，解之可得答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为：， ∵不等式组有且只有三个整数解， ， 解得：． 35．关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，求a的取值范围． 【答案】 【分析】分别求出不等式组每个不等式的解集，然后根据数轴得出不等式组的解集，最后根据解集列出不等式求解即可． 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得； 由数轴可得不等式组的解集为， ∴， 解得． 题型十 不等式组和方程组结合的问题（共4小题） 36．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，进一步进行计算，即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 37．已知关于x，y的方程组． (1)用含m的代数式表示方程组的解； (2)若方程组的解满足，，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，当m取整数时，直接写出满足条件的所有m的值． 【答案】(1) (2) (3)整数m可取2，3，4，5 【分析】（1）将m看作已知量求解即可； （2）根据（1）中结果结合要求列不等式组求解即可； （3）根据m的取值范围作答即可． 【详解】（1）解： 得， 解得：， 将代入得， 解得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵， ∴整数m可取2，3，4，5． 38．已知方程组的解满足，． (1)求的取值范围； (2)化简： ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把当作已知数，求出、的值，再根据，列出关于的不等式组，求出的取值范围即可； （2）由的范围，根据绝对值性质去绝对值符号即可得． 【详解】（1）解：， ，得，解得， 将代入②，得，解得． ∵，， ，解得． （2）解：∵， ∴，． ∴． 39．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，关于x的不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程组用m表示x，y，根据x为非正数，y为负数，得出不等式组，即可求解； （2）不等式化为，由解为可得，可得m的范围，结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：解方程组得， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解得． （2）解：由得，， ∵不等式的解集为， ∴， ∴， ∴， 由m为整数得，． 题型十一 不等式组解决实际问题（共7小题） 40．综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 【答案】(1)①不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒；②， (2) 【分析】（1）先求A到B的时间：，推导出不能全程绿灯通过，继而求出在B路口等待红灯时间：，B到C的时间：，则总时间为，即可解答； ②先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可； （2）先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①A到B的时间：， A路口秒绿灯，秒红灯． 汽车36秒到达B路口，遇到红灯， 因此不能全程绿灯通过； 在B路口等待红灯时间：， B到C的时间：， 总时间： 答：不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒． ②B路口绿灯比A晚x秒亮起，绿灯时间段为至． 汽车36秒到达B路口，B路口为绿灯， ∴，解得， ∵， ∴x的取值范围是：， C路口绿灯每次都延迟，因此： 第1次绿灯：， 第2次绿灯：， 汽车到达C路口的时间：， 由题意，100秒在第二次绿灯内， ∴， 解得， ∵， ∴y的取值范围是； （2）解：B比A晚24秒绿灯，B路口的绿灯时段：， 对B路口：， 解得， C比A晚15秒绿灯， 因此： C路口的第1次绿灯：， C路口的第2次绿灯：，即 A到C总路程：， 对C路口： ， 解得， ∵， ∴． 41．某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 【答案】(1)一本笔记本3元，一支签字笔4元 (2)最多可购进笔记本50本 【分析】（1）设笔记本x元/本，签字笔y元/支，列出方程组求解即可； （2）设购进笔记本m本，根据题意列不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设笔记本x元/本，签字笔y元/支， ， 解得：， 答：一本笔记本3元，一支签字笔4元． （2）解：设购进笔记本m本，则签字笔支， 由题意则有， 解得， 所以的最大值为50， 答：最多可购进笔记本50本． 42．3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 【答案】(1)A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元； (2)商家共有3种进货方案． 【分析】（1）设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元，利用表格信息建立方程组解题即可； （2）设采购A种围棋m套．则采购B种围棋套，利用商家准备购进A，B两种围棋共40套，获利不低于1280元，再建立不等式组解题即可． 【详解】（1）解：设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元． 根据题意，得．解得． 答：A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元． （2）解：设商家采购A种围棋m套，则采购B种围棋套． 根据题意，得． 解得． 是正整数， 可以取8，9或10． 答：商家共有3种进货方案． 43．为了抓住世博会商机，某商店决定购进两种世博会纪念品，若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元． (1)求购进两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定拿出元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进种纪念品的数量不少于种纪念品数量的倍，且不超过种纪念品数量的倍，那么该商店共有几种进货方案？ 【答案】(1)购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元 (2)种 【分析】设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元，根据题意列出方程组解答即可求解； 设购进种纪念品个，购进种纪念品个，根据题意得，即得，进而由得到，解不等式组求出的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元， 由题意得，， 解得， 答：购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元； （2）解：设购进种纪念品个，购进种纪念品个， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 解得， 为正整数， ，，， ∴共有种进货方案． 44．某体育用品店计划试销A、B两种不同品牌的足球．已知3个A品牌足球和2个B品牌足球的售价是640元，2个A品牌足球和3个B品牌足球的售价是560元． (1)求一个A品牌足球和一个B品牌足球的售价分别是多少元？ (2)经了解，每个A品牌足球的进价是100元，每个B品牌足球的进价是50元．体育用品店购进两种足球共20个，且进货总资金不超过1450元，销售完毕后的总利润不低于800元．则体育用品店有哪几种进货方案？哪种方案能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)一个A品牌足球的售价为160元，一个B品牌足球的售价为80元 (2)共有3种进货方案，分别是①购进A品牌足球7个，B品牌足球13个；②购进A品牌足球8个，B品牌足球12个；③购进A品牌足球9个，B品牌足球11个. 购进A品牌9个、B品牌11个的方案利润最大，最大利润为870元 【分析】（1）设一个A品牌足球的售价为x元，一个B品牌足球的售价为y元，根据题意，得：，解答即可； （2）设购买A品牌足球个，购买B品牌足球个，根据题意得 ，解答即可． 【详解】（1）解：设一个A品牌足球的售价为x元，一个B品牌足球的售价为y元， 根据题意，得：， 解得：． 答：一个A品牌足球的售价为160元，一个B品牌足球的售价为80元； （2）解：设购买A品牌足球个，购买B品牌足球个，根据题意得， 解得， 由m是正整数， 故的值为， 故共有3种进货方案，分别是①购进A品牌足球7个，B品牌足球个； ②购进A品牌足球8个，B品牌足球个； ③购进A品牌足球9个，B品牌足球个； 设总利润为w元，根据题意，得， 又w随m的增大而增大， 故时，w取得最大值，此时（元）， 故购进A品牌9个、B品牌11个的方案利润最大，最大利润为870元． 45．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 46．《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．”意思是：每斗粟米，可兑换斗糙米．某农户原存有粟米斗，后续每天可收获新粟米斗，积攒若干天后一次性全部用来兑换糙米．若要求兑换所得糙米总量不少于斗且不超过斗，请问需要积攒多少天才能满足兑换要求？ 【答案】需要积攒天到天（包含天和天），即天数为满足的正整数 【分析】先设积攒天数为未知数，根据粟米兑换糙米的比例得到糙米总量的表达式，再结合糙米总量的范围要求列出不等式组，求解后结合天数为正整数的实际条件得到结果； 【详解】设需要积攒天，为正整数， 由题意得：每斗粟米，可兑换斗糙米，兑换糙米的比例为，总粟米量为斗， 因此兑换所得糙米总量为， 根据兑换要求列不等式组：， 由得：， ， 由得：， ， 不等式组的解集为， 为正整数， ． 题型十二 与不等式(组)有关的新定义问题（共4小题） 47．定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以是不等式组的“关联方程”，若关于的方程是不等式组的“关联方程”，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先求出给定一元一次方程的解，再解一元一次不等式组得到解集，根据“关联方程”的定义，使方程的解落在不等式组的解集范围内，构造关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程得． 解不等式得， 解不等式得， 因此不等式组的解集为． 因为是该不等式组的“关联方程”， 所以方程的解在不等式组的解集范围内， 可得， 解得． 48．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组） 和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式____的“梦想解”；（填序号） ①，②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． 【答案】(1)③ (2)或 【分析】（1）分别将代入三个不等式并判断能否成立即可得解； （2）先解二元一次方程组，根据“梦想解”的定义将方程组的解代入不等式组求得得取值范围即可得到得整数解；利用加减消元法求出，再结合不等式组推出即可得解． 【详解】（1）解：当时，①， 即不是不等式①的解，不符合题意； 当时，②， 即不是不等式②的解，不符合题意； 当时，③， 即是不等式③的解，符合题意． （2）解：， 得， ， 将代入得， ， 二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 是不等式组的解， 把代入不等式组得， 解不等式组得， 为整数， 或； 法二：由已知得，， 又， ， 解得， 为整数， 或． 49．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的一个解，那么我们称这个一元一次方程为该不等式组的“约定方程”，例如方程的解为，不等式组的解集因为，所以方程是不等式组的“约定方程”． (1)方程是否为不等式组．的“约定方程”？并说明理由． (2)若关于的方程是不等式组的“约定方程”，求的取值范围． (3)若方程和方程都是关于的不等式组的“约定方程”，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求出方程的解，再解不等式组，最后验证方程的解是否在不等式组的解集内，判断是否满足 “约定方程” 的定义； （2）先解不等式组得到解集，再求出方程的解，根据 “方程的解在不等式组解集内” 列不等式，求解a的取值范围； （3）先求出两个方程的解，再解含参数的不等式组（需对参数的符号进行分类讨论），根据 “两个方程的解都在不等式组的解集内” 列不等式，求解的取值范围． 【详解】（1）解：解方程得， 不等式组的解集为 ， 方程是不等式组的“约定方程”； （2）解方程得， 不等式组的解集为， 关于的方程是不等式组的“约定方程”， ； 解得； （3）解方程得， 解方程得， 解不等式①得， 解不等式②得， 当时，不等式组的解集为， 方程的解和均不满足，不符合题意； 当时，不等式组的解集为， 上述两方程都是不等式组的约定方程， 解得， 的取值范围为． 50．阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫作这个方程（组）的“友谊解”．例如：就是方程的一组“友谊解”；是方程组的一组“友谊解”． (1)请直接写出方程的所有“友谊解”； (2)关于x，y，k的方程组有“友谊解”吗？若有，请求出对应的“友谊解”；若没有，请说明理由． 【答案】(1) 或 (2) 有，友谊解为 【分析】（1）根据友谊解的定义，变形方程后确定x的取值范围，列举正整数得到所有解； （2）先消元用k表示出x和y，再根据正整数的要求确定k的取值范围，筛选出符合条件的k，进而得到方程组的友谊解； 【详解】（1）解：由，得， x，y为正整数， ， 解得：， ∴正整数只能取或， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； ∴方程的所有“友谊解”为： 或； （2）解：， ，得， 整理得， 将代入①，得， x，y，k都是正整数， ， 解得：， 又∵和均为正整数， ∴必须是4的倍数， 在的正整数中，只有符合要求， 代入得， 再代入①得， ∴方程组有“友谊解”，对应的“友谊解”为：． $