精品解析：河北省廊坊市广阳区2026年初中毕业班（九年级）摸底监测二 数学

2026年初中毕业班（九年级）摸底监测二 数学 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下表是河北省四个城市某天中午12时的气温，其中气温最低的城市是（ ） 廊坊 张家口 承德 石家庄 A. 廊坊 B. 张家口 C. 承德 D. 石家庄 2. 我国科学家为建造月球基地，模拟月壤成分烧制出一种具有互锁结构的“月壤砖”（如图1），图2是“月壤砖”的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，一个含角的直角三角板的直角顶点在直线上，将三角板绕点转动，且点在，之间．若减少，则（ ） A. 减少 B. 增加 C. 度数不变 D. 度数变化不确定 4. 若，则整数的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 某校开展“古代四大发明”主题研学活动，要求每名同学从造纸术、印刷术、指南针、火药四个主题中，随机选取两个进行探究．嘉琪同学恰好选中“造纸术”和“火药”两个主题的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和，点为数轴上方一点，连接，，过点作，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 汉代某里甲组织的里民共同出资购买耕牛以备春耕．商议出资数额时出现了两种情况：若每名里民出500钱，则筹得的钱数比买牛所需的钱数多400钱（盈四百）；若每名里民出400钱，则筹得的钱数比买牛所需的钱数少600钱（不足六百）．设参与买牛的里民共有人，则下列说法正确的是（ ） A. 依题意可列方程，解得参与买牛的里民共有10人 B. 依题意可列方程，解得参与买牛的里民共有10人 C. 依题意可列方程，解得牛价为5400钱 D. 依题意可列方程，解得牛价为4600钱 8. 河北省非物质文化遗产“邢窑白瓷”是唐代名瓷，科研团队测得传统邢窑白瓷釉层厚度约为米，新型复刻邢窑白瓷的釉层厚度比传统薄米．则新型复刻邢窑白瓷的釉层厚度用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象经过点 D. 若点，都在图象上，且，则 10. 如图，点E是边上一点（不包含A，D），连接，要求用尺规作，F是边上一点．甲作法：以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．乙作法：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．在甲、乙两种作法中，一定正确的是（ ） A. 甲、乙都正确 B. 只有甲 C. 只有乙 D. 甲、乙都不正确 11. 如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 12. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，在矩形中，，点，，则矩形的内部（不含边界）整点的个数为（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 当时，代数式的值为__________． 14. 在平面直角坐标系中，点在第一象限，则整数可以是__________．（写出一个即可） 15. 如图是一款创意灯饰的几何纹样，整体轮廓为正八边形，图案由中心对称分布的四个全等菱形与四个全等筝形无缝拼接而成．已知该正八边形的边长为2，则筝形的面积为__________． 16. 如图，在四边形中，，，分别是，的中点，连接．若，，，，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解方程组： （1）； （2）． 18. 若，． （1）化简； （2）若，求的取值范围． 19. 如图，点B，E，C，F在直线l上，，相交于点，，，．求证： （1）； （2）是等腰三角形． 20. 某市为选拔主持人参加省级比赛，开展了全市的主持人大赛，赛事分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由5名专业评委和40名观众评委给每位选手打分（百分制）．对某位选手的打分信息如下： ．专业评委打分：88，90，90，92，95； ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 专业评委 91 观众评委 89 90 91 根据以上信息，回答下列问题： ①直接写出表中，的值； ②比赛规定初赛按专业评委平均分占，观众评委平均分占计算选手总分，若选手成绩超过90分，则可直接进入决赛，请通过计算说明该选手能否进入决赛； （2）决赛由5位专业评委打分（百分制），评分规则为：先比较两位选手的平均得分，平均分高者胜出；若平均分相同，则方差小者胜出（方差越小，评委评价越一致）．已知5名评委给甲选手的打分为：91，92，92，93，92．甲选手的平均分和方差运算过程如下： 第一步，计算甲选手的平均分：； 第二步，计算甲选手的方差： ． 已知5名评委给乙选手的打分为：90，93，92，93，92，请通过计算判断甲、乙两位选手谁能最终胜出． 21. 在某自动化智能工厂中，工业机器人在执行任务时会产生能耗．为优化能源管理，工厂建立了机器人单次连续工作时长与总能耗的动态模型，模型满足： 当时，机器人处于“启动与加速阶段”，是的正比例函数； 当时，机器人进入“恒速作业阶段”，能耗增长趋于平稳．与满足一次函数关系，且该函数在处与“启动与加速阶段”的函数连续（即时，两个阶段的总能耗相等）． （1）若时，，求“启动与加速阶段”关于的函数解析式； （2）若时，总能耗为，求“恒速作业阶段”关于的函数解析式； （3）在（2）的条件下，工厂对机器人进行了技术改进．改进后，“恒速作业阶段”的新能耗系数比原能耗系数降低了，常数项保持不变．若改进后某次连续工作中，原模型与新模型的总能耗差值为，求该机器人的工作时长． 22. 如图，为半圆的直径，点在半圆上，连接，，且，．点在直径上（不与点，重合），点与点关于直线对称，连接，过点作，交的延长线于点． （1）直接写出线段的长； （2）嘉嘉说：在点移动过程中，始终有；淇淇说：当时，直线与半圆相切．请选择其中一人的说法进行说理； （3）当线段与半圆有第二个交点时，交点为，若的长为，求的度数． 23. 【模型】在矩形中，，． （1）【操作】在图1中，用直尺和圆规在的上方作出以为直径的半圆（保留作图痕迹，不写作法）． （2）【探究】如图2，点在半圆上，连接，，过点作，交所在直线于点，连接． ①求证：； ②随着点的位置变化，的面积始终保持不变，请求出的面积． （3）【拓展】如图3，在梯形中，，，，，是线段的中点，是线段上一点，连接，过点在上方作，使．当的面积最小时，直接写出的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为；抛物线：（其中为常数），顶点为． （1）直接写出点A，B的坐标及顶点的坐标； （2）无论为何值，点始终在某条直线上运动，求该直线的解析式； （3）当时，直线：经过点，与抛物线交于另一点E，M为线段的中点，若点恰好落在抛物线上，求的值； （4）设抛物线与交于G，H两点，判断四边形是否为平行四边形，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业班（九年级）摸底监测二 数学 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下表是河北省四个城市某天中午12时的气温，其中气温最低的城市是（ ） 廊坊 张家口 承德 石家庄 A. 廊坊 B. 张家口 C. 承德 D. 石家庄 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴最低气温是，对应城市为承德． 2. 我国科学家为建造月球基地，模拟月壤成分烧制出一种具有互锁结构的“月壤砖”（如图1），图2是“月壤砖”的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看得到的图形是 3. 如图，直线，一个含角的直角三角板的直角顶点在直线上，将三角板绕点转动，且点在，之间．若减少，则（ ） A. 减少 B. 增加 C. 度数不变 D. 度数变化不确定 【答案】B 【解析】 【分析】作，得到，推出，，得到，据此求解即可． 【详解】解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 若减少，则增加． 4. 若，则整数的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 个相乘可表示为，且，， ∴原等式可化为， ∴， ∴， 解得． 5. 某校开展“古代四大发明”主题研学活动，要求每名同学从造纸术、印刷术、指南针、火药四个主题中，随机选取两个进行探究．嘉琪同学恰好选中“造纸术”和“火药”两个主题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将造纸术、印刷术、指南针、火药这四项发明分别记为， 则可画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选择“造纸术”和“火药”的结果数有2种， ∴恰好选择“造纸术”和“火药”的概率是． 6. 如图，数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和，点为数轴上方一点，连接，，过点作，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是根据相似三角形的判定，得，得到，即可解答． 【详解】解：∵数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 7. 汉代某里甲组织的里民共同出资购买耕牛以备春耕．商议出资数额时出现了两种情况：若每名里民出500钱，则筹得的钱数比买牛所需的钱数多400钱（盈四百）；若每名里民出400钱，则筹得的钱数比买牛所需的钱数少600钱（不足六百）．设参与买牛的里民共有人，则下列说法正确的是（ ） A. 依题意可列方程，解得参与买牛的里民共有10人 B. 依题意可列方程，解得参与买牛的里民共有10人 C. 依题意可列方程，解得牛价为5400钱 D. 依题意可列方程，解得牛价为4600钱 【答案】A 【解析】 【分析】利用牛价不变作为等量关系，列方程求解即可，根据结果判断选项正误． 【详解】解：设参与买牛的里民共有人， 第一种情况：每人出500钱，总钱数比牛价多400，可得牛价为， 第二种情况：每人出400钱，总钱数比牛价少600，可得牛价为， ∴列方程得， 解得， 牛的价格为（钱）， 即只有A选项符合题意． 8. 河北省非物质文化遗产“邢窑白瓷”是唐代名瓷，科研团队测得传统邢窑白瓷釉层厚度约为米，新型复刻邢窑白瓷的釉层厚度比传统薄米．则新型复刻邢窑白瓷的釉层厚度用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴（米）． 9. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象经过点 D. 若点，都在图象上，且，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据的符号判断反比例函数的象限分布和增减性，逐一验证选项即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， A选项说图象位于第二、四象限，不符合结论，故A错误， 当时，图象在第一象限，由反比例函数性质可得随的增大而减小，故B正确， 将代入，得，因此图象不经过点，故C错误， 对于D选项，若，则，此时，所以不一定成立，故D错误． 10. 如图，点E是边上一点（不包含A，D），连接，要求用尺规作，F是边上一点．甲作法：以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．乙作法：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．在甲、乙两种作法中，一定正确的是（ ） A. 甲、乙都正确 B. 只有甲 C. 只有乙 D. 甲、乙都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，尺规作图，掌握知识点的应用是解题的关键． 通过平行四边形的判定与性质即可判断甲正确；根据以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则有两种情况，或，可排除乙． 【详解】解：甲正确，乙不正确 理由： 如图1，∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故甲正确． 如图，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则有两种情况，或， ∴乙不一定正确， 故选B． 11. 如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件可得，从而求出，的长，过点作的延长线于点，利用角平分线的性质得，再利用即可求出的长． 【详解】解：，是中边上的中线， ，， ， ， ， ，， ， ， 过点作于点， 的外角平分线交的延长线于点，， ， ， ． 12. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，在矩形中，，点，，则矩形的内部（不含边界）整点的个数为（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】C 【解析】 【分析】作于点H，证明，求出，进而求出，然后用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，然后分别把代入两个函数解析式，求出的值即可求解． 【详解】解：如图，作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴． ∵，， ∴直线的解析式为． 当时，，，此时整点有：； 当时，，，此时整点有：； 当时，，，此时整点有：； 当时，，，此时整点有：； 综上可知，点的个数为：个． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 当时，代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：当时，． 14. 在平面直角坐标系中，点在第一象限，则整数可以是__________．（写出一个即可） 【答案】（中任意一个） 【解析】 【分析】根据第一象限内点的坐标特征，列出关于的不等式组，求解得到的取值范围，再选取范围内的一个整数即可． 【详解】解：点在第一象限， ， 解不等式得， 解不等式得， 因此不等式组的解集为， 又为整数， 可取中任意一个， 则整数可以是（中任意一个）． 15. 如图是一款创意灯饰的几何纹样，整体轮廓为正八边形，图案由中心对称分布的四个全等菱形与四个全等筝形无缝拼接而成．已知该正八边形的边长为2，则筝形的面积为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】先延长正八边形各边，补成大正方形，接着减去4个等腰直角三角形，算出，再利用正八边形内角为得菱形夹角，根据边长为2，求得单个菱形面积，4个菱形总面积，最后用八边形总面积减去全部菱形面积得4个筝形总面积，均分得到单个筝形面积为2． 【详解】解：延长线段交延长线于点，交延长线于点，延长线段交延长线于点，交延长线于点，如图： ∵多边形是正八边形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，，， ∴四边形是正方形，， ∴， ∴， 过点作交于点，连接，如图： ∵，， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题利用补大正方形法快速求正八边形总面积，依托正八边形内角特征锁定菱形夹角，通过整体减局部的割补思想拆分图形，避开复杂边角计算． 16. 如图，在四边形中，，，分别是，的中点，连接．若，，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点、、分别作于，于，于，可得，，由及三角形两锐角互余的性质得出，即可证明，得出，设，则，，利用勾股定理求出，即可得出，，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点、、分别作于，于，于， ∵， ∴， ∴四边形、、都是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ，得， ，得， 解得， 将代入，得， 解得， 则方程组的解为． 18. 若，． （1）化简； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵， ∴ ∴ ∴． 19. 如图，点B，E，C，F在直线l上，，相交于点，，，．求证： （1）； （2）是等腰三角形． 【答案】（1）证明： ， ， 即， 在和中， ． （2）证明：由（1）可知，， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，等腰三角形的判定方法，进行解答，即可． （1）根据全等三角形的判定方法，可证明，即可； （2）由全等三角形的性质，得到，根据等角对等边，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某市为选拔主持人参加省级比赛，开展了全市的主持人大赛，赛事分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由5名专业评委和40名观众评委给每位选手打分（百分制）．对某位选手的打分信息如下： ．专业评委打分：88，90，90，92，95； ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 专业评委 91 观众评委 89 90 91 根据以上信息，回答下列问题： ①直接写出表中，的值； ②比赛规定初赛按专业评委平均分占，观众评委平均分占计算选手总分，若选手成绩超过90分，则可直接进入决赛，请通过计算说明该选手能否进入决赛； （2）决赛由5位专业评委打分（百分制），评分规则为：先比较两位选手的平均得分，平均分高者胜出；若平均分相同，则方差小者胜出（方差越小，评委评价越一致）．已知5名评委给甲选手的打分为：91，92，92，93，92．甲选手的平均分和方差运算过程如下： 第一步，计算甲选手的平均分：； 第二步，计算甲选手的方差： ． 已知5名评委给乙选手的打分为：90，93，92，93，92，请通过计算判断甲、乙两位选手谁能最终胜出． 【答案】（1）①，；②该选手可以进入决赛 （2）甲选手最终胜出 【解析】 【分析】（1）①根据众数和中位数的定义求解即可． ②利用加权平均数求出该选手的成绩，然后和90相比即可得出答案． （2）计算出乙的平均分和方差，然后判断即可得出答案． 【小问1详解】 解：①专业评委打分从小到大排列：88，90，90，92，95， ∴，； ②，且， ∴该选手可以进入决赛. 【小问2详解】 解：， ，， ∴甲选手最终胜出． 21. 在某自动化智能工厂中，工业机器人在执行任务时会产生能耗．为优化能源管理，工厂建立了机器人单次连续工作时长与总能耗的动态模型，模型满足： 当时，机器人处于“启动与加速阶段”，是的正比例函数； 当时，机器人进入“恒速作业阶段”，能耗增长趋于平稳．与满足一次函数关系，且该函数在处与“启动与加速阶段”的函数连续（即时，两个阶段的总能耗相等）． （1）若时，，求“启动与加速阶段”关于的函数解析式； （2）若时，总能耗为，求“恒速作业阶段”关于的函数解析式； （3）在（2）的条件下，工厂对机器人进行了技术改进．改进后，“恒速作业阶段”的新能耗系数比原能耗系数降低了，常数项保持不变．若改进后某次连续工作中，原模型与新模型的总能耗差值为，求该机器人的工作时长． 【答案】（1） （2） （3）该机器人的工作时长为 【解析】 【分析】（1）根据题意可知“启动与加速阶段”是的正比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可知“恒速作业阶段”与满足一次函数关系 ，将代入，利用待定系数法求解即可； （3）先求出新模型的解析式为 ，根据原模型与新模型的总能耗差值为，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设“启动与加速阶段”关于的函数解析式为 将，代入，得 解得 ∴“启动与加速阶段”关于的函数解析式为 ； 【小问2详解】 解：将代入，得 将代入 ，得， 解得， ∴“恒速作业阶段”关于的函数解析式为； 【小问3详解】 解：由（2）可知，原“恒速作业阶段”的解析式为， 改进后，新能耗系数 ， 新模型的解析式为 ， 根据题意，得 ， 解得， 答：该机器人的工作时长为． 22. 如图，为半圆的直径，点在半圆上，连接，，且，．点在直径上（不与点，重合），点与点关于直线对称，连接，过点作，交的延长线于点． （1）直接写出线段的长； （2）嘉嘉说：在点移动过程中，始终有；淇淇说：当时，直线与半圆相切．请选择其中一人的说法进行说理； （3）当线段与半圆有第二个交点时，交点为，若的长为，求的度数． 【答案】（1） （2）①选择嘉嘉的说法 如图所示，连接 ∵点与点关于直线对称 ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ②选择淇淇的说法 如图所示，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴为的中点 ∵， ∴ ∴ ∴为等边三角形 ∴， 在中，， ∴ 由对称性可知平分 ∴ ∴ 即 又是半圆的半径 ∴直线与半圆相切 （3）的度数为或 【解析】 【分析】（1）先由为半圆的直径，点在半圆上，得，再根据直角三角形对边为斜边一半求； （2）嘉嘉：先根据轴对称得，，再根据等角对等边证，最后推出；淇淇：先算出，接着证为等边三角形、，再结合对称得，判定切线； （3）弧长公式求圆心角，由，分两段弧分类算． 【小问1详解】 解：∵为半圆的直径，点在半圆上， ∴， 在中，，， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 （3）设， ∵半径，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， 当点在上时，， 当点在上时，， 综上，的度数为或． 23. 【模型】在矩形中，，． （1）【操作】在图1中，用直尺和圆规在的上方作出以为直径的半圆（保留作图痕迹，不写作法）． （2）【探究】如图2，点在半圆上，连接，，过点作，交所在直线于点，连接． ①求证：； ②随着点的位置变化，的面积始终保持不变，请求出的面积． （3）【拓展】如图3，在梯形中，，，，，是线段的中点，是线段上一点，连接，过点在上方作，使．当的面积最小时，直接写出的值． 【答案】（1）解：如图所示为所求： （2）①证明：∵四边形是矩形， ， 是直径， ， ， ， ， ； ②； （3） 【解析】 【分析】（1）先作线段的垂直平分线交于点，再以点为圆心，为半径画半圆即可； （2）①由矩形的性质可得，再根据直径所对圆周角为，得到 ，利用，可证，即可证明结论；②由①中结论，可得，即可得出结果； （3）先求出 ，进而得到，取，作矩形，则，，连接，可得 ，易证 ，得到 ，推出点在为直径的圆上，当的面积最小时，点为的垂直平分线与圆的交点，求出，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：， ，即， ∵，， ； 【小问3详解】 解：∵在梯形中，，，，， ， ， ，即， 是线段的中点， ， 如图所示，取，作矩形，则，，连接， ， ∴ ， ， 又， ， ， ， ∴点在为直径的圆上， ∴当的面积最小时，点为的垂直平分线与圆的交点， 则此时是等腰直角三角形， ，， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为；抛物线：（其中为常数），顶点为． （1）直接写出点A，B的坐标及顶点的坐标； （2）无论为何值，点始终在某条直线上运动，求该直线的解析式； （3）当时，直线：经过点，与抛物线交于另一点E，M为线段的中点，若点恰好落在抛物线上，求的值； （4）设抛物线与交于G，H两点，判断四边形是否为平行四边形，并说明理由． 【答案】（1），， （2）该直线的解析式为 （3） （4）解：四边形是平行四边形．理由如下： 令 ，得 由根与系数的关系，得 ， ， ， ∴中点坐标为， 而，，中点坐标为，即， 故与中点重合，即与互相平分， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）令，则，求出，，由，得到，即可解答； （2）先推导出顶点的坐标为，设，，得到该直线的解析式为，即可解答； （3）当时，抛物线： ，直线过点，推导出直线：，令 ，即 ，得到 ，求出 再根据中点公式，得到 ，解得，即可解答； （4）令，得 由韦达定理知 ，推导出，得到中点坐标为，继而推导出中点坐标为，即，故与中点重合，即与互相平分，则四边形是平行四边形，即可解答． 【小问1详解】 解：，，， 令，则， 解得，， ∴，， ， ∴； 【小问2详解】 解：： ，顶点的坐标为， 设，，得 ∴该直线的解析式为； 【小问3详解】 解：当时，抛物线： ，直线过点， ， ， ∴直线：， 令 ，即 ， 由根与系数的关系，得 故 为线段的中点 ， 代入抛物线，得 ， 整理，得 ， 解得； 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $