30.专题训练七 圆的综合问题-【一飞冲天·同步训练】2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

同步训练九年极数学（全一册) 专题训练（七） 1.已知OA,OB是⊙O的半径，且OA⊥OB,垂足 为O,P是射线OA上的一点（点A除外），直 线BP交⊙O于点Q,过点Q作⊙O的切线交 射线OA于点E. (1)如图①，点P在线段OA上，若∠OBQ 15°，求∠AQE的大小； (2)如图②，点P在OA的延长线上，若∠OBQ 65°，求∠AQE的大小 图① 图② 冲天 圆的综合问题 2.已知AB为⊙O的直径，AB=6,C为⊙O上一 点，连接CA,CB. (1)如图①，若C为AB的中点，求∠CAB的大 小和AC的长； (2)如图②，若AC=2,OD为⊙O的半径，且 OD⊥CB,垂足为E,过点D作⊙O的切 线，与AC的延长线相交于点F,求FD 的长 图① 图② 4 >>C 一冲天， 3.已知AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，CD 与AB交于点E,连接BD. (1)如图①，若点D是AB的中点，求∠C的 大小； (2)如图②，过点C作⊙O的切线与AB的延 长线交于点P,若AC=CP,求∠D的 大小 E B D 图① 图② >>0 第二+四幸周国 4.已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点， 0C=4,∠0AC=60°， (1)如图①，过点C作⊙O的切线，与BA的延 长线交于点P,求∠P的大小及PA的长； (2)如图②，P为AB上一点，CP的延长线与 ⊙O交于点Q,若AQ=CQ,求∠APC的 大小及PA的长. C 图① 图② 为 >>0 兴 同步训练九年极数学（全一册） 5.如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点 C,D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E,延 长OB至F,使DF=FE,连接EF (1)求证：EF为⊙O的切线； (2)若OD=1且BD=BF,求⊙O的半径. 》主 米 冲天 6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂 直平分线与AC,BC及AB的延长线分别相交 于点D,E,F,⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF 的平分线交EF于点G,交⊙O于点H,连接 BD,若BC=BF. H D G (1)求证：△ABC≌△EBF; (2)试判断DB与⊙O的位置关系，并说明 理由. 4飞冲天 专题训练（七） 圆的综合问题 1.解：(1)如图①，连接OQ. 图① :EQ是⊙O的切线， ∴.OQ⊥EQ,∴.∠OQE=90°， .OA⊥OB, ∠AOB=90∠AQB=号∠A0B=45, .OB=OQ,.∠OBQ=∠OQB=15°， .∠AQE=∠OQE-∠OQB-∠AQB=90°-15°-45°=30°； (2)如图②，连接OQ. 图② .OB=OQ. .∠OBQ=∠OQB=65°， .∠B0Q=180°-65°-65°=50°， .∠AOB=90°， .∠AOQ=90°-50°=40°， .OQ=0A, ∠0QA=∠0AQ=1802,40°=70， 2 ,EQ是⊙O的切线， ..∠OQE=90°， ∴∠AQE=∠OQE-∠0QA=90°-70°=20. 2.解：(1)AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， :C为AB的中点， ..AC=BC, ∴.∠CAB=∠CBA=45°，AC=BC, .AC+BC2=AB2, .AC=3√2： (2),DF是⊙O的切线， .OD⊥DF, ,OD⊥BC,∠FCB=90°， 四边形FCED为矩形， .FD=EC. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,AB=6, 则BC=√/AB2-AC=42, ,OD⊥BC, :.EC-BC-2 ∴.FD=22. 3.解：(1)如图①，连接AD, 图① ,AB是⊙O的直径， ∠ADB=90°. :D是AB的中点， ..AD=BD, ..AD=BD, ∴.△ABD是等腰直角三角形， ∴.∠ABD=45°， ∴.∠C=∠ABD=45°； (2)如图②，连接OC, 图② .CP是⊙O的切线， ∴∠OCP=90°， AC=CP, ∴∠A=∠P, :∠COP=2∠A, ∴.∠COP=2∠P, 在Rt△OPC中，∠COP+∠P=90°， ∴.2∠P+∠P=90°， ∴.∠P=30°， ∴∠D=∠A=30° 4.解：(1)：∠OAC=60°，OA=OC, .△OAC是等边三角形， .OC=OA=AC=4,∠AOC=60°. .PC是⊙O的切线， ∴.∠OCP=90°， ∠P=90°-∠A0C=30°， .OP=2OC=8, ∴.PA=OP-OA=4: (2)如图②，过点C作CD⊥AB于点D. C 图② :∠AOC=60°， ∴.∠AQC=30, 参考答紧 .AQ=CQ. ∠ACQ=∠QAC=180,30°=75. 2 .∴.∠OCP=∠ACQ-∠AC0=15°， ∴.∠APC=∠AOC-∠OCP=45 .△PCD是等腰直角三角形， .'PD=CD, CD-9oc=25AD=240=2. ∴.PA=AD+PD=2+2√3. 5.解：(1)证明：如图，连接OE 0 D OE=OC,∴∠OEC=∠OCE. :DF=FE,∴∠FED=∠FDE. .COLAB,∴.∠COD=90.°.∠CDO+∠OCD=90 :∠FDE=∠CDO,∴.∠FED+∠OEC=90. 即∠FEO=90°，.OE⊥FE. ,OE是⊙O的半径，∴，EF为⊙O的切线： (2)由(1)得∠OEF=90°， 设⊙O的半径EO=BO=r,则BF=BD=r-1, .FE=DF=2BD=2r-2,OF=DF+OD=2r-2+1=2r-1. 在Rt△FEO中，由勾股定理得，FE+OE=OF2, ∴.(2r-2)2+r2=(2r-1)2,解得r=3,或r=1(舍去)， .⊙0的半径为3. 6.解：(1)证明：，∠ABC=90°，.∠EBF=180°-∠ABC=90° ,DF⊥AC,.∠ADF=90°. :∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，∴∠C=∠AFD,即∠C=∠BFE. I∠C=∠BFE 在△ABC和△EBF中，BC=BF ∠ABC=∠EBF ∴.△ABC≌△EBF(ASA): (2)DB与⊙O相切.理由如下： 如图，连接OB, .OB=OF,∴.∠OBF=∠OFB. ,∠ABC=90°，AD=CD,∴.BD=CD.∴.∠C=∠DBC ,'∠C=∠BFE,∴.∠DBC=∠BFE=∠OBF. ,∠CBO+∠OBF=90°，∴.∠CBO+∠DBC=90° 即∠DBO=90°，OB⊥DB, ,OB为⊙O的半径，.DB与⊙O相切.