第24章 圆 本章整合-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

本章整合 本章整合 知识构建导图Noo 圆的对称性 圆的基本性质 弧、弦、圆心角之间的关系 圆心角与圆周角的关系 点和圆的位置关系 三角形的外接圆 与圆有关的位置关系 圆 直线和圆的位置关系切线]三角形的内切圆 正多边形和圆 等分圆周 弧长 与圆有关的计算 扇形面积 圆锥的侧面积和全面积 3.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点 考点逐项突破CauO E,已知CD=6,EB=1,则⊙O的半径为 考点一：垂径定理及其推论 1.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点 E,连接BC,BD,下列结论不一定正确的是 ( 0 A.AE-BE D B.AD=BD (第3题图) (第4题图) C.OE=DE D.AC=BC 4.如图，在⊙O中，∠OAB=45°，圆心O到弦 AB的距离OE=2cm,则弦AB的长为 cm. 考点二：圆心角、圆周角 5.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB AC,∠BCA=65°，过点C作CD∥AB,与⊙O D 相交于点D,连接BD,则∠DBC的大小为 (第1题图) (第2题图) () 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E, OC=5 cm,CD=8 cm,AE=() A.8cm B.5 cm 0 C.3 cm D.2 cm A.15° B.35° C.25° D.45° 89 数学九年级上册第二十四章圆 6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，考点四：与圆有关的计算 BC=4,则⊙O的直径为 10.已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若 ∠ABC=25°，则劣弧AC的长为() 0 B器 c语 n. 11.如图，圆锥的母线长为 考点三：切线的判定与性质 10cm,高为8cm,则该圆 7.(天津南开区期中)如图，∠ABC=80°，O为 锥的侧面展开图（扇形）的 射线BC上一点，以点O为圆心，2OB长为 孤长为 cm.(结果用π表示) 半径作⊙O,要使射线BA与⊙O相切，应将 12.如图，已知AB是⊙O的 射线绕点B按顺时针方向旋转() 直径，C是⊙O上的点， A.40°或80° B.50°或110° 点D在AB的延长线 C.50°或100° D.60°或120° 上，∠BCD=∠BAC. A (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若∠D=30°，BD=2,求图中阴影部分的 面积. B C (第7题图) (第8题图) 8.如图，点A,B,D在⊙O上，∠A=20°，BC是 ⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC 于点C,则∠OCB= 9.已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交， ∠BAC=38°， 0 图1 图2 (1)如图1，若D为AB的中点，求∠ABC和 ∠ABD的大小； (2)如图2，过点D作⊙O的切线，与AB的 延长线交于点P,若DP∥AC,求∠OCD 的大小 90 本章整合 6.(天津中考)已知AB为⊙O的直径，AB=6, 考题聚焦体验0nN C为⊙O上一点，连接CA,CB, 1.(天津红桥区模拟)如图，⊙O的直径CD= 20,AB是⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为M, OM:MC=3:2,则AB的长为() A.8 B.12 图1 图2 C.16 D.291 (1)如图1，若C为AB的中点，求∠CAB的大 小和AC的长； (2)如图2，若AC=2,OD为⊙O的半径，且 OD⊥CB,垂足为E,过点D作⊙O的切 (第1题图) (第2题图) 线，与AC的延长线相交于点F,求FD 2.(天津河北区模拟)如图，△ABC中，∠C= 的长 90°，BC=5,⊙O与△ABC的三边相切于点 D,E,F,若⊙O的半径为2，则△ABC的周长 为() A.14 B.20 C.24 D.30 3.(天津和平区模拟)如图，AB是⊙O的直径， AB=AC,∠BAC=45°，⊙O交BC于点D, 交AC于点E,DF与⊙O相切于点D,交AC 7.（天津中考)已知△ABC内接于⊙O,AB= 于点F,OD与BE相交于点H.下列结论错 AC,∠BAC=42°，点D是⊙O上一点. 误的是() (1)如图1，若BD为⊙O的直径，连接CD,求 A.BD=CD B.BH-DF ∠DBC和∠ACD的大小； C.AE=2 DE D.BC=2CE (2)如图2，若CD∥BA,连接AD,过点D作 ⊙O的切线，与OC的延长线交于点E,求 ∠E的大小. (第3题图) (第4题图) 4.(天津玉泉区二模)如图，五边形ABCDE是 ⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则 图2 ∠BDF的度数是( ) A.18° B.36° C.549 D.72° 5.(天津红桥区模拟)如图，四边形 ABCD内接于⊙O,∠ABC= 0* 70°，则∠ADC的大小为 9120xX之气恶m. (2)在扇形ABC中，BC的长为180 “∠ACD=∠BCD-=Z∠ACB=45 ∴.∠ABD=∠ACD=45° 设底面圆的半径为rm, (2)如图，连接OD. 则2r==(m. 6.解将圆锥沿着母线SA展开得 扇形SAA1,如图，取SA的中 点C,连接AC,则线段AC是壁 虎爬行的最短路线.设展开图的 DP切⊙O于点D, 圆心角的度数是n° .OD⊥DP, ,圆锥的底面周长是展开的扇形的孤长， 即∠ODP=90° 2πX1=nπX4 180 DP∥AC,∠BAC=38, ..n=90,即∠S=90° ∴∠P=∠BAC=38. 在Rt△ASC中，SC=2,SA=4, ∠AOD是△ODP的外角， AC=√SC+SA=√W22+4=2W5. .∴.∠AOD=∠P+∠ODP=128°， ∴.壁虎爬行的最短距离为2√5】 ∴∠ACD=2∠AOD=64 能力提升 .OA=OC, 7.解由题意，知AB=6πcm,CD=4rcm. ∠AC0=∠A=38°. 设∠AOB=n°，AO=Rcm, ∴∠OCD=∠ACD-∠AC0=64°-38°=26°. 则CO=(R-8)cm, 10.C11.12元 根搭级长公或，将需=6,8》=4红 12.(1)证明如图，连接0C, 180 .OA=OC, 解得n=45,R=24. ∴扇形圆心角的度数为45° .∠BAC=∠OCA. 由R=24,得R-8=16. :∠BCD=∠BAC, ∴.∠BCD=∠OCA. .X4xX12(cm), AB是直径， Sau=×6x×24=72x(cm). .∠ACB=90°， .∠OCA+∠OCB=∠BCD+∠OCB=90°， .S联杯相=S扇形0AB一S扇移0cD=72π一32π=40π(cm2). ∴.∠OCD=90° 又：Sk=(告)】月 =4π(cm2), OC是半径， .CD是⊙O的切线. ∴.S版杯金=40π十4π=44π(cm2). (2)解如图，过O作OE⊥AC于E. 本章整合 设⊙O的半径为r, 则AB=2r. 考点逐项突破 ,∠D=30°，∠OCD=90°， 1.C2.A3.54.45.A6.4√27.B .OD=2r,∠COB=60°， 8.50° .r+2=2r. 9.解(1)AB是⊙O的直径， .r=2,∠AOC=120°， ∠ACB=90°. OB=OC,∠BOC=60°， .∠BAC+∠ABC=90°. △OBC为等边三角形， 又∠BAC=38°， .BC=r=2. .∠ABC=90°-38°=52°. 由勾股定理可知AC=2√3. 由D为AB的中点， 得AD=BD. 在R△A0E中，∠A=日∠B0C=30, 61 0E=2=1, ∠ADC=180°-∠B=180°-69°=111°， ∴.∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-42°-111°=27， ÷Sac=×2gX1=月， .∠COD=2∠CAD=54°， S%0c=120元X4_4r :DE为切线， 36039 .OD⊥DE,.∠ODE=90°， “阴影部分的面积为暂尽。 .∠E=90°-∠D0E=90°-54°=36°. 考题聚焦体验 1.C2.D3.D4.C5.110 6.解(1)AB为⊙0的直径， .∠ACB=90°. 由C为AB的中点，得AC=BC, 图1 图2 ∴AC=BC,得∠ABC=∠CAB. 第二十五章概率初步 在Rt△ABC中，∠ABC+∠CAB=90°， ∠CAB=45. 25.1随机事件与概率 根据勾股定理，得AC+BC=AB2, 25.1.1随机事件 又AB=6,得2AC=36, .AC=3√2. 知识梳理 (2)FD是⊙O的切线， 1.必然事件不可能事件必然事件不可能事件 .OD⊥FD,即∠ODF=90°. 2.随机事件随机事件 ,OD⊥CB,垂足为E, 对点练习 1.B2.D3.A4.C5.红蓝 ∴∠CED=90,CE=CB. 课后作业 同(1)可得∠ACB=90°，有∠FCE=90°， 1.C2.C3.C4.小于5.3点 .∠FCE=∠CED=∠ODF=90°， 6.解(1)随机事件，因为明天可能刮南风，也可能刮北风 '.四边形ECFD为矩形， 等其他方向的风 FD=CE,FD=号CB. (2)不可能事件，因为任何有理数的平方均是一个非负数. (3)必然事件，因为地球有引力，所以该运动员掷出的 在Rt△ABC中，由AB=6,AC=2, 标枪会落地. 得CB=√AB-AC=4√2， (4)必然事件，因为这是一个肯定的正确事件， FD=2√2. 7.解(1)当n=2时，此时袋子里只有2个红球，2个黄 7.解(1)如图1，.AB=AC, 球，此时任意摸4个球，一定是2个红球和2个黄球，该 1 ·∠ABC=∠ACB=2(180°-∠BAC)= 事件是必然事件 (2)当n>2且取整数时，该事件是随机事件. 42)=69°， 8.解 BD为直径， ∠BCD=90°， :∠D=∠BAC=42°， ∴.∠DBC=90°-∠D=90°-42°=48°， ∴.∠ACD=∠ABD=∠ABC-∠DBC=69°-48°=21°. 鹰 (2)如图2，连接OD. 能力提升 .CD∥AB, 9.解本题答案不唯一，只要符合题意即可.例如：必然 .∠ACD=∠BAC=42°， 事件：两次掷出数字之和是整数；不可能事件：两次 四边形ABCD为⊙O的内接四边形， 掷出数字之和大于6；随机事件：两次掷出数字之和 .∠B+∠ADC=180°， 等于4. 62