精品解析：2026年河北保定市莲池区初中学业水平考试适应性训练 数学试卷（二模）

2026年初中学业水平考试适应性训练 数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，将符合题目要求的选项代号，填入题后括号内） 1. 刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为，由此可推算图2中计算所得的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图示得出两个数，然后再进行求和得出答案． 本题主要考查了有理数的加法，正数和负数，掌握有理数的加法运算法则是关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 2. 米斗是古代粮仓必备的粮食量器．如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度），如图2所示，则其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： 从正面看，只能看到其前侧面， 前侧面是一个上底长、下底短的梯形 ， 其主视图是一个上底长、下底短的梯形， 观察各选项，只有D选项符合题意． 3. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算各选项结果即可判断出正确答案． 【详解】解：选项A：， A错误； 选项B： ， B错误； 选项C：， C正确； 选项D：， D错误． 4. 下面是嘉嘉同学的数学作业，请问嘉嘉作对题目的个数为（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出结果． 【详解】解：①与不是同类二次根式，不能合并，故①不正确； ②，故②不正确； ③，故③正确； ④，故④不正确； 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式，熟练运用二次根式的运算法则是解题的关键． 5. 如图是某通道的部分通行路线示意图，若从入口驾车进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则从口驶出的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率所求情况数与总情况数之比求解即可． 【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，赛车最终驶出的点共有、、、四个， 所以，最终从点H驶出的概率为． 6. 如图，将任意，沿所在直线翻折，使点A落到点D处，若使四边形为菱形，则需补充的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称与菱形的判定逐一分析即可． 【详解】解：由翻折可得：，， 添加， ∴， ∴四边形是菱形，故A符合题意； 补充，是重复条件，得不到四边相等， 补充得不到四边相等， 故B，C，D不符合题意． 7. 如图，取两根木条，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型．转动木条，当增大时，则下列说法正确的是（ ） A. 减小 B. 减小 C. 增大 D. 与的和不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查对顶角和邻补角，根据对顶角得到，，邻补角得到，根据增大，结合角的关系，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：，，， ∴当增大时，增大，减小，与的和减小， 故正确的只有选项A． 故选A． 8. 已知关于x的方程有两个异号的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有两个异号的实数根结合二次项系数非0，即可得出，，解之即可得出结论． 本题考查了根的判别式，根据根的判别式结合二次项系数非0得出关于k的不等式是解题的关键． 【详解】由题意得，， 解得：． 由条件可知， 解得． 的取值范围为． 故选：A． 9. 如图，中，，．甲、乙两人想在外部取一点，使得与全等，其作法如下： 甲：①作的角平分线． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求． 乙：①过作平行的直线． ②过作平行的直线，交于点，则即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ） A. 两人皆正确 B. 两人皆错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，逐一进行判断即可． 【详解】解：甲：如解图①， ∵， ∴， ∴，由甲的作法可知，， 故和不可能全等， 故甲的作法错误； 乙：如解图②， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴乙的作法是正确的． 10. 如图，不完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据数轴得出，解不等式求出的取值范围，即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由数轴可知， 解得： 的值可以是 故选：D． 11. 如图，把等边纸片沿折叠，若，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，结合平角的定义和图形中角的关系求出的度数，再利用三角形的外角性质或内角和定理求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知， ，， ， ，  ， ， 是等边三角形， ， 是的外角， ， ， ． 故选：A． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，，抛物线，当L与线段有公共点时，t的取值范围是（ ） A. B. 或 C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】线段上所有点横坐标均为，纵坐标满足，由抛物线与线段有公共点结合图象求解即可． 【详解】解：∵ 点，， ∴ 线段上所有点横坐标为，且． ∵ 抛物线与线段有公共点，如图， 当抛物线过时， ∴， 解得：或， 当抛物线过时，如图， ∴， 解得：或， ∵抛物线，L与线段有公共点， ∴或． 卷Ⅱ（共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 已知三角形两边长分别为，，设第三边长为，则可以取的值为________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边求解范围，进一步可得答案． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：，即， 则可以取的值为（答案不唯一）． 14. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法进行因式分解即可求解． 【详解】解：． 15. 如图，正六边形和正五边形的边重合，的延长线与交于点，则的度数是_____________． 【答案】##144度 【解析】 【分析】利用正多边形的性质求得正五边形的内角的度数及边，然后利用等边对等角及三角形内角和定理求得的度数，再结合邻补角的定义进行计算即可． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴， ， ∴， ∵的延长线与交于点，  ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，交反比例函数图象于点．若，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，则，求解，进一步结合相似三角形的性质与一次函数的平移的性质求解即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则． ∵直线与反比例函数交于点， ， 解得或（舍去）． ， ． 由平移知，， ， ， ． ， ． ， 点的纵坐标为9． 把代入，解得． ， ∵将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线， ∴把的坐标代入得， 解得． 三、解答下列各题（共72分） 17. 理解与尝试 在计算时有两种算法， 方法1：请你直接计算； 方法2：用字母代替数，转化成整式计算来完成． 例如：设，原式 （1）请你完成以上计算； 应用： （2）计算 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）第一种直接按照有理数运算法则计算，第二种换元后利用整式乘法与平方差公式化简计算，两种方法均可得到结果； （2）观察算式中数字的关系，用换元法将数字替换为字母，提取公因式后结合完全平方公式化简，再代入数值计算即可简化运算，得到最终结果． 【小问1详解】 解：方法1：； 方法2：设， 原式 ； 【小问2详解】 解：设，，可得，  ∴ ． 18. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： 或 或 琪琪同学： ，， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法__________，琪琪同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】（1）不正确；不正确 （2） 【解析】 【分析】（1）根据嘉嘉和琪琪的解法分析即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或不正确； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法不正确； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 19. 市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩学校进行了收集和整理，其中部分信息如下： 信息一： 信息二： 甲队成绩统计表 成绩 7分 8分 9分 10分 人数 10 1 m 7 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求m的值和扇形圆心角的度数； （2）补全乙队成绩条形统计图； （3）请从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 【答案】（1）的值为2，的度数为 （2）图见解析 （3）乙运动队的成绩较好 【解析】 【分析】本题考查了统计图表，加权平均数、中位数． （1）先由乙队9分人数和占比求出总人数，即可求出m的值和扇形圆心角的度数； （2）求出乙队7分的人数即可补全图形； （3）分别求出两队的中位数和平均数，再比较即可． 【小问1详解】 两队人数为： ， 的值为2，的度数为． 【小问2详解】 乙队7分人数为：，补全条形图如图： 【小问3详解】 ①甲的中位数为：（分）；乙的中位数为：（分）； ②甲队成绩的平均数为：（分）； 乙队成绩的平均数为：（分）； 甲、乙两队成绩的平均数相同，但乙队的中位数比甲队的中位数大 乙运动队的成绩较好． 20. 如图，点，，，在同一直线上，和都是等边三角形，且． （1）求证：； （2）当时，连接，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）分别证明，，再根据证明即可； （2）证明点C与点E重合，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴, 又， ∴， ∴， ∴， 在和中， , ∴； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 在中，，， ∴, ∴, ∴, ∵是等边三角形，， ∴, ∴, 即点C与点E重合， ∵和都是等边三角形，且， ∴, ∴． 21. 受中东局势影响，国内油价大涨，嘉嘉的爸爸每次固定加200元汽油，嘉嘉的爸爸认为：油价涨跌自己都不受影响．已知汽油原价为a元/升，上调后价格为b元/升（），汽车每升汽油可行驶k千米． （1）分别用含a，b，k的代数式表示调价前后200元汽油所能行驶的路程． （2）若嘉嘉的爸爸每月行驶的总路程不变，为S千米，请比较调价前后每月所需花费的总费用，并由此判断上述观点是否正确． 【答案】（1）调价前行驶路程为千米，调价后行驶路程为千米 （2）调价后每月所需总费用更高，嘉嘉爸爸的观点不正确 【解析】 【分析】（1）先根据“加油量总价单价”求出加油量，再乘以每升汽油行驶路程得到总路程； （2）先根据总路程求出所需汽油总量，再乘以单价得到每月总花费，通过比较大小判断观点是否正确，用到不等式的基本性质比较大小． 【小问1详解】 解：已知汽油原价为元/升，总花费200元，可得调价前加油量为升， 已知每升汽油行驶千米， 因此总行驶路程为千米； 上调后价格为元/升，总花费200元，可得调价后加油量为升， 因此总行驶路程为千米； 【小问2详解】 解：已知每月总路程为千米，可得每月需要汽油升， 调价前每月总费用为：元， 调价后每月总费用为：元， 已知，，， 因此， 可得， 即调价后每月花费更高， 因此嘉嘉的爸爸的观点不正确． 22. 一辆汽车停放于积水路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已知轮胎与地面相切于点（轮胎的形变忽略不计），若轮胎没入积水的最大深度为，轮胎与积水面的接触长度为． （1）求轮胎的半径； （2）如图2，当汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（与坡面相切于点），过轮胎中心作水平地面的垂线与交于点，与斜坡交于点，与水平地面交于点．直接写出劣弧的长度，并直接比较劣弧与线段的大小（结果保留）． 【答案】（1） （2）劣弧的长，劣弧线段 【解析】 【分析】（1）连接，，交于点，利用切线性质得地面，结合地面推出，由垂径定理求出的长，设轮胎半径为，用含的式子表示，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （2）先由斜坡坡角和地面，求出，再结合切线性质，在中求出圆心角；然后利用弧长公式计算劣弧的长度，利用三角函数求出线段的长度，最后通过数值比较，即可得出劣弧与线段的大小关系． 【小问1详解】 解：如图，连接，，交于点， ∵与地面相切于点， ∴地面， 又地面， ∴， ∴， 设轮胎半径为，则， 由题意得， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得，即轮胎的半径为； 【小问2详解】 解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与坡面相切于， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长， 在中，， ∵， ∴劣弧线段． 23. 如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为的整数）．已知点，抛物线：经过点． （1）试推算出和的数量关系； （2）若抛物线过点，求抛物线的解析式及顶点坐标； （3）若抛物线使得（为的整数）这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）将点P坐标代入抛物线解析式，通过化简整理，推导出a与b的数量关系． （2）把坐标代入解析式求出a、b，得到函数表达式，再利用配方法化为顶点式，进而写出顶点坐标． （2）先用化简解析式，算出四点横坐标对应的函数值． 分、讨论点位：依据两点在上、两点在下，列不等式求解a范围． 【小问1详解】 抛物线经过点， 将，代入解析式， ， ， ， ． 【小问2详解】 抛物线经过点， 将，代入解析式， ， ， ， ， ， ，， 抛物线解析式为． ， ， ， 抛物线顶点坐标为． 【小问3详解】 ， 抛物线解析式可化为． 该图象是抛物线， ． 由题意可得四个点坐标：，，，． 将各点横坐标代入抛物线解析式， 时，； 时，； 时，； 时，． 当时， ，，， ，，， 、、恒在抛物线上方． 上方已经存在个点，无论在哪一侧，都不能实现两点在上、两点在下， 不符合题意，舍去． 当时， ，，， ，在抛物线上方；，在抛物线上方， 、恒在抛物线上方． 要求四个点恰好两点在上方、两点在下方， 、必须同时在抛物线下方． 点在抛物线下方等价于点的纵坐标小于同横坐标抛物线函数值， 列不等式组： 解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组的解集为． 综上，的取值范围是． 24. 如图，已知矩形，，，延长到点，使，点为中点，点从出发，以1个单位每秒的速度由向运动，设运动时间为秒，将线段绕点逆时针旋转并缩小，得到线段，连接． （1）当时，求的长． （2）当位于矩形内（包括边界），求的取值范围． （3）将沿所在直线翻折，当点恰好落到矩形边上时，求的值． （4）直接写出在运动过程中，的最大值． 【答案】（1） （2）当时，点F恰好落在矩形的内部（含边）上； （3）当点恰好落在矩形的边上时，t的值为或 （4） 【解析】 【分析】（1）当，可得，，求解，结合旋转可得：，进一步可得答案； （2）当点F落在边上或点F落在边上时，根据相似三角形的判定和性质解题即可； （3）过点F作，垂足为G，则，然后得到，可得点F到直线的距离为2，再分两种情况：当点落在边上和点落在边上时，利用勾股定理解题即可； （4）设经过A，E，P三点的圆的圆心为O，连接，可知当与相切于点P 时，最大，过点O作于点I， 则，然后计算求最大值． 【小问1详解】 解：如图， ∵矩形，，，， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由旋转可得：，， ∴． 【小问2详解】 解：点F落在边上时，如图， ∵是矩形，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 当点F落在边上时，如图 同理可得， ∴， ∴， ∴， 综上可知，当时，点F恰好落在矩形的内部（含边）上； 【小问3详解】 解：如图，过点F作，垂足为G， ∵， ∴. 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴点F到直线的距离为2； 设翻折后的对应点为，分两种情况讨论． ①当点落在边上时，如图，， ∴， 根据折叠的性质可知，， 在中，根据勾股定理，得， 即 ∴ ， ②当点落在边上时，如图，． 分别过点F，P 作，，垂足分别为R，S， 则． 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴ 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， 综上可知，当点恰好落在矩形的边上时，t的值为或. 【小问4详解】 解：设经过A，E，P三点的圆的圆心为O，连接，可知当与相切于点P 时，最大，过点O作于点I， 连接，，则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 综上：的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试适应性训练 数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，将符合题目要求的选项代号，填入题后括号内） 1. 刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为，由此可推算图2中计算所得的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 米斗是古代粮仓必备的粮食量器．如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度），如图2所示，则其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面是嘉嘉同学的数学作业，请问嘉嘉作对题目的个数为（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图是某通道的部分通行路线示意图，若从入口驾车进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则从口驶出的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将任意，沿所在直线翻折，使点A落到点D处，若使四边形为菱形，则需补充的条件为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，取两根木条，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型．转动木条，当增大时，则下列说法正确的是（ ） A. 减小 B. 减小 C. 增大 D. 与的和不变 8. 已知关于x的方程有两个异号的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，．甲、乙两人想在外部取一点，使得与全等，其作法如下： 甲：①作的角平分线． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求． 乙：①过作平行的直线． ②过作平行的直线，交于点，则即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ） A. 两人皆正确 B. 两人皆错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确 10. 如图，不完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 11. 如图，把等边纸片沿折叠，若，则是（ ） A. B. C. D. 12. 在平面直角坐标系中，已知点，，抛物线，当L与线段有公共点时，t的取值范围是（ ） A. B. 或 C. ， D. 卷Ⅱ（共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 已知三角形两边长分别为，，设第三边长为，则可以取的值为________．（写出一个即可） 14. 因式分解：______． 15. 如图，正六边形和正五边形的边重合，的延长线与交于点，则的度数是_____________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，交反比例函数图象于点．若，则的值为______． 三、解答下列各题（共72分） 17. 理解与尝试 在计算时有两种算法， 方法1：请你直接计算； 方法2：用字母代替数，转化成整式计算来完成． 例如：设，原式 （1）请你完成以上计算； 应用： （2）计算 18. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： 或 或 琪琪同学： ，， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法__________，琪琪同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 19. 市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩学校进行了收集和整理，其中部分信息如下： 信息一： 信息二： 甲队成绩统计表 成绩 7分 8分 9分 10分 人数 10 1 m 7 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求m的值和扇形圆心角的度数； （2）补全乙队成绩条形统计图； （3）请从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 20. 如图，点，，，在同一直线上，和都是等边三角形，且． （1）求证：； （2）当时，连接，求的长． 21. 受中东局势影响，国内油价大涨，嘉嘉的爸爸每次固定加200元汽油，嘉嘉的爸爸认为：油价涨跌自己都不受影响．已知汽油原价为a元/升，上调后价格为b元/升（），汽车每升汽油可行驶k千米． （1）分别用含a，b，k的代数式表示调价前后200元汽油所能行驶的路程． （2）若嘉嘉的爸爸每月行驶的总路程不变，为S千米，请比较调价前后每月所需花费的总费用，并由此判断上述观点是否正确． 22. 一辆汽车停放于积水路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已知轮胎与地面相切于点（轮胎的形变忽略不计），若轮胎没入积水的最大深度为，轮胎与积水面的接触长度为． （1）求轮胎的半径； （2）如图2，当汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（与坡面相切于点），过轮胎中心作水平地面的垂线与交于点，与斜坡交于点，与水平地面交于点．直接写出劣弧的长度，并直接比较劣弧与线段的大小（结果保留）． 23. 如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为的整数）．已知点，抛物线：经过点． （1）试推算出和的数量关系； （2）若抛物线过点，求抛物线的解析式及顶点坐标； （3）若抛物线使得（为的整数）这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，求的取值范围． 24. 如图，已知矩形，，，延长到点，使，点为中点，点从出发，以1个单位每秒的速度由向运动，设运动时间为秒，将线段绕点逆时针旋转并缩小，得到线段，连接． （1）当时，求的长． （2）当位于矩形内（包括边界），求的取值范围． （3）将沿所在直线翻折，当点恰好落到矩形边上时，求的值． （4）直接写出在运动过程中，的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $