1.3乘法公式 期末复习综合练习题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦乘法公式（平方差、完全平方）的系统性应用，通过"代数变形-几何验证-综合拓展"三阶训练，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公式直接应用|单选1-3、解答17-18|公式结构识别（符号特征、项数匹配）|从公式原型到变式应用，强化结构认知| |公式变形与求值|单选4-6、填空9-12|整体代入法（a²+b²=(a+b)²-2ab）、配方法|建立"已知式→目标式"的变形桥梁，提升运算能力| |几何直观与公式验证|单选7、填空13/16、解答22-23|面积割补法（图形面积表示代数恒等式）|通过几何图形验证公式推导过程，发展几何直观| |综合应用与拓展|单选8、解答21|规律探究（周期问题）、最值问题（非负性应用）|从代数推理到实际应用，培养创新意识与推理能力|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《1.3乘法公式》期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1.等式y-x=y2-x成立，横线内应填入下式中的() A.x-y B.y-x C.-x-y D.x+y 2.下列整式乘法能用平方差公式计算的是() A.2a+b 2a-2b) B.a-2b-2b-a) C.b-2a 2a-b D.(2a-b(-b+2a 3.运用完全平方公式计算39.6的最佳选择是() A.(38+1.6}B.(40-0.42 C.(30+9.62 D.(50-10.42 4.若gX2+k-2x+16能用完全平方公式因式分解，则k的值为（） A.±24 B.±26 C.26或-22 D.-26或22 5.已知a+b=1,则代数式a2-b+2b+9的值为() A.13 B.12 C.11 D.10 6.已知a+bP=25'ab=6则a2+b的值为（） A.13 B.19 C.26 D.31 7.如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.观察图形，通过 面积的计算，可以验证的恒等式是() 6 a a a 6 A.la-bP2=a2-2ab+b2 B.ala+b)=a+ab C.(a+bl(a-b)=a2-b D.(a+bP2=d+2ab+b2 8.发现：7=7,7=49,73=343,74=2401,7=16807,7=117649…依据 上述规律，通过计算判断6×7+172+17产+17+1小…74+1+1的结果的个位数字 是() A.7 B.9 C.3 D.1 二、填空题（满分24分） 9.已知a-b=1,则a2-b2-2b的值为一 10.若2x+1=4X+mx+m则m-n的值是 11.已知a与b互为相反数，则代数式a+2ab+b2-2025的值为 12.若M=20252-2024×2026,N=20252-4050×2026+20262,则MN(填“ >”“<”或“=”)： 13.把长和宽分别为a和b的四个完全相同的小长方形拼成如图的大正方形，若图中每个小 长方形的面积均为4，大正方形的边长为6，则a-b-一 b b a 14.已知a=x+2025,b=x+2023,c=x+2024,当a2+b2=6时，则c2的值是 15.一个长方形的周长为12，以这个长方形的长和宽分别向外作四个正方形，若这四个正 方形的面积之和为48，则这个长方形的面积为 16.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在AD,DC边上，且AE=5,CF=2,长方 形DEGF的面积是12.分别以DE,DF为边在正方形ABCD外部作正方形①和正方形②， 则正方形①和正方形②面积的和为 (① D ② F G 三、解答题（满分72分) 17.(12分)运用平方差公式计算： (1)5+al(5-a)' 2)2a-3b12a+3b° 3)-1+3x-1-3x 43x-y川方x-y 18.(12分)计算： (1-5a+4b2 2- 19.（12分)计算与化简： 1+--n-314+-2025 (2-xyP+xy(-2xy 3)3x+y-23x-y+2月 4x+2yx2-4y2x-2y 20.(6分)先化简，再求值：2m+32m-31+3mlm+1-(2m-1P其中 3m2+7m-3=0. 21.(8分)先仔细阅读材料，再尝试解决问题： 完全平方公式X±2y+y=(x士yP及(x±yP的值恒为非负数的特点在数学学习中有着 广泛的应用，比如探求多项式x+12x-4的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式=x2+12x+36-36-4 =(x+62-40 因为无论x取什么数，都有(x+62的值为非负数，所以(x+6P的最小值为0，此时x=-6 进而(x+62-40的最小值是0-40=-40所以当x=-6时，原多项式的最小值是_40： 解决问题：请根据上面的解题思路，探求 (1)多项式x2-6x+12的最小值是多少，并写出对应的x的取值： (2)多项式-x2-2x+8的最大值是多少，并写出对应的x的取值. 22.(11分)如图，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形. by -a- 图1 图2 (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为 (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式 表示此长方形的面积为 (3)比较(2)、（1)的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式 (4)【问题解决】利用(3)的公式解决问题： ①己知4m-n2=122m+n=4则2m- 的值为 ②直接写出下面算式的计算结果： 11 23.(11分)【理解】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是 边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b,宽为a的长方形.并 用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形. a b 6 B b C 图1 图2 (1)如图2，请你写出代数式：a+b:a2+b2:ab之间的等量关系一： 【运用】(2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题： 已知：ad2+b2=24a+b=6:求ab和a-b2的值： 【感悟】(3)已x-20232025-X=-7求x-202312+2025-x2 参考答案 1.解：y-xy+x=y2-x2” 故选：D. 2.解：A、2a+b2a-2b,不能用平方差公式计算，故选项不符合题意： B、a-2b川-2b-a=-a-2ba+2b,能用平方差公式计算，故选项符合题意； c、b-2a2a-b=-b-2ab-2a,不能用平方差公式计算，故选项不符合题意： D、2a-b-b+2a=-2a-bb-2a,不能用平方差公式计算，故选项不符合题意； 故选：B. 3.解：A.(38+1.6=382+2×38×1.6 B.(40-0.42=402-2×40×0.4+0.42 C.(30+9.62=302+2×30×9.6 D.(50-10.42=502-2×50×10.42 选项A、C、D都不如选项B好算， 故选：B. 4.解：根据题意得：9x2+k-2x+16=3x±4， .k-2=±24， .k=-22或26. 故选：C 5.解：，a+b=1, .a=1-b, ∴.a2-b2+2b+9 =1-b2-b2+2b+9 =1-2b+b2-b2+2b+9 =10, 故选：D. 6.解：a+bP=a2+2ab+b2 a7+b2=a+b2-2ab=25-2×6=13 故选：A· 7.解：由图知，第一个长方形的面积为a+b川a-b, 第二个图形的面积为a2-b2, ila+bl(a-bl=a-b2' 故选：C. 8.解：6×7+172+174+173+174+1+1 =7-1×7+172+174+1川78+1.74+1+1' =72-1川72+174+1j川78+1.…74+1+1' =74-1754+1+1' =7128, 根据题中规律可得从7到7，结果的个位数字四个一循环，分别为7,9,3,1， ,128÷4=32, ∴.7128的结果的个位数字为1， 故答案为：D. 9.解：a-b=1, a2-b2-2b =a+ba-b-2b =a+b-2b =a-b =1: 故答案为：1. 10.解：2x+1P=4X2+4x+1'(2x+1P=4x2+mx+n ∴.m=4,n=1, ∴.m-n=4-1=3, 故答案为：3， 11.解：a,b互为相反数， .a+b=0, a7+2ab+b2-2025=a+b-2025=0-2025=-2025' .a2+2ab+b2-2025的值为-2025， 故答案为：-2025. 12.解： M=20252-2024×2026=20252-2025-1×2025+1=20252-20252-1=1' N=20252-4050×2026+20262=20252-2×2025×2026+20262=2025-20262=1' .M=N, 故答案为：= 13.解：由题意得：中间小正方形的面积为： |a-b2=a+b2-4ab=62-4×4=20' 即1a-b的值为20. 故答案为：20. 14.解：，a=X+2025,b=x+2023,a2+b2=6 “x+20252+x+20232=6 x+2024+1+x+2024-12=6 x+20242+2x+2024+1+x+2024-2x+2024+1=6 x+20242=2 即c2=2 故答案为：2. 15.解：设长方形长为X,宽为y, 根据题意有2x+y=12'2x2+y2=48 整理得x+y=6,x2+y2=24, x+y2=x2+2xy+y2=36' .∴.2Xy+24=36, .y=6, 则这个长方形的面积为6： 故答案为：6. 16.解：设正方形①的边长为a,正方形②的边长为b,则ab=S长方形Dc=12, ,AE=5,CF=2, ∴.AD=5+a=CD=2+b, 即b-a=3, “b-aP=b-2ab+a2” .9=b2-24+a2, .b2+a2=33, 即正方形①和正方形②面积的和为33， 故答案为：33 17.(1)解：5+a5-a =52-a2 =25-a2: (2)解：2a-3b2a+3b =2a2-3b2 =4a2-9b2; (3)解：-1+3x-1-3x =-12-3x2 =1-9x2; 片×um-x+w-e 越() 6 9号+90 06b= :q91+qD0t-DSZ= 9+qb×DS-×Z+DS-= 9b+DS-:揭(1)8L 9- 小。 9-- -导j-引 1 16 9.1解-1+-m-3144-22l =-1+4-1+2025 =2027: (2)解：-xy3+xy(-2xwP =-xy3+xy.4x2y2 =-x5y3+4xy2 =3xy2: (3)解：3x+y-23x-y+2 =3x+y-2l3x-y-2 =3x2-y-22 =9x2-y2-4y+4 =9x2-y2+4y-4: (4)解：x+2yx2-4y21x-2y =x+2y川x-2yx-4y2 =x2-4y2P =x4-8x2y2+16y2. 20.解：2m+32m-3+3mm+1-(2m-1 =4m2-9+3m2+3m-4m2-4m+1 =4m2-9+3m2+3m-4m2+4m-1 =3m2+7m-10, .3m2+7m-3=0, ∴.3m2+7m=3, ∴.原式=3-10=-7 21.(1)解：x2-6x+12 =x2-6x+9-9+12 =x2-6x+9-9+12 =x-32+3' 因为无论x取什么数，都有x-3的值为非负数， 所以x-3P的最小值为0，此时x=3 所以x-3+3的最小值是0+3=3 所以当x=3时，原多项式的最小值是3： (2)解：-x2-2x+8 =-x2+2x+8 =-x2+2x+1-1+8 =-x+12+9 ”-x+12≤01 六当-x+1=0值最大， 解得X=-1, 此时原式的最大值为0+9=9， .x=-1时，原多项式的最大值是9. 22.(1)解：由题意得 S影=S大正方形-S小正方形 =a2-b2: 故答案为：a2-b2: (2)解：由题意得 拼接后的长方形长为a+b、宽为a-b, S阴g=(a+b)(a-b): 故答案为：(a+b)(a-b): (3)解：阴影部分图形拼接前后，面积不变， ∴.a2-b2=(a+b)(a-b) 故答案为：a2-b=(a+b川a-b) (4)解：①.·4m2-n2=12, .2m+nl2m-n=12 .2m+n=4, .∴.2m-n=3, 故答案为：3： @1-111 1-1+1-1+1-1+1-1*-121*3 x3×2x4x3x5x.×2022x2024 X- 223344 20232023 1×2024 -22023 =1012 2023 故答案为： 1012 2023 23.解：(1)图2是边长为a+b的正方形， 六s=a+b2 ,图2可看成1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形以及2个长为b,宽为a的长 方形的组合图形， ∴.S=a2+b2+2ab, ila+bP2-a2+b2+2ab 故答案为：(a+b2=a2+b2+2ab (2)a+b=6, 六a+b2=62 即a+b2+2ab=36, 又a2+b2=24, .ab=6, a-b2=a2+b2-2ab=24-2×6=12 (3)设X-2023=a,2025-x=b, ∴.a+b=x-2023+2025-x=2, a+b2=22 即a2+b2+2ab=4, .x-20232025-x=-7, ∴.ab=-7, 六a2+b2+2x-7=4 ∴.a2+b2=18 即x-2023+2025-x2=18