精品解析：2026 年北京市顺义区九年级二模数学试卷

九年级综合练习（二） 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 我国生成式人工智能用户规模快速提升．中国互联网络信息中心发布的第五十七次《中国互联网络发展状况统计报告》显示：截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达亿人．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 三棱柱 3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平分，于点，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 小强和小明每人要从甲、乙两个社区中随机选择一个社区参加社会实践活动，那么小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，是上两点，，．若，是正边形的两条邻边，则的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 如图，在平面直角坐标系中，点（）在第一象限，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，函数（）的图象交于点，交于点，连接，将沿翻折得到．给出下面四个结论：①连接，，则与的面积可能相等；②；③有且只有一个点，使得点在轴上；④连接，若点在轴上，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________． 10. 分解因式：=____. 11. 方程的解为_________． 12. 某学校有甲、乙两支国旗护卫队．两队都是9人，学生的身高（单位：cm）数据如下表所示： 甲队学生的身高 179 179 180 180 180 180 180 181 181 乙队学生的身高 178 179 179 180 180 180 180 181 182 如果学生的身高的方差越小，则认为该队学生的身高越整齐．按照这个标准，学生的身高更整齐的是_________队（填“甲”或“乙”）． 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_______，________． 14. 如图，是的直径，，，是上的点，，交于点．若，则的大小为_______°． 15. 如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点，，是网格线交点）． 16. 两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜． 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子． （1）如果一共有6颗棋子，两名同学约定每次最多取走3颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子； （2）如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，，分别是，的中点，于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 用某类充电桩充电时，充电过程分为快速和慢速两个阶段，给A型新能源汽车在电量为的情况下充电．技术改进前，充满电需要用时分钟；技术改进后，充满电需要用时分钟，其中快速充电阶段用时减少了，慢速充电阶段用时减少了，求快速充电阶段用时减少了几分钟． 22. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象经过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 某学校举办科技比赛，分为理论知识和实操技能两项内容，随机抽取了40名学生，获得了他们两项内容的成绩（百分制），对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．理论知识成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，)： b．理论知识成绩在这一组的是：， c．理论知识和实操技能两项内容成绩的平均数、中位数： 平均数 中位数 理论知识 77 实操技能 76 78 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为________； （2）记理论知识成绩超过平均数的人数为，实操技能成绩超过平均数的人数为，则________（填“”“”或“”）； （3）在此次测试中，甲、乙、丙、丁四位学生的成绩如下： 甲 乙 丙 丁 理论知识 79 80 76 76 实操技能 80 80 84 83 根据两项内容的成绩计算加权成绩，计算方式如下：加权成绩理论知识成绩实操技能成绩．则这四位学生中加权成绩最高的是________（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）． 24. 如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点，过点作的切线，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）连接，，交于点．若，，求的半径． 25. 某小组研究了用燃气灶烧水的节约燃气策略．每次烧水用同一台燃气灶，同一个壶，并装有相同质量、相同温度的水．将燃气灶点火后，调到最小火力，从最小火力往最大火力调节的过程中，旋钮旋转的角度为（单位：度）．分别记录了取不同值时，壶中的水烧开所用的燃气量（单位：）的值，部分数据如下： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0.71 0.48 0.31 0.20 0.14 0.13 0.15 0.22 已知当燃气灶旋钮旋转角度大于60度时，壶中的水烧开所用的燃气量随旋转角度的增大而增大，并且增大的速度越来越快． （1）写出表中的值（结果保留小数点后两位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当燃气灶旋钮旋转角度约为________度（结果保留整数）时，壶中的水烧开所用的燃气量最小； ②已知该燃气灶旋钮旋转的角度为90度时，火力最大，壶中的水烧开用时最少．综合考虑壶中的水烧开所用的燃气量和时间，我们认为，壶中的水烧开所用的燃气量比火力最大时所用的燃气量至少低时，对应的旋转角度为理想旋转角度，则的取值范围约是______． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点和点． （1）求的值，并用含的式子表示； （2）已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，求的取值范围． 27. 在中，，，点在射线上，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段（点与点不重合），过点作交直线于点． （1）如图1，点与点重合，求证：； （2）如图2，点在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段． （1）如图，在点，，中，点______是的关联点； （2）已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是______； （3）直线（）分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级综合练习（二） 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 我国生成式人工智能用户规模快速提升．中国互联网络信息中心发布的第五十七次《中国互联网络发展状况统计报告》显示：截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达亿人．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 三棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据常见几何体的三视图逐一判断即可． 【详解】解：A、圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，不符合题意； B、圆柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是圆，不符合题意； C、长方体的主视图、左视图及俯视图都是矩形，符合题意； D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是三角形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图． 3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由数轴可知，，  ∴，，， 故只有选项D正确. 4. 如图，平分，于点，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直定义求出 ，利用角的和差关系求出  的度数，再根据角平分线的定义求出  的度数即可． 【详解】解： ，  ．  ，  ．   平分 ，  ． 5. 小强和小明每人要从甲、乙两个社区中随机选择一个社区参加社会实践活动，那么小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：列表如下 小强 小明 甲 乙 甲 甲甲 乙甲 乙 甲乙 乙乙 ∵共有种等可能的结果，小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的有2种情况， ∴小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的概率为 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当方程有两个不相等的实数根时，判别式，代入系数列不等式即可求解． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得 ， 解得 ． 7. 如图，，是上两点，，．若，是正边形的两条邻边，则的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】作出圆心，连接，由圆周角定理得到，利用弦相等则弧相等得出  ，最后根据正多边形中心角公式求解． 【详解】解：作出圆心，连接 ∴ ∴ 是正边形的两条邻边 正边形的一边所对的圆心角为 ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点（）在第一象限，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，函数（）的图象交于点，交于点，连接，将沿翻折得到．给出下面四个结论：①连接，，则与的面积可能相等；②；③有且只有一个点，使得点在轴上；④连接，若点在轴上，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义、图形翻折的性质与代数推理，解题的关键是熟练运用反比例函数的坐标特征、翻折前后线段相等的性质，结合方程思想与代数变形逐一分析结论．解题时需先根据反比例函数求出点C、D的坐标，再利用翻折性质、面积公式、线段长度公式等对每个结论进行推导与验证． 【详解】解：函数（）的图象交于点，交于点， ， 由反比例函数的几何意义可得，， ， ， 若，则，即， 但， 令，得， 则，则，与矛盾，①错误； 由翻折得，，， ，， ，②正确； 若点在轴上，设， ，， ，， 解①：展开得，， 消去得，， 乘以得，； 解②：展开得，， 消去得，， 乘以得，； 联立化简得，， 把它看作关于的一元二次方程，， 解得，， ， ， 其中，可以取取值范围内的任意值，即满足条件的点有无数个，而不仅有一个点，③错误； 当点在轴上时，由③得，， ， ， ， ， ，即， ， ，④正确， 综上所述，正确的为②④． 故选：． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键． 10. 分解因式：=____. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可． 【详解】． 故答案为： 11. 方程的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解，解题思路为通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，对所得结果进行检验，得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 12. 某学校有甲、乙两支国旗护卫队．两队都是9人，学生的身高（单位：cm）数据如下表所示： 甲队学生的身高 179 179 180 180 180 180 180 181 181 乙队学生的身高 178 179 179 180 180 180 180 181 182 如果学生的身高的方差越小，则认为该队学生的身高越整齐．按照这个标准，学生的身高更整齐的是_________队（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】先分别计算甲、乙两队身高的平均数，再根据方差计算公式计算两队方差，比较方差大小，方差越小身高越整齐，即可得到结果． 【详解】解：甲的平均数， ， 乙的平均数，， ∵， ∴， ∴甲队学生身高的方差更小，甲队学生身高更整齐． 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_______，________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时， 可得：，满足条件， ，， ，即， 不满足， 可以说明该命题是假命题． 14. 如图，是的直径，，，是上的点，，交于点．若，则的大小为_______°． 【答案】47 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及其推论的应用，解题核心是利用 “同弧或等弧所对的圆周角相等”， 得出结合直径所对的圆周角为直角，通过角度关系推导的大小． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ， ． 15. 如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点，，是网格线交点）． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查正方形网格中的角度计算，解题核心是通过构造辅助线，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质，求出相关角的度数，再计算差值． 【详解】解：如图所示，连接各格点， ，，， ， ，， ，， ， 16. 两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜． 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子． （1）如果一共有6颗棋子，两名同学约定每次最多取走3颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子； （2）如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】要确保先手获胜，先手取完第一次后，接下来需保证每一轮两人取棋子的总和为每次最多取棋子数，计算总棋子数除以每次最多取棋子数的余数，余数就是先手首次应该取走的棋子数，之后每轮对手取颗，先手取“每次最多取棋子数”颗，即可保证先手取走最后一颗棋子． 【详解】（1）已知总棋子数为，每次最多取颗， 由， ，余数为， ∴先手首次应该取走颗棋子． 剩余颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，一轮共取走颗，先手可取走最后一颗获胜． （2）已知总棋子数为，每次最多取颗， 由 ， ，余数为， 因此先手首次应该取走颗棋子． 剩余颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，每轮共取走颗，经过轮后，先手可取走最后一颗获胜． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】依次计算零指数幂、绝对值、特殊的三角函数值，化简二次根式即可求解． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 由①得，； 由②得， ∴原不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ． 20. 如图，在中，，分别是，的中点，于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：在中，， ∵，分别是，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知易证四边形是平行四边形，结合，即可证明结论； （2）由（1）中结论可得，，结合，易证，进而证明，得到，解直角三角形求出，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 21. 用某类充电桩充电时，充电过程分为快速和慢速两个阶段，给A型新能源汽车在电量为的情况下充电．技术改进前，充满电需要用时分钟；技术改进后，充满电需要用时分钟，其中快速充电阶段用时减少了，慢速充电阶段用时减少了，求快速充电阶段用时减少了几分钟． 【答案】分钟 【解析】 【分析】本题为二元一次方程组实际应用题，设技术改进前快速充电阶段用时为分钟，慢速充电阶段用时为分钟 ，根据改进前后总充电时长和各阶段用时减少比例列方程，求解得到改进前快速充电用时，进而计算得到快速阶段减少的用时． 【详解】解：设技术改进前快速充电阶段用时为分钟，慢速充电阶段用时为分钟． 根据题意可得   解得： 因此快速充电阶段减少的用时为  （分钟） 答：快速充电阶段用时减少了分钟． 22. 在平面直角坐标系中，函数（）的图象经过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）把和分别代入，运算即可； （2）根据第一问的结果得到对应函数解析式，根据题意列出不等式，结合的条件，推导得到的取值范围． 【小问1详解】 解：把和分别代入可得： ， 解得：； 【小问2详解】 由(1)可知，， ∴，， 根据题意，当时，恒成立， 拆分不等式得 整理①得：， 要求所有都满足该不等式，因此，即， 整理②得：， 综上可得的取值范围是． 23. 某学校举办科技比赛，分为理论知识和实操技能两项内容，随机抽取了40名学生，获得了他们两项内容的成绩（百分制），对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．理论知识成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，)： b．理论知识成绩在这一组的是：， c．理论知识和实操技能两项内容成绩的平均数、中位数： 平均数 中位数 理论知识 77 实操技能 76 78 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为________； （2）记理论知识成绩超过平均数的人数为，实操技能成绩超过平均数的人数为，则________（填“”“”或“”）； （3）在此次测试中，甲、乙、丙、丁四位学生的成绩如下： 甲 乙 丙 丁 理论知识 79 80 76 76 实操技能 80 80 84 83 根据两项内容的成绩计算加权成绩，计算方式如下：加权成绩理论知识成绩实操技能成绩．则这四位学生中加权成绩最高的是________（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）． 【答案】（1） （2） （3）丙 【解析】 【分析】（1）由中位数的定义求解即可； （2）根据题意求出，平均数和中位数的定义估算出的范围，即可比较； （3）根据加权成绩理论知识成绩实操技能成绩，分别求出四位同学的加权成绩，比较即可． 【小问1详解】 解：∵，且理论知识成绩在这一组的是：， ∴理论知识成绩从高到低排列，第和第位分别是， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵实操技能成绩的平均成绩为，中位数为， ∴实操技能成绩超过平均数的人数为， ∴； 【小问3详解】 解：甲同学的加权成绩为（分）， 乙同学的加权成绩为（分）， 丙同学的加权成绩为（分）， 丁同学的加权成绩为（分）， ∵， ∴这四位学生中加权成绩最高的是丙． 24. 如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点，过点作的切线，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）连接，，交于点．若，，求的半径． 【答案】（1）证明：∵ 是的切线，为切点， ∴， ∵是弦的中点，过圆心， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理和切线的性质易证，结合，可得，即可证明结论； （2）设，则，证明 是 的中位线，设，则，且，利用勾股定理得到，证明，推出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 设 半径为r， ∵， ∴设，则， ∵点C 是中点， ∴， 由（1）得， ∴是的直径，， ∵， ∴， 又∵点是中点，C 是中点， ∴ 是 的中位线， 设，则，且， 在中，，即， 整理得， 在中，，即， 整理得， ∴， 又∵， ∴， ∴，​  ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的半径为． 25. 某小组研究了用燃气灶烧水的节约燃气策略．每次烧水用同一台燃气灶，同一个壶，并装有相同质量、相同温度的水．将燃气灶点火后，调到最小火力，从最小火力往最大火力调节的过程中，旋钮旋转的角度为（单位：度）．分别记录了取不同值时，壶中的水烧开所用的燃气量（单位：）的值，部分数据如下： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0.71 0.48 0.31 0.20 0.14 0.13 0.15 0.22 已知当燃气灶旋钮旋转角度大于60度时，壶中的水烧开所用的燃气量随旋转角度的增大而增大，并且增大的速度越来越快． （1）写出表中的值（结果保留小数点后两位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当燃气灶旋钮旋转角度约为________度（结果保留整数）时，壶中的水烧开所用的燃气量最小； ②已知该燃气灶旋钮旋转的角度为90度时，火力最大，壶中的水烧开用时最少．综合考虑壶中的水烧开所用的燃气量和时间，我们认为，壶中的水烧开所用的燃气量比火力最大时所用的燃气量至少低时，对应的旋转角度为理想旋转角度，则的取值范围约是______． 【答案】（1） （2）解：如图所示为所求： （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据结合题意解答即可； （1）由表格数据描点之后，用光滑的曲线连线即可； （3）根据表格数据结合题意解答即可． 【小问1详解】 解：时，V随α增大而增大，且增大速度越来越快（即相邻的V增量逐渐变大）： 时，，时，，增量为； 因此的增量大于，得； 的增量大于的增量，得，即， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：① 观察数据，在时取得最小值，因此约度（均合理）时燃气量最小， ② 火力最大（）时，要求燃气量至少低， 即满足， 函数在时，随增大而减小， 因此时，，时，； 函数在时，随增大而增大，并且增大的速度越来越快， 因此结合函数图象时，，时； 因此​的取值范围约为． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点和点． （1）求的值，并用含的式子表示； （2）已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）把原点的坐标和代入即可求解； （2）先确定抛物线经过点和，再分和两种情况，画出图形，在图形上找出点，依据抛物线与线段恰有一个公共点确定点，比较和的大小，建立不等式求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线（）经过点和点． ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴抛物线的解析式为： （）， ∵当时，，当时，， ∴抛物线过点和， 分两种情况讨论： 当时，如图所示： ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴， 解得：， ∴； 综上分析可得：或． 27. 在中，，，点在射线上，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段（点与点不重合），过点作交直线于点． （1）如图1，点与点重合，求证：； （2）如图2，点在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：∵点与点重合，由旋转的性质得，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明：如图，延长到点，使得，连结， ∵，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明结论； （2）延长到点，使得，连结，证明，再利用平行线的性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段． （1）如图，在点，，中，点______是的关联点； （2）已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是______； （3）直线（）分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由关联点的定义可得：若点是的关联点，即上存在点，使得点、能关于的某条弦所在的直线对称，的某条弦所在的直线是对称轴，寻找关联点的临界位置得出的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，即，据此即可判断的关联点； （2）作与关于弦对称，得出点在上，连接，并延长交于点，，为最小值，为最大值，即可得出长的取值范围； （3）由（1）得：的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，当线段上存在的关联点时，即要使线段与以点为圆心，以为半径的圆有两个交点，当线段与以点为圆心，以为半径的圆相切时，切点为，连接，由锐角三角函数求出此时的值，即可得出的取值范围，再由中最长的弦为直径得出关联线段长的最大值一定满足． 【小问1详解】 解：由关联点的定义可得：若点是的关联点，即上存在点，使得点、能关于的某条弦所在的直线对称，的某条弦所在的直线是对称轴， 我们来寻找关联点的临界位置：如图，点为上的一点，过点作的直径， ∴临界状态为：当对称轴为过点的的切线时，此时点、关于对称， ∴， ∴， ∴临界位置的点是在以点为圆心，以为半径的圆上的， ∵此时对称轴是的切线，不是的弦， ∴的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，并不包括圆上的点， ∴若点是的关联点，则， ∵，，， ∴，，， ∴点，为关联点，不是关联点． 【小问2详解】 解：作与关于弦对称，如图所示： ∴上的点是的关联点，关联线段为弦， 连接，并延长交于点，， ∴为最小值，为最大值， ∵点，， ∴， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：由（1）得：的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点， ∴当线段上存在的关联点时，即要使线段与以点为圆心，以为半径的圆有两个交点， 当线段与以点为圆心，以为半径的圆相切时，切点为，连接，如图所示： ∴，， ∵直线的解析式为， 令，得；令，得，解得：， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴在中，， ∴， ∴当时，线段上存在的关联点， ∵中最长的弦为的直径，的直径为， ∴线段上存在的关联点与的关联线段一定小于等于 ∵记这些点与的关联线段长的最大值为， ∴， ∵， ∴也一定成立， 综上：即可使线段上存在的关联点，且关联线段长的最大值为满足． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $