专题04 平面内的两条直线（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材湘教版

**基本信息** 以平移、平行线、垂线性质为基础，通过8类题型构建从性质应用到模型建构的递进训练体系，突出几何直观与推理意识的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移性质|4题|对应点距离计算、面积转化|平移基本性质→图形变换应用| |平行线角关系探究|4题|同位角/内错角转化、分类讨论|平行线性质→角关系推理| |平行线求角度|4题|性质与判定综合、多步推理|性质应用→角度计算| |平行线判定与性质求角度|4题|角平分线模型、动态问题分析|判定与性质结合→综合计算| |平行线判定与性质证明|4题|等量代换、辅助线添加|逻辑推理→证明规范| |垂线性质|4题|点到直线距离、最短路径|垂线定义→距离应用| |平行线间距离|4题|等积变形、面积关系转化|距离性质→面积计算| |拐点模型|5题|过拐点作平行线、模型结论归纳|基本模型→复杂图形转化|

专题04 平面内的两条直线 题型1 利用平移的性质求解（常考点） 题型5 根据平行线判定与性质证明（常考点） 题型2 根据平行线的性质探究角的关系（重点） 题型6 利用垂线的性质求解（常考点） 题型3 根据平行线的性质求角的度数（常考点） 题型7 利用平行线间距离解决问题（常考点） 题型4 根据平行线判定与性质求角度（常考点） 题型8 平行线的拐点模型（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用平移的性质求解·（共4小题） 1．如图，将沿所在直线向右平移，得到，其中点的对应点为，点的对应点为．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，．将沿BC向右平移，得到，与交于点D，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______． 3．三角形是由三角形通过平移得到，且点在同一条直线上，若，，则的长度是______． 4．如图，将正方形沿方向平移得到正方形（点、、、的对应点分别是点、、、），点、、、在一条直线上，已知正方形的边长为，则阴影部分的面积为__________． 题型二 根据平行线的性质探究角的关系（共4小题） 5．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置（直角顶点在纸条一边上），则下列结论一定正确的是________（填序号）． ①；    ②；    ③；    ④． 6．如图，点分别在线段上，线段交于点，找出图中所有与相等的角：_____． 7．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形解答下列问题： (1)如图，，图①中与的关系是______；图②中与的关系是______； (2)由（1）可以得出以下结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么______； (3)应用：已知两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 8．中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且，．求证：． 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：∵（已知）， ∴（________________________）， 又∵（已知）， ∴______（等量代换）， 又∵（已知）， ∴（__________________）， ∴（等量代换）， 又∵（平角的定义）， ∴（________________________）． 题型三 根据平行线的性质求角的度数（共4小题） 9．如图，分别表示两面互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，光线经镜面反射后的反射光线为（反射角等于入射角）．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．如图所示的是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点在直线上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．已知与的两边分别平行，且比的2倍多，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 12．如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果，，那么光的传播方向改变了（     ）． A． B． C． D． 题型四 根据平行线判定与性质求角度（共4小题） 13．2026年央视春晚武术节目《武》以“人机共武”表演惊艳全球，首次实现机器人持武器动态操控，成为科技与传统文化融合的典范之作．如图1是机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，其中，，，则（     ） A． B． C． D． 14．已知：，点C在点D的右侧，B是AG上一动点，连接平分，DE平分，所在直线交于点E，，．则的度数是______． 15．如图，已知点，在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． 16．如图，在三角形中，点，在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 题型五 根据平行线判定与性质证明（共4小题） 17．如图，，平分、与相交于点，． (1)试说明：； (2)当时，求的大小． 18．如图，是延长线的一点，连接交于点，若． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 19．在学习完相交线和平行线后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕相交线和平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能 (1)问题情景：如图，已知， ①问题初探：求证：； ②拓展探究：试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由 (2)迁移应用：如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，则的度数为______（直接写出答案）． 20．如图，点分别是线段上的点，连接． (1)尺规作图：在射线上作．并连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：． （请把以下证明过程补充完整） 证明：，（已知） ①______（②______）． 又（已知） ③______，（等式的基本事实） ．（④______） （⑤______）． 又，（已知） （⑥______） ．（同位角相等，两直线平行） 题型六 利用垂线的性质求解（共4小题） 21．如图，点为直线外一点，点，点为直线上的两点，已知，，则点到直线的距离可能为（    ） A．1.8 B．2.2 C．2.5 D．2.8 22．如图，的面积为，若，点在直线上运动，则线段长度的最小值是_____． 23．如图，直线相交于点平分平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．如图，已知三角形，根据要求用直尺和三角尺画图，并回答问题： (1)过点画，垂足为；点到的距离是线段___________的长； (2)过点画，交于点． 题型七 利用平行线间距离解决问题（共4小题） 25．在长方形中，，．点从点出发，沿边向点以的速度运动（点不与点重合）；点是边上任意一点．设点的运动时间为，的面积为，则与之间的关系式为（   ） A． B． C． D．不能确定 26．如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．如图，，的平分线交于点，是上一点，的平分线交于点，且，连接，则下列结论正确的是（   ） ①平分 ②三角形与三角形的面积相等 ③与互余的角有2个 ④若，则 A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 28．如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，且，若的面积为3，则四边形的面积为_____． 题型八 平行线的拐点模型（共5小题） 29．如图，，则；如图，，则；如图，，则；如图，，则．以上结论正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 30．如图，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 31．综合与探究 问题情境：如图1，已知 ，点在直线、之间，连接、，探究与、之间的数量关系． 探究发现： (1)如图1，过点作 ，请完成下列填空： ∵ ， ， ∴ ． ∴，（__________________）． ∴． 即与、的数量关系是______． (2)如图2，若平分，平分，且点在与之间，请直接写出与的数量关系． 32．已知直线，在三角形纸板中，，． (1)将三角板按图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则　　，　　； (2)将三角板EFG按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求α、β之间的数量关系； (3)在图2中，若，，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒．当三角形的两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 33．按要求解决问题： 【习题变式】 (1)小明学完第8章后，对青岛版初中数学教材七下第52页第13题，进行了变式思考：如图1，，点E在，之间，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【习题反思】 (2)小明在完成第13题的变式思考后，对该页的第11题又作了探究反思：如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点A处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点D．课本11题中直接指出，小明想知道为什么？他通过查阅资料，知道了光的反射原理：法线与平面镜l垂直，即，垂足为点O，入射光线经过镜面反射后，光线的反射角等于入射角．小明明白了，图中与相等为什么是正确的，请你帮小明说明理由； 【迁移应用】 (3)如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜，，，，其中，若光线从上的E处射出，在平面镜上经点F反射后，到达上的点G，在平面镜上经点G反射后，到达上的点H，…其传播路径为…请结合上面（1）、（2）两个小题的结论，判断与的数量关系，并说明理由． $专题04 平面内的两条直线 题型1 利用平移的性质求解（常考点） 题型5 根据平行线判定与性质证明（常考点） 题型2 根据平行线的性质探究角的关系（重点） 题型6 利用垂线的性质求解（常考点） 题型3 根据平行线的性质求角的度数（常考点） 题型7 利用平行线间距离解决问题（常考点） 题型4 根据平行线判定与性质求角度（常考点） 题型8 平行线的拐点模型（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用平移的性质求解·（共4小题） 1．如图，将沿所在直线向右平移，得到，其中点的对应点为，点的对应点为．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质得出，再求出结果即可． 【详解】解：∵将沿所在直线向右平移，得到， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在中，．将沿BC向右平移，得到，与交于点D，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】8 【分析】利用平移的性质得到，，，从而可得，，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：∵将沿向右平移，得到，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ． 3．三角形是由三角形通过平移得到，且点在同一条直线上，若，，则的长度是______． 【答案】 【分析】根据平移的性质，平移后各组对应点的连线相等，可得，结合点共线，利用线段和差关系列等式计算即可得到的长度． 【详解】解：三角形是由三角形通过平移得到， ， 点在同一条直线上， ， 将，，代入得：， 解得， 4．如图，将正方形沿方向平移得到正方形（点、、、的对应点分别是点、、、），点、、、在一条直线上，已知正方形的边长为，则阴影部分的面积为__________． 【答案】35 【分析】先根据平移的性质可得，，求出的长，然后根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由平移可得，，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 题型二 根据平行线的性质探究角的关系（共4小题） 5．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置（直角顶点在纸条一边上），则下列结论一定正确的是________（填序号）． ①；    ②；    ③；    ④． 【答案】①②③ 【详解】解：①根据两直线平行，同位角相等，可得，故①正确； ②根据两直线平行，同旁内角互补，可得，故②正确； ③由三角板的顶角是直角，则，故③正确； ④不一定能成立，故④不正确 6．如图，点分别在线段上，线段交于点，找出图中所有与相等的角：_____． 【答案】，， 【分析】根据平行线的性质和对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）， 又∵与是对顶角， ∴（对顶角相等）， ∴图中与相等的角有，，． 7．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形解答下列问题： (1)如图，，图①中与的关系是______；图②中与的关系是______； (2)由（1）可以得出以下结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么______； (3)应用：已知两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 【答案】(1)； (2)这两个角相等或互补 (3)，或， 【分析】（1）根据平行线的性质即可得到答案； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）设这两个角的度数分别为，分两种情况：和，根据题意分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①所示，设交于点H， ∵， ∴， ∴； 如图②所示，设交于点H， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （3）解：设这两个角的度数分别为， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得 ， ∴； 综上所述，这两个角的度数分别为，或，． 8．中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且，．求证：． 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：∵（已知）， ∴（________________________）， 又∵（已知）， ∴______（等量代换）， 又∵（已知）， ∴（__________________）， ∴（等量代换）， 又∵（平角的定义）， ∴（________________________）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等 【分析】根据平行线的性质及同角的补角相等补全证明过程即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴ （等量代换）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴（等量代换）， 又∵（平角的定义）， ∴（同角的补角相等）． 题型三 根据平行线的性质求角的度数（共4小题） 9．如图，分别表示两面互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，光线经镜面反射后的反射光线为（反射角等于入射角）．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作于点B，过点C作于点C，根据反射角等于入射角，平行线的性质，角的和，平角的定义解答即可； 【详解】解：过点B作于点B，过点C作于点C， 则， 根据反射角等于入射角，得， ， ， ， ， ， ， ， ； 10．仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．如图所示的是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点在直线上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质求出的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴． 11．已知与的两边分别平行，且比的2倍多，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：∵与的两边分别平行， ∴或， ∵比的2倍多， ∴， ∴且， ∴， 解得． 12．如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果，，那么光的传播方向改变了（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题可知：， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 题型四 根据平行线判定与性质求角度（共4小题） 13．2026年央视春晚武术节目《武》以“人机共武”表演惊艳全球，首次实现机器人持武器动态操控，成为科技与传统文化融合的典范之作．如图1是机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，其中，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，由平行和垂直可得，进而得出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．已知：，点C在点D的右侧，B是AG上一动点，连接平分，DE平分，所在直线交于点E，，．则的度数是______． 【答案】/47度 【分析】根据角平分线的定义求出和的度数，过点作，利用平行公理推论得到，再根据两直线平行内错角相等，将转化为与的和即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， 过点作（在点左侧），如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，已知点，在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：因为， 所以(同位角相等，两直线平行) ． (2)解：．理由如下： 因为， 所以． 又， 所以． 所以， 所以． (3) 【分析】（1）根据平行线的判定定理进行判断，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，结合已知可得，即可证明，根据平行线的性质，即可得出结论； （3）根据平行线的性质可得，，再根据角的和差以及对顶角相等即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 16．如图，在三角形中，点，在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) ，理由见解析； (2)． 【分析】（1）先由，根据同位角相等，两直线平行，证得，推出；再结合，通过等量代换得到，根据同旁内角互补，两直线平行，证得． （2）先由和的度数，求出的度数；再结合平行线的性质与邻补角的定义，求出的度数；最后根据，利用平行线的性质求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型五 根据平行线判定与性质证明（共4小题） 17．如图，，平分、与相交于点，． (1)试说明：； (2)当时，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平分得，根据，，推出，即可求证； （2）根据平行线的性质得出，再由角平分线确定，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 18．如图，是延长线的一点，连接交于点，若． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据，得出，再根据平行线的判定得出，然后根据平行线的性质即可得证； （2）结合（1）中结论可得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，，然后结合已知即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，， 又， ∴． 19．在学习完相交线和平行线后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕相交线和平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能 (1)问题情景：如图，已知， ①问题初探：求证：； ②拓展探究：试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由 (2)迁移应用：如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，则的度数为______（直接写出答案）． 【答案】(1)①证明： ， ， ， ， ， ； ②解：，理由如下： 如图所示，过点F作， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）①略； ②解：，理由略； （2）解：如图所示，，，的顶点分别为C，B，F， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴， 即． 20．如图，点分别是线段上的点，连接． (1)尺规作图：在射线上作．并连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：． （请把以下证明过程补充完整） 证明：，（已知） ①______（②______）． 又（已知） ③______，（等式的基本事实） ．（④______） （⑤______）． 又，（已知） （⑥______） ．（同位角相等，两直线平行） 【答案】(1)见解析 (2)①；②两直线平行，内错角相等；③；④同位角相等，两直线平行；⑤两直线平行，同位角相等；⑥等式的基本事实 【分析】（1）以为圆心，长为半径画弧，交于，连接，即可得到答案； （2）根据平行线的性质和等量代换得到，再根据平行线的判定即可推出． 【详解】（1）解：根据题意画出图如图所示：   ； （2）证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 题型六 利用垂线的性质求解（共4小题） 21．如图，点为直线外一点，点，点为直线上的两点，已知，，则点到直线的距离可能为（    ） A．1.8 B．2.2 C．2.5 D．2.8 【答案】A 【分析】根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”这一性质，可知点 到直线的距离应小于或等于与中的较小值，据此判断即可． 【详解】解：设点 到直线 的距离为． 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， 且 ． ，， ． 22．如图，的面积为，若，点在直线上运动，则线段长度的最小值是_____． 【答案】 【分析】根据“垂线段最短”可知，当时，线段的长度最小． 【详解】根据题意可知，当时，线段的长度最小． 当时，可得 ． 即． 所以，． 所以，线段长度的最小值是． 23．如图，直线相交于点平分平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义，角的和差关系求出，即可得证； （2）根据角平分线的定义，求出 ，进而求出，再根据角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）证明：平分平分， ， ， ， ； （2）解：平分 ， ， ， 平分， ． 24．如图，已知三角形，根据要求用直尺和三角尺画图，并回答问题： (1)过点画，垂足为；点到的距离是线段___________的长； (2)过点画，交于点． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 【分析】（1）利用三角尺的直角和直尺画图，根据垂线段的长度即为点到直线的距离求解； （2）利用直尺和三角尺画平行线． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求， 点到的距离是线段的长度， 画图说明：直尺和重合，三角尺的一直角边过点，利用一直角边与直尺重合，过点向画线即可； （2）解：如图所示，即为所求， 画图说明：三角尺直角顶点与点重合，一直角边与重合，另一直角边与直尺重合，三角尺沿着直尺移动，经过点时，画射线即可； 题型七 利用平行线间距离解决问题（共4小题） 25．在长方形中，，．点从点出发，沿边向点以的速度运动（点不与点重合）；点是边上任意一点．设点的运动时间为，的面积为，则与之间的关系式为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】由题意得，，则，再由三角形面积公式即可建立关系式． 【详解】解：由题意得，，则， ∵四边形是长方形， ∴， ∴之间的距离相等，都等于， ∴． 26．如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据，，平行线之间距离相等，可得三角形之间同底等高，进而得出结论． 【详解】∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∴与面积相等的三角形为：、、，共有3个． 27．如图，，的平分线交于点，是上一点，的平分线交于点，且，连接，则下列结论正确的是（   ） ①平分 ②三角形与三角形的面积相等 ③与互余的角有2个 ④若，则 A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】由，可得，即，由是的平分线，是的平分线，可得，，由，可得，即平分，可判断①的正误；由，可知与的面积相等，可判断②的正误；由，可证，则与互余的角有，，，共4个，可判断③的正误；由，可得，则，，可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴平分，①正确，故符合要求； ∵， ∴与的面积相等，②正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与互余的角有，，，共4个，③错误，故不符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴，④正确，故符合要求； 综上，①②④正确，A选项符合题意． 28．如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，且，若的面积为3，则四边形的面积为_____． 【答案】9 【分析】根据平行线间间距相等得到，据此得到的面积为6，则四边形的面积为． 【详解】解：直线， ， 的面积为3， 的面积为6， 四边形的面积为． 题型八 平行线的拐点模型（共5小题） 29．如图，，则；如图，，则；如图，，则；如图，，则．以上结论正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】过拐点作平行线，利用平行线的同旁内角互补，分别列出、与内错角的关系，然后计算进行判断；过拐点作平行线，利用平行线的内错角相等，分别得到、，然后将两式相加进行判断；过拐点作平行线，用同旁内角互补表示，用内错角相等表示，然后代入进行判断；过点作，利用平行线的内错角相等传递角度进行判断． 【详解】解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ，即， 故①错误； 如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ， 故正确； 如图，过点作，则， ， ，即， ， ， ， ， 即， 故正确； 如图，过点作，则， ， ，， ， ， ， 故正确． 综上，正确结论的个数为个． 30．如图，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点分别向左作，根据两直线平行同旁内角互补求解即可． 【详解】解：过点分别向左作， ∵ ∴ ∴，， ∴ ∴ 31．综合与探究 问题情境：如图1，已知 ，点在直线、之间，连接、，探究与、之间的数量关系． 探究发现： (1)如图1，过点作 ，请完成下列填空： ∵ ， ， ∴ ． ∴，（__________________）． ∴． 即与、的数量关系是______． (2)如图2，若平分，平分，且点在与之间，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等； (2) 【分析】（1）过点作，利用平行公理的推论得到，再根据平行线的性质得到内错角相等，最后通过角的和差关系推导出与、的数量关系． （2）先利用（1）的结论，分别表示出和与对应角的关系，再结合角平分线的定义，通过等量代换推导出与的数量关系． 【详解】（1）解：过点作 ， ∵ ， ， ∴ ． ∴，（两直线平行，内错角相等）． ∴． （2）解：由（1）的结论可得：， 平分， ． 平分， ． ．即． 32．已知直线，在三角形纸板中，，． (1)将三角板按图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则　　，　　； (2)将三角板EFG按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求α、β之间的数量关系； (3)在图2中，若，，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒．当三角形的两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 【答案】(1)，55 (2) (3)或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键． （1）过F点作，根据、，，即可求解； （2）过F点作，根据、即可求解； （3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解． 【详解】（1）解：过F点作，如图所示： ∵，，， ∴ ， ∴，，， ∴； 故答案为：；55． （2）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 即：； （3）解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 33．按要求解决问题： 【习题变式】 (1)小明学完第8章后，对青岛版初中数学教材七下第52页第13题，进行了变式思考：如图1，，点E在，之间，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【习题反思】 (2)小明在完成第13题的变式思考后，对该页的第11题又作了探究反思：如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点A处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点D．课本11题中直接指出，小明想知道为什么？他通过查阅资料，知道了光的反射原理：法线与平面镜l垂直，即，垂足为点O，入射光线经过镜面反射后，光线的反射角等于入射角．小明明白了，图中与相等为什么是正确的，请你帮小明说明理由； 【迁移应用】 (3)如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜，，，，其中，若光线从上的E处射出，在平面镜上经点F反射后，到达上的点G，在平面镜上经点G反射后，到达上的点H，…其传播路径为…请结合上面（1）、（2）两个小题的结论，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)相等，理由见解析 【分析】（1）过点E作，利用平行线性质和判定推出，即可得到之间的数量关系； （2）根据垂直定义，以及光线的入射角等于反射角，即可导角推出； （3）由（2）的结论得∶，即，再结合（1）的结论得∶，即可推出与的数量关系． 【详解】（1）解：之间的数量关系是∶ ， 理由如下∶ 过点E作， 如图所示∶ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：理由如下∶ ∵， ∴， ∴， ∵光线的入射角等于反射角， ∴， ∴； （3）解：与的数量关系是∶， 理由如下∶ 由（2）的结论得∶， ∴， ∵， 由（1）的结论得∶， ∴． $