精品解析：2025年北京市东城区九年级中考二模数学试卷

东城区2024-2025学年度第二学期初三年级统一测试（二） 数学试卷 学校__________班级__________姓名__________ 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为比特．后续发射的升级型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到比特，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 若实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（ ） A. B. 是的平分线 C. D. 8. 如图，将正五边形纸片沿着虚线剪开，记阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为，，． 给出以下结论： ①Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰三角形； ②Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰梯形； ③； ④Ⅰ中最大内角的度数是最小内角度数的3倍． 上述结论中，所有正确结论序号是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 因式分解：_______________________． 10. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 11. 如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是_____． 12. 分式方程的解为_______． 13. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于__． 14. 《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立了从直接测量到间接测量的桥梁，直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．某实践小组利用重差法测量海岛上一座山峰的高度，分别在，两点观察山顶点，测得仰角分别为，，同时测得长为200米，则山峰的高度约为_____米．(，，) 15. 如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处，则___________． 16. 图为一个的开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，每次只能按一个开关．按任意一个开关一次将导致自身和所有相邻(上、下、左、右)的开关改变状态．例如，按开关E，一次将导致B，D，E，F，H改变状态．如果按任意一个开关一次，则至少导致_____个开关改变状态；如果要求只改变A，E，I的状态，则最少按_____次开关． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17 计算：． 18 解不等式，并写出其非负整数解． 19. 已知，求代数式的值． 20. 某地区防风林工程种植乔木和灌木，要求乔木种植面积占比不超过．今年已种植乔木、灌木面积共1000公顷；计划明年种植乔木和灌木的面积共1450公顷；其中乔木的面积比今年减少，灌木的面积比今年增加．判断经过今明两年种植后该地区乔木面积占比是否符合防风林工程要求，并说明理由． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于6，直接写出的取值范围． 22. 如图，在中，对角线，交于点，为线段上一点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 某气象站对四月份30天的气温（单位：）进行了监测，数据分为上旬（4月1日—10日）、中旬（4月11日—20日）和下旬（4月21日—30日）三部分． a．上旬10天的日平均气温如下： 21 23 24 25 26 26 26 27 27 28 b．中下旬20天的日平均气温频数分布直方图如下（数据分为5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）； c．上旬、中旬、下旬日平均气温的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 上旬 25.3 26 中旬 24.6 26 24.5 下旬 27.5 26 27 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为_____； （2）4月份30天的日平均气温的平均数是_____，气温为及以上的天数为_____天； （3）根据《气候季节划分》的规定，立夏之后，若连续五天日平均气温不低于，则视为入夏．立夏之后，某地连续五天的日平均气温的数据满足如下条件，则一定能断定这个地区人夏的是_____． A．平均数为25，中位数为22　B．平均数为23，众数为25 C．中位数为23，众数为25　D．平均数为25，方差 24. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求的半径． 25. 某团队设计了一款智能灯，它可以根据自然光照度自动开启或关闭，当自然光照度小于或等于勒克斯（勒克斯为光照度单位）时，自动开启；大于勒克斯时，自动关闭．该团队通过模拟自然光照度进行了一次实验，记录了实验中模拟自然光照度（单位：勒克斯）与时间（单位：分钟）的关系数据，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y 32.9 30.0 27.5 25.6 24.2 23.3 22.9 23.0 23.7 24.8 26.5 28.7 31.4 （1）团队成员发现可以用函数刻画模拟自然光照度与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： （2）若． ①智能灯首次开启时，_____； ②智能灯的工作时长约为_____分钟；（结果保留小数点后一位） （3）设当为30，27，24时，智能灯工作时长分别为，，，则_____．（填“>”“=”或“<”） 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，在抛物线上． （1）求的值； （2）将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，且总有，求的取值范围． 27. 如图，在中，，为上一点，，，过点作于点，交于点． （1）求的度数（用含的式子表示）； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和不在直线上的点，给出如下定义：若存在点，满足点与点在直线的异侧，，且，则称点为点关于线段的“平衡点”． （1）已知点，． ①在点，，中，点_____是点关于线段“平衡点”； ②若直线上存在点关于线段的“平衡点”，直接写出的取值范围； （2）已知半径为2，是的弦，且．点，，以为对角线作正方形．若正方形边上存在点关于线段的“平衡点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东城区2024-2025学年度第二学期初三年级统一测试（二） 数学试卷 学校__________班级__________姓名__________ 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形”与中心对称图形的概念“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”求解． 【详解】解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是熟记轴对称图形和中心对称图形的概念． 2. 如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质． 已知，可得的度数，因为对顶角，即得的度数． 【详解】解：∵， ， ， 故选：A． 3. 某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为比特．后续发射的升级型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到比特，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C 4. 一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意得：△=， 则方程有两个不相等的实数根． 故选：B 5. 若实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小比较，有理数的乘法，有理数的加法运算的符号确定，本题先得到，再逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意； 故选：D． 6. 3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种， 小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为， 故选：C． 7. 如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（ ） A. B. 是的平分线 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质，先根据垂直平分线的性质判断A选项；然后利用等边对等角得到，即可判断B选项；根据角的直角三角形的性质判断C选项；然后根据高相等的两三角形的面积比等于底的比判断D选项解答即可． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，是的平分线，故B、C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 8. 如图，将正五边形纸片沿着虚线剪开，记阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为，，． 给出以下结论： ①Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰三角形； ②Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰梯形； ③； ④Ⅰ中最大内角的度数是最小内角度数的3倍． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键；依题意得阴影Ⅰ，Ⅲ是两个全等的等腰三角形，Ⅱ是等腰三角形，利用边角关系可判定①②④；在上取，连接，则可判断③； 详解】解：如图， 在正五边形中，， ， ∴； 同理：， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即； ∵， ∴， 即是等腰三角形； 而此三角形是由Ⅰ和Ⅱ合在一起的三角形； 故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合一起（无重叠部分）能拼成一个等腰梯形； 故②正确； ∵， ∴； 故④正确； 在上取，连接， 则， ∴， ∴， 显然，故③不正确； 综上，正确的有①②④； 故选：D． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 10. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 11. 如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是_____． 【答案】（﹣3，﹣4） 【解析】 【分析】根据反比例函数与正比例函数的中心对称性解答即可. 【详解】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称， 所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），则另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）． 故答案是：（﹣3，﹣4）． 【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 12. 分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：2-3x=x-2， 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得：x=1， 经检验x=1是分式方程的解， 故答案为：x=1 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 13. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于__． 【答案】130°. 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可解答. 【详解】∵四边形ABCD内接与⊙O，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=115°，∴∠C=65°，∴∠BOD＝2∠C＝130°； 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理． 14. 《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立了从直接测量到间接测量的桥梁，直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．某实践小组利用重差法测量海岛上一座山峰的高度，分别在，两点观察山顶点，测得仰角分别为，，同时测得长为200米，则山峰的高度约为_____米．(，，) 【答案】200 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯仰角．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 根据正切的定义得出，，从而得到，，继而得解． 【详解】解：由题意得， ∵在，两点观察山顶点，测得仰角分别为，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∴的高度约为． 故答案为：200． 15. 如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据翻折性质，可得，再根据勾股定理求得，利用设方程解得，即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ， 将沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处， ， ， ， 设，则，根据，可得方程， 解得，即， ． 【点睛】本题考查了翻折性质，勾股定理，利用勾股定理设方程解答是解题的关键． 16. 图为一个的开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，每次只能按一个开关．按任意一个开关一次将导致自身和所有相邻(上、下、左、右)的开关改变状态．例如，按开关E，一次将导致B，D，E，F，H改变状态．如果按任意一个开关一次，则至少导致_____个开关改变状态；如果要求只改变A，E，I的状态，则最少按_____次开关． 【答案】 ①. 3 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查数学逻辑，将位置分为三类：四个角位置(A、C、G、I)，中心位置E和靠正方形四边中点位置，然后逐类分析即可知最受影响几个开关，按“按1次，按2次，按三次……”的思维顺序分析即可得解． 【详解】解：根据题意可知：导致改变状态的开关最少，应该按四个角的开关，即开关A、D、G、I，此时受影响的开关只有三个， 首先A，E，I的状态三者不相邻，因此一次是不可能的， 其次考虑按两次开关，分为3种情况，其他通过旋转对称可以同理推导视为一种，按一次后的三种情况如下图所示：其中改变状态的用阴影表示： 这三种情况都不可能再按一次就只改变A，E，I的状态， 三次是可行的，方法如下，其中相比上一步改变状态的用阴影表示： 说明：这三步的顺序可以任意交换，都可以完成要求． 综上所述：如果按任意一个开关一次，则至少导致3个开关改变状态；如果要求只改变A，E，I的状态，则最少按3次开关． 故答案为：3；3． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂公式，零指数幂公式，二次根式的加减运算，含特殊角的三角函数混合运算等知识，运用相关公式和运算法则计算即可． 【详解】解： 18. 解不等式，并写出其非负整数解． 【答案】，非负整数解为：0，1，2 【解析】 【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解．根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，进而求出其非负整数解即可．正确的计算，是关键． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴非负整数解为：0，1，2． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据单项式乘以多项式、完全平方公式和平方差公式将括号展开后合并同类项得最简结果，再把代入计算即可得到结果． 【详解】解： ， ， 原式． 20. 某地区防风林工程种植乔木和灌木，要求乔木种植面积占比不超过．今年已种植乔木、灌木的面积共1000公顷；计划明年种植乔木和灌木的面积共1450公顷；其中乔木的面积比今年减少，灌木的面积比今年增加．判断经过今明两年种植后该地区乔木面积占比是否符合防风林工程要求，并说明理由． 【答案】符合要求，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意得到等量关系式解题的关键．设今年种植乔木的面积为公顷，根据“计划明年种植乔木和灌木的面积共1450公顷”列方程求出今年种植乔木的面积，进而求出今明两年种植乔木的面积，即可求解． 【详解】解：符合要求，理由如下： 设今年种植乔木的面积为公顷，则今年种植灌木的面积为公顷， 由题意可得：， 解得：， 则今明两年种植乔木的面积为：， 按照防风林工程要求种植面积不超过：， ， 今明两年终止后该地区乔木面积占比符合防风林工程要求． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于6，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点和代入一次函数求解即可得； （2）先求出当时，，再根据函数的增减性求解即可得． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象过点和， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴随的增大而增大， 当时，， ∴当时，， 要使得当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于6， 则随的增大而增大，且当时，，即， ∴． 22. 如图，在中，对角线，交于点，为线段上一点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，即可证明，则可得，从而由菱形的判定即可证明； （2）由正切函数值设，则，，在中，由勾股定理建立方程即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ∵， ， ， 平行四边形为菱形； 【小问2详解】 解：， 设，则，， ， 在中，由勾股定理有， 即， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切函数关系等知识，题目较易，但用到了较多的知识点，熟练运用是关键． 23. 某气象站对四月份30天的气温（单位：）进行了监测，数据分为上旬（4月1日—10日）、中旬（4月11日—20日）和下旬（4月21日—30日）三部分． a．上旬10天的日平均气温如下： 21 23 24 25 26 26 26 27 27 28 b．中下旬20天的日平均气温频数分布直方图如下（数据分为5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）； c．上旬、中旬、下旬日平均气温的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 上旬 25.3 26 中旬 24.6 26 24.5 下旬 27.5 26 27 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为_____； （2）4月份30天的日平均气温的平均数是_____，气温为及以上的天数为_____天； （3）根据《气候季节划分》的规定，立夏之后，若连续五天日平均气温不低于，则视为入夏．立夏之后，某地连续五天的日平均气温的数据满足如下条件，则一定能断定这个地区人夏的是_____． A．平均数为25，中位数为22　B．平均数为23，众数为25 C．中位数为23，众数为25　D．平均数为25，方差 【答案】（1）26； （2）25.8；20； （3）D． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，平均数，众数，方差等相关知识． （1）根据中位数的定义求解即可． （2）根据平均数的定义求解即可，分别加上4月上旬气温为及以上的天数以及中下旬20天的日平均气温频数分布直方图中及以上的天数即可． （3）根据中位数，众数，平均数的，方差的定义做决策即可． 【小问1详解】 解：根据排序后的数据可得： 【小问2详解】 解：4月份30天的日平均气温的平均数是， 气温为及以上的天数为(天) 【小问3详解】 解：A、平均数为25，中位数为22， 这组数据为，中位数， 平均数， ∴， 即， ∴， ∴有可能或，不满足连续五天日平均气温不低于，不能判定入夏，故A选项不符合题意． B．平均数为23，众数为25 设这组数据为，众数是25，则至少有2个25 平均数， ∴， 假设， 即， ∴有可能，，不满足连续五天日平均气温不低于，不能判定入夏，故B选项不符合题意． C．中位数为23，众数为25 设这组数据为，中位数，众数是25，则至少有2个25， 有可能，，不满足连续五天日平均气温不低于，不能判定入夏，故C选项不符合题意． D．平均数为25，方差 设这组数据为， 平均数， ∴ 即， 假设， 则， ∴与 矛盾， ∴这组数据中每个数据都不低于，可以判定入夏，故D选项符合题意． 故选：D 24. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求的半径． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定是关键． （1）连接，证明，得到，即可证明结论成立； （2）先求出，连接，证明，则，得到，勾股定理求出，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接，则有 ， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：为中点且 如图，连接 为直径 25. 某团队设计了一款智能灯，它可以根据自然光照度自动开启或关闭，当自然光照度小于或等于勒克斯（勒克斯为光照度单位）时，自动开启；大于勒克斯时，自动关闭．该团队通过模拟自然光照度进行了一次实验，记录了实验中模拟自然光照度（单位：勒克斯）与时间（单位：分钟）的关系数据，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y 32.9 30.0 27.5 25.6 24.2 233 22.9 23.0 23.7 24.8 26.5 28.7 31.4 （1）团队成员发现可以用函数刻画模拟自然光照度与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： （2）若． ①智能灯首次开启时，_____； ②智能灯的工作时长约为_____分钟；（结果保留小数点后一位） （3）设当为30，27，24时，智能灯工作时长分别为，，，则_____．（填“>”“=”或“<”） 【答案】（1）见详解 （2）①1；②10.5（答案不唯一，此为估算值，原则上上下浮动0.2以内均正确）； （3）<． 【解析】 【分析】本题主要考查描点连线、图像中获取信息和有理数的加减运算，解题的关键是熟悉图中获取信息， （1）根据描点连线作图即可； （2）①由图可知，智能灯首次开启时，， ②根据题意知智能灯首次开启时，；智能灯开启后关闭时，，即可智能灯的工作时长； （3）由（2）知当为30时，智能灯工作时长为分钟，同理可得当为27时，智能灯工作时长为分钟，当为24时，智能灯工作时长分钟，即可求得分钟，分钟即可． 【小问1详解】 解：如图， 小问2详解】 解：①由图可知，智能灯首次开启时，， ②∵时，自动开启； ∴智能灯首次开启时，；智能灯开启后关闭时， 则智能灯的工作时长约为分钟； 【小问3详解】 解：由（2）知当为30时，智能灯工作时长为分钟， 同理可得当为27时，智能灯工作时长为分钟， 当为24时，智能灯工作时长分钟， 则分钟，分钟， 那么，． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，在抛物线上． （1）求的值； （2）将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，且总有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及待定系数法求二次函数的解析式，理解题意并准确计算、分类讨论是正确解答此题的关键． （1）将代入，即可求解； （2）分两种情况：①当时，根据在对称轴右侧随的增大而减小，，列不等式组；②当时，根据在对称轴左侧随的增大而增大，，列不等式组；分别求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线中， 得：， 解得：； 【小问2详解】 解：将点向左平移2个单位长度即在抛物线上，记为， 对称轴：， 点关于对称轴的对称点为， 点关于对称轴的对称点为， ①当时，在对称轴右侧随的增大而减小， ， ， 解得：； ②当时，在对称轴左侧随的增大而增大， ， ， 解得：； 综上所述，或． 27. 如图，在中，，为上一点，，，过点作于点，交于点． （1）求的度数（用含的式子表示）； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2），证明见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由三角形外角的性质和等边对等角可得，则，由垂线的定义可得，则； （2）过点作的对称点，连接、，则，，可证明，，则，证明，得到，再证明，即可得到． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，证明如下 如图，过点作的对称点，连接、，则，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和不在直线上的点，给出如下定义：若存在点，满足点与点在直线的异侧，，且，则称点为点关于线段的“平衡点”． （1）已知点，． ①在点，，中，点_____是点关于线段的“平衡点”； ②若直线上存在点关于线段的“平衡点”，直接写出的取值范围； （2）已知半径为2，是的弦，且．点，，以为对角线作正方形．若正方形边上存在点关于线段的“平衡点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了几何新定义，勾股定理，圆内接四边形对角互补，切线的性质，坐标与图形，理解新定义是解题的关键； （1）先进行定义分析，得出，的长度临界值为四点共圆， ①根据定义即可求解； ②根据定义得出点关于线段的“平衡点”，在上，且在以的圆的内部，包括圆上，即上的点，进而将点和分别代入一次函数解析式，即可求解； （2）根据定义得出点关于线段的“平衡点”在的右侧，在的垂直平分线上，且在的外接圆的内部，找出范围，进而将正方形从左到右移动找到临界值，即可求解． 【小问1详解】 解：定义分析，如图，满足点与点在直线的异侧，过点分别作的垂线，垂足分别为 根据勾股定理可得：， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即重合， ∴符合条件的四边形，，如图， 又∵， ∴，即的长度临界值为四点共圆，且包括圆上的点， ①∵点，，，，， ∴只有点使得，，且 ∴点是点关于线段的“平衡点” ②作的外接圆，则圆心为的垂直平分线的交点，如图， 由定义可得，点关于线段的“平衡点”，在上，且在以的圆的内部，包括圆上，即上的点， 当经过和时，即 将代入，解得， 将代入，解得： ∴； 【小问2详解】 解：∵半径为2，是的弦，且， ∴是等边三角形， 如图，点关于线段的“平衡点”在的右侧，在的垂直平分线上，且在的外接圆的内部， 设的中点为，，则在的外接圆上，此时为直径， ∵是的弦， ∴点关于线段的“平衡点”在以，为半径的圆弧内部，不包括为半径的圆上部分，包括为半径的圆上部分， ∵， ∴，， ∵点，，以为对角线作正方形．若正方形边上存在点关于线段的“平衡点”， 如图，当正方形与为半径的圆在轴的负半轴外切时， ∴ 解得：， 如图，当正方形的一个顶点在以为半径的圆上时， 解得：或（舍去） ∴ 继续移动正方形，如图，当在以为半径的圆上时， ∴ 解得：（舍去）或 当正方形与为半径的圆在轴的正半轴外切时， ∴ ∴ 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $