精品解析：2025年河北省廊坊市广阳区中考二模数学试题

2025年初中毕业生统练二 数学试卷 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．开始答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效．填空题和解答题请把答案写在答题卷上． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A B. C. D. 2. 2025春运期间，深圳铁路累计到发旅客万人次，日均到发旅客万人次．用万科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 5. 若运算的结果不是分式，则“（ ）”内的式子可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 在一次体育测试中，某班40名学生的跳绳成绩（单位：次）如下表所示： 跳绳成绩 人数 5 10 15 10 则下列关于这40名学生跳绳成绩的统计量，说法正确的是（ ） A. 平均数一定是170 B. 众数一定是170 C. 中位数在范围内（含160，不含180） D. 方差为0 8. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，雕像的下部应设计为多高？设雕像的下部高为，则所列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边和的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断是不是直角，这样做的依据是（ ） A. 勾股定理 B. 若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形 C. 三角形内角和定理 D. 直角三角形的两锐角互余 10. 如图，与位似，位似中心为点O，若，的面积为18，则的面积为（ ）． A. 54 B. 24 C. 32 D. 11. 已知关于的一元二次方程的两根为，，是方程的判别式，有下列两个说法：，当，，时，的最小值是，其中（ ） A. 是真命题，是真命题 B. 是真命题，是假命题 C. 是假命题，是真命题 D. 是假命题，是假命题 12. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，测得，对角线，最后用剩下的两根木条搭成了如图所示的图形，连接，则图 中的的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题4个小题，共12分） 13. 因式分解：___________ 14. 某工厂全体员工将质量至上的理念铭记在心，齐心协力打造卓越品质，工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 99 196 294 980 合格频率 0.98 0.99 0.98 0.98 0.98 （1）表格中______，______； （2）估计任抽一件该产品是合格品的概率为______．（结果保留两位小数） （3）根据（2）中的正确估值，该厂若要出厂500件合格产品，估计至少需要生产______件． 15. 如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D；画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点；依次截取，分别交前弧于点E、点F、点G；画射线，反向延长至点H；画出的角平分线．则______．（结果用含的代数式表示） 16. 如图，已知中，，，与关于所在直线对称，反比例函数恰好经过点，则______． 三、解答题（本大题共8题，共计72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据甲，乙，丙的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P 例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式： 计算：原式 Q K （1）所给数字为“”时， ①按的顺序列式并计算； ②按的顺序列式并计算． （2）若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 18. 化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定的值）： 小宇：a是3的相反数； 小丽：b是大于1且小于整数 19. 课间十分钟是学生释放学习压力，自我调节的放松时间．课间同学们玩抽卡片游戏，他们在一个不透明的箱子中放了4张卡片，卡片上分别写有数字-2，3，5，6这些卡片除上面的数字外，其余均相同． （1）小晴从箱子中随机摸10次卡片，其中摸到写有数字“6”卡片2次，则这10次摸卡片中，摸出写有数字“6”的卡片的频率是___________； （2）佳佳和乐乐同时从箱子中各取出1张卡片，如果两张卡片上的数字之和为奇数，则佳佳胜；如果两张卡片上的数字之和为偶数，则乐乐胜．这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明． 20. 数学家为解决“化圆为方”问题，将其转化为特殊的“化矩形为方”问题．化矩形为方指的是给定任意矩形，作出和这个矩形面积相等的正方形． 如图，已知矩形．尺规作图完成“化矩形正方形”问题．以下为作图过程： ①以点B为圆心，长为半径画弧，交延长线于点E； ②分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接交于点F，则点F为的中点； ③以点F为圆心，长为半径画弧，交延长线于点P； ④以为边，在边右侧作正方形，即“化矩形为正方形”． （1）请按照作图过程中④的要求，用无刻度直尺和圆规将所给图形补充完整；（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据已补充完整的图形解决问题： 在矩形中，已知，， 则______，______，进而求得正方形的边______． 由此可得，即达到“化矩形为方”目的． 21. 如图是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．打开后备厢如图，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备用后，车后盖最高点到地面的高度． （2）若小明爸爸的身高为米，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由． 22. 如图1，在中，直径，P是线段延长线上的一点，切于点C，D是上一点，切，连接． （1）求证：是的切线； （2）当时（如图2），求的长； （3）若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成的阴影图形的面积． 23. 同学们在操场上玩跳长绳的游戏，跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名同学之间的水平距离为米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式； （2）如果身高为的小明站在之间，当绳子甩到最高处，小明站在距离点的水平距离为时，绳子是否能刚好甩过他的头顶上方？请说明理由； （3）现在老师要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳人，摇绳人，共计人．某班挑选出身高都为的个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少，那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，为了能顺利完成比赛（绳子超过头顶），左边第一位同学跑离点的水平距离的取值范围？请说明理由． 24. 综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境： 在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D，E的对应点分别是点B，C． 【初探感知】（1）如图1，____________； 【深入领悟】（2）如图2，当线段经过点C时，求证：； 【融会贯通】（3）如图3，在旋转的过程中，当点D落在的延长线上时，过点E作，交的延长线于点G．请你判断线段和的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中毕业生统练二 数学试卷 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．开始答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效．填空题和解答题请把答案写在答题卷上． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求算术平方根． 【详解】解：A、是整数，属于有理数，故不符合题意； B、是分数，属于有理数，故不符合题意； C、，属于无理数，符合题意； D、是无限循环小数，属于有理数，故不符合题意； 故选：C． 2. 2025春运期间，深圳铁路累计到发旅客万人次，日均到发旅客万人次．用万科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：万， ． 故选：C． 3. 如图，，交于点．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，先求出，然后根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 4. 如图所示的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键． 结合图形，根据主视图的定义即可求得答案． 【详解】解：这个几何体的主视图为： ． 故选：C． 5. 若运算的结果不是分式，则“（ ）”内的式子可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．本题根据分式的乘除法的运算法则进行解题即可得到答案． 【详解】解： ∵运算的结果为不是分式， ∴“（ ）”内的式子一定是含的单项式， ∴只有A选项符合题意． 故选：A． 6. 若，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，底数不变，指数相加的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本体根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的知识，先分别对等号左右两边进行化简，然后得到，然后即可求解 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，即； ∴， 故选：D 7. 在一次体育测试中，某班40名学生的跳绳成绩（单位：次）如下表所示： 跳绳成绩 人数 5 10 15 10 则下列关于这40名学生跳绳成绩的统计量，说法正确的是（ ） A. 平均数一定是170 B. 众数一定是170 C. 中位数在范围内（含160，不含180） D. 方差为0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数、方差的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平均数、众数、中位数、方差的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、平均数不一定是170，故此选项说法错误，不符合题意； B、众数不一定是170，故此选项说法错误，不符合题意； C、中位数在范围内（含160，不含180），故此选项说法正确，符合题意； D、方差大于0，故此选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 8. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，雕像的下部应设计为多高？设雕像的下部高为，则所列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程方程的应用，根据使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，列出方程即可． 【详解】解：设雕像的下部高为，则：雕像的上部高为，由题意，得： ， 即：； 故选A． 9. 小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边和的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断是不是直角，这样做的依据是（ ） A. 勾股定理 B. 若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形 C. 三角形内角和定理 D. 直角三角形的两锐角互余 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，如果，则可判断是直角三角形，由此可推断是否为直角． 【详解】解：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足，则可判断是直角三角形，即为直角；若，则不是直角． 故选：B． 10. 如图，与位似，位似中心为点O，若，的面积为18，则的面积为（ ）． A. 54 B. 24 C. 32 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，相似三角形的性质．先求出，再根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：， ∴， ∵与位似， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 11. 已知关于的一元二次方程的两根为，，是方程的判别式，有下列两个说法：，当，，时，的最小值是，其中（ ） A. 是真命题，是真命题 B. 是真命题，是假命题 C. 是假命题，是真命题 D. 是假命题，是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的两根为，，可得，根据可得：；一元二次方程的两根为，，可得：，，从而可得：，根据平方的非负性可知的最小值为. 【详解】解：一元二次方程的两根为，， ， ， ， ； 故是真命题； 一元二次方程的两根为，， ，， ，，， ，， ， 的最小值是， 故②是假命题． 故选：A． 12. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，测得，对角线，最后用剩下的两根木条搭成了如图所示的图形，连接，则图 中的的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 根据菱形的性质可知，过点作交的延长线于点，根据等边三角形的性质， 可知，根据含角的直角三角形的性质，可得EH的长，再根据的面积公式，即可． 【详解】解：图1连接， ∵菱形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 如图3，过点作交的延长线于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题4个小题，共12分） 13. 因式分解：___________ 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了因式分解，根据平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 某工厂全体员工将质量至上的理念铭记在心，齐心协力打造卓越品质，工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 99 196 294 980 合格频率 0.98 0.99 0.98 0.98 0.98 （1）表格中______，______； （2）估计任抽一件该产品是合格品的概率为______．（结果保留两位小数） （3）根据（2）中的正确估值，该厂若要出厂500件合格产品，估计至少需要生产______件． 【答案】（1）490，0.98 （2）0.98 （3）511 【解析】 【分析】本题考查了频率与频数，利用频率估计概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据，即可求出m、n值； （2）由表格可知，得到随实验次数的增多，合格品的频率越来越稳定在0.98左右，由此可估计； （3）根据代入数值计算即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，， ， 故答案为：490，0.98； 【小问2详解】 解：由表格可知，合格频率越来越稳定在0.98左右， ∴合格的概率大约为0.98， 故答案为：0.98； 【小问3详解】 解：（件） 所以，该厂若要出厂500件合格产品，估计至少需要生产511件， 故答案为：511． 15. 如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D；画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点；依次截取，分别交前弧于点E、点F、点G；画射线，反向延长至点H；画出的角平分线．则______．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作一个角等于已知角，角平分线的定义，先根据作图求出，即可求出邻补角的度数，然后根据角平分线的定义解题即可． 【详解】解：由作图可得， ∴， 又∵平分 ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知中，，，与关于所在直线对称，反比例函数恰好经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，根据，，求出，勾股定理求出，连接，交于点，过点作轴，根据对称可得，得出，等面积法求出，求出，根据，求出，根据，求出，求出点，根据反比例函数的图象经过点，即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴，， 连接，交于点，过点作轴， 根据对称可得， ∴，， ∴， ∵，则， 解得：， ∵，则， 解得：， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，轴对称的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8题，共计72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据甲，乙，丙的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P 例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式： 计算：原式 Q K （1）所给数字为“”时， ①按的顺序列式并计算； ②按的顺序列式并计算． （2）若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 【答案】（1）①9；②6 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据题意计算出的结果即可得到答案；②根据题意计算出的结果即可得到答案； （2）设这个数为x，由题意得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：①按的顺序，所给数字为“”时， ； ②按的顺序，所给数字为“”时， ； 【小问2详解】 解：设这个数为x， 由题意得， ， ， 解得， 即符合条件的数为． 18. 化简分式：，并求值（请从小宇和小丽对话中确定的值）： 小宇：a是3的相反数； 小丽：b是大于1且小于的整数 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，相反数，无理数的大小估算，掌握分式的运算法则是解题关键．先化简分式，再根据对话确定的值，代入计算即可． 【详解】解： ， a是3的相反数； ， b是大于1且小于的整数， ， 原式． 19. 课间十分钟是学生释放学习压力，自我调节的放松时间．课间同学们玩抽卡片游戏，他们在一个不透明的箱子中放了4张卡片，卡片上分别写有数字-2，3，5，6这些卡片除上面的数字外，其余均相同． （1）小晴从箱子中随机摸10次卡片，其中摸到写有数字“6”的卡片2次，则这10次摸卡片中，摸出写有数字“6”的卡片的频率是___________； （2）佳佳和乐乐同时从箱子中各取出1张卡片，如果两张卡片上的数字之和为奇数，则佳佳胜；如果两张卡片上的数字之和为偶数，则乐乐胜．这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明． 【答案】（1） （2）游戏不公平 【解析】 【分析】本题考查频率和列表法或树状图求概率； （1）利用频率公式计算解题； （2）画树状图得到所有等可能的结果数，然后得到和为偶数、奇数的结果数，求出佳佳和乐乐获胜的概率解答即可． 【小问1详解】 解：摸出写有数字“6”的卡片的频率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：游戏不公平，理由为： 画树状图如下： 由树状图可知共有种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之和为奇数的结果有种，数字之和为偶数的结果有种， 所以佳佳胜的概率为，乐乐胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 20. 数学家为解决“化圆为方”问题，将其转化为特殊的“化矩形为方”问题．化矩形为方指的是给定任意矩形，作出和这个矩形面积相等的正方形． 如图，已知矩形．尺规作图完成“化矩形为正方形”问题．以下为作图过程： ①以点B为圆心，长为半径画弧，交延长线于点E； ②分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接交于点F，则点F为的中点； ③以点F为圆心，长为半径画弧，交延长线于点P； ④以为边，在边右侧作正方形，即“化矩形为正方形”． （1）请按照作图过程中④的要求，用无刻度直尺和圆规将所给图形补充完整；（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据已补充完整的图形解决问题： 在矩形中，已知，， 则______，______，进而求得正方形的边______． 由此可得，即达到“化矩形为方”的目的． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图以及勾股定理、正方形的性质、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点P作直线，以点B为圆心，的长为半径，画弧交的延长线于一点，再以点为圆心，的长为半径，画弧，以点P为圆心，的长为半径，画弧，这两弧交于一点，即为Q，连接，即可作答． （2）根据中点，得出，结合线段的差运算，得出，再根据勾股定理列式计算，得出，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：在矩形中，已知，， ∴ 则， 进而求得正方形的边 此时， ∵ ∴，即达到“化矩形为方”的目的 21. 如图是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．打开后备厢如图，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备用后，车后盖最高点到地面的高度． （2）若小明爸爸的身高为米，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由． 【答案】（1） （2）没有碰头的危险，理由见解析 【解析】 【分析】（）过点作于，根据正弦的定义求出即可得到答案； （）过点作于点，求出，根据余弦的定义求出，进而求出点到地面的距离，比较大小即可； 本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：过点作于， 在中，，， ∵， ∴， ∴点到地面的距离为， 答：车后盖最高点到地面的距离为； 【小问2详解】 解：没有碰头的危险，理由如下： 如图，过点作于点， 在中，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点到地面的距离为， ∴， ∴没有碰头的危险． 22. 如图1，在中，直径，P是线段延长线上一点，切于点C，D是上一点，切，连接． （1）求证：是的切线； （2）当时（如图2），求的长； （3）若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成的阴影图形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，则有，再证明可得，根据切线的性质可得，进而得到，即可证明结论； （2）如图2，连接 ，由（1）可知， ，再证明四边形为正方形，再求出，由勾股定理可得，再根据线段的和差即可解答； （3）如图3，连接，设，则，根据菱形的性质、切线的性质可得，进而得到，最后根据以及扇形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 证明：如图1，连接，则有． 在和中， ∴， ∴， ∵切于点C， ∴， ∴，即， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图2，连接 ，由（1）可知， ． 当时，四边形为矩形． 又∵， ∴四边形为正方形． ∵， ∴，即 ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图3，连接，设，则， ∵四边形是菱形， ∴．则， ∵是的切线，即． ∴，即． ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线的判定、勾股定理、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 23. 同学们在操场上玩跳长绳的游戏，跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名同学之间的水平距离为米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式； （2）如果身高为的小明站在之间，当绳子甩到最高处，小明站在距离点的水平距离为时，绳子是否能刚好甩过他的头顶上方？请说明理由； （3）现在老师要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳人，摇绳人，共计人．某班挑选出身高都为的个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少，那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，为了能顺利完成比赛（绳子超过头顶），左边第一位同学跑离点的水平距离的取值范围？请说明理由． 【答案】（1）该抛物线解析式为． （2）绳子不能刚好甩过他的头顶上方． （3）的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出点、点、点的坐标后，代入抛物线的顶点式即可求解函数表达式； （2）代入横坐标计算对应纵坐标，比较即可得解； （3）通过解一元二次方程确定抛物线满足高度的区间，结合队伍长度确定取值范围． 【小问1详解】 解：依题得：，，最高点纵坐标为， ，， 绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线， 点是该抛物线的顶点，横坐标应为， ， 设抛物线解析式为， 将代入可得， 该抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：依题得，小明所站位置的横坐标为， 将代入抛物线解析式得， 绳子能刚好甩过他的头顶上方， 当绳子甩到最高处，小明站在距离点的水平距离为时，绳子不能刚好甩过他的头顶上方． 【小问3详解】 解：当时，即， 解得，， 可以站立跳绳的距离范围为， 人队伍的总长度为， 左边第一位同学跑离点的水平距离需满足，， 综合可得，的取值范围是． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求函数解析式、二次函数的实际应用、一元二次方程和二次函数综合，解题关键是熟练掌握抛物线的顶点式求解、利用抛物线对称性求解． 24. 综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境： 在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D，E的对应点分别是点B，C． 【初探感知】（1）如图1，____________； 深入领悟】（2）如图2，当线段经过点C时，求证：； 【融会贯通】（3）如图3，在旋转的过程中，当点D落在的延长线上时，过点E作，交的延长线于点G．请你判断线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）67.5；（2）见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理． （1）根据旋转的性质得到，由是等腰三角形，利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据旋转的性质得到，进而得到，由平角的定义即可计算出，即可得出结论； （3）延长交于点 H，由旋转的性质得，，，进而得到，推出，根据，推出，得到，即可证明结论． 【详解】解：（1）根据旋转的性质得到， ，， ； （2）证明：由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）， 理由：如图3，延长交于点 H， 由旋转性质得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$