精品解析：北京市东城区2025-2026学年度第二学期初三年级统一测试（二）数学试卷

东城区2025－2026学年度第二学期初三年级统一测试（二） 数学试卷2026.6 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 2. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】先使用夹逼法估算无理数的大小，再利用不等式性质得到的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 将不等式三边同时加1得： ， 即， 因此的值在3和4之间． 3. 如图，，直线与直线，分别交于点E，F，直线与直线交于点G．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．根据平行线的性质得到，进而根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B 4. 五边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据边形的内角和为，将代入，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，五边形的内角和为， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和．解题的关键在于明确边形的内角和为． 5. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴判断的符号及绝对值的大小． 【详解】解：由数轴可知， ， ，故选项A错误，不符合题意； ， ，故选项B错误，不符合题意； 由数轴观察可知，b到原点的距离大于c到原点的距离，即， 故选项D正确，符合题意； ，且， ∴， ∴，故选项C错误，不符合题意． 6. 某班学生到首都博物馆参观．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“伯矩鬲”“堇鼎”“元青花凤首扁壶”为主题的三张文创卡片，它们除正面图案外完全相同．把这些卡片背面朝上洗匀，每位同学从中随机抽取一张卡片，根据卡片图案领取相应纪念品，再将卡片放回后洗匀，下一位同学再抽．甲、乙两位同学都抽到主题为“伯矩鬲”的卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出列表，结合列表求解即可． 【详解】解：分别以A、B、C表示“伯矩鬲”“堇鼎”“元青花凤首扁壶”为主题的三张文创卡片，根据题意，作出列表，如下所示， 乙 甲 A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 由列表可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙都抽到“伯矩鬲”的结果只有1种， ∴所求概率为． 7. 如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识； 根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解. 【详解】解：根据题意可得：平分，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：A. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，轴于点．以，为邻边作平行四边形，边与函数图象交于点，连接，．给出以下四个结论：①的面积恒为2；②点与点的横坐标之比为定值；③点可能是的中点；④有可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】已知，，轴得，由得，代入、坐标，用待定系数法求直线解析式，联立反比例与直线,解方程得点坐标，用割补法，,求，证明恒成立，判定，算点与点的横坐标比值，判定，取中点验证坐标正误，判定，设列方程，由式子左边恒负，判定． 【详解】解：设点坐标为，， ∵轴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为：， 联立， 整理得， 解得正根， 此时， ∴， ∵， ∴, ， , 故正确； ∵，， ∴，是定值， 故正确； 若是中点，由，，可得， 把代入得，即，矛盾， 故错误； 若是等边三角形，需满足， ∵，， ∴， ∴ 整理得：， ∵等式左边恒为负数， ∴该方程无解， ∴不存在这样的点， 故错误． ∴正确的是①②． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 10. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得到关于x的不等式，解不等式即可得答案． 【详解】解：由题意得，， 移项得， 不等式两边同时除以2，得． 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：得点关于y轴对称的点的坐标是. 故答案为：． 【点睛】本题考查了求关于坐标轴对称的点的坐标，熟练掌握关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键． 12. 为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是___________分． 【答案】93 【解析】 【分析】利用加权平均数的计算方法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：（分）； ∴该参赛队的最终成绩是93分， 故答案为：93 【点睛】本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法，是解题的关键． 13. 如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接，由切线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头A向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵坐标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流喷出的最大高度是， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，以为腰作等腰，，点在边上，交于点．若，则长的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再得出，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵在等腰中，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16. 某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米/小时，师生步行的平均速度为4千米/小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”． （1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时________分钟（不考虑上、下车时间）； （2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为________分钟（不考虑上、下车时间）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）分别计算步行和乘车的时间，求和后换算单位即可得到结果； （2）总耗时最少时所有组同时到达，每组乘车路程和步行路程分别相等，结合巴士行驶总时间等于全体到达终点的总时间列方程求解，即可得到最少总耗时． 【详解】解：（1）（小时），（分钟）； （2）设每组乘车千米，则步行千米，全体到达终点的总时间为小时， 将人分为组，巴士送完一组需要空车返回接下一组，共空车返回次， ∵车速和步行速度比为， ∴每次空车返回路程为， 巴士行驶总路程为，行驶总时间也为， 因此， 联立等式得， 解得， 将代入得总时间（小时），（分钟）． 三、解答题（共68分，第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式，并写出此不等式的非正整数解． 【答案】 ，非正整数解为，， 【解析】 【详解】解： ， ∴不等式的解集为， ∴该不等式的非正整数解是，，． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 花生油是从花生中提取的油脂．普通花生平均每公顷的产量为；出油率为，高油花生平均每公顷的产量比普通花生平均每公顷的产量高，出油率为．某农场去年种植了普通花生，今年改种高油花生，虽然种植面积比去年减少了2公顷，但是产油量比去年提高了．求今年种植高油花生的面积（出油率）． 【答案】公顷 【解析】 【分析】先设今年种植高油花生的面积，再根据出油率公式得到两年的总产油量，最后根据“今年产油量比去年提高”的等量关系列一元一次方程，求解得到结果． 【详解】解：设今年种植高油花生的面积为公顷，则去年种植普通花生的面积为公顷， 根据题意，高油花生每公顷产量为， ∴， 整理得 ， 解得：， 答：今年种植高油花生的面积为公顷． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法代入已知点坐标求解即可； （2）根据题意列出恒成立的不等式，结合一次函数的增减性分析端点处的不等关系，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点，， ∴把，代入中，得： ， 解得：， ∴这个函数的解析式为； 【小问2详解】 由（1）得一次函数为， ∵当时，恒成立， 整理右边不等式，得， ∵是增函数， ∴当时，， 要使对所有成立， ∴， 整理左边不等式，得， ∵是减函数， ∴当时，， 要使对所有成立， ∴， 综上所述，． 22. 如图，在中，，平分交于点，过点作，于点，于点，于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据“有三个角为直角的四边形为矩形”，即可证明结论； （2）首先利用三角函数解得，由角平分线的性质定理可得；设，则，证明，由相似三角形的性质解得的值，易得，进而由勾股定理解得的长度；证明，由相似三角形的性质求的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，即，解得， ∵平分，，于点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 23. 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计．数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中随机抽取20名，记录他们对两款软件的评分，对数据整理描述如下： a．信息处理速度得分统计图： b．信息识别准确度得分统计图： c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表： 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 5.6 4.84 乙 7.65 7 5.6 5.74 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中________，________； （2）综合图表中的统计量，下列结论正确的是________（填正确结论的序号）； ①乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多； ②从甲、乙两款软件的信息处理速度得分中各任意删去1个数据后中位数均不会发生改变． （3）使用者对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲、乙两款软件的开发公司加大了研发投入用来提升信息识别准确度．数学兴趣小组邀请之前的20名使用者做第二次调查．经调查：甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分，乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变．在第二次调查中，甲款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，；乙款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，．则________，________4.84，________5.74（填“”“”“”）． 【答案】（1）9，7.5 （2）① （3），， 【解析】 【分析】（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数和众数的定义，即可获得答案； （2）根据中位数和众数的定义，逐一分析判断即可； （3）首先确定第二次调查后，使用者对甲、乙两款软件的评分，然后根据平均数和方差的定义分别计算，，，的值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：结合信息处理速度得分统计图可知，使用者对甲款软件的评分中，出现次数最多的是9分，共出现5次， ∴使用者对甲款软件评分的众数为9； 将使用者对乙款软件的评分按照从小到大的顺序排列，其中排在第10和11位的是7分和8分， ∴使用者对乙款软件评分的中位数为； 【小问2详解】 解：①由众数的定义可知，乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多，该结论正确； ②在甲款软件的信息处理速度得分中，任意删去1个数据后，中位数仍然是7， 在乙款软件的信息处理速度得分中，若删去得分为5分、6分、7分中的1个数据，则剩余数据的中位数为8， 若删去得分为8分、9分、10分中的1个数据，则剩余数据的中位数为7， 所以该结论不正确． 【小问3详解】 解：根据题意，甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分， 则新的得分数据为3，3，4，4，4，5，6，6，6，6，7，7，8，8，8，9，9，9，10，10， 则这组数据的平均数， ， 乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变， 则新的得分数据为8，8，8，9，3，5，5，5，7，6，6，7，7，4，8，6，8，9，8，7， 按照从小到大的顺序排列，为3，4，5，5，5，6，6，6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9， 则这组数据的平均数， ， ∴，4.84，5.74． 24. 如图，为的直径，点C在上，点D在的延长线上，过点D作交延长线于点E，过点C作的切线交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：如下图，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵，即， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，即，进而证明，即可证明结论； （2）过点作于点，首先确定，利用三角函数以及对顶角相等，解得的长度，进而可得，的长度，进一步可得；根据等腰三角形的性质可得，然后在中，利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图，过点作于点， ∵为的直径， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得， ∴，， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴在中，，即， 解得． 25. 某污水处理厂采用新型微生物制剂净化水质．在投放制剂后，需监测污染物的去除率．记投放制剂后的第日，污染物去除率为（单位：）．根据试验数据，对于给定制剂投放量单位（可取1，2，3或4），可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： （日） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 时的值 0 10 18 25 30 35 40 43 45 46 47 48 时的值 0 30 45 55 62 65 67 68 69 70 70 时，从第2日起，每日比前一日增加的去除率逐渐减少或保持不变．对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． （1）观察曲线，当整数的值为______时，的值首次超过60； （2）写出表中整数的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； （3）技术人员小张正在调试制剂投放方案．若去除率达到即可认定为达标．每单位制剂的成本为200元，从第一天开始直至去除率达标，每天会产生100元的运营成本（含达标当天）． ①根据函数关系，小张最早在投放制剂后的第_______日可实现达标（结果为整数）； ②小张应选择______单位制剂投放方案，总成本最低，最低是______元． 【答案】（1）6 （2）59，曲线如下图所示： （3）①5；②3，1200元 【解析】 【分析】（1）观察曲线，即可获得答案； （2）由表中数据列出关于的不等式组，据此即可确定整数的值；结合的值以及表中数据，作出曲线即可； （3）①结合（2），观察曲线，可知小张最早在投放制剂后的第5日可实现达标；②结合题意可知，确定当、、和时，何日可达标，并分别计算总成本，比较即可获得答案． 【小问1详解】 解：观察曲线，当整数的值为6时，的值首次超过60； 【小问2详解】 解：根据题意，时，从第2日起，每日比前一日增加的去除率逐渐减少或保持不变， 由表中数据可知，， 解得， 故整数； 【小问3详解】 解：①结合（2），观察曲线，可知小张最早在投放制剂后的第5日可实现达标； ②结合题意可知， 当时，直至第11日仍无法达标，此时总成本为元，若要达标成本会继续增加， 当时，直至第11日仍无法达标，此时总成本为元，若要达标成本会继续增加， 当时，至第6日达标，此时总成本为元， 当时，至第5日达标，此时总成本为元， ∵， ∴小张应选择单位制剂投放方案，总成本最低，最低是1200元． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上． （1）求点的坐标，并用含的式子表示； （2）将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，与抛物线在轴右侧的部分形成新的图形．点与点关于抛物线的对称轴对称． ①当时，判断图形与线段公共点的个数，并说明理由； ②若图形与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）①3个，理由如下： ∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴点的坐标为， ∵抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折， ∴翻折后的解析式为，即， ∴图形的解析式为， 当时， ∴， 如图， 将代入，得， ， 解得或， ∵， ∴图形在轴右侧与线段有2个公共点； 将代入，得， ， 解得或（正值，舍去）， ∵， ∴图形在轴左侧与线段有1个公共点； 综上所述，图形与线段共有3个公共点． ②或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，结合平移可得点，代入可得； （2）①先求出翻折后的解析式，分别求出两段抛物线与轴的交点坐标，并判断是否在线段上即可； ②分两类讨论，当公共点在轴的右侧时，需满足方程的或，但只有一根在内，同时方程的或，但根都不在内，求解不等式并取公共部分；当公共点在轴的左侧时，同样的方法计算即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∵点由点向右平移个单位长度得到， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， ∴； 【小问2详解】 解：①略； ②由①可知，， （Ⅰ）当图形与线段的公共点在轴的右侧时， 将代入，得， ， ∵图形与线段只有1个公共点， ∴或，但只有一根在内， 当时， ∴， ∵， ∴，此时，符合题意； 当时， ∴，解得或， ， 解得， ∵两根关于直线对称，且只有一根落在， ∴只需满足，即， ∴，解得，满足， 将代入，得， ∴， ∵左侧部分无公共点， ∴或，但根都不在内， 当时， ，解得， 当时， 解得， 由对称性可知，只需满足或，解得， 综上，当时，图形与线段只有一个公共点，且在轴的右侧； （Ⅱ）当图形与线段的一个公共点在轴的左侧时， 将代入，得， ∴， ∵图形与线段只有1个公共点， ∴或，但只有一根在内， 当时， ∴， 解得（舍去），此时，不符合题意， 当时， ∴，解得或， ， 解得（正根，舍去）， ∴，即， ∴，解得，满足， 将代入，得， ∴， ∵右侧部分无公共点， ∴或，但根不在内， 同理（Ⅰ）可得，或， 综上，当时，图形与线段只有一个公共点，且在轴的左侧； 综上所述，当或时，图形与线段只有一个公共点． 27. 如图，在正方形中，E为边上一点，连接，作交的延长线于点F，作交于点G，过点G作交于点H，延长交的延长线于点M． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）证明：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）结论：． 证明：如图，过点A作的垂线，过点F作的垂线，两条垂线交于点P，连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 由可知，即 ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：记点关于点的对称点为点Q（特别地，当时，P与Q重合），若线段上存在点M，N，使得，且，则称点P是线段的“称角点”． （1）已知点，在点，，中，线段的“称角点”是 ； （2）已知点，点． ①若点，点，线段上存在线段的“称角点”，直接写出m的取值范围； ②已知点，C的半径为1，若存在一个m值，使得上存在线段的“称角点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据点关于点的对称点为点Q得，，由此画图即可判断； （2）①由于点 ，点，得，以为边向上和向下构造等边三角形和，则，，且四边形为菱形， 作点关于轴的对称点，作点关于的对称点，连接，的解析式为，当菱形与线段有交点时，线段上存在线段的“称角点”，由此即可求解； ②利用逆向思维，根据的轨迹确定的轨迹为菱形，根据（1）和①可得，，，，则满足条件时，与菱形有交点，由此即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，则，，， 如图， 根据图象可知，，符合题意； 【小问2详解】 ①由于点 ，点，则是和1的直角三角形的斜边，故，且和轴的夹角为， 以为边构造等边三角形和，则，， 由于， 则四边形为菱形， 对于上任意，,使得且成立的点都在菱形的边上或内部， 作点关于轴的对称点，作点关于的对称点，连接， 当线段上存在线段的“称角点”，则菱形与线段有交点， 设的解析式为，将和代入得， ，解得， 则； 当在上时，，即， 当在上时，，即， 综上所述，； ②由①可知，对于上任意，,使得且成立的点都在菱形的边上或内部， ∵关于点的对称点为点， ∵菱形所对应的点都在菱形的边上或内部，由于，，，，则变化前菱形顶点的坐标为，，，， 如图， 当与菱形有交点时，上存在线段的“称角点”， 当在左边与直线相切时，，即， 当在右边与直线相切时，，即， 综上所述，． 【点睛】本题考查了对称点坐标的特点，等腰三角形的性质，菱形的判定和性质，一次函数的解析式，圆与直线的位置，能够掌握逆向思维，准确确定动点轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东城区2025－2026学年度第二学期初三年级统一测试（二） 数学试卷2026.6 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 3. 如图，，直线与直线，分别交于点E，F，直线与直线交于点G．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 五边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 5. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（） A. B. C. D. 6. 某班学生到首都博物馆参观．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“伯矩鬲”“堇鼎”“元青花凤首扁壶”为主题的三张文创卡片，它们除正面图案外完全相同．把这些卡片背面朝上洗匀，每位同学从中随机抽取一张卡片，根据卡片图案领取相应纪念品，再将卡片放回后洗匀，下一位同学再抽．甲、乙两位同学都抽到主题为“伯矩鬲”的卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，轴于点．以，为邻边作平行四边形，边与函数图象交于点，连接，．给出以下四个结论：①的面积恒为2；②点与点的横坐标之比为定值；③点可能是的中点；④有可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 因式分解x3－9x=__________． 10. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 12. 为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是___________分． 13. 如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为________． 14. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头A向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是________． 15. 如图，在四边形中，，，以为腰作等腰，，点在边上，交于点．若，则长的值为________． 16. 某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米/小时，师生步行的平均速度为4千米/小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”． （1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时________分钟（不考虑上、下车时间）； （2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为________分钟（不考虑上、下车时间）． 三、解答题（共68分，第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式，并写出此不等式的非正整数解． 19. 已知，求代数式的值． 20. 花生油是从花生中提取的油脂．普通花生平均每公顷的产量为；出油率为，高油花生平均每公顷的产量比普通花生平均每公顷的产量高，出油率为．某农场去年种植了普通花生，今年改种高油花生，虽然种植面积比去年减少了2公顷，但是产油量比去年提高了．求今年种植高油花生的面积（出油率）． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出的取值范围． 22. 如图，在中，，平分交于点，过点作，于点，于点，于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 23. 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计．数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中随机抽取20名，记录他们对两款软件的评分，对数据整理描述如下： a．信息处理速度得分统计图： b．信息识别准确度得分统计图： c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表： 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 5.6 4.84 乙 7.65 7 5.6 5.74 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中________，________； （2）综合图表中的统计量，下列结论正确的是________（填正确结论的序号）； ①乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多； ②从甲、乙两款软件的信息处理速度得分中各任意删去1个数据后中位数均不会发生改变． （3）使用者对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲、乙两款软件的开发公司加大了研发投入用来提升信息识别准确度．数学兴趣小组邀请之前的20名使用者做第二次调查．经调查：甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分，乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变．在第二次调查中，甲款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，；乙款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，．则________，________4.84，________5.74（填“”“”“”）． 24. 如图，为的直径，点C在上，点D在的延长线上，过点D作交延长线于点E，过点C作的切线交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 25. 某污水处理厂采用新型微生物制剂净化水质．在投放制剂后，需监测污染物的去除率．记投放制剂后的第日，污染物去除率为（单位：）．根据试验数据，对于给定制剂投放量单位（可取1，2，3或4），可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： （日） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 时的值 0 10 18 25 30 35 40 43 45 46 47 48 时的值 0 30 45 55 62 65 67 68 69 70 70 时，从第2日起，每日比前一日增加的去除率逐渐减少或保持不变．对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． （1）观察曲线，当整数的值为______时，的值首次超过60； （2）写出表中整数的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； （3）技术人员小张正在调试制剂投放方案．若去除率达到即可认定为达标．每单位制剂的成本为200元，从第一天开始直至去除率达标，每天会产生100元的运营成本（含达标当天）． ①根据函数关系，小张最早在投放制剂后的第_______日可实现达标（结果为整数）； ②小张应选择______单位制剂投放方案，总成本最低，最低是______元． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上． （1）求点的坐标，并用含的式子表示； （2）将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，与抛物线在轴右侧的部分形成新的图形．点与点关于抛物线的对称轴对称． ①当时，判断图形与线段公共点的个数，并说明理由； ②若图形与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围． 27. 如图，在正方形中，E为边上一点，连接，作交的延长线于点F，作交于点G，过点G作交于点H，延长交的延长线于点M． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：记点关于点的对称点为点Q（特别地，当时，P与Q重合），若线段上存在点M，N，使得，且，则称点P是线段的“称角点”． （1）已知点，在点，，中，线段的“称角点”是 ； （2）已知点，点． ①若点，点，线段上存在线段的“称角点”，直接写出m的取值范围； ②已知点，C的半径为1，若存在一个m值，使得上存在线段的“称角点”，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $