17.专题训练五 二次函数中的最值问题-【一飞冲天·同步训练】2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

一冲天 专题训练（五）二次函数中的最值问题 1.A2.B3.C4.B 5.B当h<2时，在x=2处函数取得最大值-1， 有-(2-h)2=-1, 解得h1=1,h2=3(舍去)； 当2≤h≤5时，y=一(x一h)2的最大值为0，不符合题意： 当h>5时，在x=5处函数取得最大值一1， 有-(5-h)2=-1, 解得hg=4(舍去)，h=6. 综上所述，h的值为1或6. 6.B:y=-x2+mx, 六抛物线开口向下，对称轴为x=一2×D-受， ①当？<-2，即m<-4时， 在x=一2处函数取得最大值3， ∴.-4-2m=3,解得m=一3.5（舍去）； ②当%>1，即m>2时， 在x=1处函数取得最大值3 ,.一1十m=3,解得m=4; ③当-2<受<1，即-4≤m≤2时， 在x=受处函数取得最大值3， ：-受+受=3，解得m=25(含去)或m=-25, 综上所述，m=4或m=一2√3. 7.Dy=x2-2x+1=（x-1)2,分以下3种情况讨论： ①当t+1<1,即t<0时， 在x=t十1处y取得最小值2t 即t2=21,解得1=0（舍去）或1=2（舍去）； ②当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时， 在x=1处y取得最小值21， 即0=2t,解得t=0: ③当>1时， 在x=t处y取得最小值2t, 即(t一1)2=2t,解得t=2十√5或t=2一√5（舍去）. 综上所述，t的值为0或2十√3 8.解：(1)当b=3,c=4时， 有y=-x2-6x+4=-(x+3)2+13, 则当x=一3时，y大=13； (2)当c=6时， 有y=-x2-2bx+6=-(x+b)2+6+2, ,a=一1<0，函数图象开口向下，函数有最大值， .当x=-b时，y大=6十=7， ∴.b=±1： (3)当c=3b时， 有y=-x2-2bx+3b=-(x+b)2+3b+b, .抛物线的对称轴为x=一b, ①当-b<1,即b>一1时， 在x=1处y有最大值10， .-1-2b+3b=10, 解得b=11,此时y=-x2-22x+33: ②当1≤-b≤5，即-5≤b≤-1时， 在x=一b处y有最大值10， ∴.3b+b2=10, 解得b,=一5，b2=2(舍去)，此时y=一x2十10x-15: ③当-b>5,即b<-5时， 在x=5处y有最大值10， ∴.-25-10b+3b=10, 解得b=-5(舍去)： 综上可得，二次函数的表达式为y=一x2-22x十33或y=-x2+10x-15, 9.A二次函数y=x2十m.x十n的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点， .,x2是方程x2十mx十n=0的两个根. ∴x1十2=-m,x1x2=n,又-x2=4, ∴.m=-x1-x2=-4-2x2,n=(4十x2)x2=x2十4x2. 1=m十n=-4-2x2十x号+4x2=x号十2.x2-4=(x2十1)2-5. ,a=1>0,-2≤x2<3, ∴当2=一1时，t取最小值，最小值为-5，没有最大值. 10.A当x=0时，y=a-2, 3a= 对称轴为直线x=一2 3 2 点A0a-2,B(-号，0 AB=V-2+a-2y=V只+a-2. 当a=2时，A,B之间的距离最小， 此时y=22+6x=2(x+名)P-号，即最小值为-号，故选项A正确： 当y=0时，0=2.x2+6.x,解得x1=0,x2=一3， ∴图象与x轴的两个交点分别是(0,0)，（一3,0），故选项B错误； “y=2x+6x=2+号)-号，顶点为(-是-号).位于第三象限， ∴图象经过第三象限，故选项C,D错误. 11.D:二次函数y=x2+2(m-2)x-m十2的图象与x轴最多有一个公共点， .△=[2(m-2)]2-4(-m+2)≤0， 化简得m2一3m十2≤0，解得1≤m≤2. :y=m2-2tm-3=(m-t)2-f-3,1≤m≤2，：a=1>0,∴.抛物线开口向上， 若<1，则y随m增大而增大， .当m=1时，y值最小， 最小值为1-21-3=一21-2=3，解得1=一2： 若1≤≤2，则当m=t时，y值最小， 最小值为一t一3=3，此时方程无解； 若>2，则y随m增大而减小， .当m=2时，y值最小， 最小值为4-41-3=-41+1=3，解得=-2（舍去). 综上，若y=m-2m-3的最小值为3，则1=-号 12.③ 参考答案 13.解：(1)将点C(0,-3)代入y=(x+1)2+k, 得-3=(0+1)2十k,解得k=一4， .抛物线的对称轴为直线x=一1，k的值为一4： (2)由(1)可得抛物线的解析式为y=(x+1)2-4=x2+2x-3, 当y=0时，即0=x2+2x-3,解得1=1，x2=-3, ∴.点A(-3,0),B(1,0), 如图，连接AC交对称轴于点P,则此时PA十PC的值最小， 设直线AC的解析式为y=m.x十n, 将A(-3,0),C(0,-3)代入， (-3m+n=0 (m=-1 得 ,解得 n=-3 n=-3 故直线AC的解析式为y=一x一3， 当x=-1时，y=-2, .点P的坐标为(-1，一2)； (3)①依题意得，当点M运动到抛物线的顶点时，△AMB的面积最大，此时M(一1， -4), Sw=×ABX1w=号×4X4=8: ②直线AC的解析式为y=一x一3， 故设点Q的坐标为(t,一t一3)，一3<1<0， 则M(t,t2+21-3), “QM=-1-3-(+21-3)=-F-31=-(u+2)+号， 六当1=一号时，QM最大，最大值为是 14.解：1)把点A(-2,0),B1,0)代入抛物线解析式得如-26-2=0 a+b-2=0 解得a=1 b=11 ∴.抛物线的解析式为y=x十x一2： (2)如图所示，连接MA,设直线AC与抛物线的对称轴交于点V. :点A和点B关于抛物线的对称轴对称， .'MA=MB. .'MB+MC=MA+MC. 一飞冲天 .当点M与点N重合时，MA十MC取得最小值，即线段AC的长. :抛物线y=x十x-2与y轴交于点C, .C(0,-2),∴.OC=2, .A(-2,0)..OA=2 .AC=√OA+OC=22, ∴.MB+MC的最小值为2√2： (3)如图所示，过点P作PD⊥x轴于点D,交直线AC于点E, y B 设P(p,p+p-2),其中-2<p<0. .OA=OC=2, ∴.∠OAC=∠OCA=45, .PD⊥x轴 ∴.∠DEA=180°-∠ADE-∠OAC=45°， ∴.∠QEP=∠DEA=45°， PQ⊥AC, ∴.在Rt△PQE中，QE=PQ. PQ号En, ∴当EP取得最大值时，PQ取得最大值， 设直线AC解析式为y=kx十d, 把点A(-2,0),C(0,-2)代入， /-2k+d=0 (k=-1 得 d=-2 解得{d=-2 .直线AC解析式为y=一x一2， ∴.E(p,-p-2), .EP=yE-yp=-（p+1)2+1, .当=一1时，EP取得最大值， .P(-1,-2), 即线段PQ存在最大值，此时点P的坐标为（一1，一2）. 15.解：(1)将A(一3,0)，B(4,0)代入抛物线解析式， 1 19a-3b-4=0 la-3 得 ,解得 16a+4b-4=0 六抛物线的解析式为y一子一子 3x-4; (2)5+4w2: “yg--4=-2-8 “抛物线的对称轴为直线x=2, 当x=0时，y=-4,∴C(0,-4). 如图所示，连接BC交对称轴于点H, V ,A(一3,0)，B(4,0)两点关于抛物线对称轴对称， ..AH=BH. ∴，AH+CH=BH+CH=BC,此时AH+CH取得最小值， .OA=3,OB=4,0C=4, 在Rt△BOC中，BC=√OB+OC=4√2， 在Rt△AOC中，AC=/OA2+OC=5, .△ACH周长的最小值为AC+BC=5+4V2; (3)如图所示，过点G作GF∥y轴，交BC于点F, 设G,f-4-40.0<1< 设直线BC的解析式为y=kx十d, .B(4,0),C(0,-4), (4k+d=0 (k=1 解得 (d=-4 d=-4' .直线BC的解析式为y=x一4， .F(t,1-4), G=4-(--4)=-+. Sm=×FGx-=合×(-3+0X4= -2)+8 3 :当1=2时，△BCG的面积有最大值，最大值为，此时G(2,-号) 16.解：(1)由二次函数y=ax2十bx-3,令x=0,则y=一3， .C(0,-3). .OB=OC=30A. .A(-1,0),B(3,0). 参考答案 代人y=ar2+b-3,得a-6-3=0 a=1 ,解得 9a+3b-3=0 b=-2 .抛物线的解析式是y=x2-2x一3； (2)S-S2=(SANCP+SAABP)-(SABDP+SAABP)=SAAI SAABD. :S证=号AB0C=6,为定值. ∴当SAABD达到最大值，即点D到AB的距离最大时，S,一S2的值最小. :y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴.当点D为抛物线的顶点(1，一4)时，SABD达到最大值. 设直线AD的解析式为y=mx十n, 将A(一1.0)，D1,-4)代入，得{厂m+n=0 解得m=一2 (m十n=-4 n=-2 .直线AD的解析式为y=-2x-2. 1b=2 17.解：(1)将点A(一1,0)，B(2,3)代入抛物线的解析式，得 /-1-b+c=0 ,解得 -4+2b+c=3 c=3 .抛物线的解析式为y=一x2+2x十3， 即y=-(x-1)2+4, .抛物线的顶点D的坐标为(1,4)； (2)设直线AB的解析式为y=k.x+d. 将点A(-1,0),B(2,3)代入， 得仁+d=0 (k=1 2k+d=3 解得d=1 ∴直线AB的解析式为y=x+1. 如图，过点P作PQ∥y轴交AB于点Q, AO引 设点P(m,-m2+2m+3),则Q(m,m十1)， 其中一1<m<2, .PQ=(-m2+2m+3)-(m十1)=-m2+m+2, Sm=号×PQX-=号X(-m+m+2)X3=-2(m-+ 81 ∴当m=之时，△APB面积取最大值为 27 此时P(合： (3),点H关于y轴的对称点H,落在第二象限内， ∴.点H(n,t)在第一象限，即n>0,t>0. :抛物线的顶点坐标为(1,4)， .0<t≤4， :H(,t)在抛物线上， .∴.t=-n2+2n+3. .n2-2n=3-t, .A(-1,0),H1(-nt) H=(-n+10+f=-2+1+f=f-+4=4-2产+只， 一冲天 参考答案 六当1=之时，H,A有最小值5 -m+2m+3=2 解得n2二正（会去）或n士压 2 2 ·n的值为2+正 2一冲天 第二十二章 二决函数 专题训练（五） 二次函数中的最值问题 题型一对称轴相关最值问题 7.已知二次函数y=x2一2x十1在t≤x≤t十1 1.若二次函数y=ax2+4x十a一1的最小值是 时有最小值2t,则t的值是 ( 2,则a的值为 ( A.0或2 B.2+√5或2-√5 A.4 B.-1 C.2或2-√3 D.0或2+√3 C.3 D.4或-1 8.已知二次函数y=一x2一2bx十c(b,c是常 2.y=x2+(1一a)x+1是关于x的二次函数，当 数) x的取值范围是1≤x≤3时，y在x=1时取 (1)当b=3,c=4时，求二次函数的最大值； 得最大值，则实数a的取值范围是 ( (2)当c=6时，函数有最大值为7，求b的值： A.a≤5 B.a≥5 (3)当c=3b且自变量1≤x≤5时，函数有最 C.a≤3 D.a≥3 大值为10，求此时二次函数的表达式. 3.已知函数y=x2-2x十3，当0≤x≤m时，有最 大值3，最小值2，则m的取值范围是( A.m≥1 B.0≤m≤2 C.1≤m≤2 D.1≤m≤3 4.已知二次函数y=ax2-2ax十c,当-1≤x≤2 时，y有最小值7，最大值11，则a十c的值为 A.3 B.9 c D 5.已知二次函数y=一(x-h)2,当自变量x的 值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最 大值为一1，则h的值为 ( >> A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6 6.若二次函数y=一x2十mx在一2≤x≤1时的 最大值为3，那么m的值是 A.2√3或-4 B.-2√/3或4 C.-7或25 D或-25 ※ 同步训练九年极数学（全一册)》 心冲天彩 题型二坐标轴交点相关最值问题 题型三利用二次函数对称性求最短路径 9.二次函数y=x2+mx十n的图象与x轴交于13.如图，抛物线y=(x大1)2十k与x轴交于A, A(x1,0),B(x2,0)两点，若x1-x2=4,且 B两点，与y轴交于点C(0,-3) -2≤x2<3,记t=m十n,则 () (1)求抛物线的对称轴及k的值； A.t有最小值一5，没有最大值 (2)抛物线的对称轴上存在一点P,使得 B.t有最小值一4，没有最大值 PA+PC的值最小，求此时点P的坐标； C.t有最小值一5，有最大值4 (3)点M是抛物线上一动点，且在第三象限， D.t有最小值一4，有最大值4 ①当点M运动到何处时，△AMB的面积 10.已知二次函数y=ax2十3a.x十a-2(a>0)的 最大？求出△AMB的最大面积及此时点 图象与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于 M的坐标； 点B,当A,B之间的距离最小时，下列选项 ②过点M作QM⊥x轴交线段AC于点 中关于该二次函数的结论正确的是( Q,求线段QM长度的最大值. A该二次厨数的最小值为号 y B.图象与x轴的一个交点是（一2,0） C.图象的顶点位于第四象限 D.图象不经过第三象限 11.已知二次函数y=x2+2(m-2)x-m十2的 图象与x轴最多有一个公共点，若y=m2 2m-3的最小值为3，则t的值为() A D-昌 12.若抛物线与x轴有两个交点，则这两个交点 X 间的距离称为该抛物线在x轴上截得的“弦 长”.则在下列抛物线中：①y1=一5(x 36x+2@%=t-4-5:@y-=x-29 > 2,“弦长”最短的抛物线是 (填序号 即可). ※ 一冲天 第二十二章 二决属教河 14.如图，抛物线y=ax2+bx一2与x轴交于点15.如图，抛物线y=ax2十bx一4与x轴交于 A(-2,0),B(1,0),与y轴交于点C A(-3,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线对称轴上的动点，求MB+ (2)点H是抛物线对称轴上的一个动点，连 MC的最小值； 接AH,CH,直接写出△ACH周长的最 (3)若点P是直线AC下方抛物线上的动点， 小值为 过点P作PQ⊥AC于点Q,线段PQ是否 (3)若点G是第四象限抛物线上的动点，求 存在最大值？若存在，求出此时点P的坐 △BCG面积的最大值以及此时点G的 标；若不存在，请说明理由. 坐标 >> × >>0 ※ 同步训练九年极数学（全一册) 心冲天 题型四其他最值问题 17.已知抛物线y=一x2+bx十c,若此抛物线与 16.如图，抛物线y=a.x2+b.x-3(a>0)交x轴 某直线相交于A(1,0),B(2,3)两点，与 于点A,B(点A在点B左侧)，交y轴于点 y轴交于点C,其顶点为D. C,且OB=OC=3OA,点D为抛物线上第四 (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； 象限内的动点。 (2)若点P是抛物线上位于直线AB上方的 (1)求抛物线的解析式； 一个动点，求△APB面积的最大值及此 (2)如图，直线AD交BC于点P,连接AC, 时点P的坐标； BD,若△ACP和△BDP的面积分别为 (3)点H(n,t)为抛物线上的一个动点，H关 S,和S2,当S,一S,的值最小时，求直线 于y轴的对称点为H1,当点H1落在第 AD的解析式. 二象限内，且H1A2取得最小值时，求n 的值. X× 兴